专题02 勾股定理相关压轴题分类训练（7种类型56道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级下册

专题02 勾股定理相关压轴题分类训练 （7种类型56道） 1．已知：如图，是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速运动，动点P的速度是，动点Q的速度是，当动点Q到达点C时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为，解答下列问题：地 城 类型01 勾股定理相关动点问题 (1)当t为何值时，是直角三角形？ (2)是否存在某一时刻t，使线段把分成两部分的面积比为？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据已知可得，，，，当是直角三角形时，有两种情况：①时，②时，由于∠B=60°，则两种情况下的直角三角形中含角，利用含角的直角三角形的性质可得或建立方程即可的结论； （2）作于M点，根据已知条件分别求得， ，当线段把分成两部分的面积比为时，即与面积之比为或两种情况列式，求解即可． 【详解】（1）∵等边三角形边长为， ∴，， ∵动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速运动，动点 的速度是，动点Q的速度是, ∴，， ∴， 当是直角三角形时，有两种情况： ①时， 如图： ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； ②时， 如图：    ∵， ∴， ∴， 即：， 解得：， 综上所述：当是直角三角形时，或； （2）由题可得：，，， ∴Q从B至C用时，P从A至B用时 ∴，即当Q到达C点时，P始终在边上， 如下图：作于M点，    ∵， ∴， ∴, ∴， ∵等边三角形边长为， ∴， 当线段把分成两部分的面积比为时， 分两种情况： ①当时， ∴， 整理得：， 解得：，， ②当时 ∴， 整理得：， ∵， ∴方程无解， 综上所述：使线段把分成两部分的面积比为时，． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、几何图形中的动点问题，读懂题意理解题目中的数量关系是解决问题的关键． 2．如图，在中，，，，动点P从点A出发，以的速度沿AB向终点B运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿向终点C运动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长； (2)P、Q在运动过程中，是否存在某一时刻，使得是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)9或 【分析】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，掌握含的直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据三角形中位线定理列式计算即可； （2）分、两种情况，根据直角三角形的性质解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由勾股定理，得：． （2）解：，， ， 当时，， ，即， 解得，， 当时，， ，即， 解得，， 综上所述，为9或时，是直角三角形． 3．如图，中，，，，若动点P从点C开始，路径运动，且速度为每秒，设运动时间为秒． (1)动点P运动2秒后，求的周长； (2)当动点P在上运动时，问为何值时，为直角三角形？ (3)另一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动，当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 【答案】(1)； (2)或； (3)2秒或6秒． 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积计算、一元一次方程的应用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由勾股定理求出的长，由题意得出，，再由勾股定理求出的长，即可得解； （2）分两种情况：当点在上运动时，为直角三角形；当P点在上时，时，为直角三角形，分别求解即可； （3）分两种情况：当P点在上，Q点在上时；当P点在上，Q点在上时；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：如图， ， 由，，， 由勾股定理得：， 动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒， 出发2秒后，，， ， ， 的周长为：； （2）解：，动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒， ∴当点在上运动时，为直角三角形， ， 当P点在上时，时，为直角三角形， ， ， 解得：， ， ， 点P的速度为每秒， ， 综上所述：当或时，为直角三角形； （3）解：当P点在上，Q点在上时，则，， ，直线把的周长分成相等的两部分， ， ； 当P点在上，Q点在上时，则，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， ， 当t为2秒或6秒时直线把的周长分成相等的两部分． 4．已知，如图，在中，，，．动点M从点A出发，沿向点C运动（到达C点停止），动点N从点B出发，沿向点A运动（到达A点停止），如果动点M以，N以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： (1)图1，当______s时，； (2)如图2，当为等腰三角形时，求t的值； (3)如图1，连接． ①当时，求线段的长； ②在运动过程中，的形状也在不断发生变化，它能否构成直角三角形？如果能，则求出此时t的值，如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)2或 (3)①，②2或 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理是解题的关键． （1）先求得的长，再根据点的运动速度可得，，则，列方程即可求得t的值； （2）分两种情况讨论当，，即可求解； （3）①作于H，于G，在中利用勾股定理即可求解； ②分，时，利用含30度直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，． ∴， 由M、N的运动速度可知：，，则， 当时，即， 解得； （2）∵在中，，． ∴， 由N的运动速度可知：， ①当为等腰三角形时，若，如解图1， ∴， ∵， ∴， ∴，即是中点， ∴， ∴ ②当为等腰三角形时，若时， ， ③当为等腰三角形时，若时，点在延长线上，不符合题意，舍去； 综上所述：当为等腰三角形时，为2或． （3）①过点N作于H，作于G，如解图2， ∵，； ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②能构成直角三角形，有以下两种情况： 当时，如解图3， ∵ ∴，， ∴， 由（1）可得：，， ∴，解得：， 当时，如解图4， 同理可得：，即，解得： 综上所述，当t为2或时，是直角三角形． 5．如图，在中，，，，动点从点出发，按的路径运动，到点停止运动，且点运动速度为，设出发时间为． (1)______cm； (2)当点运动到平分时，求出动点运动时间的值； (3)点运动过程中，使得，直接写出的值为______； (4)若动点在射线上运动，当为直角三角形时，则的值为______． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)4或 【分析】本题考查三角形上动点问题，勾股定理，等腰三角形，全等三角形等知识，解题的关键是掌握动点的运动轨迹，根据题意构造三角形，利用三角形的性质，计算． （1）根据勾股定理，可以求出的长； 当点运动到，根据三角形面积，求出，根据勾股定理，求出，即可求出； （2）过点作于点，根据平分，得，推出，得，根据，求出的值，即可得出根据点运动速度为，即可求出； （3）当运动到边时，，过点作，根据三角形面积，得，根据勾股定理，求出，根据等腰三角形三线合一，求出，得，得点的运动距离为：，即可求出． （4）若动点在射线上运动，当为直角三角形时，可得，设，列方程即可求解. 【详解】（1）∵，，， ∴ ∴的长度为：cm． （2）过点作于点 ∴ ∵平分 ∴ ∵在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． （3）①∵当运动到边时，， ∴点运动的路程为：， ∴． ②∵当运动到边时，， 如图，过点作 ∴， ∵ ∴ ∴在中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点的运动距离为： ∴． 综上所述：点运动过程中，使得， 的值为或； （4）若动点在射线上运动，当为直角三角形时，如图： ①当点与点重合时，，, ②当时，设， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 综上所述：的值为或． 6．如图，中，，，，动点从出发沿射线以的速度运动，设运动时间为秒． (1)当_____时，平分的面积； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (3)若点，分别为，上的动点，则的最小值是_____． 【答案】(1) (2)t的值是或 (3) 【分析】（1）先由勾股定理可得的长，当是中线时， 平分的面积，即，从而可得结论； （2）当是以为腰的等腰三角形时，存在两种情况：或，根据再建立方程可解答： （3）延长至A，使，连接，过点A作于F，根据对称可知： 的最小值就是的长，根据面积法可得结论， 【详解】（1）解：，，， ， 当时，AP平分的面积， 即， ， 则当时，平分的面积． （2）解：∵是以为腰的等腰三角形， ①如图，当时， 由题意得：， ， 由勾股定理得：， ， ； ②如图，， ， ； 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，t的值是或． （3）解：如图，延长至，使，连接，过点A作于， ∴是的中垂线，即与关于对称， 当为对应点时，， ，即此时的值最小，且最小值是的长， ，， 的面积， ， 的最小值是． 【点睛】本题考查三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定，轴对称的性质，三角形中线的性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称把问题转化为垂线段最短． 7．如图，在中，，，，动点P从点C出发，沿的方向运动，到点C停止运动，且点P运动速度为，设运动时间为． (1)________； (2)连接，当平分时，求t的值； (3)当点P在边上时，若，求t的值； (4)若动点M在射线上运动，当为直角三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)8 (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据勾股定理，可以求出的长； （2）过点作于点，根据平分，得，推出，得，根据，求出的值，即可得出根据点运动速度为，即可求出； （3）过点作，根据等积法求出，根据勾股定理结合图形求出，得出，最后求出结果即可． （4）若动点M在射线上运动，当为直角三角形时，可得，设，列方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：过点作于点， ∴， ∵平分， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵当运动到边时，， 如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴点的运动距离为： ， ∴． （4）解：若动点M在射线上运动，当为直角三角形时，如图所示： ①当点M与点重合时，，； ②当时，设， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 综上所述：的值为或． 【点睛】本题考查三角形上动点问题，勾股定理，等腰三角形，全等三角形等知识，解题的关键是掌握动点的运动轨迹，根据题意构造三角形，利用三角形的性质，计算． 8．如图，△ABC中，AB=AC=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点．动点P在线段BC上以2厘米/秒的速度向点C运动，同时，动点Q在线段CA上由点C向点A运动，连接DP，PQ．设点P运动的时间为t秒，回答下列问题： （1）当点Q的运动速度为____________厘米/秒时，△BPD和△CPQ全等； （2）若动点P的速度不变，同时动点Q以5厘米/秒的速度出发，两个点运动方向不变，沿△ABC的三边运动． ①请求出两点首次相遇时的t值，并说明此时两点在△ABC的哪一条边上； ②在P、Q两点首次相遇前，能否得到以PQ为底的等腰△APQ？如果能，请直接写出t值；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）或2厘米/秒时；（2）①，两个点在△ABC的边AC上首次相遇；②0或 【分析】（1）分当△BPD≌△CPQ时和当△BPD≌△CQP时，利用全等三角形的性质求解即可； （2）①根据当PQ相遇时，Q点比P点多走的距离为AB+AC，得到，由此求解即可； ②分当P在BC上靠近B一端，Q在AC上时，当P在BC上靠近C一端，Q在AC上时，当P在AC上，Q在AB上时，当P在AC上，Q在BC上时，进行分类讨论求解即可． 【详解】解：（1）当△BPD≌△CPQ时， ∴，， ∴， ∴Q点的运动速度为； 当△BPD≌△CQP时， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴Q点的运动速度为； 综上所述，当点Q的运动速度为或2厘米/秒时，△BPD和△CPQ全等； （2）①∵当PQ相遇时，Q点比P点多走的距离为AB+AC， ∴， 解得， ∵， ∴两个点在△ABC的边AC上首次相遇； ②如图①所示，当P在BC上靠近B一端，Q在AC上时，过点A作AE⊥BC于E， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得或（舍去）； 同理可求出当P在BC上靠近C一端，Q在AC上时，结果与上面相同； 如图②所示，当P在AC上，Q在AB上时， ∴AQ=AP， ∴， 解得； 如图③所示，当P在AC上，Q在BC上时，同图①可知此时不存在t使得AQ=AP， 综上所述，当t=0或，使得△APQ是以PQ为底的等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解． 9．如图，小林折叠一张长方形纸片，已知该纸片长，宽，折叠时，小林在边上取一点，将沿直线折叠，使点恰好落在边上的处，则的长是（    ）地 城 类型02 勾股定理相关折叠问题 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．．由折叠的性质可知，，，由勾股定理，得出，进而得到，设，利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．灵活利用勾股定理是解题关键． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， 四边形是长方形， ，，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即， 故选：C． 10．如图，在长方形纸片中，点M在边上，沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理与折叠，等腰三角形的判定和性质，根据平行线的性质和折叠的性质得出，根据等腰三角形的判定得出；根据折叠和平行线的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，证明，设，在中，利用勾股定理求出的值，最后求出结果即可． 【详解】解：∵长方形纸片沿所在的直线折叠， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴； 由四边形折叠得到四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 11．如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由折叠的性质得出，，，，推出，再由勾股定理求出，设，则，然后由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：由折叠的性质得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 12．在如图所示的三角形纸片中，点，分别在边，上，把沿着折叠，点落在线段上的点处；再把沿折叠，点与点重合．若，，则纸片的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换、三角形的面积， 根据沿着折叠，点落在线段上的点处，可得，，，根据沿折叠，点与点重合，可得，，，在和中，根据勾股定理求得，即可得解．解决本题的关键是掌握翻折变换的性质． 【详解】解：∵沿着折叠，点落在线段上的点处，，， ∴，，， ∵沿折叠，点与点重合， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在和，， ∴， 解得：， ∴， ， ∴， ∴纸片的面积是． 故选：B． 13．如图，已知在中，，，，点 M，N 在 边上，将沿着折叠，使点C的对应点恰好落在边上，将沿着折叠，使点A 的对应点恰好落在的延长线上，则 的值为 （   ） A． B．+ C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查折叠的性质、含30度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握折叠的性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键；由折叠的性质可知，，然后可得，进而根据含30度直角三角形的性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 故选C． 14．如图，在中，，将边沿折叠，使点B落在上的点处，再将边沿折叠，使点A落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点N、M，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出AB=10，利用等积法求出CN＝，从而得AN＝，再证明∠NMC＝∠NCM＝45°，进而即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴AB=， ∵S△ABC＝×AB×CN＝×AC×BC ∴CN＝， ∵AN＝， ∵折叠 ∴AM＝A'M，∠BCN＝∠B'CN，∠ACM＝∠A'CM， ∵∠BCN+∠B'CN+∠ACM+∠A'CM=90°， ∴∠B'CN +∠A'CM＝45°， ∴∠MCN＝45°，且CN⊥AB， ∴∠NMC＝∠NCM＝45°， ∴MN＝CN＝， ∴A'M＝AM＝AN−MN＝-=． 故选B． 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键． 15．如图，将一长方形纸片沿折叠，若，，则重叠部分的面积为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，长方形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据长方形的性质得， ，推出，根据折叠的性质得，得到，继而得到，根据勾股定理求出，得到． 【详解】解：长方形纸片， ， ， ， 由折叠的性质得 ， ， ， 在中， ， ， 故选：B． 16．如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质和勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 根据折叠的性质可得，，，，设，则，根据勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】解：如图，记点C的对应点为， 长方形中，，， ，，， 由折叠可得，，，， 设，则， 在中，， ，解得， 则的长为． 故选：C． 17．如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④．地 城 类型03 勾股定理相关综合性问题 正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由勾股定理的逆定理得出，即可判断①；再由等边三角形的性质，结合全等三角形的判定与性质可推出，，则四边形是平行四边形，即可判断③；然后由平行四边形的性质得，即可判断②；过作于，根据含角的直角三角形的性质和平行四边形的性质求出，进而得到，即可判断④；即可得出答案． 【详解】解：，，， ， 是直角三角形，且， ，故①正确； ，，都是等边三角形， ，，，， ，， 即，， 在与中， ， ， ， ， ， 同理可证：， ， ， ， 四边形是平行四边形，故③正确； ，故②正确； 过作于，则， 四边形是平行四边形， ， ， ，故④错误； 正确的有个， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 18．如图，，点为边上的两点，且，连结，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键． 利用已知条件证明三角形全等从而得出边和角的关系是解题的关键，再利用三角形的性质判断各个结论的正确性即可． 【详解】解： ，， ， 在与中， ， ，故①正确； ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 在中，， ，故③正确； ， ， ， ， 在中，， ， ，故④正确； 由题干条件无法证明出， 综上所述，其中正确的有①③④，共3个． 故选C． 19．如图，已知，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交于点、．给出以下四个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④，上述结论始终正确的有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由，，得，因为直角的顶点是的中点，所以，，可证明，则，，所以是等腰直角三角形，可判断①、③正确；由，可推导出，可判断④正确；由，得，因为，所以，则，所以，可判断②错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 直角的顶点是的中点， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 是等腰直角三角形， 故①、③正确； ，且， ， 故④正确； ， ， 点不与，重合 ， ， ，， ， ， 故②错误， 综上，①③④正确，共3个． 故选：C． 20．如图，在等腰直角中，，点是斜边的中点，平分交于点，交于点，连接交于点，则下列结论：①；②是的垂直平分线；③是等边三角形；④．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，且，，从而判定，从而判断出③错误；通过计算得到，从而得到，再根据角平分线和平行线推导等腰三角形的方法证明，再根据垂直平分线的判定定理即判定②；通过证明可判定①；设，则，，继而求出和，证明，从而求出，即可判定④． 【详解】解：在等腰直角中，，点是斜边的中点， ，且，， ， ，即， 不是等边三角形，故③错误； 又平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， 点、都在的垂直平分线上，即垂直平分，故②正确． ，垂直平分， ， 又，， ， ，故①正确， 设，则，， ，， ，， ， ， ，故④错误． 故正确的有：①②，共个， 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，线段垂直平分线的判定，勾股定理，通过求角度证明边角关系是解题的关键． 21．如图，在，中，，，，点C，D，E在同一条直线上，连接，，以下四个结论：①；②的长度即是点B到的距离；③；④．其中结论正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，等腰直角三角形的性质的应用，勾股定理的应用．①由条件证明，就可以得到结论； ②由就可以得出，就可以得出而得出结论； ③由，，可得结论； ④为直角三角形就可以得出，由和是等腰直角三角形就有，，就有就可以得出结论． 【详解】解：①∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴．故①正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； ∴的长度即是点B到的距离；故②正确； ③∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④∵， ∴． ∵，，， ∴，． ∵， ∴．故④正确． 故选：D． 22．如图，在中，，，点D为中点，在边上取一点E，连接，过点D作交边于点F，连接．下列结论正确的个数是（     ） ①；② 四边形的面积等于面积的一半；③；④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识．由，，得，，则，而，即可证明，得，可判断①正确；由，可推导出，可判断②正确；因为，所以，可判断③正确；由，，可推导出，而，则，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，为的中点， ，， ， ， ， ，， ， ， ，故①正确； ，故②正确； ， ， ， ，故③正确； ，， ， ， ， ，故④错误， 故选：B． 23．如图，中，，，D、E为上两点，且，F为外一点，且，，则下列结论：①；②垂直但不平分；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定定理以及等腰直角直角三角形的性质，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，难度较大． 根据等腰直角三角形的性质得到，证得，推出，根据全等三角形的性质即可得到，故①符合题意；根据等腰三角形的性质即可得到垂直平分，故②不符合题意；由是等腰直角三角形，得到，根据勾股定理即可得到，故③符合题意；连接，根据垂直平分，得到，根据勾股定理和等量代换即可得到，故④符合题意． 【详解】解：∵，， ∴， ∵ ， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和， ， ∴， ∴，故①符合题意； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 根据等腰三角形的三线合一，得垂直平分，故②不符合题意； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，故③是符合题意； 连接，如图所示： ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在中，， 则， 故④是符合题意的． 故选：C 24．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④．其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质的应用、勾股定理的证明、平行线的性质、完全平方公式、梯形和三角形的面积等知识，证明三角形全等以及发现图形中的边角关系是解答的关键．根据全等三角形的判定可判断①正确；再根据全等三角形的性质和平角定义可判断②正确；根据梯形的面积公式可判断③正确；根据可判断④正确，综合即可作出选择． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，，，， ∴四边形的面积是，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故④正确， 综上，正确的结论有4个， 故选：C． 25．数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是（    ）地 城 类型04 勾股定理相关最值问题 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据题意可得，可看作两直角边分别为和1的的斜边长，可看作两直角边分别是和2的的斜边长，然后根据两点之间线段最短得到当与共线时，为最小，即的长，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】如图所示， 可看作两直角边分别为和1的的斜边长， 可看作两直角边分别是和2的的斜边长． ∴求的最小值即求的最小值， 当与共线时，为最小，即的长． 连接， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值是5． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，动点问题，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答． 26．如图，已知在等边中，，，若点在线段上运动，当有最小值时，最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作，根据等边三角形的性质即可得到，结合点到直线的距离垂线段最短即可得到过B作交于一点即为最小距离点． 【详解】解：过作， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵到直线的距离垂线段最短， ∴过B作交于一点即为最小距离点，最短距离为， ∵是等边三角形，，， ∴， 故选：D    【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，直角三角形角所对直角边等于斜边一半，解题的关键是作出图形找到最小距离点． 27．如图，在中，，．若点在边上移动，则的最小值是（    ） A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.8 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、垂线段最短、勾股定理以及三角形的面积，作于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出，根据垂线段最短可知：当时，最小，再利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：作于点D，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵当时，最小， ∴， ∴， 解得， 即的最小值是4.8． 故选：D． 28．如图，在中，点分别为边上的两动点，，若，，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，两点之间相等最短，勾股定理等，过点作，并使得，过点作的延长线于点，连接，可证，可得，即得，即得到的最小值为线段的长，由为等腰直角三角形可得，得到，最后利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键 【详解】解：如图，过点作，并使得，过点作的延长线于点，连接，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为线段的长， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 29．如图，为等边三角形，，，的平分线交于点，为上一动点，连接，以为边在右侧作等边，连接，则周长的最小值（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹．通过分析点E的运动轨迹，点E在射线上运动，作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小． 【详解】提示：如图，连接． ，是等边三角形， ，，， ， ， ， 平分， ，，， ， 点在射线上运动，且． 作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，即有， ． 当三点共线时，有最小值， 此时的值最小，最小为， 即周长有最小值，最小值为． 根据对称性可知， ． ， 是等边三角形， ． ， ， ， 周长的最小值为， 故选：B． 30．如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，则的最小值为（   ） A．7 B．7.2 C．8.2 D．8.6 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理的逆定理，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，先利用勾股定理的逆定理证明△是直角三角形，从而可得，再根据垂直定义可得，从而可得四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得，再根据垂线段最短可得：当时，有最小值，最后根据面积法进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ，， ， △是直角三角形， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，有最小值，即有最小值， △的面积， ， ， 解得：． 的最小值为7.2， 故选：B． 31．如图，在中，，是的角平分线，点E是上任意一点，若，，则的最小值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线性质，勾股定理，关键是掌握垂线段最短，勾股定理求出，当时，的值最小，然后根据角平分线的性质即可得到结果． 【详解】在中， ∵，， ∴， 当时，的值最小， ∵是的平分线，， ∴． ∴的最小值为6． 故选：D． 32．如图，在与中，，点D在直线上运动，则的最小值（   ）． A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，配方法处理二次函数最值问题，得到的表达式是解题的关键． 过作交于，可证，得到，再设，利用勾股定理得到，结合二次函数最值及二次根式开方即可求解． 【详解】过作交于， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 根据题意，易知在右侧时，取得最小值，设， 则，， ， ， 当时，取得最小值，最小值为． 故选：B． 33．如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该图形是由四个全等的直角三角形（阴影部分）与中间的空白部分组成．若正方形的边长为5，五边形的面积是36，则图中空白部分的面积是 ．地 城 类型05 勾股定理与阴影部分面积 【答案】14 【分析】本题考查了全等三角形的性质，正确表示出直角三角形的面积.根据题意列式计算即可得到结论． 【详解】解：∵正方形的边长为5， ∴正方形的面积， ∴两个全等的直角三角形的面积=五边形的面积-正方形的面积， ∴图中空白部分的面积=正方形的面积-两个全等的直角三角形的面积， 故答案为：． 34．如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出 是解题的关键．由勾股定理得出，再根据已知，得出的值，即可求出答案； 【详解】解：由勾股定理得， ， 即， ∵， ∴， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积， ∴阴影部分的面积为：5． 故答案为：5． 35．如图， 在 中， ， 分别以为边向上作正方形， 已知的面积为6，则图中阴影部分面积之和是 ．    【答案】 【分析】利用勾股定理和正方形的面积公式可得，利用正方形的性质证明和，根据全等三角形的面积相等，从而得出，，再根据三个正方形面积的关系可得出，从而可得阴影面积之和． 【详解】解：如图，设，，，   ∵在中，， ∴， ∵四边形，四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴是直角三角形， 在和中， ， ∴ ∴， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 又∵， ， ， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积之和为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等角的余角相等等知识，运用了等积变换的思想方法．运用等积变换是解题的关键． 36．图①是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理（）．如图②，小明连结和后，得到阴影部分面积为18，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查勾股定理，能够发现阴影部分面积与a，b，c之间的关系是解题的关键． 连接，可得到，结合勾股定理，可得到，再根据阴影部分面积为18，可求出c，从而解决问题． 【详解】解：如图，连接， 由题意和图形可知：，， ∴， ∵阴影部分面积为， ∴， 解得，， ∵c为正数， ∴， ∴． 故答案为：6． 37．勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理以及正方形、长方形的面积进行解答即可． 【详解】解：设的斜边为：，两直角边为：b，c，斜边的正方形面积为：；直角边的正方形面积为：和， 故， 由勾股定理可知， ， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 38．青朱出入图（图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述．将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，正方形和正方形的面积之和为，则图中的阴影部分面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用表示后计算即可． 【详解】解∶如图2， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ， 朱入与朱出的三角形全等， ， ， 两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ， ， 阴影部分面积为 ， ∵，正方形和正方形的面积之和为25， ∴， ， 即阴影部分的面积为8， 故答案为∶8． 39．如图，在中，，，，把折叠，使落在边所在的直线上，且点B的对应点为点，折痕为，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出，是解题关键．利用勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 设， ∵翻折， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴阴影部分面积为． 故答案为：36． 40．如图，在Rt△ABC中，，分别以AB，BC，AC为边向上作正方形，其中阴影部分面积之和为8，则四边形EDAF的面积为 ． 【答案】4 【分析】由勾股定理可得，即，可得，然后证明△DBC≌△FEB，求出即可解决问题． 【详解】解：如图， ∵在Rt△ABC中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴∠ABC＋∠ACB＝90°， ∵∠EBC＝∠EBF＋∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝∠EBF，即∠DCB＝∠FBE， 又∵BC＝EB，∠DBC＝∠E， ∴△DBC≌△FEB（ASA）， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，证明△DBC≌△FEB，求出是解题的关键． 41．中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计，既展现了中国古代数学的辉煌成就，又通过直观图形激发数学学习兴趣．地 城 类型06 弦图相关求解题 【发现】 （1）某兴趣小组从赵爽弦图（图1）中提炼出三角形全等的模型图（图2），由图中可以通过推理得到，进而得到______，______．我们可以把这个数学模型称为“一线三等角”模型； 【类比】 （2）如图3，在中，，点D，A，E都在直线l上，并且．若，，求的长； 【拓展】 （3）如图4，在中，，，于点E，于点D，当，时，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）9；（3）2 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定方法有：、、、、，熟练掌握并灵活运用适当的判定方法是解题关键． （1）根据全等三角形的性质即可得答案； （2）利用外角性质可得出，利用可证明，根据全等三角形的性质得出，，利用线段的和差关系即可得答案； （3）利用角的和差关系得出，利用可证明，根据全等三角形的性质得出，再利用勾股定理可得到的长，然后利用线段的和差关系即可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，． 故答案为：，； （2）∵，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵，， ∴，． ∴； （3）∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 42．课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：． 类比迁移：（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为______． 方法运用：（3）如图3，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，求，，之间的关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）13；（3） 【分析】本题考查勾股定理的几何应用，正方形的特征，解题的关键是能够根据题目的条件，进行推理． （1）用两种方法求出正方形的面积，即可求解； （2）利用正方形的面积减去两个三角形的面积即可求解； （3）根据勾股定理得出，根据正方形的性质分别求出，，，然后代入化简即可． 【详解】解：（1）； ， ； （2），， ， ， 故答案为：13； （3）在中，由勾股定理得： 在正方形中，，， ， 同理， 且， ． 43．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力 ．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全 等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得 到等式 ，化简便得到结论．这里用两种求法来表示同一个量 从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数 学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． (1)请 用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图 形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，  则边上的高为_______； (3)如图4，在中，是边上的高，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) (3) 【分析】本题主要考查了证明勾股定理、勾股定理的应用等知识点，灵活利用面积法证明勾股定理是解题的关键． （1）先表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论； （2）利用割补法求解即可； （3）运用勾股定理在和中求出，据此列出方程求解即可； 【详解】（1）证明：∵，，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：设边上的高为x， ∵， ∴． （3）解：在中，由勾股定理得： ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴，解得：． 44．勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，据不完全统计，勾股定理的证明方法有400多种． (1)请用图1证明勾股定理； (2)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图2所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了勾股定理的几何背景和勾股定理的应用，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键． （1）利用大正方形的面积的不同表示方法进行证明即可； （2）先由“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求得，设，则，再由勾股定理得，可得关于x的方程，解方程再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108， ， 设，则， 在中，， ． 将，代入，可得， 解得， 小正方形的边长，， 风车图案的面积为． 45．阅读材料，解答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五、”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载说明：在中，如果，那么三者之间的数量关系是：___________． (2)对于（1）中这个数量关系，我们给出下面的证明．如图①，定是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．结合图①，将下面的证明过程补充完整： ___________（用含的式子表示） 又______________________． ___________． (3)如图②，把矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．如果，求的长． 【答案】(1) (2)；正方形的面积；四个全等直角三角形的面积正方形的面积；； (3)3 【分析】本题考查的是正方形和矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质，正确理解勾股定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）根据勾股定理解答即可； （2）根据题意、结合图形，根据完全平方公式进行计算即可； （3）根据翻折变换的特点、根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：在中，，，，， 由勾股定理得，， 故答案为：； （2）解： （用含的式子表示） 又正方形的面积四个全等直角三角形的面积正方形的面积， ， （3）解：设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，， 则， 解得，， 则的长为3． 46．如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理． 请根据上述信息，回答下列问题： (1)图②所示的割补过程为：割①补________，割________补⑥，割③补________； (2)将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形的边长为2，大正方形的边长为，试计算其中一个直角三角形的周长． 【答案】(1)④；⑤；② (2) 【分析】本题考查面积法验证勾股定理，完全平方公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由图可知，割①补④，割⑤补⑥，割③补②； （2）设题图③中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，利用图中大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积，列出方程可求，再利用完全平方公式求出，则题目可解． 【详解】（1）解：如图所示，割①补④，割⑤补⑥，割③补②； （2）解：设题图③中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为， 由题意可知中间小正方形的边长为， ∵大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积， ∴， 所以． 由勾股定理，得， ∴． ∵， ∴， 则一个直角三角形的周长． 47．综合与实践． 【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图所示的方式放置，其三边长分别为，，，，显然． （1）请用，，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【方法迁移】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，边上的高为_________． （3）如图，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】（1）；；；；证明见解析 （2） （3） 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在 和中求出，列出方程求解即可； 【详解】（1）证明：由题图，可知， ，． 因为， 所以， 所以， 所以． （2）由题图，可知，． 所以， 解得． （3）解：在中，由勾股定理，得． 由题意，得． 在中，由勾股定理，得． 所以， 解得：． 48．综合与实践 探索：将边长分别为、的正方形纸片叠合在一起，如图1，你能表达出未重叠（阴影）部分的面积吗？ (1)阅读并完成下面填空：方法①：用大正方形的面积减去小正方形的面积可得到阴影部分面积为：______；方法②：将阴影分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为：．由此我们可以得到平方差公式：______．总结：上面验证平方差公式的方法我们称之为面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”． (2)巩固：如图3，如果将小正方形的一边延长，也能验证平方差公式，请完成证明． (3)拓展：如图4，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，证明：． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的几何背景，全等图形，结合图形求得等式是解题的关键． （1）方法①：用大正方形的面积减小正方形的面积可得到阴影部分面积； 方法②：将阴影部分割成2个梯形，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为．由此得到平方差公式； （2）用表示阴影部分面积，进而能验证平方差公式； （3）大正方形由四个全等的直角三角形的面积加上一个小正方形的面积，进而可以证明：． 【详解】（1）方法①：用大正方形的面积减小正方形的面积可得到阴影部分面积为：；   方法②：将阴影部分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为．   由此我们可以得到平方差公式：；   故答案为：；； （2）证明：如图3， 方法①：， 方法②：， ； （3）证明：如图4， 大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为， 方法①：大正方形的边长为，所以， 方法②：， 所以， ． 49．【追本溯源】：人教版八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．地 城 类型07 利用海伦—秦九韶公式求面积 【方法应用】：如图，在中，，，． (1)请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积； (2)除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 【答案】(1)30 (2)有，见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，代数式求值，勾股定理的逆定理． （1）依据题意，直接代入海伦一秦九韶公式求解； （2）依据题意，先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，再用两直角边的积除以2求出面积即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ∴， ∴的面积为30； （2）解：由题意，∵，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 50．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积.此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式． (1)如图，若的三边长依次为，，．请利用以上公式（任选一个），求该三角形的面积； (2)如图，在四边形中，，，，，，求该四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式的运算． （1）利用题干给出的海伦公式即可求解； （2）连接，先利用勾股定理求出，再结合题干的海伦公式计算即可作答． 【详解】（1）解：选择海伦提出的公式， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，如图 ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， 即：， ∴该四边形的面积． 51．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)选用合适的公式计算下列三角形的面积． I．三角形的三边长分别为7，8，9． II．三角形的三边长分别为． (2)如图，在四边形中，，求四边形的面积． 【答案】(1)I．；II． (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算． （1）I．直接代入海伦公式计算即可； II．直接代入秦九韶公式计算即可； （2）连接，先利用勾股定理求出的长度，进而求出的面积，再利用秦九韶公式算出的面积，两者相加即可． 【详解】（1）I．三角形的三边长分别为7，8，9， 假设，根据海伦公式，得． 所以该三角形的面积 II．三角形的三边长分别为， 假设， 根据秦九韶公式，得． 所以该三角形的面积 （2）如图，连接． 在中，， 所以． 在中，假设， 根据秦九韶公式，得． 所以． 所以． 52．秦九韶（1208～1268年），字道古，南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦-秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是，，，记，为三角形的面积，那么． (1)在中，，，请用上面的公式计算的面积． (2)如图1，在中，，，，，垂足为，求的长； (3)如图2，在中，，，，垂足为，的平分线交于点．求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理解直角三角形，角平分线的性质定理，以及等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，熟悉掌握海伦秦九韶公式求三角形的面积． （1）依据题意，了解海伦秦九韶公式，根据具体的数字先计算的值，然后再代入公式，计算三角形的面积即可； （2）依据题意，由海伦秦九韶公式求得的面积，再由的面积求出； （3）根据角平分线的性质的到，在中，，，由海伦秦九韶公式求得的面积．再根据，即可求，根据勾股定理求出． 【详解】（1）解：由题意得，， ． （2）解：由题意，， ． 又，， ； （3）解：如图，过点作，，垂足为，，连接， ∵，， ∴平分， ∴， ∵的平分线交于点，，， ∴， ∴， 在中，，，由海伦—秦九韶公式： 求得， 的面积为：． ∵， ， 即，； 又，，垂足为， ， 在中，由勾股定理得： ． 53．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该如何计算它的面积呢？我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：（秦九韶公式） 古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式： （海伦公式），其中． 秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边长直接求三角形面积的问题，它们虽然形式不同，但完全等价，请使用这两个公式解决下面的问题： (1)如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为____________________； (2)如图，在中，已知，，． ①的面积为____________________； ②作于点D，求的长． 【答案】(1) (2)①84；②9 【分析】本题主要考查了新定义的理解，勾股定理， （1）根据秦九韶公式代入计算即可； （2）①根据海伦公式计算即可； ②根据面积相等求出，然后根据勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）解：由秦九韶公式，得； 故答案为：； （2）解：①根据海伦公式，得， ∴； 故答案为：84． ②根据题意，得， 即， 解得． 在中，根据勾股定理，得． 54．下面是课河某初中数学小组探究用不同方法计算三角形面积的片段，请仔细阅读并完成任务． 试题：在三角形中，，，，求这个三角形的面积． 嘉嘉：过点作于，设，则分别在和中利用勾股定理，最后解关于的方程，最后再求面积． 琪琪：教材中提到了海伦一秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为，我按照这个公式代入求解． 任务： (1)请根据嘉嘉或者琪琪的思路求出三角形面积；（用一种方法即可） (2)的两条角平分线，交于点，求点到边的距离． 【答案】(1)15 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的三条角平分线的交点到三边的距离相等，三角形的面积等知识． （1）根据嘉嘉或者琪琪的思路，分别求解即可； （2）根据的两条角平分线，交于点，所以点到三边的距离相等，设这个距离为，构建方程求解即可． 【详解】（1）解：嘉嘉的思路： 如图，作于点，设， ∵，，， ∴， 解得：或（负值不合题意，舍去）， ∴， ∴， 琪琪的思路： ∵， ∴ ， ∴三角形面积为； （2）解：∵的两条角平分线，交于点， ∴点到三边的距离相等，设这个距离为， ∴， 解得：， ∴点到边的距离为． 55．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c（c为最长边），那么该如何计算它的面积呢？ 我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式： （秦九韶公式）： 古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式： （海伦公式），其中，． 秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边长直接求三角形面积的问题，它们虽然形式不同，但完全等价，请使用这两个公式解决下面的问题： (1)如果一个三角形的三边长依次为，2，，选取合适的公式可以使计算更简便，则这个三角形的面积是______； (2)如图，在中，已知，，． ①则的面积的是______； ②作于点D，则BD的长是______． 【答案】(1) (2)①②9 【分析】本题考查的是三角形面积的计算，算术平方根的含义，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，理解题意，熟练的利用提供的公式计算三角形的面积是解本题的关键． （1）直接把数据代入两个公式进行计算即可； （2）①直接把数据代入两个公式进行计算即可；②先利用已知三角形的面积求解高，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）∵三角形的三边长依次为，2，，且， ∴ ， 故答案为：． （2）①∵，，， ∴ ∴ ． 故答案为：84． ②∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：9． 56．【阅读与应用】如图1已知平面内两点、，过这两点分别做垂直于轴和轴的虚线相交于点，则间的距离为，则，同理间的距离为，则，由勾股定理得：，即：，则平面内任意两点间的距离公式为． (1)如图2，已知点、，试利用两点间的距离公式求、两点间的距离？ (2)课本阅读：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”． 如图3，在（1）的条件下，中，，，，试利用“海伦公式”，求的面积？ (3)如图4，在（2）的条件下．过点作，垂足为，求线段的长？ 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．也考查了阅读理解能力． （1）利用两点间距离公式计算即可． （2）利用阅读材料，先计算出的值，然后根据海伦秦九韶公式计算的面积； （3）利用面积法求的长． 【详解】（1）解：； （2），，， ， 的面积； （3）如图，的面积， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理相关压轴题分类训练 （7种类型56道） 1．已知：如图，是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速运动，动点P的速度是，动点Q的速度是，当动点Q到达点C时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为，解答下列问题：地 城 类型01 勾股定理相关动点问题 (1)当t为何值时，是直角三角形？ (2)是否存在某一时刻t，使线段把分成两部分的面积比为？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，请说明理由． 2．如图，在中，，，，动点P从点A出发，以的速度沿AB向终点B运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿向终点C运动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长； (2)P、Q在运动过程中，是否存在某一时刻，使得是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 3．如图，中，，，，若动点P从点C开始，路径运动，且速度为每秒，设运动时间为秒． (1)动点P运动2秒后，求的周长； (2)当动点P在上运动时，问为何值时，为直角三角形？ (3)另一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动，当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 4．已知，如图，在中，，，．动点M从点A出发，沿向点C运动（到达C点停止），动点N从点B出发，沿向点A运动（到达A点停止），如果动点M以，N以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： (1)图1，当______s时，； (2)如图2，当为等腰三角形时，求t的值； (3)如图1，连接． ①当时，求线段的长； ②在运动过程中，的形状也在不断发生变化，它能否构成直角三角形？如果能，则求出此时t的值，如果不能，请说明理由． 5．如图，在中，，，，动点从点出发，按的路径运动，到点停止运动，且点运动速度为，设出发时间为． (1)______cm； (2)当点运动到平分时，求出动点运动时间的值； (3)点运动过程中，使得，直接写出的值为______； (4)若动点在射线上运动，当为直角三角形时，则的值为______． 6．如图，中，，，，动点从出发沿射线以的速度运动，设运动时间为秒． (1)当_____时，平分的面积； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (3)若点，分别为，上的动点，则的最小值是_____． 7．如图，在中，，，，动点P从点C出发，沿的方向运动，到点C停止运动，且点P运动速度为，设运动时间为． (1)________； (2)连接，当平分时，求t的值； (3)当点P在边上时，若，求t的值； (4)若动点M在射线上运动，当为直角三角形时，直接写出的长． 8．如图，△ABC中，AB=AC=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点．动点P在线段BC上以2厘米/秒的速度向点C运动，同时，动点Q在线段CA上由点C向点A运动，连接DP，PQ．设点P运动的时间为t秒，回答下列问题： （1）当点Q的运动速度为____________厘米/秒时，△BPD和△CPQ全等； （2）若动点P的速度不变，同时动点Q以5厘米/秒的速度出发，两个点运动方向不变，沿△ABC的三边运动． ①请求出两点首次相遇时的t值，并说明此时两点在△ABC的哪一条边上； ②在P、Q两点首次相遇前，能否得到以PQ为底的等腰△APQ？如果能，请直接写出t值；如果不能，请说明理由． 9．如图，小林折叠一张长方形纸片，已知该纸片长，宽，折叠时，小林在边上取一点，将沿直线折叠，使点恰好落在边上的处，则的长是（    ）地 城 类型02 勾股定理相关折叠问题 A．3 B．4 C．5 D．6 10．如图，在长方形纸片中，点M在边上，沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 11．如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（   ） A． B． C． D． 12．在如图所示的三角形纸片中，点，分别在边，上，把沿着折叠，点落在线段上的点处；再把沿折叠，点与点重合．若，，则纸片的面积是（   ） A． B． C． D． 13．如图，已知在中，，，，点 M，N 在 边上，将沿着折叠，使点C的对应点恰好落在边上，将沿着折叠，使点A 的对应点恰好落在的延长线上，则 的值为 （   ） A． B．+ C． D． 14．如图，在中，，将边沿折叠，使点B落在上的点处，再将边沿折叠，使点A落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点N、M，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 15．如图，将一长方形纸片沿折叠，若，，则重叠部分的面积为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 16．如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 17．如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④．地 城 类型03 勾股定理相关综合性问题 正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．如图，，点为边上的两点，且，连结，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．如图，已知，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交于点、．给出以下四个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④，上述结论始终正确的有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．如图，在等腰直角中，，点是斜边的中点，平分交于点，交于点，连接交于点，则下列结论：①；②是的垂直平分线；③是等边三角形；④．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 21．如图，在，中，，，，点C，D，E在同一条直线上，连接，，以下四个结论：①；②的长度即是点B到的距离；③；④．其中结论正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 22．如图，在中，，，点D为中点，在边上取一点E，连接，过点D作交边于点F，连接．下列结论正确的个数是（     ） ①；② 四边形的面积等于面积的一半；③；④ A．4 B．3 C．2 D．1 23．如图，中，，，D、E为上两点，且，F为外一点，且，，则下列结论：①；②垂直但不平分；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④．其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 25．数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是（    ）地 城 类型04 勾股定理相关最值问题 A．4 B．5 C．6 D．7 26．如图，已知在等边中，，，若点在线段上运动，当有最小值时，最小值为（    ）    A． B． C． D． 27．如图，在中，，．若点在边上移动，则的最小值是（    ） A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.8 28．如图，在中，点分别为边上的两动点，，若，，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 29．如图，为等边三角形，，，的平分线交于点，为上一动点，连接，以为边在右侧作等边，连接，则周长的最小值（   ） A．2 B． C． D．4 30．如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，则的最小值为（   ） A．7 B．7.2 C．8.2 D．8.6 31．如图，在中，，是的角平分线，点E是上任意一点，若，，则的最小值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 32．如图，在与中，，点D在直线上运动，则的最小值（   ）． A． B． C．2 D． 33．如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该图形是由四个全等的直角三角形（阴影部分）与中间的空白部分组成．若正方形的边长为5，五边形的面积是36，则图中空白部分的面积是 ．地 城 类型05 勾股定理与阴影部分面积 34．如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为 ． 35．如图， 在 中， ， 分别以为边向上作正方形， 已知的面积为6，则图中阴影部分面积之和是 ．    36．图①是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理（）．如图②，小明连结和后，得到阴影部分面积为18，则的长为 ． 37．勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为 ． 38．青朱出入图（图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述．将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，正方形和正方形的面积之和为，则图中的阴影部分面积为 ． 39．如图，在中，，，，把折叠，使落在边所在的直线上，且点B的对应点为点，折痕为，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ． 40．如图，在Rt△ABC中，，分别以AB，BC，AC为边向上作正方形，其中阴影部分面积之和为8，则四边形EDAF的面积为 ． 41．中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计，既展现了中国古代数学的辉煌成就，又通过直观图形激发数学学习兴趣．地 城 类型06 弦图相关求解题 【发现】 （1）某兴趣小组从赵爽弦图（图1）中提炼出三角形全等的模型图（图2），由图中可以通过推理得到，进而得到______，______．我们可以把这个数学模型称为“一线三等角”模型； 【类比】 （2）如图3，在中，，点D，A，E都在直线l上，并且．若，，求的长； 【拓展】 （3）如图4，在中，，，于点E，于点D，当，时，直接写出的值． 42．课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：． 类比迁移：（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为______． 方法运用：（3）如图3，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，求，，之间的关系． 43．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力 ．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全 等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得 到等式 ，化简便得到结论．这里用两种求法来表示同一个量 从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数 学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． (1)请 用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图 形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，  则边上的高为_______； (3)如图4，在中，是边上的高，，求的长． 44．勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，据不完全统计，勾股定理的证明方法有400多种． (1)请用图1证明勾股定理； (2)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图2所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 45．阅读材料，解答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五、”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载说明：在中，如果，那么三者之间的数量关系是：___________． (2)对于（1）中这个数量关系，我们给出下面的证明．如图①，定是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．结合图①，将下面的证明过程补充完整： ___________（用含的式子表示） 又______________________． ___________． (3)如图②，把矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．如果，求的长． 46．如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理． 请根据上述信息，回答下列问题： (1)图②所示的割补过程为：割①补________，割________补⑥，割③补________； (2)将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形的边长为2，大正方形的边长为，试计算其中一个直角三角形的周长． 47．综合与实践． 【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图所示的方式放置，其三边长分别为，，，，显然． （1）请用，，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【方法迁移】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，边上的高为_________． （3）如图，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 48．综合与实践 探索：将边长分别为、的正方形纸片叠合在一起，如图1，你能表达出未重叠（阴影）部分的面积吗？ (1)阅读并完成下面填空：方法①：用大正方形的面积减去小正方形的面积可得到阴影部分面积为：______；方法②：将阴影分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为：．由此我们可以得到平方差公式：______．总结：上面验证平方差公式的方法我们称之为面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”． (2)巩固：如图3，如果将小正方形的一边延长，也能验证平方差公式，请完成证明． (3)拓展：如图4，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，证明：． 49．【追本溯源】：人教版八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．地 城 类型07 利用海伦—秦九韶公式求面积 【方法应用】：如图，在中，，，． (1)请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积； (2)除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 50．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积.此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式． (1)如图，若的三边长依次为，，．请利用以上公式（任选一个），求该三角形的面积； (2)如图，在四边形中，，，，，，求该四边形的面积． 51．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)选用合适的公式计算下列三角形的面积． I．三角形的三边长分别为7，8，9． II．三角形的三边长分别为． (2)如图，在四边形中，，求四边形的面积． 52．秦九韶（1208～1268年），字道古，南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦-秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是，，，记，为三角形的面积，那么． (1)在中，，，请用上面的公式计算的面积． (2)如图1，在中，，，，，垂足为，求的长； (3)如图2，在中，，，，垂足为，的平分线交于点．求的长． 53．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该如何计算它的面积呢？我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：（秦九韶公式） 古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式： （海伦公式），其中． 秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边长直接求三角形面积的问题，它们虽然形式不同，但完全等价，请使用这两个公式解决下面的问题： (1)如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为____________________； (2)如图，在中，已知，，． ①的面积为____________________； ②作于点D，求的长． 54．下面是课河某初中数学小组探究用不同方法计算三角形面积的片段，请仔细阅读并完成任务． 试题：在三角形中，，，，求这个三角形的面积． 嘉嘉：过点作于，设，则分别在和中利用勾股定理，最后解关于的方程，最后再求面积． 琪琪：教材中提到了海伦一秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为，我按照这个公式代入求解． 任务： (1)请根据嘉嘉或者琪琪的思路求出三角形面积；（用一种方法即可） (2)的两条角平分线，交于点，求点到边的距离． 55．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c（c为最长边），那么该如何计算它的面积呢？ 我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式： （秦九韶公式）： 古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式： （海伦公式），其中，． 秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边长直接求三角形面积的问题，它们虽然形式不同，但完全等价，请使用这两个公式解决下面的问题： (1)如果一个三角形的三边长依次为，2，，选取合适的公式可以使计算更简便，则这个三角形的面积是______； (2)如图，在中，已知，，． ①则的面积的是______； ②作于点D，则BD的长是______． 56．【阅读与应用】如图1已知平面内两点、，过这两点分别做垂直于轴和轴的虚线相交于点，则间的距离为，则，同理间的距离为，则，由勾股定理得：，即：，则平面内任意两点间的距离公式为． (1)如图2，已知点、，试利用两点间的距离公式求、两点间的距离？ (2)课本阅读：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”． 如图3，在（1）的条件下，中，，，，试利用“海伦公式”，求的面积？ (3)如图4，在（2）的条件下．过点作，垂足为，求线段的长？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $