专题01 二次根式相关压轴题分类训练（7种类型56道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级下册

专题01 二次根式相关压轴题分类训练 （7种类型56道） 1．像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简．地 城 类型01 复合二次根式化简 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类、完全平方式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据定义化成完全平方式的形式即可； （2）根据定义化成完全平方式的形式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 2．观察下列等式： 根据上述材料，解决下列问题： (1)化简：= (2)猜想： （，且为整数），并验证你的猜想． (3)计算： 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了化简复合二次根式，分母有理化，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，得，即可作答． （2）模仿题干解题过程，得，即可作答． （3）先根据复合二次根式的性质化简，再进行分母有理化，最后运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3．阅读材料： （一）如果我们能找到两个正整数x，y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：． （二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们称这个过程为分母有理化． 根据阅读材料解决下列问题： (1)化简“和谐二次根式”：① _ ____；②______． (2)求的值 (3)设的小数部分为b，求证： 【答案】(1)①；② (2) (3)见解析 【分析】本题考查二次根式化简、新定义问题，熟练掌握二次根式化简方法和正确理解新的定义是解题的关键． （1）①根据化简“和谐二次根式”，进行化简所求根式即可； ②根据化简“和谐二次根式”，进行化简所求根式即可； （2）观察式子发现，，据此进行分母有理化，化简式子即可； （3）根据“和谐二次根式”的定义，化简，求出b的值，再求出的值，据此证明即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）解：，， 原式 （3）证明：根据“和谐二次根式”的定义得， 由于 则 由于的小数部分为b， 则 、 所以 因此． 4．观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用， （1）将原式化为，再开方即可； （2）将原式化为． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ． 5．综合与探究： 【观察发现】： ． ； ， ． 【初步探索】： （1）化简：__________________． 【深入探究】： （2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得_________，_________． （3）若，且，均为正整数，求的值． 【答案】（1）；（2），；（3）； 【分析】本题主要考查二次根式的化简与应用，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键。． （1）根据题目所给的方法将根号下的数变成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给出的a，b与m，n的关系式，列式算出结果即可； （3）将所给式子两边平方求解即可； 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵，，，均为正整数， ∴， 故答案为：，；   （3）∵， ∴，    ∴， ∴，   ∴． 6．材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　  =    (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，解题关键是掌握二次根式的运算法则，读懂题意，根据材料中的方法化简双重二次根式． （1）根据材料中的方法，得到且；且，即可将配方成，配方成，进而得出答案； （2）将化成，再根据，，可将配方成，即可得出答案； （3）将化成，再根据材料中的方法，化简得，，然后再代入计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：因为且， ， ， 故答案为：； 因为且， ， ， 故答案为：． （2）解： 因为且， ， ， ． （3）解：， 因为且， ， ， 因为且， ， ， ． 7．先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，二次根式的性质及完全平方公式， （1）根据解答过程即可得解， （2）将转化为，再根据解答过程即可得解， （3）将转化为，再根据解答过程即可得解； 先把各题中的无理式变成的形式，进而可得出结论．解题的关键是理解和掌握：二次根式根号内含有根号的式子化简主要是根据完全平方公式的特点将该式子转化为平方的形式． 【详解】（1）解：； （2）； （3） ． 8．阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． （1）仿照例题，根据，即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． （2）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ； ， ； （2）解： ． 9．阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简．地 城 类型02 分母有理化 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点． （1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 10．我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题． (1)化简：________，_________； (2)若，，求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值：． 【答案】(1)， (2)31 (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握分母有理化是解答的关键． （1）利用分母有理化的计算方法求解即可； （2）先利用分母有理化化简x、y，再代值求解即可； （3）利用分母有理化得出的结论化简各项，进而求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：∵， ， ∴，， ∴ ； （3）解：∵ ∴ ． 11．阅读： ； ； (1)归纳：_______，_______（n为正整数）． (2)探索：根据上面的规律，计算下列式子的值： (3)提升：利用上面的规律，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)2112 (3)；理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，二次根式的大小比较，正确进行分母有理化是解题的关键． （1）分别对分母和分子乘以，，再利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，再利用二次根式的混合运算法则计算； （3）先分母有理化，再比较大小即可． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：，； （2）解： ； （3）解：，理由如下： ，， ∵， ∴， ∴． 12．阅读下列解题过程： ； ； ； 解答下列各题 (1)______； (2)观察下面的解题过程，请直接写出式子______． (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)2024 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式，正确的计算是解题的关键． （1）分子分母同时乘以有理化因式即可求解； （2）分子分母同时乘以有理化因式即可求解； （3）根据（2）的规律进行计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： ； 故答案为：． （3）解：∵ ； ＝ ． 13．观察下列式子的化简过程： ； ． (1)按照上述两个式子的化简过程，化简______，______； (2)计算下列算式：； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）把分子分母分别乘以，，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）利用（1）中的方法得到，，然后比较和的大小即可． 本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】（1） ， ， 故答案为：，； （2）原式 ； （3）， 理由如下： ，， 而， ． 14．阅读下面计算过程： 试求： (1)的值为___________． (2)试比较：___________． (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了分母有理化、二次根式的化简求值，弄清分母有理化的方法是解本题的关键． （1）原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果； （2）比较两个根式倒数的大小即可得到答案； （3）原式各项变形后，抵消合并即可得到结果． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）解：， ， ∵， ∴ 故答案为：； （3）解： ； 15．下列是二次根式进行分母有理化的计算过程： ； ； ． (1)请根据题目，化简； (2)从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式分母有理化，涉及平方差公式、二次根式性质及二次根式加减运算等知识，读懂题意，掌握分母有理化的计算步骤是解决问题的关键． （1）由题中二次根式进行分母有理化的计算过程直接求解即可得到答案； （2）由题中二次根式进行分母有理化的计算过程先逐项分母有理化，再消去中间项，最后由二次根式性质化简即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 16．阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 【答案】（1）；（2）2025；（3） 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据所给等式解答即可； （2）根据规律，化简计算即可． （3）根据，得，再求出，然后化简计算即可． 【详解】解：（1） ． 故答案为：； （2） ． （3）∵， ∴且， 解得， 故， 解得． ∴原式． ∵ ∴原式 ． 17．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：地 城 类型03 二次根式相关定义新运算 ，如 ． (1)填空，　 　． (2)若，求x的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据定义得到计算即可． （2）根据定义得到，代入方程计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：3． （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故x的值为． 【点睛】本题考查了新定义运算，分母有理化，解一元一次方程，熟练掌握新定义的运算法则是解题的关键． 18．规定新运算符号“*”：．如：． (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新运算结合二次根式的混合运算计算，即可求解； （2）根据新运算结合二次根式的混合运算计算，即可求解； （3）代入新运算得到关于x的方程，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解：， ∴， 解得：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值以及新定义，根据已知定义正确将原式变形是解题关键． 19．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“◎”如下： ，如． (1)填空：___________． (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据新定义进行运算，即可求得结果； (2)首先根据新定义进行运算，可求得，再解方程即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：3； （2）解：， ， ． 【点睛】本题考查了新定义运算及解一元一次方程，分母有理化，理解新定义运算是解决本题的关键． 20．在数学中，我们经常遇到形如的二次根式，为了简化计算，可以通过“有理化”将其转化为更简单的形式．例如：，这种方法称为“分母有理化”．类似地，我们也可以对分子进行有理化． 问题： (1)将下列根式进行分母有理化，并化简： (2)定义一种新运算“”：当时，；当时， 已知：， ①求的值； ②若，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题考查了新定义运算，分母有理化，平方差公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意给出的方法，将分母有理化即可； （2）①根据新定义运算求出，代入即可求解； ②设，根据平方差公式可求出的值，即得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：根据题意可得： ， ， ∴； ②设， ∵， ∴得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21．（1）定义新运算：对于任意实数，，都有． 例如，．求的值； （2）请你模仿（1），定义一种新运算，使得实数和的运算结果为2021．写出你定义的新运算，并写出计算过程． 【答案】（1）-13；（2）见解析 【分析】（1）新定义的运算法则等于第一个数与这两个数的和积减去1，模仿计算即可； （2）注意到这两个数的积为1，所以再加2020即为2021． 【详解】解：（1）原式 ； （2）定义新运算：对于任意实数，，都有． ． 【点睛】本题考查了实数的运算，（2）问注意到这两个数的积为1是解题的关键． 22．请按要求解答： (1)定义新运算：对于任意实数，，都有．例如：．求的值． (2)请你模仿（1）定义一种新运算，使得实数和的运算结果为2026．写出你定义的新运算，并写出计算过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据新运算的定义，将代入的公式中计算； （2）观察和，乘积为整数，定义新运算时结合其乘积，再通过添加常数项使运算结果为2026． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：示例：对于任意实数，，都有． ． 【点睛】本题考查了新定义运算，二次根式混合运算，掌握根据新运算的规则代入数值计算，以及结合已知数的特征设计新运算是解题的关键． 23．定义两种新运算，规定：，，其中a，b为实数且． (1)求的值； (2)化简． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查新定义运算和二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义列式，合并同类二次根式解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．对于任意的正实数和，我们定义新运算：，如：，求：的值． 【答案】 【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴根据题中的新定义得： ， 即： ． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 25．【观察思考】地 城 类型04 二次根式相关规律性问题 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第个等式即可； ②利用前面规律写出第个等式， （2）根据二次根式的性质证明即可； （3）根据（2）中的等式的规律，结合二次根式的乘法法则计算即可得出答案． 【详解】解：（1）① 故答案为：． ② 故答案为：． （2）证明：等式左边 又， 右边， 等式成立 （3）原式 26．小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 第1个等式； 第2个等式； 第3个等式； 第4个等式； 第5个等式_________（根据规律填空） (2)观察、归纳、得出猜想． 第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数） (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律． 若（a，b均为正整数），则的值为_________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查规律型、数字的变化类、二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．（1）根据题目中的例子并计算可以写出第5个等式；（2）根据（1）中特例及发现规律，可以写出相应的猜想；（3）根据猜想的左边利用分式的通分和二次根式的性质进行化简发现与右边一样即可；（4）根据（2）中的规律对比即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：第n个等式为， 故答案为：； （3）证明： ； （4）解：根据和，得 ， 解得， ∴， 故答案为：． 27．细心观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式： 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______=______=______； (2)利用以上规律计算：… 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）利用题目中的等式反映的规律写出，然后分母有理化； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 28．小石根据学习“数与式“积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)应用运算规律． 若（均为正整数），则的值为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算． （1）观察各个特例可知：等式左边被开方数的被减数等号右边二次根式的系数特例序号，等式左边被开方数的减数等号右边的被开方数，由此规律求出答案即可； （2）按照（1）中的特例找出规律，进行解答即可； （3）根据（2）中找出规律，求出a，b，再代入进行计算即可． 【详解】（1）解：特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：， 故答案为：； （2）解：特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：， ， 特例n：， 故答案为：； （3）解：由可知：， 均为正整数， ，， ， 故答案为：． 29．阅读材料： 小华在学习分式运算时，通过具体运算发现： ，，，… 在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，请将下面的探究过程，补充完整． （1）具体运算： 特例1：； 特例2：； 特例3： （填写一个符合上述运算特征的例子）． （2）发现规律： （n为正整数），并证明此规律成立． （3）应用规律： 如果 的小数部分0.06，那么整数部分为 ． 【答案】（1）；（2）；见解析；（3）15 【分析】本题考查二次根式的混合运算，数字的变化类，掌握二次根式的混合运算的方法以及所列举代数式所呈现的规律是正确解答的关键． （1）由二次根式的运算规律即可得出答案； （2）由二次根式的运算规律即可得出一般性的规律； （3）根据规律计算出结果，再根据结果的小数部分求出的值，再求出结果的整数部分即可． 【详解】解：（1）由二次根式的运算规律可得， ， 故答案为：； （2）由二次根式的运算规律可得， ， 证明：左边 右边， 故答案为：； （3）原式 ， ∵结果的小数部分0.06，即， 解得， 经检验，是该分式方程的解， ∴结果的整数部分为． 故答案为：15． 30．观察下列算式的特征及运算结果，探索规律： ，，，． (1)观察算式规律，计算、 ； ； (2)用含正整数 n 的代数式表示上述算式的规律 ； (3)计算：  ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查二次根式运算中的规律探究： （1）根据题干给定的等式，进行作答即可； （2）根据题干给定的等式，确定相应的规律作答即可； （3）先根据规律化简各式，再进行计算即可． 【详解】（1）解：；； 故答案为：； （2）由题意，可得：或； （3） ． 31．观察下面算式： 第一个算式： 第二个算式： 第三个算式： 第n个算式：……………… (1)根据上述特征，请再写出第五个算式______________ (2)你发现上述等式有什么规律？请用恰当的方式描述这个规律； (3)请你用含n式子表示上述规律，并证明这个规律． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，证明见解析． 【分析】本题考查二次根式的运算以及数字的变化规律，通过观察找到各式子分母分子之间的规律是解题的关键． （1）通过观察所给的式子，直接分析即可求解； （2）通过观察算式的左边和右边的变化量和不变化量可以得出规律； （3）通过观察算式的规律可以直接写出用含n式子表示上述规律，并利用二次根式的计算进行计算证明． 【详解】（1）解：由题意可得第五个算式：； 故答案为：； （2）解：通过观察可以得出规律：等号左边的被开方数都是这个算式的序号大的数减去的差再乘以加上比这个算式的序号大的数的倒数，等号右边是这个算式的序号大的数分之这个算式的序号大的数乘以比这个算式的序号大的数的算术平方根； （3）解：第个等式：， 证明：是正整数， ． 32．【观察思考】 观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 【规律发现】 （1）根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①_____； ②_____； （2）用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：_____； 【规律应用】 （3）根据上述规律计算： ． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （2）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （3）根据，计算即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得： ①， ②， 故答案为：， （2）第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 出第个等式：， 故答案为：； （3） ． 33．我国古代的《洛书》记载了世界上最早的幻方——“九宫格”．地 城 类型05 二次根式相关幻方问题 (1)任务一：在方格中，若要使每一横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则__________，__________； 3 a b 1 2 (2)任务二：在如图的“幻圆”中，若内、外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，求的值． 【答案】(1)，6 (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简、二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）根据在方格中，每一横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，建立方程，解方程即可得； （2）设小圆与竖线相交的空白区域为，根据题意建立等式，化简即可得． 【详解】（1）解：由题意得：，， 解得，， 故答案为：，6． （2）解：设小圆与竖线相交的空白区域为， 由题意得：， ∴， ∴． 34．幻方是一种传统游戏，类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则的值为 ． 5 10 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据幻方规则和二次根式的混合运算分别求得A、B、C、D，然后代值求解即可． 【详解】解：∵方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等， ∴， ， ， ， ∴ ． 故答案为：． 35．我国古代的《洛书》记载了世界最早的幻方--九宫格．如图，若要使每一横、竖、斜对角的3个实数相乘得到相同的结果，则的值为 ． 2 1 3 【答案】2 【分析】本题考查二次根式的乘法运算及幻方的性质，解题的关键是利用“每一横、竖、斜对角的3个数相乘结果相同”这一规则，通过已知行／列的乘积建立等式求解． 先计算出第一行的乘积（即幻方的公共乘积），再结合第一列的乘积等于公共乘积，列方程求解的值． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故答案为：． 36．我国古代的《洛书》记载了世界上最早的幻方——“九宫格”．在如图所示的“九宫格”中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则M代表的实数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程，二次根式的乘除，根据题意列出方程是解题关键． 根据横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果得到关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得：． 故答案为：． 37．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），若满足每一横行、每一竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2是一个未完成的三阶幻方，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律，算术平方根的计算，理解“洛书”的计算方法，找出的值，列式求解的值，代入计算即可求解． 【详解】解：如表所示，设右下角的数字为， ∴， 解得，， ， ∴， ， 解得，， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 故答案为： ． 38．在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图①的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”．若下图也是一个“幻方”，则的值为 ． 4 5 8 【答案】9 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和算术平方根，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“幻方”的定义，可得出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ． 故答案为：9． 39．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表格，利用每行，每列，每条对角线上的三个数之和相等列方程． 由第二行方格的数字，字母，可以得出第二行的数字之和为，然后以此得出可知第三行左边的数字为，第一行中间的数字为，第三行中间数字为，第三行右边数字为，再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得关于m，n方程组，解出即可． 【详解】解：如图， 根据题意，可得： 第二行的数字之和为：， 可知第三行左边的数字为：， 第一行中间的数字为：， 第三行中间数字为：， 第三行右边数字为：， 再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于可得方程组为： ， 解得 ， ， 故答案为：． 40．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．图即洛书，数出图中各处的圆圈和圆点个数，并按照图中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图），在图的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，则的立方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，列出方程组，解方程组求出、的值，再把出、的值代入计算即可． 【详解】解：如下图所示， 设中间小方格中的数是， 则有， 解得：， ， ， 的立方根是． 故选：C． 41．阅读材料，解决问题．地 城 类型06 整数部分与小数部分 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个实数的最大整数，这个实数的小数部分是这个实数与它的整数部分差的绝对值．例如：2.4的整数部分为2，小数部分为0.4，的整数部分为1，小数部分为，的整数部分为，小数部分为．由此我们得到：如果，其中是整数，且，那么，．请解答： (1)的整数部分为______，小数部分为______； (2)如果，其中是整数，且，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)3， (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的加减法、相反数，解题的关键是确定无理数的整数部分． （1）估算出，即可确定整数部分为，根据定义，即可求出小数部分为； （2）估算出，即可得出，即可确定和的值，再代入计算即可； （3）估算出，即可得出，即可确定和的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， 即的整数部分为， 则小数部分为； 故答案为：，． （2）解：， ， ， ，， ． （3）解：， ， ． ，其中是整数，且， ，， ， 的相反数为． 42．阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为．解答下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】(1)3， (2)1 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的加减法则、二次根式的性质． （1）利用算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）估算无理数、的大小，确定a、b的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是3，小数部分是； 故答案为：3，； （2），， ，， ，， ． 43．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如：，即，的整数部分是，小数部分为． (1)如果的整数部分是，的整数部分是，求的立方根； (2)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，已知字母的值求代数式的值，立方根，正确估算无理数是解此题的关键． （1）先估算出，结合的整数部分是，的整数部分是，则，求出，再求出立方根的即可得出答案； （2）先估算出，结合题意得出，又因为，是整数，得，，再代入进行计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∵的整数部分是，的整数部分是， ∴， ∴， ∴的立方根为， 即的立方根为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，，是整数， ∴，， ∴ 44．阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①，即的整数部分为1，小数部分为． ②，即的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为_______，小数部分为_______； (2)设的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 【答案】(1)2， (2)4 【分析】本题主要考查了无理数的整数部分、小数部分、二次根式的混合运算等知识点，掌握求无理数的取值范围是解题的关键． （1）先求出的取值范围，进而求出其整数部分和小数部分即可； （2）先求出的取值范围，进而确定的取值部分，然后确定的整数部分a和小数部分b，然后代入运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为2，小数部分是． （2）解：， ，即， 的整数部分是， 小数部分是． ． 45．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的整数部分是，的小数部分是，求的值； (3)如果的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)3， (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式运算、无理数的估算等知识点，正确进行无理数的估算是解题的关键， （1）根据无理数的估算解答即可； （2）根据无理数的估算求出、，计算即可； （3）根据无理数的估算求出、，代入所求代数式，再进行分母有理化即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：， ， 的整数部分为， ， ， 的小数部分是， ； （3）解：， ， ， 的整数部分是，小数部分是， ． 46．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： (1)的小数部分是 ． (2)若a是的整数部分，b是的小数部分．求的值． (3)已知x是的整数部分，y是的小数部分，求的立方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了平方根，算术平方根以及估算无理数的大小，解题的关键是理解平方根，算术平方根的定义，确定，，，y的值． （）根据算术平方根的定义估算无理数； （）根据算术平方根的定义估算无理数和，进而确定，的值，代入求值即可； （）估算、的值，确定，的值，代入求值后，即可求出立方根即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为：， ∴的小数部分为：， 故答案为：； （2）∵，即， ∴的整数部分， 又∵， ∴的整数部分为，的小数部分， ∴； （3）∵， ∴， ∵x是的整数部分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵y是的小数部分， ∴， ∴， ∴27的立方根为3， ∴的立方根为3． 47．我们把无限不循环小数叫作无理数，因为是无理数，所以它的小数部分我们不可能全部写出来，但我们可以这样表示它的小数部分：因为，所以的整数部分是1，这个数减去其整数部分得到的差就是小数部分，即的小数部分是． (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)若记的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 【答案】(1)2， (2)4 【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分及其相关计算，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）根据夹逼法可得，进而可确定的整数部分和小数部分； （2）由可确定的整数部分为a，小数部分为b，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分是； 故答案为：2，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 48．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)若的整数部分是，小数部分为，，求的值． 【答案】(1)4， (2)3或13 【分析】本题考查二次根式估值，绝对值计算，二次根式混合计算等． （1）根据题意可得，继而得到本题答案； （2）由题意得，，，再将字母的值代入式子的值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是4， ∴小数部分是， 故答案为：4，； （2）解：， 的整数部分，小数部分，， 当时，， ， ， ， ； 当时，， ， ， ， ； ∴或13． 49．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：地 城 类型07 二次根式与不等式综合 ， ， 【类比归纳】 (1)仿照小明的方法将化成另一个式子的平方：________； (2)请运用小明的方法化简：． (3)将式子化成平方的形式：________． (4)已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”．请利用均值不等式解决：当x为何值时，有最小值？求出该最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)当 时，最小值为 【分析】本题为新定义问题，考查了完全平方公式的变形，分式的计算，二次根式的化简等知识，难度较大． （1）把变形为即可求解； （2）把变形为即可求解； （3）把变形为即可求解； （4）把变形为，进而变形为，根据“均值不等式”结论得到，进而得到，从而得到当且仅当即时，等号成立，原式的最小值为3． 【详解】（1）解：． 故答案为： （2）解：； （3）解：； 故答案为： （4）解：条件可得， ∴ ∵， ∴ ， ∴当且仅当即时，等号成立， ∴原式的最小值为3． 50．阅读材料： 已知a,b为非负实数， ，当且仅当时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令a=x, ，则由，得 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ; (2)用篱笆围一个面积为100的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最值？最值为多少？ (4)若x为非零实数，代数式的值为m，则m范围为 【答案】(1)， (2)当长和宽都为10米时，篱笆最短，最短长度为40米 (3)当时，代数式取最大值，最大值为 (4)或 【分析】本题主要考察了“均值不等式”这一知识点，即对于非负实数、，有，当且仅当时等号成立．解题的关键在于根据题目所给代数式的形式，合理地将其转化为符合“均值不等式”的结构，通过设a、b的值，利用不等式求出最值，并确定取最值时自变量的值． (1)类比得出, 当时，即时，代数式取到最小值， 最小值为：; (2)设矩形的长为, 宽为, 可得出，当时取等号，进而求得及最值； (3)，由，时，取等号，进一步求最值； (4)，分情况讨论：当时，当时，求的取值范围． 【详解】（1）解：， ，当时，即时，代数式取得最小值，最小值为：． 故答案为： （2）设矩形的长为, 宽为， ， 当时，即时，的最小值为20， 当长和宽均为10时，篱笆的长度最短，最短为； （3）， ，时，取等号，的最小值为6， ∴的最大值为． （4） 当时，，，即时，取等号， , 当时，，，，即时，取等号， ，， 综上，的范围为或． 故答案为：或． 51．【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【答案】（1），2；（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；（3）四边形面积的最小值为 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用． （1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可；当时，，，则也可以按公式（当且仅当时取等号）来计算； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米，则，可得，推出篱笆长，利用题中结论解决问题即可 （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】解：（1）∵，且， ∴； 当时，， 故答案为：，2； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米， 则， ， 这个篱笆长米， 根据材料可得，，当时，的值最小， 或（舍弃）， ， ∴当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米． （3）设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 52．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：左边右边． 阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，用代替a，b得，，即，我们把(*)式称为基本不等式．例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 2． 阅读材料三：正实数a，b满足，求的最小值? 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号． 请同学们根据以上所学的知识解决下列问题． (1)若，求的最小值________；若，求的最小值________． (2)已知且，求的最小值是? (3)，且，不等式恒成立，求的范围? (4)已知且，求的最小值? 【答案】(1)4，6 (2) (3) (4)4 【分析】本题考查了不等式的性质，完全平方公式的应用，利用二次根式的性质进行化简．理解题意，熟练掌握不等式的性质，完全平方公式的应用，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）时，，根据，计算求解，然后作答即可；当时，，根据，计算求解，然后作答即可； （2）同理（1），根据 ，计算求解，然后作答即可； （3）同理（1），根据 ，计算求解即可； （4）由，可得，根据求解，进而可得，然后作答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为4； 当时，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为6； 故答案为：4，6； （2）解：∵且， ∴，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为； （3）解：∵，且，则，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为， ∵恒成立， ∴的最小值，即； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当且仅当，即时，有最小值，最小值为4． 53．阅读材料: 若两个正数，，则有下面不等式，当时取等号，我们把叫作正数，的算术平均数，把叫作正数，的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．不等式可以变形为不等式，当且仅当时取到等号．(，均为正数) 例：已知x>0，求的最小值． 解：由得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为．根据上面材料回答下列问题： (1)______；______；(用“”“”“”填空) (2)当，则的最小值为，此时_____； (3)当，则的最小值为______； (4)用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？ 【答案】(1)， (2)， (3) (4)这个长方形的长、宽为时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解题意是解题的关键； （1）根据，当且仅当时取到等号．(，均为正数)即可求解． （2）根据例题的方法，，即可求解． （3）将看成整理，即，进而根据，代入即可求解； （4）设这个矩形的长为x米，根据宽=面积÷长，可得宽为米，则所用的篱笆长等于长加宽的和乘以2，根据阅读材料即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵ ∴ 故答案为：，． （2）解：∵， ∴ ∴当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：，． （3）解：∵ ∴ 设 ∴ 当时，即时，有最小值，最小值为 故答案为：． （4）设这个矩形的长为，所用的篱笆总长为， ∵围一个面积为的长方形花园， ∴宽为， ∴ ∵， ∴， 当且仅当时，即时有最小值，最小值为40． 时，=10， ∴当这个长方形的长、宽为时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是． 54．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： 【类比归纳】 (1)请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方； (2)请运用小明的方法化简；． (3)将式子化成平方的形式：______ (4)小明通过（3）的结论发现，所以，这就是“均值不等式”，当且仅当时，等号成立．请利用均值不等式求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，完全平方公式，能正确将式子写成完全平方式是解决此题的关键． （1）根据所给的方法进行求解即可； （2）利用所给的方法进行求解即可； （3）利用所给的方法进行求解即可； （4）利用“均值不等式”进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 故答案为：； （4）解：， ， 时，有最小值，即有最小值． 55．请认真阅读下面的材料： 小李在学习了不等式的知识后发现如下正确结论： 若，则；若，则；若，则． 下面是小李利用这个结论解决问题的过程： 试比较与的大小 解：∵， ∴． 请尝试运用材料中的解题方法解决下面的问题： (1)填空 （填“”“”或“”）； (2)比较与的大小； (3)试比较与的大小（写出相应的解答过程）． 【答案】(1)> (2) (3)见解析 【分析】本题考查了数的大小比较．熟练掌握作差法比较实数的大小，是解题的关键． （1）根据阅读学习的基本方法，作差，计算解答即可． （2）根据阅读学习的基本方法，作差，计算解答即可． （3）根据阅读学习的基本方法，作差，分类计算解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：>． （2）解：∵ ， ∴； （3）解：∵ ∴当时，； 当时，； 当时，． 56．代数推理是指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 请先完成第题的填空，填写推理的依据，再完成第题的证明． (1)已知实数x，y满足，求证：． 证明：， ①______， ②______， ， ，， ，， ， ， ． (2)在三边长分别为a，b，的三角形中，利用的结论，求证： 【答案】(1)①不等式的基本性质1，②平方差公式 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、非负数的性质、三角形的三边关系、算术平方根、实数大小比较、不等式的性质，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． （1）依据题意，根据不等式的性质，及平方差公式即可判断得解； （2）依据题意，根据所给信息即可计算判断得解． 【详解】（1）解：由题意，， （①不等式的基本性质1）， （②平方差公式）， 故答案为：①不等式的基本性质1，②平方差公式． （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式相关压轴题分类训练 （7种类型56道） 1．像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简．地 城 类型01 复合二次根式化简 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 2．观察下列等式： 根据上述材料，解决下列问题： (1)化简：= (2)猜想： （，且为整数），并验证你的猜想． (3)计算： 3．阅读材料： （一）如果我们能找到两个正整数x，y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：． （二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们称这个过程为分母有理化． 根据阅读材料解决下列问题： (1)化简“和谐二次根式”：① _ ____；②______． (2)求的值 (3)设的小数部分为b，求证： 4．观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． 5．综合与探究： 【观察发现】： ． ； ， ． 【初步探索】： （1）化简：__________________． 【深入探究】： （2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得_________，_________． （3）若，且，均为正整数，求的值． 6．材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　  =    (2)化简：； (3)计算：． 7．先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 8．阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 9．阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简．地 城 类型02 分母有理化 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 10．我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题． (1)化简：________，_________； (2)若，，求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值：． 11．阅读： ； ； (1)归纳：_______，_______（n为正整数）． (2)探索：根据上面的规律，计算下列式子的值： (3)提升：利用上面的规律，比较与的大小，并说明理由． 12．阅读下列解题过程： ； ； ； 解答下列各题 (1)______； (2)观察下面的解题过程，请直接写出式子______． (3)利用这一规律计算：． 13．观察下列式子的化简过程： ； ． (1)按照上述两个式子的化简过程，化简______，______； (2)计算下列算式：； (3)比较与的大小，并说明理由． 14．阅读下面计算过程： 试求： (1)的值为___________． (2)试比较：___________． (3)求的值． 15．下列是二次根式进行分母有理化的计算过程： ； ； ． (1)请根据题目，化简； (2)从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：． 16．阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 17．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：地 城 类型03 二次根式相关定义新运算 ，如 ． (1)填空，　 　． (2)若，求x的值． 18．规定新运算符号“*”：．如：． (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 19．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“◎”如下： ，如． (1)填空：___________． (2)若，求x的值． 20．在数学中，我们经常遇到形如的二次根式，为了简化计算，可以通过“有理化”将其转化为更简单的形式．例如：，这种方法称为“分母有理化”．类似地，我们也可以对分子进行有理化． 问题： (1)将下列根式进行分母有理化，并化简： (2)定义一种新运算“”：当时，；当时， 已知：， ①求的值； ②若，求的值． 21．（1）定义新运算：对于任意实数，，都有． 例如，．求的值； （2）请你模仿（1），定义一种新运算，使得实数和的运算结果为2021．写出你定义的新运算，并写出计算过程． 22．请按要求解答： (1)定义新运算：对于任意实数，，都有．例如：．求的值． (2)请你模仿（1）定义一种新运算，使得实数和的运算结果为2026．写出你定义的新运算，并写出计算过程． 23．定义两种新运算，规定：，，其中a，b为实数且． (1)求的值； (2)化简． 24．对于任意的正实数和，我们定义新运算：，如：，求：的值． 25．【观察思考】地 城 类型04 二次根式相关规律性问题 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 26．小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 第1个等式； 第2个等式； 第3个等式； 第4个等式； 第5个等式_________（根据规律填空） (2)观察、归纳、得出猜想． 第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数） (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律． 若（a，b均为正整数），则的值为_________． 27．细心观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式： 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______=______=______； (2)利用以上规律计算：… 28．小石根据学习“数与式“积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)应用运算规律． 若（均为正整数），则的值为______． 29．阅读材料： 小华在学习分式运算时，通过具体运算发现： ，，，… 在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，请将下面的探究过程，补充完整． （1）具体运算： 特例1：； 特例2：； 特例3： （填写一个符合上述运算特征的例子）． （2）发现规律： （n为正整数），并证明此规律成立． （3）应用规律： 如果 的小数部分0.06，那么整数部分为 ． 30．观察下列算式的特征及运算结果，探索规律： ，，，． (1)观察算式规律，计算、 ； ； (2)用含正整数 n 的代数式表示上述算式的规律 ； (3)计算：  ． 31．观察下面算式： 第一个算式： 第二个算式： 第三个算式： 第n个算式：……………… (1)根据上述特征，请再写出第五个算式______________ (2)你发现上述等式有什么规律？请用恰当的方式描述这个规律； (3)请你用含n式子表示上述规律，并证明这个规律． 32．【观察思考】 观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 【规律发现】 （1）根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①_____； ②_____； （2）用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：_____； 【规律应用】 （3）根据上述规律计算： ． 33．我国古代的《洛书》记载了世界上最早的幻方——“九宫格”．地 城 类型05 二次根式相关幻方问题 (1)任务一：在方格中，若要使每一横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则__________，__________； 3 a b 1 2 (2)任务二：在如图的“幻圆”中，若内、外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，求的值． 34．幻方是一种传统游戏，类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则的值为 ． 5 10 35．我国古代的《洛书》记载了世界最早的幻方--九宫格．如图，若要使每一横、竖、斜对角的3个实数相乘得到相同的结果，则的值为 ． 2 1 3 36．我国古代的《洛书》记载了世界上最早的幻方——“九宫格”．在如图所示的“九宫格”中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则M代表的实数为 ． 37．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），若满足每一横行、每一竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2是一个未完成的三阶幻方，则 ． 38．在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图①的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”．若下图也是一个“幻方”，则的值为 ． 4 5 8 39．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 40．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．图即洛书，数出图中各处的圆圈和圆点个数，并按照图中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图），在图的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，则的立方根是（   ） A． B． C． D． 41．阅读材料，解决问题．地 城 类型06 整数部分与小数部分 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个实数的最大整数，这个实数的小数部分是这个实数与它的整数部分差的绝对值．例如：2.4的整数部分为2，小数部分为0.4，的整数部分为1，小数部分为，的整数部分为，小数部分为．由此我们得到：如果，其中是整数，且，那么，．请解答： (1)的整数部分为______，小数部分为______； (2)如果，其中是整数，且，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 42．阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为．解答下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 43．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如：，即，的整数部分是，小数部分为． (1)如果的整数部分是，的整数部分是，求的立方根； (2)已知，其中是整数，且，求的值． 44．阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①，即的整数部分为1，小数部分为． ②，即的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为_______，小数部分为_______； (2)设的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 45．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的整数部分是，的小数部分是，求的值； (3)如果的整数部分是，小数部分是，求的值． 46．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： (1)的小数部分是 ． (2)若a是的整数部分，b是的小数部分．求的值． (3)已知x是的整数部分，y是的小数部分，求的立方根． 47．我们把无限不循环小数叫作无理数，因为是无理数，所以它的小数部分我们不可能全部写出来，但我们可以这样表示它的小数部分：因为，所以的整数部分是1，这个数减去其整数部分得到的差就是小数部分，即的小数部分是． (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)若记的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 48．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)若的整数部分是，小数部分为，，求的值． 49．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：地 城 类型07 二次根式与不等式综合 ， ， 【类比归纳】 (1)仿照小明的方法将化成另一个式子的平方：________； (2)请运用小明的方法化简：． (3)将式子化成平方的形式：________． (4)已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”．请利用均值不等式解决：当x为何值时，有最小值？求出该最小值． 50．阅读材料： 已知a,b为非负实数， ，当且仅当时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令a=x, ，则由，得 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ; (2)用篱笆围一个面积为100的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最值？最值为多少？ (4)若x为非零实数，代数式的值为m，则m范围为 51．【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 52．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：左边右边． 阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，用代替a，b得，，即，我们把(*)式称为基本不等式．例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 2． 阅读材料三：正实数a，b满足，求的最小值? 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号． 请同学们根据以上所学的知识解决下列问题． (1)若，求的最小值________；若，求的最小值________． (2)已知且，求的最小值是? (3)，且，不等式恒成立，求的范围? (4)已知且，求的最小值? 53．阅读材料: 若两个正数，，则有下面不等式，当时取等号，我们把叫作正数，的算术平均数，把叫作正数，的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．不等式可以变形为不等式，当且仅当时取到等号．(，均为正数) 例：已知x>0，求的最小值． 解：由得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为．根据上面材料回答下列问题： (1)______；______；(用“”“”“”填空) (2)当，则的最小值为，此时_____； (3)当，则的最小值为______； (4)用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？ 54．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： 【类比归纳】 (1)请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方； (2)请运用小明的方法化简；． (3)将式子化成平方的形式：______ (4)小明通过（3）的结论发现，所以，这就是“均值不等式”，当且仅当时，等号成立．请利用均值不等式求的最小值． 55．请认真阅读下面的材料： 小李在学习了不等式的知识后发现如下正确结论： 若，则；若，则；若，则． 下面是小李利用这个结论解决问题的过程： 试比较与的大小 解：∵， ∴． 请尝试运用材料中的解题方法解决下面的问题： (1)填空 （填“”“”或“”）； (2)比较与的大小； (3)试比较与的大小（写出相应的解答过程）． 56．代数推理是指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 请先完成第题的填空，填写推理的依据，再完成第题的证明． (1)已知实数x，y满足，求证：． 证明：， ①______， ②______， ， ，， ，， ， ， ． (2)在三边长分别为a，b，的三角形中，利用的结论，求证： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $