专题6.4 空间向量基本定理（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第二册

本讲义聚焦空间向量基本定理及其推论，衔接平面向量基本定理，通过基底（含正交基底）构建空间向量分解与表示体系，为空间几何位置关系、度量问题提供工具支撑。 以“特殊到一般”思想引导定理探究，发展直观想象与逻辑推理素养，题型涵盖基底辨析、向量表示到几何证明，结合几何体图形，课中助力教师系统教学，课后通过变式练习帮助学生巩固提升。

专题6.4 空间向量基本定理 教学目标 1.掌握空间向量基本定理及其推论； 2.会根据需要选择适当的基底来表示任一空间向量； 3.借助几何体，经历从特殊到一般的思想，抽象概括出空间向量基本定理并寻求证明的过程，体现了化归与转化的思想； 4.通过对空间向量基本定理及其推论的形成过程的探究，提升直观想象素养，对定理证明过程的探究，将平面向量数量积的坐标形式推广到空间向量数量积的坐标形式，发展了数学逻辑推理素养． 教学重难点 1.重点 空间向量基本定理的灵活应用； 2.难点 空间向量基本定理及其推论的形成过程. 知识点01 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．基底 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示． 3. 推论： 设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得＝x＋y＋z. 【即学即练】 1．若构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量基底的概念进行判断. 【解析】对A：因为，所以向量共面，所以不能构成空间向量的基底； 对B：因为，所以向量共面，所以不能构成空间向量的基底； 对C：因为，所以共面，所以不能构成空间向量的基底； 对D：因为不存在，使得，所以不共面，所以可以作为空间的另一组基底. 故选：D. 2．如图，平行六面体中，AC与BD交于点M，设，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的加法、减法法则化简可得结果. 【解析】. 故选：D. 3.如图，已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且分所成的定比为，现用基向量、、表示向量，设，则、、的值分别为（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】推导出，由题意可得，利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式，即可得解. 【解析】因为为的中点， 则， 由题意可得，则， 所以，，则， 故，，. 故选：D. 知识点02 空间向量的正交分解 1．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【即学即练】 1．设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，则向量在基底下的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意以基底表示向量即可得出结论. 【解析】由向量在基底下的坐标为可得， 又， 所以， 即可得向量在基底下的坐标是. 故选：A 2．已知为单位正交基底，且，则向量的坐标是 . 【答案】 【分析】由题意则可计算出，则可写出答案. 【解析】由得 ，则. 故答案为： 题型01 空间向量基底概念及辨析 【典例1】（多选）已知，，是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【分析】根据空间向量的基本定理若满足，则不能构成一组空间基底，逐项判断可得答案. 【解析】对于A，设，得，则无解，所以，，不共面，可构成一个基底，故A正确； 对于B，设，则，解得， 即，，共面，不能构成一个基底，故B错误； 对于C，，则，解得， 即，，共面，不能构成一个基底，故C错误； 对于D，设，得，但无解，所以，，不共面，可构成一个基底，故D正确. 故选：AD. 【变式1】已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答. 【解析】假定向量，，共面，则存在不全为0的实数， 使得，显然不成立， 所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确； 由于，则，，共面，故B错误； 由于，则，，共面，故C错误； 由于，则，，共面，故D错误； 故选：A. 【变式2】已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】由空间向量的基底的定义建立方程，可得答案. 【解析】对于A，设，无解， 所以，，不共面，能构成空间的一组基底，故A正确； 对于B，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：A. 【变式3】已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量基本定理依次判断各选项中的向量是否与向量，共面即可，不共面的则可作为平面的一个基底. 【解析】对于A，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即A错误； 对于B，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即B错误； 对于C，不妨设， 则有，方程组无解，即与向量，不共面，故可构成基底，故C正确； 对于D，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即D错误. 故选：C. 题型02 利用空间基底表示向量 【典例1】如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，利用空间向量基本定理可得答案. 【分析】连接． 故选：B. 用基底表示向量的步骤： (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 【变式1】如图所示，在三棱柱中，为的中点.若，则可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的几何体，结合空间向量基本定理，利用空间向量的线性运算求出. 【解析】在三棱柱中，为的中点， . 故选：B. 【变式2】如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形重心的性质，结合空间向量线性运算的几何意义、空间向量基本定理进行求解即可. 【解析】连接，并延长交于点，连接， 则为的中点，且， . 故选：C. 【变式3】如图，已知、分别是四面体的棱、的中点，点在线段上，且，设向量，，，则 （用表示）.    【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算结合基底向量运算求解即可. 【解析】因为、分别是棱、的中点，且， 所以 . 故答案为：. 题型03 利用空间向量基本定理求参数 【典例1】如图，在正方体中，若点是侧面的中心，且，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算、结合空间向量基本定理计算得解. 【解析】在正方体中， ， 而， 因此，，， 所以. 故选：A. 【变式1】在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（　　）    A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】先依据空间向量基本定理利用向量、、表示向量，进而求得、、的值，即可求得的值. 【解析】由 又，则，所以， 故选：C． 【变式2】如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量基本定理，用表示，由，，，四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，列方程求其解可得结论. 【解析】由题意可知， 因为，，，四点共面， 所以存在实数，使， 所以， 所以 ， 所以，所以． 故选：B. 【变式3】如图，在四面体OABC中，，，，点在OA上，且，点为BC的中点，设，则 . 【答案】1 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【解析】在四面体OABC中， ，而， 所以，. 故答案为：1. 题型04 空间向量的正交分解 【典例1】设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是__________ 【答案】 【分析】根据题意将向量用表示出来即可. 【解析】因为，向量在基底下的坐标为， 所以 ， 所以向量在基底下的坐标是. 故答案为：. 【变式1】设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得出，再结合，，，可得出关于基底的表达式，即可得解. 【解析】因为向量在基底下的坐标为，即， 又因为，，， 则， 因此，向量在基底下的坐标是. 故选：A. 【变式2】已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据空间向量基本定理建立关于的方程，解之即可得解. 【解析】解：设 ， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为. 故选：A. 题型05 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题 【典例1】如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，. (1)求证：A，，，四点共面； (2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析;(2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理即可证明： （2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解. 【解析】（1）证明： ， ，，，四点共面. （2） ， ，，， . 利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： 平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； 注：用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【变式1】已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 ． 【答案】4 【分析】先得到，进一步有，结合四点共面的充要条件即可求解. 【解析】如图所示：    设中点为，连接，因为点G为重心， 所以点在线段上面， 因为 ， 所以， 所以， 若M，D，E，F四点共面，则，解得， 故答案为：4. 【变式2】如图，在平行六面体中，点在对角线上，且，点在对角线上，且．求证：、、三点共线．    【答案】证明见解析 【分析】取空间的一个基底，结合图形，利用空间向量的线性运算推理作答. 【解析】在平行六面体中，令，，， 则，，， 因此， 又，， 因此， 于是，即有，而与有公共点， 所以、、三点共线． 【变式3】已知为空间的一个基底，且，． (1)判断、、、四点是否共面； (2)能否以作为空间的一个基底？若能，试以这一组基底表示；若不能，请说明理由． 【答案】(1)、、、四点不共面，理由见解析； (2)为空间的一组基底， ，理由见解析. 【分析】（1）利用反证法可判断不共面，故得四点不共面； （2）利用反证法可判断为空间的一组基底，利用待定系数法可求的表示形式. 【解析】（1）， 设，则， 因为为空间的一个基底，故，该方程无解， 故不共面，所以、、、四点不共面， （2）设，则， 因为为空间的一个基底，故，无解， 故不共面，故为空间的一组基底. 设，则： ， 因为为空间的一个基底，故， 故，故. 题型06 利用空间向量基本定理解决数量积、夹角问题 【典例1】如图，在平行六面体中，，，， (1)求的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)4; (2) 【分析】（1）根据题意，以为基底，利用线性运算以及数量积求出，可得答案； （2）利用（1）的基底，结合数量积的运算，向量法求异面直线所成角的余弦值． 【解析】（1）在平行六面体中，，， ，， 由得， ， 则，即的长为4. （2），， ，，， ， 设异面直线与所成角为，则. 所以异面直线与所成角的余弦值. 利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： 几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； 注：用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【变式1】如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的基本定理将与用基底表示出来，然后利用数量积的定义求解即可. 【解析】由条件可知，， ， ， ， ，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故选：A. 【变式2】已知正四面体的棱长为1，动点在平面上运动，且满足，则的值为（　　） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】由四点共面推得，再以为基底进行向量运算可得. 【解析】动点在平面上运动，且不共线， 则存在实数，使. 即， 所以. 又， 不共面， 由空间向量基本定理可知，故， 解得.即. 因为四面体正四面体，且棱长为. 所以，. 所以 . 故选：C. 【变式3】在棱长均为1的三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为______________ 【答案】 【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，最后利用夹角公式求异面直线与所成角的余弦值即可． 【解析】如图，设，，，棱长均为1 则，，， ，， ， ， ， ，， 异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：．    【变式3】如图，在平行六面体中，为与的交点，且，，两两夹角均为，且长度相等，设，，. (1)试用，，表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）利用向量的线性运算可求解； （2）求得与可求直线与直线所成角的余弦值. 【解析】（1） （2）根据题意可设设， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 题型07 利用空间向量基本定理证明垂直问题 【典例1】如图，在平行六面体中，， (1)求证：； (2)求的长. 【答案】(1)证明见解析；(2).; 【分析】（1）以为基底向量，，又，计算向量的数量积可证结论； （2）利用向量的模的计算公式可求得的长. 【解析】（1）以为基底向量， 则，又， 所以 ， 所以，所以； （2）由（1）可得， 所以 ， 所以，所以的长为. 【变式1】在平行六面体中，底面是边长为1的正方形， ，.（用基底法） (1)求侧棱的长； (2)若分别为，的中点，求证：． 【答案】(1); (2)证明见解析 【分析】（1）设，把作为一组基底，根据题意可得，结合计算即可得出结果； （2）根据题意可得和，结合向量的数量积计算即可得出结果. 【解析】（1）设，则作为一组基 ， ， ， 解得，所以； （2） ， 所以，则. 【变式2】如图，在三棱柱中，，，，设，，，是的中点.    (1)用、、表示向量； (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1); (2)当时， 【分析】（1）利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式； （2）假设存在点，使得，设，将、用基底表示出来，根据题意可得出，利用空间向量数量积的运算性质求出的值，即可得出结论. 【解析】（1） （2）假设存在点，使得，设， 则， 因为，所以， 即， 所以，， 设，又，， 所以，， 即，解得， 所以当时，. 【变式3】如图所示，在三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上，且. (1)用表示向量； (2)求； (3)求证：. 【答案】(1); (2); (3)证明见解析 【分析】（1）根据向量的线性运算结合空间向量基本定理求解即可； （2）利用数量积的运算律求解模长即可； （3）先利用向量线性运算得 ，然后利用数量积的运算律及定义求得，即可证明. 【解析】（1）； （2） ， 则； （3） ， 所以 ， 所以，即. 题型08 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题 【典例1】已知正四面体的边长为2，点M，N为棱BC，AD的中点，点E，F分别为线段AM，CN上的动点，且满足，则线段EF长度的最小值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，取定空间的基底，利用空间向量的线性运算表示向量，再利用向量数量积的运算律，结合二次函数求出最小值. 【解析】在棱长为2的正四面体中，由点M，N为棱BC，AD的中点，得， 由点E，F分别在线段AM，CN上，，令，则， 所以 ，又， ，， 故 ， 当时，，所以线段EF长度的最小值为. 故答案为：. 利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： 几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 注：用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【变式1】在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合空间向量基本定理把作为基底，然后用基底把表示出来，然后求出其模即可 【解析】如图， , 所以 ， 所以， 所以的长为， 故选：D 【变式2】在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为_________- 【答案】 【分析】根据向量的线性运算，结合模长公式可得，利用共面定理，即可求解得解. 【解析】在平行六面体中，取，，， ，，， ，， 而， 则 ，即， 设，则， 由于与共面， 故存在实数，使得 ， 故，解得，故， 故答案为： 【变式3】如图，平行六面体中，与相交于，设，，. (1)用表示； (2)若该平行六面体所有棱长均为1，且，求． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）结合空间向量基本定理，根据空间向量的线性运算表示所求向量. （2）利用空间向量的数量积求向量的模. 【解析】（1） . （2）由题意：，，， ， 所以. 1．若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过证明ACD选项中的三个向量共面，判断它们错误，利用反证法证明B选项中的三个向量不共面，判断B正确. 【解析】对于A，因为，所以共面， 所以不能构成基底， 对于C，因为， 所以共面，所以不能构成基底，C错误； 对于D，， 所以共面，所以不能构成基底，D错误， 对于B，若共面， 则可设，故， 故共面，与条件矛盾， 所以不共面，即能构成基底，B正确； 故选：B. 2．已知三棱锥，点G是△ABC的重心（三角形三条中线的交点叫三角形的重心）.设，，，那么向量用基底可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的加减法计算法则和数乘计算法则，结合几何关系用表示即可． 【解析】∵ ∴. 故选：B． 3．如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的基本定理及利用向量的加法表示出即可求解． 【解析】由， 得， 所以， 故选：C． 4．如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合空间向量基本定理，根据空间向量线性运算法则计算可得. 【解析】依题意 ， 又，所以，. 故选：C. 5．已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到两两垂直，再根据其长度得到空间的一个单位正交基底. 【解析】因为平面，平面， 所以，． 因为,即两两垂直， 又，，， 所以空间的一个单位正交基底可以为． 故选：B. 6．如图，M是三棱锥的底面的重心．若，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算结合给定条件求解参数，再求值即可. 【解析】是三棱锥的底面的重心， ，由向量加法法则得， ， ， ， 而， ，，，，则，故B正确. 故选：B 7．（多选）设是空间的一个基底，下列选项中正确的是（　　） A．若，，则； B．则，，两两共面，但，，不可能共面； C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使； D．则，，一定能构成空间的一个基底 【答案】BCD 【分析】利用空间向量基底的定义可判断AB，，根据空间向量基本定理可判断CD. 【解析】由空间向量基底的定义可知，当，时，所成角不一定为，故A错误； 显然，，两两共面，但，，不可能共面，否则不能构成空间的一个基底，故B正确； 根据空间向量基本定理得到总存在有序实数组，使，故C正确； 在D中，假设向量共面，则，， 化简得， 因为不共面，所以，无解， 所以不共面，一定能构成空间的一个基底，故D正确． 故选：BCD. 8．（多选）如图，在平行六面体中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，，，则下列选项正确的为（　　）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据空间向量的基底表示以及线性运算表示向量依次判断各选项即可得到答案. 【解析】由已知是的中点，是的中点，是的中点，且， 对于A， ，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：ABC. 9.（多选）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，在下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D．向量与的夹角是 【答案】D 【分析】根据平行六面体的向量运算、向量的模、向量的夹角，数量积等概念和公式.通过向量运算法则分别对每个选项进行分析判断. 【解析】对于A，在平行六面体中，根据向量加法的三角形法则，， 由于，，所以，选项A正确. 对于B，已知以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是. ，则 .所以，选项B正确. 对于C，， ， 因为，所以，选项C正确. 对于D，，设向量与的夹角为 ， ， 所以，选项D错误. 故选：D. 10．在棱长为1的正方体中，点为棱上任意一点，则_____________- 【答案】1 【分析】基底法结合数量积的运算律和正方体的性质即可求解. 【解析】如图，在正方体中，为棱上任意一点， 则，， 所以. 故答案为：1. 11．如图，平行六面体中，与相交于，设，，. 若该平行六面体所有棱长均为1，且，则为___________． 【答案】 【分析】结合空间向量基本定理，根据空间向量的线性运算表示所求向量;利用空间向量的数量积求向量的模. 【解析】 . 由题意：，，， ， 所以. 故答案为： 12．棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成角的大小是 ，线段EF的长度为 . 【答案】 a 【分析】以为空间的一个基底，进而通过空间向量的夹角公式求出答案. 【解析】设，，，则是空间的一个基底，∴，， ∵， ∴，||=a， ∴， ∴异面直线EF与AB所成的角为. 故答案为： a 13．已知正四面体的棱长为，，分别为棱，的中点，点为线段的中点.    (1)用，，表示； (2)求的值； 【答案】(1)，; (2) 【分析】（1）借助空间向量线性运算，以，，为基底表示即可得； （2）由正四面体的性质可得，，再结合空间向量线性运算及数量积公式计算即可得解. 【解析】（1）由题意可得，， 则 ； （2）由正四面体的棱长为1，故，， 则， ， 则. 14．如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，. (1)用表示，并求EF的长； (2)求与夹角的大小． 【答案】(1); (2) 【分析】（1）根据题意结合空间向量的线性运算求，再根据向量的数量积运算求即可； （2）根据题意结合空间向量的线性运算求，再根据向量的数量积运算可得，即可得结果. 【解析】（1）因为E，F分别为棱BC，AD的中点，且，，， 可得 ， 因为正四面体ABCD的棱长为1，则，且， 可得 ， 即，所以EF的长为. （2）由题意得 ， 因此 ， 即，即与的夹角为. 12 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.4 空间向量基本定理 教学目标 1.掌握空间向量基本定理及其推论； 2.会根据需要选择适当的基底来表示任一空间向量； 3.借助几何体，经历从特殊到一般的思想，抽象概括出空间向量基本定理并寻求证明的过程，体现了化归与转化的思想； 4.通过对空间向量基本定理及其推论的形成过程的探究，提升直观想象素养，对定理证明过程的探究，将平面向量数量积的坐标形式推广到空间向量数量积的坐标形式，发展了数学逻辑推理素养． 教学重难点 1.重点 空间向量基本定理的灵活应用； 2.难点 空间向量基本定理及其推论的形成过程. 知识点01 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．基底 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示． 3. 推论： 设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得＝x＋y＋z. 【即学即练】 1．若构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，平行六面体中，AC与BD交于点M，设，，，则（　　） A． B． C． D． 3.如图，已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且分所成的定比为，现用基向量、、表示向量，设，则、、的值分别为（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 知识点02 空间向量的正交分解 1．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【即学即练】 1．设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，则向量在基底下的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．已知为单位正交基底，且，则向量的坐标是 . 题型01 空间向量基底概念及辨析 【典例1】（多选）已知，，是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1】已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3】已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是（　　） A． B． C． D． 题型02 利用空间基底表示向量 【典例1】如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 用基底表示向量的步骤： (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 【变式1】如图所示，在三棱柱中，为的中点.若，则可表示为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，已知、分别是四面体的棱、的中点，点在线段上，且，设向量，，，则 （用表示）.    题型03 利用空间向量基本定理求参数 【典例1】如图，在正方体中，若点是侧面的中心，且，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【变式1】在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（　　）    A． B．1 C． D． 【变式2】如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，在四面体OABC中，，，，点在OA上，且，点为BC的中点，设，则 . 题型04 空间向量的正交分解 【典例1】设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是__________ 【变式1】设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（　　） A． B． C． D． 题型05 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题 【典例1】如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，. (1)求证：A，，，四点共面； (2)若，求的值. 利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： 平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； 注：用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【变式1】已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 ． 【变式2】如图，在平行六面体中，点在对角线上，且，点在对角线上，且．求证：、、三点共线．    【变式3】已知为空间的一个基底，且，． (1)判断、、、四点是否共面； (2)能否以作为空间的一个基底？若能，试以这一组基底表示；若不能，请说明理由． 题型06 利用空间向量基本定理解决数量积、夹角问题 【典例1】如图，在平行六面体中，，，， (1)求的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： 几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； 注：用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【变式1】如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）    A． B． C． D． 【变式2】已知正四面体的棱长为1，动点在平面上运动，且满足，则的值为（　　） A． B． C．0 D．2 【变式3】在棱长均为1的三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为______________   【变式3】如图，在平行六面体中，为与的交点，且，，两两夹角均为，且长度相等，设，，. (1)试用，，表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 题型07 利用空间向量基本定理证明垂直问题 【典例1】如图，在平行六面体中，， (1)求证：； (2)求的长. 【变式1】在平行六面体中，底面是边长为1的正方形， ，.（用基底法） (1)求侧棱的长； (2)若分别为，的中点，求证：． 【变式2】如图，在三棱柱中，，，，设，，，是的中点.    (1)用、、表示向量； (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【变式3】如图所示，在三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上，且. (1)用表示向量； (2)求； (3)求证：. 题型08 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题 【典例1】已知正四面体的边长为2，点M，N为棱BC，AD的中点，点E，F分别为线段AM，CN上的动点，且满足，则线段EF长度的最小值为 . 利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： 几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 注：用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【变式1】在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式2】在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为_________- 【变式3】如图，平行六面体中，与相交于，设，，. (1)用表示； (2)若该平行六面体所有棱长均为1，且，求． 1．若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（　　） A． B． C． D． 2．已知三棱锥，点G是△ABC的重心（三角形三条中线的交点叫三角形的重心）.设，，，那么向量用基底可表示为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（　　） A． B． C． D． 5．已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（　　） A． B． C． D． 6．如图，M是三棱锥的底面的重心．若，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 7．（多选）设是空间的一个基底，下列选项中正确的是（　　） A．若，，则； B．则，，两两共面，但，，不可能共面； C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使； D．则，，一定能构成空间的一个基底 8．（多选）如图，在平行六面体中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，，，则下列选项正确的为（　　）    A． B． C． D． 9.（多选）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，在下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D．向量与的夹角是 10．在棱长为1的正方体中，点为棱上任意一点，则_____________- 11．如图，平行六面体中，与相交于，设，，. 若该平行六面体所有棱长均为1，且，则为___________． 12．棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成角的大小是 ，线段EF的长度为 . 13．已知正四面体的棱长为，，分别为棱，的中点，点为线段的中点.    (1)用，，表示； (2)求的值； 14．如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，. (1)用表示，并求EF的长； (2)求与夹角的大小． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $