期末培优专题01 几何压轴分类（11种类型66道）（期末复习压轴题专项训练）九年级数学上学期北师大版

专题01 几何压轴分类 （11种类型66道） 1．综合与实践地 城 类型01 特殊四边形相关探究数量关系 【问题呈现】如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． 【问题初探】（1）爱动脑筋的小茗发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论，线段的数量关系： ，线段之间的数量关系： ； 【问题引申】（2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮助小茗得出此时线段之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点运动至与点距离恰好为7的位置，且旋转至时，请直接写出的长度． 2．已知，在中，，点D为直线上一动点（点D不与B，C重合），连接，以为边作菱形，且，连接，如图1，当点D在线段上时，我们易得三条线段之间的数量关系为：． (1)如图2，当点D在线段的延长线上时，其他条件不变，请探究三条线段之间的数量关系并证明； (2)如图3，当时，点D在线段的反向延长线上，且点A、F分别在直线BC的两侧，其他条件不变； ①请直接写出三条线段之间的数量关系； ②若菱形的边长为，对角线相交于点O，连接，求的长． 3．【模型建立】 （1）如图1，点E是正方形边上一点，连接，过点B作交于点F，交于点G．用等式写出线段，的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，点E是正方形边上一点，连接，过点E作交于点G，交的延长线于点M，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，当点E在的延长线上时，连接，过点E作交的延长线于点G，交的延长线于点M，用等式直接写出线段，，的数量关系． 4．如图，已知在与中，，，． (1)如图1，点，分别在边，上，连接，，点是线段的中点，连接，直接写出线段与之间的数量关系 ___________； (2)如图2，将图1中的绕点逆时针旋转，使的一边恰好与的边在同一条直线上时，点为线段的中点，确定与之间的数量关系，并证明； (3)如图3，将图1中的绕点逆时针旋转，旋转角为，连接，，点为线段的中点，连接，确定与之间的数量关系，并证明． (4)将点O旋转一周，若，当B、C、D三点共线时，的长为 ___________． 5．【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 6．数学活动课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动． 将直角的顶点放在正方形的对角线上（点不与点、重合）其中直角边与交于点，直角边与交于点． (1)发现： 如图1，当与垂直时，线段和的数量关系是______；四边形的形状是______； (2)探究 如图2，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化，若变化，请写出新的数量关系；若不变，请给出证明； (3)拓展： 当与不垂直时，以为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 7．如图，在菱形中，、交于点．地 城 类型02 特殊四边形相关最值问题 (1)若为对角线上一动点，是的中点，请在图中画出当取得最小值时的点，简单写出点的做法，不需要证明； (2)如图，为对角线上一动点，为边上一动点，若的最小值为，这个值恰好与（1）中的最小值相等，求菱形的边长要求画出必要的图形； (3)在（2）的条件下，如图所示，若点是的中点，点为线段上的动点，在绕着点旋转过程中，点的对应点是，直接写出、两点间的距离的最大值和最小值． 8．数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 9．（1）如图1，在等腰中，，，D是边的中点，E是边上一动点，则的最小值是______． （2）如图2，在正中，，P、M、N分别是上的动点， ①的最小值为______；②求的最小值． （3）如图3，正方形的边长为4，E、F分别是边和上的动点且始终满足，连结，求的最小值． 10．如图，菱形的对角线相交于点O，且，． (1)求的长； (2)点E在线段上，且，点F为线段上一动点． ①当时，求四边形的面积； ②记的最小值为a，的最小值为b，求的值． 11．如图，，，将线段绕着点A顺时针旋转α，，得到，连接、，点E为线段中点，过点D作交于点H．连接交于点F． (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，过点C作于点Q，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，若，点M是直线上一动点，作点M关于点E的对称点N，连接、，对于α的每一个确定值，都有一个对应的最小值，当最小值等于时，请直接写出四边形的面积． 12．如图，点是矩形的对称中心，点，点分别位于，上，且经过点，，，，点在上运动，点，在上运动，且则：    （1）周长的最小值是 ． （2）四边形周长的最小值是 ． 13．如图，在矩形中，．的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点．地 城 类型03 特殊四边形相关定值问题 (1)若，请求出的值； (2)求证：是的中点； (3)请判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 14．【问题情境】在数学兴趣小组活动中，同学们对正方形的折叠问题进行了探究．如图，正方形的边长为，是边上一动点，将正方形折叠，使得点落在边上的点处，点落在处，交于，折痕为． 【尝试初探】 （1）如图1，若，则_______． 【深入思考】 （2）如图2，连接． ①求证：平分； ②设，，请说明的值为定值，并求出这个定值． 15．如图，已知矩形中，，，点E、F分别为上的两个动点，且，请回答下列问题： (1)如图1，若点G是的中点，求证：四边形是菱形； (2)如图2，在点E、F的运动过程中，线段的长度是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值为______． 16．在平面直角坐标系中，、，四边形是正方形，点是轴正半轴上一动点，，交正方形外角的平分线于点． (1)如图，当点是的中点时，求证：． (2)点在轴正半轴上运动，点在轴上．若四边形为菱形，求直线的解析式． (3)连接，点是的中点，当点在轴正半轴上运动时，点随之而运动，点到的距离是否为定值？若为定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由． 17．如图，点在正方形的边上运动，连接，把沿着翻折，点的对应点为，连接并延长与交于点，与的延长线交于点． (1)若，求的度数． (2)判断的度数是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是，请说明理由． (3)连接，探索线段，，数量之间的等量关系．写出关系式，并加以证明． 18．如图，在菱形中，，．过点作对角线的平行线与边的延长线相交于点，为边上的一个动点（不与端点，重合），连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)求四边形的周长和面积． (3)记的周长和面积分别为和，的周长和面积分别为和，在点的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：①，②，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围． 19．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．地 城 类型04 特殊四边形相关中点四边形 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形        B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系： 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （4）试探索与的数量关系，并说明理由． 20．（1）如图①点E、F、G、H分别是菱形各边中点，可判定四边形的形状为_________； （2）如图②点E，F，G，H分别是四边形各边中点，且对角线，判定四边形的形状，并证明； （3）在（2）的条件下，请对四边形增添一个条件，使四边形为正方形．（直接写出所添条件） 21．综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“等角线四边形”（如图1）进行研究． 定义：对角线相等的凸四边形为等角线四边形． （1）在我们下列学过的特殊四边形中，一定是等角线四边形的有______（填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 性质探究 （2）如图2，若E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，，的中点，此时以E，F，G，H为顶点的四边形称为它的中点四边形，当时，请判断中点四边形的形状并说明理由； （3）如图3，在中，，D为外一点，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形为等对角线四边形且对角线互相垂直，请直接写出以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积． 22．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是__________． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 (2)如图，已知四边形是“中方四边形”、分别是的中点． ①若线段的长度为，求的长； ②若线段的长度为，请直接写出的最小值． 23．阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)（填空）判断图1中的中点四边形的形状为______，菱形的中点四边形的形状是______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，，，，分别为，，，的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，求的长． 24．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形” 【概念理解】 （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）． 【性质探究】 （2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论． 【问题解决】 （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”． 25．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点，运动的时间为．地 城 类型05 特殊四边形相关动点存在性 (1)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． (2)从运动开始，当取何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是正方形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 26．如图，在中，，，，动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒（）．    (1)的长为______； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)连接， ①是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； ②是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值． 27．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿匀速运动，点P运动的时间为，请解答以下问题∶ (1)求边的长．（辅助线提示：过D点作边的垂线） (2)是否存在某一时刻t，使线段把四边形分成面积相等的两部分？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使恰好是直角三角形？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 28．如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=CD=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ，设运动时间为t秒（）． (1)求点B到线段AC的距离； (2)当NP经过线段AC中点时，求t的值并直接写出此时线段MQ、NQ的关系； (3)连接AN、CP，在点M、N运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形ANCP的面积与四边形ABNP的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)将△AQM沿AD翻折，得到△AKM．在点M、N运动过程中， ①是否存在某时刻t，使四边形AQMK为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； ②是否存在某时刻t，使四边形AQMK为正方形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 29．如图1，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒，且． (1)________（用含的代数式表示）； (2)如图2，当点从点开始运动的同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 30．已知矩形中，，．点E、F、G、H分别在、、、上，且，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，是否存在四边形是菱形？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由； (3)对于上的任意一点E，是否存在一个四边形是菱形？若都存在，请加以证明；若上只有一部分点存在，请求出存在四边形是菱形时，长的取值范围． 31．综合与探究：地 城 类型06 特殊四边形相关折叠问题 在学习了特殊的平行四边形后，“希望小组”的同学们利用课余时间对“纸片中的折叠问题”进行了探究．下面是他们对一张纸片的操作过程： 第一步：如图1，沿过点A的直线将纸片进行折叠，使边落在边上，然后展平得到折痕，点D在边上； 第二步：如图2，折叠纸片使点A与点D重合，展平后得到折痕，点E在边上，点F在边上，连接，； 第三步：如图3，沿过点E的直线折叠使落在射线上，沿过点F的直线折叠使落在上，展平后分别得到折痕，，点P，Q在边上．请解答他们提出的问题： (1)在图2中，判断并证明四边形的形状； (2)在图3中，判断并证明，的数量关系； (3)若，，，请你直接写出四边形的面积． 32．综合与探究 问题情境： 在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，在矩形中，，，是边上的一个动点，连接． 操作探究： (1)第一步操作：将沿折叠，使点落在点处． 第二步操作：在边上取一点，使．将沿折叠得到，与交于点，与交于点． ①求证：； ②请判断四边形的形状，并说明理由． (2)在（1）中第一步操作的基础上，沿过点的直线继续折叠矩形，使点落到点处，折痕交边于点，点的对应点为．若点，恰好重合，请直接写出线段的长． 33．如图1．将纸片沿中位线折叠，使点A对称点D落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形．这样的矩形附为叠合矩形．    (1)将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段______、______，______； (2)纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，．求的长； (3)如图4，四边形纸片满足，，，，，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并直接写出的长．（写出一种即可） 34．问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动，活动方式为将一张平行四边形纸片进行折叠变换后，发现结论并解决问题． 成果展示 (1)“爱心”小组：如图1，将平行四边形沿折叠，使点与点重合，折痕与，边分别交于点，，发现，请证明他们发现的结论； (2)“希望”小组：如图2，，分别是，边上的动点，且，连接，将平行四边形沿折叠，点落在点处，点落在点处，交于点，分别交，于点，，发现，请证明他们发现的结论； (3)教师提问：在图1的基础上，连接与交于点，如图3所示，若，，，直接写出线段的长． 35．已知三角形纸片，其中，，，点E，F分别是，上的点，连接．    (1)如图1，若将纸片沿折叠，折叠后点A刚好落在边上点D处，且，求的长； (2)如图2，若将纸片沿折叠，折叠后点A刚好落在边上点M处，且． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②求折痕的长． 36．在矩形中，宽，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠． (1)如图1，若，将矩形沿折叠后，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，交于点M． ①判断与是否相等，并说明理由； ②连接交于点N，若，求的值； (2)如图2，若矩形的长，将矩形沿折叠后，点A、D的对应点分别是点，连接，直接写出面积的最小值为　　． 37．综合与实践：某校为了激发学生的数学兴趣举行数学节活动，小明制作了一些几何图形的模具．地 城 类型07 相似三角形相关最值问题 追本溯源 （1）如图，小明制作等边三角形模具，点是动点． ①当点在上运动时，将绕点旋转，使得旋转后点的对应点为点，得到，连接，用尺规作图法在图1中作出旋转后的图形； 特例探究 ②在①中，若，则的最小值是______； 类比迁移 ③若点在下方时，连接，，，当时，求的最小值； 拓展应用 （2）如图3、4中，小明制作矩形模具，，，为模具边上的一动点． ①如图3，以为边向右作等边，连接，判断是否存在最小值，若存在，求最小值；若不存在，说明理由？ ②如图4，以为边向右构造正方形，连接，直接写出的最小值是______． 38．如图1，在中，，点P、D分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)如图2，若时，求的长； (3)当点在边上运动时，线段长有最小值，最小值为_________． 39．如图，是等腰三角形，，点分别在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)探究：长是否存在最小值，若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 40．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，P为平面内一点， （1）求最小值 （2）在（1）条件下，求最小值 （3）在（1）条件下，求最小值 （4）在（1）条件下，求最小值 41．已知，如图1，在中，，，，点为边上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接、，设． (1)的最小值为______，此时______； (2)如图2，当点落在边上时，求的值； (3)如图3（点在下方） ①尺规作图：过点作的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②______（用含有的代数式表示），并求当时的值； (4)直接写出的最小值． 42．如图①，是边长为2的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，点是射线上的一动点． (1)当不与重合时，将绕点逆时针方向旋转得到，则　　． (2)如图②，在（1）的条件下，当点在线段上时，周长是否存在最小值？若存在求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． (3)如图③，当点在射线上运动时，以为斜边做等腰直角，连接，求最小值． 43．探究式学习是数学学习的重要方式，是培养创新性人才的重要途径．数学课上，张老师出示如下题目，请同学们尝试以下探究．地 城 类型08 相似三角形相关探究数量关系 在中，，，D是边上一点，是边上的一动点，作射线，将射线绕点顺时针旋转与边所在的直线交于点． 【初步感知】 （1）数学探究小组发现，当点为的中点时，如图①，易得出线段，的数量关系为_____；他们进一步发现线段，，也有一定的数量关系，则，的数量关系为_____． 【深入探究】 （2）数学探究小组继续研究，如图②，当点为靠近点A的的三等分点时，线段，，之间也有一定的数量关系，请写出线段，，之间的数量关系，并证明； 【思维拓展】 （3）如图③，在（2）的条件下，连接，设的中点为，若，点从点向点方向移动的过程中，直接写出点运动的路程长度． 44．【问题呈现】（1）如图①，在凸四边形中，，，连接，，某数学小组在进行探究时发现、和之间存在一定的数量关系； 小明同学给出了如下解决思路： 以为边作等边，连接，则易证，且，此时，，进而推导出、和之间的数量关系．根据小明同学思路推出其数量关系并证明； 【类比探究】（2）如图②，在凸四边形中，，，，连接，（1）中的结论是否改变？若不改变，请说明理由；若改变，请写出新的数量关系并证明； 【实际应用】（3）工程师王师傅在电脑上设计了一个凸四边形零件（），如图③所示．其中厘米，厘米，，垂足是，且是的中点，且，连接．在尝试画图的过程中，王师傅发现，和之间存在一定的数量关系，请你帮王师傅直接写出，和之间的数量关系．（不写证明过程） 45．已知：如图，，，交线段于点． (1)如图，当时．则线段、之间的数量关系为______； (2)如图，当时．试探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)如明，在（2）的条件下，点是边的中点，连接，与交于点，试探究与之间的数量关系． 46．四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上． (1)如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 47．三角形的相似为线段之间的关系提供了更多的变化，也让数学变得更加精彩．请完成以下探究： (1)如图1，和均为直角三角形，，与相交于点，线段之间有什么样的数量关系？ (2)如图2，和均为等腰三角形，，且，则线段之间有什么样的数量关系？ (3)如图3，四边形中，为对角线上一点，且，请探究四边形四条边长与两条对角线之间的数量关系，并证明你的结论． 48．已知：（各顶点字母均按逆时针顺序）且，现将绕点旋转，射线与射线交于点，连接． (1)特例感知： ①如图1，，点在内部，且点，在两侧，则，，之间的数量关系是_____； ②如图2，，，点在内部，且点，在两侧，则，，之间的数量关系是_______； (2)拓展探究： 如图3，，，，点在的内部，且点，在两侧，请写出线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 49．如图，已知梯形中，，，P为一动点从点B出发，沿方向，以的速度由点B向点D运动；Q为另一动点，从C出发，沿方向，以的速度由点C向点D运动，当其中一动点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．地 城 类型09 相似三角形相关存在性问题 (1)如图1，当P运动t秒时，恰好有，求t的值； (2)如图2，过点Q作于点E． ①在运动过程中，是否存在t秒时，使得以P、A、D为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． ②在运动过程中，是否存在t秒时，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值（直接写出答案）；若不存在，请说明理由． 50．如图，中，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)是否存在某一时刻，使的面积是面积的？若存在求出相应的值，若不存在，请说明理由． (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 51．如图，在矩形中，，，动点P从点D出发沿向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线向终点C运动．过点P作，交于点E，动点P、Q的运动速度是每秒2个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的长； (2)当t为何值时，与相似？ (3)是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 52．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．以，为邻边的平行四边形的边与交于点．设运动时间为，解答下列问题： (1)当点在的垂直平分线上时，求的值； (2)连接，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 53．如图，已知直角梯形中，，，，，，动点从点出发，沿方向向终点匀速运动，速度为，同时动点、都从点出发，分别沿、的方向匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，连接，，设它们运动时间为． (1)当为何值时，四边形为矩形？ (2)设的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使得的面积等于四边形的面积的三分之一？ (4)如图，连接，是否存在某一时刻，使经过的中点？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 54．如图，在中，，，，动点从出发沿方向，以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，到达点后立即以原来速度沿返回；同时动点从点出发沿以每秒个单位长度向点匀速运动，当到达时，、两点同时停止运动．设、运动的时间为秒． (1)当为何值时，？ (2)在点从向运动的过程中，在上是否存在点使与全等？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； (3)伴随着、两点的运动，线段的垂直平分线交于点，交折线于点当经过点时，求出的值． 55．在矩形中，为边上一点，把△沿翻折，使点恰好落在边上的点．地 城 类型10 相似三角形与三角函数综合 (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，求的值． 56．如图1，在中，点，分别是边，上的点，，交于点． (1)若是等边三角形，，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，，，求的长度； (3)如图3，，，，，，求的长度． 57．【模型识别】如图1，于点B，于点C，交于点D，求证：． 【尝试应用】如图2，在平行四边形中，E是上的一点，连接，作交于点F，， 若，，，求的值； 【拓展探究】如图3，已知菱形的边长为10， ，点E为边上的一点，连接，过点A作交于点F，交于点G，且，求的长． 58．【问题情境】（1）如图1，正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，，易证（不需写出证明过程），此时的值是______； 【问题解决】（2）如图2，矩形中，，，E、F别是边和对角线上的点，，，①求证：；②求的长； 【变式探究】（3）如图3，菱形中，，对角线，交的延长线于点H，E、F分别是线段和上的点，，，求的长． 59．如图1，为矩形的对角线，点在边上，连接，过点作分别交，于点，点，过点作，垂足为点，分别交，于点，点，．      (1)求证：； (2)如图2，若且点为中点，求证：； (3)如图3，若，，求的值． 60．如图1，在正方形中，E是对角线延长线上的一点，线段绕点B顺时针旋转至，连接． (1)求证：； (2)连接交于点F，并延长与的延长线相交于点H． ①如图2，若，求的值； ②如图3，与相交于点Q，若，求的值． 61．（1）如图，点为正方形对角线上一动点，过点作交于点，试判断线段、的数量关系，并说明理由；地 城 类型11 相似三角形相关定值问题 （2）如图，点为矩形对角线上一动点，过点作交于点，若，，试判断的值是否为定值？若是定值，请求出的值；若不是定值，请说明理由．    62．如图，在平面直角坐标系中，点、，点在第一象限，点在线段上，，，，，垂足为，连接、． (1)请直接写出图中与相似的三角形，直接写出线段的长（用含的代数式表示）； (2)当时，求的值； (3)的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 63．（1）如图1，正方形和正方形，连接并延长交于点．求证：； （2）如图2，若将（1）中正方形改为菱形，且，求的度数； （3）如图3，若将（1）中正方形改为矩形，且，，．连接，，将矩形绕点旋转，旋转过程中发现的值为定值，请求出这个定值. 64．如图1，正方形的边长为4，点是边上一动点（不与端点重合），连接． (1)当时，求的周长； (2)将沿折叠得到，延长交射线于点． ①如图2，当为中点时，求的长； ②当点在边上运动的过程中，小方同学认为的长度是一个定值，而小程同学认为的长度才是一个定值，你认为谁说的对呢？说出你的理由． 65．如图1，在中，，，． (1)请计算的面积； (2)如图2，将沿着翻折，D点的对应点为，线段交于点M，请计算的长度； (3)如图3，在（2）的条件下，点P为线段上一动点，过点P作于点N，交的延长线于点G．在点P运动的过程中，的长度是否为定值？如果是，请计算出这个定值；如果不是，请说明理由． 66．【问题情境】在数学活动课上，奋飞组的同学在延时课上用两张矩形纸片进行探究活动．小组同学准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，点E，G分别落在，边上时，点E，G恰好为边，的中点．然后将矩形纸片绕点B按顺时针方向旋转，旋转角为α，连接与． 【观察发现】 （1）如图2所示，当时，小组成员发现与存在的数量关系为______；位置关系为______； 【探索猜想】 （2）如图3所示，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）在矩形的旋转过程中，连接，，得为定值，请直接写出此定值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 几何压轴分类 （11种类型66道） 1．综合与实践地 城 类型01 特殊四边形相关探究数量关系 【问题呈现】如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． 【问题初探】（1）爱动脑筋的小茗发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论，线段的数量关系： ，线段之间的数量关系： ； 【问题引申】（2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮助小茗得出此时线段之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点运动至与点距离恰好为7的位置，且旋转至时，请直接写出的长度． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）的长度为4或2． 【详解】（1）解：，， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：，理由如下； 如图2，取的中点T，连接， ∵四边形为的菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，分靠近点B，靠近点D，两种情况求解； ①当点P靠近点B时，如图中，过点A作于H，连接，作交于G． 由（2）可知，是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形，则， ∴，即， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 由勾股定理得，， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴； ②当点P靠近点D时，如图， 同理①，可得，， ∵， ∴， 综上所述，满足条件的的长度为4或2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 2．已知，在中，，点D为直线上一动点（点D不与B，C重合），连接，以为边作菱形，且，连接，如图1，当点D在线段上时，我们易得三条线段之间的数量关系为：． (1)如图2，当点D在线段的延长线上时，其他条件不变，请探究三条线段之间的数量关系并证明； (2)如图3，当时，点D在线段的反向延长线上，且点A、F分别在直线BC的两侧，其他条件不变； ①请直接写出三条线段之间的数量关系； ②若菱形的边长为，对角线相交于点O，连接，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据菱形的性质得出相等的边，证明，得出对应边相等即可得出结论； （2）①根据菱形的性质得出相等的边，证明，得出对应边相等即可得出结论； ②根据菱形的性质得出直角三角形，得出是斜边的中线，然后利用勾定理求出的长度即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵四边形是菱形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①，理由如下： 因为， 所以，即． 由于四边形是菱形， 所以． 又， 所以，则． 因为， 所以，即； ②因为四边形是菱形， 所以． 因为， 所以． ， 得， 所以． 因为， 所以是斜边的中线（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）． 在菱形中， ，， 根据勾股定理． 所以． 3．【模型建立】 （1）如图1，点E是正方形边上一点，连接，过点B作交于点F，交于点G．用等式写出线段，的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，点E是正方形边上一点，连接，过点E作交于点G，交的延长线于点M，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，当点E在的延长线上时，连接，过点E作交的延长线于点G，交的延长线于点M，用等式直接写出线段，，的数量关系． 【答案】（1）．见解析 （2）．理由见解析 （3）．理由见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，关键是要能根据题意构造出全等三角形，即作出合适的辅助线，截取等长线段作辅助线是解决此类题型常用的方法． （1）证明即可； （2）在上取一点，使，连接．再证明．由（1）知，即可得出结论； （3）在上取一点，使，连接，再证明，即可得出结论． 【详解】解：（1）．理由如下： ∵， ∴， ， ∵正方形， ∴，， ∴， ， 在和中， ， ； （2）．理由如下： 如图，在上取一点，使，连接． ∵正方形， ∴， ∴平行且等于， ∴四边形为平行四边形， ， ∵， ． 由（1）知， ； （3）．理由如下： 如图，在上取一点，使，连接， 由平行且等于得四边形为平行四边形， 平行且等于． ，． ， ， ， ． 在和中， ， ， ． 4．如图，已知在与中，，，． (1)如图1，点，分别在边，上，连接，，点是线段的中点，连接，直接写出线段与之间的数量关系 ___________； (2)如图2，将图1中的绕点逆时针旋转，使的一边恰好与的边在同一条直线上时，点为线段的中点，确定与之间的数量关系，并证明； (3)如图3，将图1中的绕点逆时针旋转，旋转角为，连接，，点为线段的中点，连接，确定与之间的数量关系，并证明． (4)将点O旋转一周，若，当B、C、D三点共线时，的长为 ___________． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 (4)或 【分析】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键． （1）证明，然后根据点为线段的中点即可得出结论； （2）延长交于点，连接，过点作于点，证明出四边形为矩形，即可得出结论； （3）延长到点，使，连接，得到与的数量关系； （4）根据点B、C、D的位置关系，分两种情况考虑，依据旋转的性质解答即可得解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 又M是的中点，且， ∴=， 故， 故答案为：； （2），理由如下： 如下图所示，延长交于点，连接，过点作于点， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴四边形是矩形． ∴， ∴； （3），理由如下：如图． 延长到，使，连接， ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∴， （4）解：①如图， 根据点、、的位置关系， 设交于点，过作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ②如图， 同理可得：， 综上所述，的长为或． 5．【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握利用图形的旋转来构造全等三角形是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案； （2）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据旋转的性质及全等三角形的判定与性质，可逐步证明，即得答案； （3）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案． 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， E在上， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：．理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ． 6．数学活动课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动． 将直角的顶点放在正方形的对角线上（点不与点、重合）其中直角边与交于点，直角边与交于点． (1)发现： 如图1，当与垂直时，线段和的数量关系是______；四边形的形状是______； (2)探究 如图2，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化，若变化，请写出新的数量关系；若不变，请给出证明； (3)拓展： 当与不垂直时，以为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 【答案】(1)；正方形 (2)的结论不变，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由正方形的性质得到，平分，又，，得到四边形是矩形，因此，根据角平分线的性质可得,则可证明四边形是正方形； （2）过点作于点，作于点．由正方形得到，平分，因此四边形是矩形，．进而有，从而，进而证得，得证； （3）分情况讨论：过点作于点，作，交的延长线于点，证得，得到，根据角平分线的判定得到平分；连接，过点作于点，过点作交延长线于点，，矩形是正方形，即可作答． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，平分， ，， ， 四边形是矩形， ∴ ， 四边形是正方形； （2）解：的结论不变，理由如下： 如图所示，过点作于点，于点， ， 四边形是正方形， ，平分， 四边形是矩形，， ， ， ， 即， ， ； （3）解：过点作于点，作，交的延长线于点， 则， 由（2）有，且四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， 在四边形中，， 即， ， ， ， ， ， ，， 平分， 四边形是正方形， ， ， ， 的度数为； 如图，连接，过点作于点，过点作交延长线于点， ， 四边形是矩形， ∴， 又， ， ， ， ∴， 又∵，， ， ， 矩形是正方形， 是对角线， ， 的度数为或． 【点睛】本题是正方形综合题，考查正方形的判定及性质，角平分线的判定，全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用相关知识． 7．如图，在菱形中，、交于点．地 城 类型02 特殊四边形相关最值问题 (1)若为对角线上一动点，是的中点，请在图中画出当取得最小值时的点，简单写出点的做法，不需要证明； (2)如图，为对角线上一动点，为边上一动点，若的最小值为，这个值恰好与（1）中的最小值相等，求菱形的边长要求画出必要的图形； (3)在（2）的条件下，如图所示，若点是的中点，点为线段上的动点，在绕着点旋转过程中，点的对应点是，直接写出、两点间的距离的最大值和最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)、两点间的距离最小值为；、两点间的距离最大值为 【分析】（1）连接，交于，当点在处时，最小； （2）作于，交于，此时最小，最小值是的值，由（1）知，是的中点，，根据四边形是菱形得出，从而得出是等边三角形，进一步得出结果； （3）作于，以为圆心，和为半径画圆，则在圆环内运动（包括在大圆和小圆上），进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图， 连接，交于， 当点在处时，最小； （2）解：如图， 作于，交于，此时最小，最小值是的值， 由（1）知， 是的中点， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ； 菱形的边长为； （3）解：如图， 作于， 以为圆心，和为半径画圆，则在圆环内运动（包括在大圆和小圆上）， 由（2）知， ， ， 当点在处时，、两点间的距离最小，距离为：， 当点在点处时，、两点间的距离最大，最大为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 8．数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）取中点记作点，连接，，，记与的交点为点，连接，，先根据三角形的中位线性质和菱形性质证明点是点E关于的对称点，则，当点F运动到点时，的最小值，即的长， 证明为等边三角形和为等腰三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可求解； （2）在上取点H，使得，连接，证明四边形是平行四边形，得到，在延长线上取点，使得，连接，则，进而利用两点之间线段最短得到的最小值为，然后利用勾股定理求得即可求解； （3）在下方，过C作，且，连接，，证明得到，由，当A、F、P共线时取等号，可得的最小值为的长；过P作于H，延长线于Q，由等腰直角三角形的判定与性质求得，再证明四边形是矩形，得到，，在中利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）解：取中点记作点，连接，，， 记与的交点为点，连接，， ∵点E，点分别是，边中点， ∴，，， 在菱形中，，, ∴，， ∴点是点E关于的对称点， ∴， ∴当点F运动到点时，的最小值，即的长， 在菱形中，，， ∴，则为等边三角形， ∴， ∴，则为等腰三角形， ∵点是边中点， ∴，，即， 又，， ∴，则， 在中，， 又∵，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 在上取点H，使得，连接，则 ∴四边形是平行四边形， ∴， 在延长线上取点，使得，连接，则， ∴，当H、F、共线时取等号， ∴的最小值为， ∵，． ∴中，，， ∴， ∴的最小值为； （3）解：在下方，过C作，且，连接，， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，， ∴，又， ∴， ∴， ∴，当A、F、P共线时取等号， ∴的最小值为的长； 过P作于H，延长线于Q，则， 在中，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、最短路径问题等知识，熟练掌握特殊四边形的性质，添加辅助线得到最小值时动点的位置是解答的关键． 9．（1）如图1，在等腰中，，，D是边的中点，E是边上一动点，则的最小值是______． （2）如图2，在正中，，P、M、N分别是上的动点， ①的最小值为______；②求的最小值． （3）如图3，正方形的边长为4，E、F分别是边和上的动点且始终满足，连结，求的最小值． 【答案】（1）；（2）①；②6；（3） 【分析】（1）作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长，即可； （2）①作点P关于的对称点，连接，此时的最小值为的最小值，根据对称性可得，然后作于H，可得的最小值为的长， 再利用勾股定理求出的长，即可；②分别作点N关于的对称点，作于点H，根据对称性可得，然后根据等边三角形和直角三角形的性质，求出的长，即可； （3）连接，作点D关于点A的对称点，连接交于点，先证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：（1）作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长， 由对称性知，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）①作点P关于的对称点，连接，此时的最小值为的最小值， 由对称性知， ， ∴， 作于H， ∴的最小值为的长， ∵， ∴， 故答案为∶； ②如图，分别作点N关于的对称点，作于点H， 由对称得：，， ∴， 即当取得最小值时，点N与点H重合共线， 此时， 设与交于点F， 在正中，， ∴， ∴， 此时， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为6； （3）如图，连接，作点D关于点A的对称点，连接交于点， 在正方形中，， ， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了轴对称——最短路线问题，等边三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟悉将军饮马基本模型是解决问题的关键． 10．如图，菱形的对角线相交于点O，且，． (1)求的长； (2)点E在线段上，且，点F为线段上一动点． ①当时，求四边形的面积； ②记的最小值为a，的最小值为b，求的值． 【答案】(1) (2)①；②81 【分析】（1）根据四边形是菱形，且，，得出，，，．在中，根据直角三角形的性质得出，再根据勾股定理算出，即可解答． （2）①如图，连接，设，在中，根据，得出，根据勾股定理即可解出，．证明，即可得出，．算出，，再根据即可计算． ②如图，过点B作，且，过点F作于点G，连接．证出，在中，根据直角三角形的性质得出，根据，得出当E、F、G共线时，的值最小，此时，证出四边形是矩形，即可得出，．证明，得出，得出当A、F、H共线时，的值最小，在中，根据定理得出，即可算出，即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，且，， ∴，，， ． 在中，， ∴， ∴． ∴． （2）①如图，连接，设， ∵， ∴， 在中，， ∴，， 即， 解得：（舍），． ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴． ． ∴． ∴四边形的面积是． ②如图，过点B作，且，过点F作于点G，连接． ∵，， ∴． ∴， ∴在中，． ∴． ∴当E、F、G共线时，的值最小，此时． ∴， ∴四边形是矩形． ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∴． ∴当A、F、H共线时，的值最小． 在中，， ∴． ∴． ∴的值为81． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，菱形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 11．如图，，，将线段绕着点A顺时针旋转α，，得到，连接、，点E为线段中点，过点D作交于点H．连接交于点F． (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，过点C作于点Q，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，若，点M是直线上一动点，作点M关于点E的对称点N，连接、，对于α的每一个确定值，都有一个对应的最小值，当最小值等于时，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求解，，再结合平行四边形的性质与三角形的外角的性质可得答案； （2）仿照（1）求解，，可得，，结合点E为线段中点，，证明，可得为等腰直角三角形，，过作于，而，证明为等腰直角三角形，可得，即，进一步可得结论； （3）如图，由（2）同理可得：，，延长至，使，证明，可得，可得当三点共线时，最小，即的长，此时三点重合，如图，记的交点为，可得，过作于，过作于，证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，，将线段绕着点A顺时针旋转α得到，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 如图， ∵，，将线段绕着点A顺时针旋转α得到， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E为线段中点，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 过作于，而， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， ∴， 即． （3）解：如图，由（2）同理可得：，， ∵点M关于点E的对称点N， ∴， ∴， 延长至，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即的长， 此时三点重合，如图，记的交点为， ∵此时，， ∴， 过作于，过作于， ∵， 结合（2）可得： ，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为：． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理与外角的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，旋转的性质，轴对称的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 12．如图，点是矩形的对称中心，点，点分别位于，上，且经过点，，，，点在上运动，点，在上运动，且则：    （1）周长的最小值是 ． （2）四边形周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段和的最小值计算，熟练掌握矩形的性质，将军饮马河原理是解题的关键． 作关于的对称点，连接，交于，连接，则的最小值为，证明出周长的最小值为，作于，于，利用勾股定理求出和即可． 将点向上平移个单位至，作关于的对称点连接交于，在的下方个单位出找到，则为的最小值，四边形周长的最小值为，作于点，利用勾股定理求出即可解题． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，交于，连接，   ， 的最小值为， 周长的最小值为， 作于，于， ， ， ， ， ， ， ，， ， 周长的最小值为． 故答案为：． 如图，将点向上平移个单位至，作关于的对称点连接交于，在的下方个单位出找到，   ，且， 四边形为平行四边形， ，由对称得，， 为的最小值， 四边形周长的最小值为， 作于点， ，， ， ， ， 四边形周长的最小值为：． 故答案为：． 13．如图，在矩形中，．的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点．地 城 类型03 特殊四边形相关定值问题 (1)若，请求出的值； (2)求证：是的中点； (3)请判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是定值，为 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、三角形内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． （1）根据矩形的性质及角平分线得出是等腰直角三角形，结合题意及线段长即可得出结果； （2）根据题意及各角之间的关系确定，，，再由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）由（2）得，设，则，确定，，，再由全等三角形的判定和性质得出，，继续利用全等三角形的判定和性质得出，，由勾股定理得出，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵在矩形中，的平分线交于点，于点， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵在矩形中，的平分线交于点，于点， ∴，， ∴与是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 即是的中点； （3）是定值，理由如下： 由（2）得， ∴， 设，则， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．【问题情境】在数学兴趣小组活动中，同学们对正方形的折叠问题进行了探究．如图，正方形的边长为，是边上一动点，将正方形折叠，使得点落在边上的点处，点落在处，交于，折痕为． 【尝试初探】 （1）如图1，若，则_______． 【深入思考】 （2）如图2，连接． ①求证：平分； ②设，，请说明的值为定值，并求出这个定值． 【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析，这个定值为1 【分析】本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理的应用、正方形的性质，根据翻转变换的性质得到是解题的关键． （1）根据折叠性质可得，在中，利用勾股定理列方程求解即可； （2）由可得，由折叠可得，由此证明； 作，容易证明，得，，进而可得；可得，，由在中，，可得，对等式变形即可得出结论． 【详解】解：（1）∵正方形的边长为， ∴，， 设，则， ∵在中，，， ∴， 解得：， 故答案为； （2）①∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴平分； ②作， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 的值为定值，这个定值是1. 15．如图，已知矩形中，，，点E、F分别为上的两个动点，且，请回答下列问题： (1)如图1，若点G是的中点，求证：四边形是菱形； (2)如图2，在点E、F的运动过程中，线段的长度是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2)线段的长度为定值 (3) 【分析】（1）证明得到，进而证得四边形是平行四边形，然后利用菱形的判定可得结论； （2）如图2，取的中点O，过O作，交于P，于Q，连接 ，，证明四边形是平行四边形得到．由（1）知四边形是菱形， 设，利用菱形的性质、矩形性质以及勾股定理分别求得， 即可求解； （3）过C作，且，连接，，四边形是平行四边形，得到，进而可得，当A、F、共线时取等号，此时最小，最小值为， 在中，利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点G是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：线段的长度为定值， 如图2，取的中点O，过O作，交于P，于Q，连接 ，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， 由（1）知，四边形是菱形， ∴，， 设， 在矩形中，，，，， ∴，， 在中，由得， 解得， 在中，，， ∴， ∴，则， 故线段的长度为定值； （3）解：过C作，且，连接，， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴，当A、F、共线时取等号，此时最小，最小值为的长， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 故的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、最短路径问题等知识，综合性强，需要学生有一定的综合能力和分析问题、解决问题的能力，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用转化思想求解是解答的本题的关键． 16．在平面直角坐标系中，、，四边形是正方形，点是轴正半轴上一动点，，交正方形外角的平分线于点． (1)如图，当点是的中点时，求证：． (2)点在轴正半轴上运动，点在轴上．若四边形为菱形，求直线的解析式． (3)连接，点是的中点，当点在轴正半轴上运动时，点随之而运动，点到的距离是否为定值？若为定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)是定值， 【分析】（）取的中点，连接，证明即可求证； （）作交轴于，则，可证，得到，即得到四边形为平行四边形，当点在边上时，点在边上，由得，可知不可能为菱形，得到点在点的右侧，利用菱形的性质可得，再利用待定系数法解答即可求解； （）连接，设相交于点，可证，得到点到直线的距离为定值且等于平行线之间的距离，再根据正方形的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：如图，取的中点，连接， ∵为正方形外角平分线， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：作交轴于，则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∴四边形为平行四边形， 当点在边上时，点在边上，， ∴， ∴不可能为菱形， ∴点在点的右侧，如图， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴的解析式为； （3）解：如图①或②，连，设相交于点， ∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵垂直平分， ∴点在直线上， ∵，， ∴， ∴点到直线的距离为定值且等于平行线之间的距离， ∵， ∴点到的距离． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，待定系数法求一次函数解析式，直角三角形的性质等；正确画出图形并作出辅助线是解题的关键． 17．如图，点在正方形的边上运动，连接，把沿着翻折，点的对应点为，连接并延长与交于点，与的延长线交于点． (1)若，求的度数． (2)判断的度数是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是，请说明理由． (3)连接，探索线段，，数量之间的等量关系．写出关系式，并加以证明． 【答案】(1) (2)是定值， (3)，见解析 【分析】（1）先根据正方形的性质得到线段相等和角度的关系，得到全等三角形，再根据等腰三角形的性质即可得到答案； （2）先根据全等的性质得到，进而得到，根据三角形的内角和得到，根据外角的性质即可得到答案； （3）先作出辅助线，根据全等三角形的性质和勾股定理可得，进而得到答案； 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴， ， ∵根据题意可知：， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：是定值，． 设， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴． （3）解：． 连接，延长，过点作的垂线， 交延长线于点，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形的外角性质，勾股定理等知识点，解决此题的关键是熟练掌握各个知识点的联系． 18．如图，在菱形中，，．过点作对角线的平行线与边的延长线相交于点，为边上的一个动点（不与端点，重合），连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)求四边形的周长和面积． (3)记的周长和面积分别为和，的周长和面积分别为和，在点的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：①，②，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为：，的面积为：； (3)①；②的值为定值，这个定值为； 【分析】（1）利用菱形的性质得：，由两组对边分别平行的四边形可得结论； （2）设对角线与相交于点．根据直角三角形角的性质得的长，由勾股定理得的长和的长，根据平行四边形的性质可得其周长和面积； （3）①先根据三角形的周长计算，确定的最大值和最小值即可； 根据轴对称的最短路径问题可得：当在处时，的值最小，最小值是，由图形可知：当在点处时，的值最大，构建直角三角形计算即可； ②的值为定值，这个定值为，根据面积公式可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， 即． ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：设对角线与相交于点． ∵四边形是菱形，， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴的周长为：， 的面积为：； （3）①∵， ∵和关于直线对称， ∴当在处时，的值最小，最小值是， 当在点处时，的值最大，如图， 过作，交的延长线于， ∵， ∴， ∵， ∴， 中，， 由勾股定理得：， ∴的最大值是：， ∵为边上的一个动点（不与端点重合）， ∴， 即； ②的值为定值，这个定值为； 理由是： ． 19．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．地 城 类型04 特殊四边形相关中点四边形 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形        B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出关于四边形的对角线的关系： 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， （4）试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2），；（3）见解析；（4），理由见解析 【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论； （3）如图，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）如图，记、的中点分别为E、F，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，那么有中位线的性质可得四边相等，且一个内角为直角，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，． （3）如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K，    ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴、，，分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． （4）如图，记、的中点分别为E、F， 连接    ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 20．（1）如图①点E、F、G、H分别是菱形各边中点，可判定四边形的形状为_________； （2）如图②点E，F，G，H分别是四边形各边中点，且对角线，判定四边形的形状，并证明； （3）在（2）的条件下，请对四边形增添一个条件，使四边形为正方形．（直接写出所添条件） 【答案】【小问1】矩形 【小问2】四边形为矩形；理由见解析 【小问3】当时，四边形是正方形． 【分析】（1）先根据菱形证得，再根据中位线定理证得，，同理，，，从而可得，，于是可证得四边形是平行四边形，再证明，从而可得四边形是矩形； （2）根据三角形中位线定理证得四边形为平行四边形，再根据证明平行四边形EFGH为矩形； （3）根据正方形的判定定理解答即可． 【详解】（1）解：连接、， 四边形是菱形， ， 、F分别是、上的中点， ，， 同理，，， 则，， 四边形是平行四边形， 、G分别是、的中点， ， 又，， ， 四边形是矩形． 故答案为：矩形； （2）四边形为矩形． 证明：点E，F，G，H分别是四边形的边，，，的中点， 、、、分别为、、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ，，， ， 平行四边形EFGH为矩形； （3）当时，四边形是正方形， 理由如下：由（2）得四边形是矩形， 由（2）得，， 添加， ， 矩形为正方形． 【点睛】本题考查了中点四边形，正方形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定定理，三角形中位线定理，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 21．综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“等角线四边形”（如图1）进行研究． 定义：对角线相等的凸四边形为等角线四边形． （1）在我们下列学过的特殊四边形中，一定是等角线四边形的有______（填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 性质探究 （2）如图2，若E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，，的中点，此时以E，F，G，H为顶点的四边形称为它的中点四边形，当时，请判断中点四边形的形状并说明理由； （3）如图3，在中，，D为外一点，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形为等对角线四边形且对角线互相垂直，请直接写出以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积． 【答案】（1）②④； （2）四边形为正方形，理由见解析；（3）或． 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定和性质． （1）根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质及“等角线四边形”逐一判断即可； （2）由中位线定理及等角线四边形的定义可得，，，，，，，证明四边形是菱形，然后由，故有，所以，从而证明四边形是正方形； （3）分两种情况讨论，由（2）可得中点四边形为正方形，即可求解． 【详解】解：（1）①平行四边形的对角线不相等，故不是等角线四边形； ②矩形的对角线相等且是凸四边形，故是等角线四边形； ③菱形的对角线不相等，故不是等角线四边形； ④正方形的对角线相等且是凸四边形，故是等角线四边形； 综上，一定是等角线四边形的有②④． 故答案为：②④； （2）四边形为正方形，理由如下： ∵E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，，的中点， ∴，，，，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （3）分以下两种情况： 当点在的上方时，如图，E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，的中点，对角线，， 由（2）可知，四边形为正方形，且， ∴四边形的面积为； 当点在的下方时，如图，E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，的中点，对角线，， 由（2）可知，四边形为正方形，且， ∴四边形的面积为； 综上，以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积为或． 22．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是__________． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 (2)如图，已知四边形是“中方四边形”、分别是的中点． ①若线段的长度为，求的长； ②若线段的长度为，请直接写出的最小值． 【答案】(1)D (2)①；②的最小值是 【分析】（1）根据中方四边形的定义，结合平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定和性质进行辨析即可； （2）①如图所示，记的中点为，连接，根据中方四边形的性质，等腰直角三角形的性质得到，由中位线的性质得到，即可求解； ②如图所示，设交于点，连接，根据中方四边形的性质，得到是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，当取得最小值时，有最小，，当点共线时，取得最小值，最小值为的值，再根据①的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，四边形是平行四边形，且，点是边的中点，连接， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 同理，， ∵，则， ∴， ∴平行四边形不是“中方四边形”，故A选项不符合题意； 如图所示，四边形是矩形，且，点是边的中点，连接，则，交于点，则， 同理，四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴， ∴矩形不是“中方四边形”，故B选项不符合题意； 如图所示，四边形是菱形，且，点是边的中点，连接， 同理，四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴菱形不是“中方四边形”，故C选项不符合题意； 如图所示，四边形是正方形，且，点是边的中点，连接，交于点，则， 同理，四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴菱形是正方形， ∴正方形是“中方四边形”，故D选项符合题意； 故选：D； （2）解：①如图所示，记的中点为，连接， ∵四边形是“中方四边形”，分别是的中点， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图所示，设交于点，连接， ∵四边形是中方四边形， ∴， ∵， ∴，垂足为点， ∴是直角三角形， ∵分别是的中点， ∴，则， 同理，，， ∴， ∴当取得最小值时，有最小， ∵， ∴当点共线时，取得最小值，最小值为的值， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】本题主要考查“中方四边形”的定义，平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定和性质，中位线的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，最短路径的计算方法，掌握以上知识的综合，数形结合分析是关键． 23．阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)（填空）判断图1中的中点四边形的形状为______，菱形的中点四边形的形状是______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，，，，分别为，，，的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，求的长． 【答案】(1)平行四边形；矩形 (2)菱形，证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，由三角形中位线定理可推出，则可证明四边形是平行四边形；同理可证明四边形为平行四边形，由菱形的性质得到，则，即可证明平行四边形为矩形 （2）连接、，由等边三角形的性质得出，，，证出，由证明，得出，由三角形中位线定理得出，，，，，得出，，证出四边形是平行四边形；再得出，即可得出结论； （3）连接交于O，连接，当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，再证明即可求得答案． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵，，，分别是边，，，的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 如图，四边形是菱形时，连接各边中点，得到四边形， 根据中位线性质得到，， ∴， 同理可得， ∴四边形为平行四边形， 又∵四边形是菱形， ∴，则， ∴平行四边形为矩形； （2）解：四边形为菱形．证明如下： 连接，，如图2所示： ∵和为等边三角形， ，，， ∴， ， 在和中， ， ， ， ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，，， ，， 四边形是平行四边形； ， ， 四边形为菱形； （3）解：如图3，连接交于O，连接、， 当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值， ∵四边形是正方形， ∴， ∵M，E分别是的中点， ∴， 同理可得， ∴； 又∵M，N分别是的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值， 同理可得的最小值， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵N，F分别是的中点， ∴， ∴； ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，平行四边形、矩形、菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，利用前面得出的结论解决新问题是解题的关键． 24．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形” 【概念理解】 （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）． 【性质探究】 （2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论． 【问题解决】 （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”． 【答案】（1）④；（2）；（3）见解析 【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质． （1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）由四边形是“中方四边形”，可得是正方形且E、F、G、H分别是的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案； （3）如图2，取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直， 故答案为：④； （2）解：； 理由如下：如图1， ∵四边形是“中方四边形”， ∴是正方形且E、F、G、H分别是的中点， ∴，，，， ∴， 故答案为：，； （3）证明：如图2，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴菱形是正方形， 即原四边形是“中方四边形”． 25．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点，运动的时间为．地 城 类型05 特殊四边形相关动点存在性 (1)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． (2)从运动开始，当取何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是正方形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，使为菱形 (2) (3)不存在，使为正方形 【详解】（1）解：不存在，理由： ∵，，过作于，则四边形是矩形， ∴，.， 又∵， ∴， 根据勾股定理，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 此时，， 而， ∴四边形不可能是菱形； （2）如图，∵，； ∴当时，四边形是矩形， 即， 解得：， 当时，四边形是矩形； （3）由当时，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形不能是正方形， 即不存在时间，使四边形是正方形 26．如图，在中，，，，动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒（）．    (1)的长为______； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)连接， ①是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； ②是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值． 【答案】(1)10 (2)或 (3)①不存在，理由见解析；②存在， (4)或2 【分析】（1）由平行四边形的性质得，再由勾股定理求出的长即可； （2）当点在线段上时，；当点在线段延长线上时，； （3）①连接、，若与互相平分，则四边形是平行四边形，得，则，解得，不符合题意舍去；②连接、，若与互相平分，则四边形是平行四边形，得，则，解得即可； （4）分两种情况，①当点关于直线对称的点恰好落在点下方时，②当点关于直线对称的点恰好落在点上方时，证，求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ， 故答案为：10； （2）由题意得：， 当点在线段上时，； 当点在线段延长线上时，； 综上所述，线段的长为或； （3）①不存在，理由如下： 如图1，连接、，    若与互相平分，则四边形是平行四边形， ， ，， ， 解得：，不符合题意舍去； ②存在，理由如下： 如图2，连接、，    若与互相平分，则四边形是平行四边形， ， ， 解得：， 存在的值，使得与互相平分，的值为； （4）分两种情况： ①当点关于直线对称的点恰好落在点下方时，如图3，    由对称的性质得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 即， 解得：； ②当点关于直线对称的点恰好落在点上方时，如图4，    由对称的性质得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：； 综上所述，的值为或2． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、轴对称的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质和轴对称的性质是解题的关键，属于中考常考题型． 27．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿匀速运动，点P运动的时间为，请解答以下问题∶ (1)求边的长．（辅助线提示：过D点作边的垂线） (2)是否存在某一时刻t，使线段把四边形分成面积相等的两部分？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使恰好是直角三角形？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)2.25或7 【分析】（1）过点D作于H，直接根据勾股定理即可求解； （2）根据比较发现：，从而确定当线段把四边形分成面积相等的两部分时，点P必在上，然后列方程求解即可； （3）分①当P在上；②当P在上，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：如图1，过点D作于H， ∵， ∴ ∴四边形是矩形 ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得， ； （2）解：存在某一时刻t，使线段把四边形分成面积相等的两部分， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴当线段把四边形分成面积相等的两部分时，点P必在上，如图2，连接， 根据题意， ∴ 根据题意，得 解得， 即当时，线段把四边形分成面积相等的两部分； （3）解：存在某一时刻t，使恰好是直角三角形 ∵ ∴ ∴为直角三角形有两种情况： 当P在上，且时，如图3，连接， 在中， 在中， 在中，， ∴ 即 解得： 当P在上，且时， ∴ 即 整理得 此方程无实数根； 当P在上，且时，如图4，点P与点H重合，， ∴， 解得， 综上所述，当t的值为2.25或7时，恰好是直角三角形． 【点睛】本题主要考查几何动点问题，涉及矩形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的定义以及分类讨论思想等，属于中考压轴题，难度比较大，解题的关键是考虑问题要全面． 28．如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=CD=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ，设运动时间为t秒（）． (1)求点B到线段AC的距离； (2)当NP经过线段AC中点时，求t的值并直接写出此时线段MQ、NQ的关系； (3)连接AN、CP，在点M、N运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形ANCP的面积与四边形ABNP的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)将△AQM沿AD翻折，得到△AKM．在点M、N运动过程中， ①是否存在某时刻t，使四边形AQMK为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； ②是否存在某时刻t，使四边形AQMK为正方形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)秒，MQ=NQ (3)存在，秒，理由见详解 (4)①存在，秒，理由见详解②不存在，理由见详解 【分析】（1）结合题意，在中由勾股定理计算，由平行线的性质可知CD的长与的边BC上的高长相等，然后借助面积法求点B到线段AC的距离即可； （2）首先证明四边形DPNC为平行四边形，推导，当NP经过线段AC中点时，即Q为AC中点，由勾股定理计算可计算除，进而易得CN、BN的长，即可求出此时t的值； （3）当四边形ANCP的面积与四边形ABNP的面积相等时，结合图形可知，由平行线间的距离处处相等，可知的边BN上的高与的边CN上的高相等，易得此时，进而确定，然后计算此时t的值即可； （4）①由折叠的性质及菱形的判定条件可知当时，四边形AQMK为菱形，根据题意列出关于t的方程并求解即可；②若四边形AQMK为正方形，则，由折叠性质可知，此时为等腰直角三角形，，而由题意可知，故可确定不存在某时刻t，使四边形AQMK为正方形． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， ∵，， ∴CD的长与的边BC上的高长相等， ∴， 设点B到AC的距离为h， ∴， 解得， ∴点B到线段AC的距离为； （2）∵NP⊥AD，， ∴， 又∵AD//BC， ∴四边形DPNC为平行四边形， ∴， 当NP经过线段AC中点时，即Q为AC中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴秒， 此时， ∴，即点M与点P重合，即， ∵四边形DPNC为平行四边形， ∴， ∴， ∴； （3）存在，当秒时，四边形ANCP的面积与四边形ABNP的面积相等，理由如下： 由题意可知，， ， 若=，则， ∵， 又∵平行线间的距离处处相等， ∴的边BN上的高与的边CN上的高相等，设高均为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴秒， 综上所述，在点M、N运动过程中，当秒时，四边形ANCP的面积与四边形ABNP的面积相等； （4）①存在，当秒时，四边形AQMK为菱形，理由如下： 由折叠可知， ， 又∵， ∴当时，四边形AQMK为菱形， ∵，， ∴， ∴，， ∴，解得； ②不存在，理由如下： 若四边形AQMK为正方形，则， 由折叠性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，， ∴不存在某时刻t，使四边形AQMK为正方形． 【点睛】本题主要考查了动点问题、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理以及折叠的性质等知识，综合性较强，解题关键是能够灵活运用所学知识，并利用数形结合的思想分析问题． 29．如图1，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒，且． (1)________（用含的代数式表示）； (2)如图2，当点从点开始运动的同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或2 【分析】本题考查列代数式、矩形上的动点问题： （1）求出即可表示出的长度； （2）分两种情况讨论：和时，根据全等的性质得边长相等，从而可求v的值． 【详解】（1）解：，则， 故答案为：； （2）解：存在． 分两种情况讨论： ①当，时，． ∵， ∴． ∴，即． 解得． ∵，， ∴． ②当，时，． ∵， ∴，即． 解得． ∵，即，解得． 综上所述，当或2时，与全等． 30．已知矩形中，，．点E、F、G、H分别在、、、上，且，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，是否存在四边形是菱形？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由； (3)对于上的任意一点E，是否存在一个四边形是菱形？若都存在，请加以证明；若上只有一部分点存在，请求出存在四边形是菱形时，长的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，当时，四边形是菱形，理由见解析 (3)上只有一部分点存在，当 ，四边形是菱形． 【分析】（1）利用全等三角形的性质证明，即可解决问题； （2）存在．设，根据，可得即可解决问题； （3）结论：上只有一部分点存在．利用勾股定理可得a、b的关系，列出不等式即可解决问题； 【详解】（1）解：如图1中， ∵四边形是矩形，    ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 同法可证， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）存在．设， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，，． ∴，，， ∴， ∴． ∴当时，四边形是菱形． （3）结论：上只有一部分点存在． 理由如下： 设，则，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴当 ，四边形是菱形． 【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理，一元一次不等式组是解法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程或不等式解决问题，属于中考常考题型． 31．综合与探究：地 城 类型06 特殊四边形相关折叠问题 在学习了特殊的平行四边形后，“希望小组”的同学们利用课余时间对“纸片中的折叠问题”进行了探究．下面是他们对一张纸片的操作过程： 第一步：如图1，沿过点A的直线将纸片进行折叠，使边落在边上，然后展平得到折痕，点D在边上； 第二步：如图2，折叠纸片使点A与点D重合，展平后得到折痕，点E在边上，点F在边上，连接，； 第三步：如图3，沿过点E的直线折叠使落在射线上，沿过点F的直线折叠使落在上，展平后分别得到折痕，，点P，Q在边上．请解答他们提出的问题： (1)在图2中，判断并证明四边形的形状； (2)在图3中，判断并证明，的数量关系； (3)若，，，请你直接写出四边形的面积． 【答案】(1)四边形为菱形，见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）根据轴对称的性质得到，，再证明，即可得到结论； （2）根据菱形的性质及三角形外角的性质证明，再根据平行线分线段成比例定理，即可得到结论； （3）先证明四边形是正方形，再用面积法列方程求出正方形的边长，即可得到答案． 【详解】（1）解：设与相交于点O， 沿过点A的直线将纸片进行折叠，使边落在边上， ， 折叠纸片使点A与点D重合，展平后得到折痕， ，，， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：； 证明： 沿过点E的直线折叠使落在射线上， ， ， ， ， ， 同理可证， ， ， 四边形是菱形， ， ， 即； （3）解：四边形是菱形， 四边形是正方形， ，，， 解得 四边形的面积为． 【点睛】本题考查了图形轴对称的性质，菱形的判定与性质，正方形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 32．综合与探究 问题情境： 在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，在矩形中，，，是边上的一个动点，连接． 操作探究： (1)第一步操作：将沿折叠，使点落在点处． 第二步操作：在边上取一点，使．将沿折叠得到，与交于点，与交于点． ①求证：； ②请判断四边形的形状，并说明理由． (2)在（1）中第一步操作的基础上，沿过点的直线继续折叠矩形，使点落到点处，折痕交边于点，点的对应点为．若点，恰好重合，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据矩形的性质可证明，然后导角证明，再由折叠的性质得，则，那么； ②由全等三角形得到由折叠的性质得，则，故同理可得，可先证明四边形为平行四边形，再由折叠的性质得，即可证明四边形为矩形； （2）先得到，继而可证明四边形是平行四边形，然后证明点在上，再证明，即可求解． 【详解】（1）①证明：∵四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， 由折叠的性质得， ∵，， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴； ②解：四边形为矩形， 理由如下： 由①得， ∴ 由折叠的性质得， 又∵， ∴， ∴ 同理可得 ∴.四边形为平行四边形， 由折叠的性质得， ∴四边形为矩形； （2）解：如图， 由题意得，，， 由折叠得， ∴， 由（1）得， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵折叠知， 又∵， ∴， ∴， ∴点在上， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵由（1）知， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握折叠的性质以及相似三角形的判定与性质． 33．如图1．将纸片沿中位线折叠，使点A对称点D落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形．这样的矩形附为叠合矩形．    (1)将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段______、______，______； (2)纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，．求的长； (3)如图4，四边形纸片满足，，，，，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并直接写出的长．（写出一种即可） 【答案】(1)，； (2)15 (3)， 【分析】（1）由折叠的性质可得出结论； （2）利用勾股定理求得，证明，据此即可求解； （3）分别作边的中点E、F，将四边形沿直线折叠，使点A与B重合，点D落在处，将沿折叠，点C落在点处．则四边形是正方形．利用勾股定理和相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：将纸片按图②的方式折叠成一个叠合矩形，    则操作形成的折痕分别是线段，； 由折叠知，， ． 故答案为：，；； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵中， ∴，，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质知，，， ∴；    （3）解：如图，分别作边的中点E、F，将四边形沿直线折叠，使点A与B重合，点D落在处，将沿折叠，点C落在点处．则四边形是正方形． 连接．      由翻折的性质可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 当时，则四边形是正方形． ∴，，，， ∴， ∵，且， ∴， ∴，， ∴，． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了翻折变换，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 34．问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动，活动方式为将一张平行四边形纸片进行折叠变换后，发现结论并解决问题． 成果展示 (1)“爱心”小组：如图1，将平行四边形沿折叠，使点与点重合，折痕与，边分别交于点，，发现，请证明他们发现的结论； (2)“希望”小组：如图2，，分别是，边上的动点，且，连接，将平行四边形沿折叠，点落在点处，点落在点处，交于点，分别交，于点，，发现，请证明他们发现的结论； (3)教师提问：在图1的基础上，连接与交于点，如图3所示，若，，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质； （1）由四边形是平行四边形，得到，，根据折叠的性质得，，即可得到，； （2）根据折叠的性质得，，，，证明，得到； （3）过作交延长线于，先求出，，根据折叠的性质得，，，，再证明，得， 设，则，，在中，根据得到，最后根据，求出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 根据折叠的性质得，，，， 又∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：过作交延长线于， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴，， 根据折叠的性质得，，，， ∴，， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 35．已知三角形纸片，其中，，，点E，F分别是，上的点，连接．    (1)如图1，若将纸片沿折叠，折叠后点A刚好落在边上点D处，且，求的长； (2)如图2，若将纸片沿折叠，折叠后点A刚好落在边上点M处，且． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②求折痕的长． 【答案】(1) (2)①四边形是菱形．理由见解析；② 【分析】（1）由折叠的性质可得出，，进而得出，．由已知条件可得出，再证明，再由相似三角形的性质可得出，由勾股定理求出，则可求出． （2）①由折叠的性质得出．，，由平行线的性质得出，等量代换得出，由等边对等角得出，则，则可得出为菱形． ②过点作于点．由菱形的性质可得出，进而得出，由相似三角形的性质得出，设，求出，再证明，由相似三角形的性质得出，进一步得出，，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：若将纸片沿折叠，折叠后点刚好落在边上点处． ，． ，． ， ． ，， ． ， ． ，， ， ． （2）四边形是菱形． 证明：若将纸片沿折叠，折叠后点刚好落在边上点处， ． ∴．，， ， ， ∴， ． ∴ 四边形是菱形． ②过点作于点． 四边形是菱形， ． ． ． 设， ． ． ，， ． ． 即 ， ． 在中， ． ．    【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，菱形的判定以及性质，折叠的性质，平行线的性质以及勾股定理的应用等知识，掌握相似三角形的判定以及性质，折叠的性质，菱形的判定以及性质是解题的关键． 36．在矩形中，宽，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠． (1)如图1，若，将矩形沿折叠后，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，交于点M． ①判断与是否相等，并说明理由； ②连接交于点N，若，求的值； (2)如图2，若矩形的长，将矩形沿折叠后，点A、D的对应点分别是点，连接，直接写出面积的最小值为　　． 【答案】(1)①，理由见解析② (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①证明，即可解答； ②延长交于点G，证明，得到，设，则，根据勾股定理可得，，再证明，得到，证明，得到，即可求解； （2）当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小，根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：①，理由如下：             如图1，由折叠可得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；                                     ②如图2，延长交于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：x， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴； （2）解：如图3，由折叠可得： 当中边上的高最小时，的面积最小， 即当E，C，三点共线时，的面积最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， 即面积的最小值为， 故答案为：． 37．综合与实践：某校为了激发学生的数学兴趣举行数学节活动，小明制作了一些几何图形的模具．地 城 类型07 相似三角形相关最值问题 追本溯源 （1）如图，小明制作等边三角形模具，点是动点． ①当点在上运动时，将绕点旋转，使得旋转后点的对应点为点，得到，连接，用尺规作图法在图1中作出旋转后的图形； 特例探究 ②在①中，若，则的最小值是______； 类比迁移 ③若点在下方时，连接，，，当时，求的最小值； 拓展应用 （2）如图3、4中，小明制作矩形模具，，，为模具边上的一动点． ①如图3，以为边向右作等边，连接，判断是否存在最小值，若存在，求最小值；若不存在，说明理由？ ②如图4，以为边向右构造正方形，连接，直接写出的最小值是______． 【答案】解：（1）①作图见解析；②；③的最小值为 （2）①存在，的最小值为；② 【详解】解：（1）①以为原点，为半径画圆弧交于点为圆心，为半径．画的圆弧，交点为，连接、， 即为旋转后所得图形． ②根据题意得：当时，最小， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， 即的最小值是． ③将绕着点逆时针旋转60度得到，连接，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴ ∵， ∴、、三点共线， ∴， ∴是等边三角形 当成为等边三角形的高线时才会最短，过作的垂线段， ∵， ∴当时，最短， ∴的最小值为 ； （2）①如图，将绕着点顺时针旋转60度得到，可得，连接，则是等边三角形， ∴， ∴的最小值为12， 过点作于，交于， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵为定点， ∴当时，即点与点重合时，最小， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为． ②如图，以为边向下作正方形，连接、交于点，连接，，过点作于，交于， ∵四边形、是正方形， ∴，， ，是等腰直角三角形 ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 当取得最小值时，最小， ∵点为定点， ∴当时，即点与点重合时，最小， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小值为12， ∴的最小值为． 38．如图1，在中，，点P、D分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)如图2，若时，求的长； (3)当点在边上运动时，线段长有最小值，最小值为_________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边对等角得到角相等，进而判断三角形相似，根据相似三角形的性质即可得到答案； （2）根据平行线的性质得到角相等，进而得到边相等，再根据勾股定理即可得到答案； （3）先判断三角形相似，再根据垂线段最短得到答案即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）解：过点作于点， 又∵， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 在中， 即， 解得：， ∴的长为； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴要想让取得最小值，只需要让取得最小值即可， ∵点P是边上的点， ∴时，最小，由（2）的过程可知：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识点，解决此题的关键是合理的运用三角形的相似； 39．如图，是等腰三角形，，点分别在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)探究：长是否存在最小值，若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证得，根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质即可证得结论； （2）由，，得到，，由（1）知，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）设，，由（1）知，根据相似三角形的性质得到，得到，整理得，由方程有解，即，得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 由（1）知， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵方程有解，即， ∴，得， 即最大值为， ∴最小值为． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查相似三角形的判定和性质、根的判别式等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质解决问题． 40．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，P为平面内一点， （1）求最小值 （2）在（1）条件下，求最小值 （3）在（1）条件下，求最小值 （4）在（1）条件下，求最小值 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）将△ABP绕点A逆时针旋转90°，得到△AP′B′，取PP′中点D，连接AD，可得∠P′AB′=∠PAB，AB′=AB=4，当点C、P、P′、B′共线是，CP+PP′+P′C最短，即最短，根据∠CAP+∠BAP=30°，∠PAP′=90°，∠CAB′=∠CAP+∠P′AB′+∠PAP′=120°，AC=AB′=4，可求∠ACB′=∠AB′C=在Rt△ADC中，根据勾股定理CD=即可； （2）将△APB逆时针旋转90°，得到△AP′B′，延长AP′到AP″=2AP′，延长AB′到AB″=2AB′，根据点P′，B′是AP″，AB″的中点，可得P″B″=2 P′B′，当点C，P，P″，B″共线时，线段最小值=CB″，过C作射线B″A的垂直线CE⊥B″A于E，先求出∠ECA=90°-∠EAC=30°，利用30°直角三角形性质可得AE=，根据勾股定理EC，在Rt△CEB″中即可； （3）把△APB逆时针旋转90°，得到△AP′B′，以AP、AP为邻边作正方形APTP′，连接AT，′延长AP′到AM=2AT，过M作MN∥P′B′，交AB′延长线与N，可得AM=2AT=2，根据MN∥P′B′，可证△AP′B′∽△AMN，得出，可得， ，当点C，P，M，N共线时，线段最小值最小值=CN，过C作射线NA的垂直线CF⊥NA于F，先求出∠CAN=120°，再求∠FCA=90°-∠FAC=30°，利用30°直角三角形性质可求AF=，利用勾股定理可求FC，在Rt△CFN中即可； （4）将△APB逆时针旋转90°得△AP′B′，延长CP交AP′与M，使PM=，根据勾股定理在Rt△APM中，AM=，过M作MN∥P′B′，交AB′于M，根据MN∥P′B′，可证△AP′B′∽△AMN，可得，可求，，根据两点间距离可得CP+PM+MN≥CN，当点C、P、M、N四点共线时，最短=CF，过C作CG⊥NA于G，可求∠GAC=180°-∠BAF=60°，∠GCA=90°-∠GAC=30°利用30°直角三角形性质AG=，利用勾股定理可求CG=，NG=NA+AG=，CN=即可 ． 【详解】解：（1）将△ABP绕点A逆时针旋转90°，得到△AP′B′，取PP′中点D，连接AD ∴∠P′AB′=∠PAB，AB′=AB=4， ∴当点C、P、P′、B′共线是，CP+PP′+P′C最短，即最短， ∵∠CAP+∠BAP=30°，∠PAP′=90°， ∴∠CAP+∠P′AB′=∠CAP+∠BAP=30°， ∴∠CAB′=∠CAP+∠P′AB′+∠PAP′=120°，AC=AB′=4， ∴∠ACB′=∠AB′C=， ∵点D为PP′中点，AP=AP′，∠PAP′=90°， ∴AD⊥PP′，即AD⊥CB′， ∴AD=， 在Rt△ADC中，根据勾股定理CD=， ∴最小值为CB′=2×； （2）将△APB逆时针旋转90°，得到△AP′B′，延长AP′到AP″=2AP′，延长AB′到AB″=2AB′， ∵点P′，B′是AP″，AB″的中点， ∴P″B″=2 P′B′， ∴当点C，P，P″，B″共线时，线段最小值=CB″， 过C作射线B″A的垂直线CE⊥B″A于E， ∵∠CAP+∠BAP=30°，∠PAP′=90°， ∴∠CAP+∠P′AB′=∠CAP+∠BAP=30°， ∴∠CAB′=∠CAP+∠P′AB′+∠PAP′=120°，AC=AB′=4， ∴∠CAB″=120°，AB″=2AB′=2AC=8， ∴∠EAC=180°-∠CAB″=60°， ∴∠ECA=90°-∠EAC=30°， ∴AE=， ∴EC， 在Rt△CEB″中 ， ∴最小值为， （3）把△APB逆时针旋转90°，得到△AP′B′，以AP、AP为邻边作正方形APTP′，连接AT，′延长AP′到AM=2AT，过M作MN∥P′B′，交AB′延长线与N， 则AM=2AT=2， ∵MN∥P′B′， ∴∠AP′B′=∠AMN，∠AB′P′=∠ANM， ∴△AP′B′∽△AMN， ∴， ∴， ， ∴当点C，P，M，N共线时，线段最小值最小值=CN， 过C作射线NA的垂直线CF⊥NA于F， ∵∠CAP+∠BAP=30°，∠PAP′=90°， ∴∠CAP+∠P′AB′=∠CAP+∠BAP=30°， ∴∠CAB′=∠CAP+∠P′AB′+∠PAP′=120°，AC=AB′=4， ∴∠CAN=120°， ∴∠FAC=180°-∠CAB″=60°， ∴∠FCA=90°-∠FAC=30°， ∴AF=， ∴FC， 在Rt△CFN中 ， ∴最小值为， （4）解：将△APB逆时针旋转90°得△AP′B′，延长CP交AP′与M，使PM=， 在Rt△APM中，AM=， 过M作MN∥P′B′，交AB′于M， ∵MN∥P′B′， ∴∠AP′B′=∠AMN，∠AB′P′=∠ANM， ∴△AP′B′∽△AMN， ∴， ∴，， ∴CP+PM+MN≥CN， 当点C、P、M、N四点共线时，最短=CF， 过C作CG⊥NA于G， ∵∠BAC=30°，∠CAN=90°， ∴∠CAN=∠BAC+∠BAN=30°+90°=120°， ∴∠GAC=180°-∠BAF=60°，∠GCA=90°-∠GAC=30°， ∴AG=，CG=，NG=NA+AG=， ∴CN=， ∴最小值=CN=． 【点睛】本题考查图形旋转，等腰三角形性质，勾股定理，30°直角三角形性质，三角形相似判定与性质，两点之间线段最短，掌握图形旋转性质，等腰三角形性质，勾股定理，30°直角三角形性质，三角形相似判定与性质，两点之间线段最短是解题关键 41．已知，如图1，在中，，，，点为边上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接、，设． (1)的最小值为______，此时______； (2)如图2，当点落在边上时，求的值； (3)如图3（点在下方） ①尺规作图：过点作的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②______（用含有的代数式表示），并求当时的值； (4)直接写出的最小值． 【答案】(1)、 (2) (3)①见详解；②， (4) 【分析】（1）根据勾股定理求得，结合点到直线的距离定义可知垂线段最短和等面积法即可求得最短距离，进一步结合勾股定理求得； （2）过点P作交于点D，则，判定，有，解得，利用勾股定理求得，结合旋转和等腰三角形的性质得，列方程求解即可； （3）①根据过一点做已知直线的垂线的做法作图即可；②过点P作交于点G，延长交于点H，则，可得四边形为矩形，有，同理可得，，，，由旋转得和，可证明，有和，可得和，进一步证明，则即可； （4）根据点P的运动轨迹确定点E在线段上运动，同理可得，，，求得，过点P作交于点M，利用，即可求得最小值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 根据点到直线的距离定义可知垂线段最短，如图， 则， ∵，即， ∴， 在中，， 故答案为：、； （2）解：过点P作交于点D，如图， 则， ∵点落在边上， ∴， ∴， 则，解得， 在中，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 则， ∴，解得， 故答案为：； （3）解：①如图， ②过点P作交于点G，延长交于点H，如图， 则， ∴四边形为矩形， ∴， 同理可得，，，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，解得和（舍去）， ∴ 故答案为：； （4）解：如图， ∵当点P与点A重合时，点E位于点；当点P与点B重合时，点E位于点； ∴点E在线段上运动， 同理可得，， ∴， 过点P作交于点M，即的最小值为， ∵， ∴，解得． 【点睛】本题主要考查勾股定理、垂线段最短、平行线的判定和性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质和解直角三角形，解题的关键是熟悉旋转的性质和三角形的性质，以及动点轨迹的判定． 42．如图①，是边长为2的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，点是射线上的一动点． (1)当不与重合时，将绕点逆时针方向旋转得到，则　　． (2)如图②，在（1）的条件下，当点在线段上时，周长是否存在最小值？若存在求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． (3)如图③，当点在射线上运动时，以为斜边做等腰直角，连接，求最小值． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】(1)由旋转得，可得是等边三角形，即可得； (2)当点在线段上时，由旋转的性质得到，于是得到，根据等边三角形的性质得到，由垂线段最短得到当时，的周长最小，于是得到结论； (3)先构造一组手拉手相似三角形，求得点的运动轨迹为一条与夹角为的直线，进而只需求点到直线的距离．通过作垂线结合特殊三角形的性质可求得． 【详解】（1）由题意可得：，， 为等边三角形， ， 故答案为：． （2）存在， ， ，，， ， 为等边三角形， ， 的周长， 由于的长度是固定的，因此当取得最小值时，的周长取得最小值， 当时，最短， 此时， 的周长最小值为：． （3）如图1，以为斜边作等腰直角三角形，作过点、的直线，交于点， 可得：， ， ， ， ， ， 即在点的运动过程中，点始终在直线上运动，且直线与的夹角为， 的最小值即为点到直线的最小值， 将单独拿出来，如图2，过点作于点，过点作交的延长线于点， 则到直线的距离等于线段的长度， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 和均为等腰直角三角形， ， ， 即的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形、相似三角形综合知识，熟练掌握手拉手旋转型相似是解题关键． 43．探究式学习是数学学习的重要方式，是培养创新性人才的重要途径．数学课上，张老师出示如下题目，请同学们尝试以下探究．地 城 类型08 相似三角形相关探究数量关系 在中，，，D是边上一点，是边上的一动点，作射线，将射线绕点顺时针旋转与边所在的直线交于点． 【初步感知】 （1）数学探究小组发现，当点为的中点时，如图①，易得出线段，的数量关系为_____；他们进一步发现线段，，也有一定的数量关系，则，的数量关系为_____． 【深入探究】 （2）数学探究小组继续研究，如图②，当点为靠近点A的的三等分点时，线段，，之间也有一定的数量关系，请写出线段，，之间的数量关系，并证明； 【思维拓展】 （3）如图③，在（2）的条件下，连接，设的中点为，若，点从点向点方向移动的过程中，直接写出点运动的路程长度． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）连接， 在中，，，点为的中点， 平分， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2），理由如下： 取中点H，过点H作交于点G，交于点P， 在中，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 点为靠近点A的的三等分点， ， 由（1）知，， ， ， ，H是中点， ， 点为中点， 是中位线， ， ； （3）如下图，作交延长线于点，作交延长线于点，取中点，连接， 则为点M运动路径，连接， ，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 是中点， 分别是和对应中线， ， ， ， ， ， ①， 在中，设， 则， ， ， ， 代入①得：， ， 则点运动的路程长． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，相似三角形判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定是解题关键． 44．【问题呈现】（1）如图①，在凸四边形中，，，连接，，某数学小组在进行探究时发现、和之间存在一定的数量关系； 小明同学给出了如下解决思路： 以为边作等边，连接，则易证，且，此时，，进而推导出、和之间的数量关系．根据小明同学思路推出其数量关系并证明； 【类比探究】（2）如图②，在凸四边形中，，，，连接，（1）中的结论是否改变？若不改变，请说明理由；若改变，请写出新的数量关系并证明； 【实际应用】（3）工程师王师傅在电脑上设计了一个凸四边形零件（），如图③所示．其中厘米，厘米，，垂足是，且是的中点，且，连接．在尝试画图的过程中，王师傅发现，和之间存在一定的数量关系，请你帮王师傅直接写出，和之间的数量关系．（不写证明过程） 【答案】（1）；理由见解析；（2）（1）中的结论改变，，理由见解析；（3）． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到所需的数量关系； （2）如图②，以为直角边作等腰直角三角形，使，，连接，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可得到所需的数量关系； （3）如图③，将绕点逆时针旋转得到，连接，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到三者间的数量关系． 【详解】解：（1），理由如下； ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵以为边作等边，连接， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）（1）中的结论改变，，理由如下； 证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， 如图②，以为直角边作等腰直角三角形，使，，连接， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）∵，是的中点， ∴，， ∴， 如图③，将绕点逆时针旋转得到，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵厘米，厘米， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解本题的关键． 45．已知：如图，，，交线段于点． (1)如图，当时．则线段、之间的数量关系为______； (2)如图，当时．试探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)如明，在（2）的条件下，点是边的中点，连接，与交于点，试探究与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）易证∽，然后只需运用相似三角形的性质就可解决问题； （2）过点作于，如图3.根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，，进而可得≌，则有，即可证到； （3）延长到点，使得，连接、，如图3，易证四边形是平行四边形，从而可得，，即可得到∽，然后由相似三角形的对应边成比例，求得与的比值，继而求得答案． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ∽， ． ， ； 故答案为：； （2）猜想：． 理由：过点作于，如图2． 又，， ，， ，， ∵， ， 在和中， ， ≌， ， ， ； （3）延长到点，使得，连接、，如图3， ，， 四边形是平行四边形， ，， ∽，， ． 设，则有，， ， ， ． 【点睛】此题属于相似三角形的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键 46．四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上． (1)如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，即可得出结论； （2）根据正方形的性质，证明，即可得出结论； （3）作，得到，平行线分线段成比例得到，进而得到为的中位线，得到，根据，得到，进而得到，勾股定理得到，再根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵正方形， ∴， ∵是直角三角形，， ∴， 当点E与点A重合时，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）∵正方形， ∴， ∵点G在的延长线上，的延长线与的延长线交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3），理由如下： 由（2）可知：， ∴，， 作于点，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键． 47．三角形的相似为线段之间的关系提供了更多的变化，也让数学变得更加精彩．请完成以下探究： (1)如图1，和均为直角三角形，，与相交于点，线段之间有什么样的数量关系？ (2)如图2，和均为等腰三角形，，且，则线段之间有什么样的数量关系？ (3)如图3，四边形中，为对角线上一点，且，请探究四边形四条边长与两条对角线之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质即可得出结论； （2）证明，得到，易证，推出，即可得出结论； （3）设交点为O，易证，进而证明，得到，求出，推出，证明，，推出，由变形即可得到． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 设交点为O， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 48．已知：（各顶点字母均按逆时针顺序）且，现将绕点旋转，射线与射线交于点，连接． (1)特例感知： ①如图1，，点在内部，且点，在两侧，则，，之间的数量关系是_____； ②如图2，，，点在内部，且点，在两侧，则，，之间的数量关系是_______； (2)拓展探究： 如图3，，，，点在的内部，且点，在两侧，请写出线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)①；② (2)，证明见解析 【分析】（1）①结论：．在上取一点，使得，连接，设交与点，证明，推出，推出，推出是等边三角形，再证明，可得结论； ②结论：．在上取一点，使得，连接，设交与点，证明，推出，推出，再证明，推出，可得结论； （2）结论：．设在上取一点，使得，连接，设交与点，证明，推出，，再证明，推出，推出，可得结论． 【详解】（1）解：①结论：． 理由：在上取一点，使得，连接，设交于点， ，， 是等边三角形， ， 也是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：； ②结论：． 理由：在上取一点，使得，连接，设交与点， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：； （2）解：结论：． 理由：设在上取一点，使得，连接，设交与点， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 49．如图，已知梯形中，，，P为一动点从点B出发，沿方向，以的速度由点B向点D运动；Q为另一动点，从C出发，沿方向，以的速度由点C向点D运动，当其中一动点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．地 城 类型09 相似三角形相关存在性问题 (1)如图1，当P运动t秒时，恰好有，求t的值； (2)如图2，过点Q作于点E． ①在运动过程中，是否存在t秒时，使得以P、A、D为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． ②在运动过程中，是否存在t秒时，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值（直接写出答案）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2秒 (2)①存在，秒或秒；②存在，秒或4秒或秒 【详解】（1）解：点P沿方向以的速度向由点向点D运动；点沿方向以的速度向由点向点运动， 点P由点到点D的运动时间为：（秒）， 点由点C到点D的运动时间为：（秒）， 运动时间为t秒， ，， ， ，即， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， 的值为秒； （2）①过点D作于点， ， ，，，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， 运动时间为t秒， ∴， 设， ，， ， ， ， ，即， ，， 存在P、A、D为顶点的三角形与相似， 当时， ，即， 解得：， （秒）； 当时， ∴，即， 解得：， （秒）； 综上所述，t的值为秒或秒时，以P、A、D为顶点的三角形与相似； ②过点作于点， ， 四边形是矩形， ，， ∴， 在中，， 在中，，， 存在以P、D、Q为顶点的三角形恰好是等腰三角形； 当时，得， ， 解得：，， ， （不合题意，舍去），； 当时，得：， ， 解得：， ； 当时，得：， ， 解得：，， （不合题意舍去），； 综上所述，当t的值为秒或4秒或秒时，以P、D、Q为顶点的三角形恰好是等腰三角形． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的定义等知识点．利用方程的思想和分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 50．如图，中，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)是否存在某一时刻，使的面积是面积的？若存在求出相应的值，若不存在，请说明理由． (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在．理由见解析 (2)存在或或时，使是等腰三角形．理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等，解题的关键是作出恰当的辅助线． （1）过P作，由得，再代入相关的数据即可求得t的值，再进行判断即可． （2）分三种情况讨论，利用等腰三角形与相似三角形的性质即可求得t值． 【详解】（1）解：过P作， 因，则． ∴， ∴，又， ∴． ∴． 又． 根据题意，若存在某一时刻t，使， 则有：． 解得：（另一解因不满足，故舍去）， ∴存在这样的，使的面积是面积的． （2）解：若要使是等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，，解得：． ②当时，过P作，垂足为点H（参考上图），则， 由知，，即， 解得：． ③当时，自点M作，则， 由得， ∴，即，解得：． 综合以上三种情况可知，存在或或时，使是等腰三角形． 51．如图，在矩形中，，，动点P从点D出发沿向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线向终点C运动．过点P作，交于点E，动点P、Q的运动速度是每秒2个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的长； (2)当t为何值时，与相似？ (3)是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，与相似 (3)存在，t的值为或或 【分析】（1）由矩形的性质可得，，，，由勾股定理可得，由题意得，则有，t的取值范围为，当时，则有，证明，由相似三角形的性质即可得解； （2）由（1）可知，，，由相似三角形的性质得出，，证明出，再分两种情况：当时，则有；当时，则有；分别利用相似三角形的性质求解即可； （3）分三种情况：当时，作于点H，则；当时；当时；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， 由题意得：，则有，t的取值范围为， ∴当时，则有， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：由（1）可知：，，， ∴，即， ∴，， ∵， ∴ ∴ 当时，则有 ∴，即， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，则有，此时， ∵， ∴点C、Q重合，则， ∴，与相矛盾，故此种情况不成立； 综上所述：当时，与相似； （3）解：存在，当时，如图1，作于点H，则， ∵， ∴， ∴， 由得， 解得； 当时，如图2， 由（2）可知：， ∴， ∴， 解得； 当时，如图3，则， ， ∵， ∴， ∴， 由得， 解得， 综上所述，t的值为或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 52．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．以，为邻边的平行四边形的边与交于点．设运动时间为，解答下列问题： (1)当点在的垂直平分线上时，求的值； (2)连接，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当时， (3)存在，当时，点在的平分线上 【分析】（1）过点作于点，交于点，当点在的垂直平分线上时，，用等面积法求出，再用含的式子表示、，再利用可求出； （2）连接，过点作于点，先用含的式子表示，再利用，将用含的式子表示，通过面积关系可求出； （3）点在的平分线上，过点作于点，，交的延长线于点，得到，用等面积法求出，再利用求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，当点在的垂直平分线上时，过点作于点，交于点， 四边形是菱形，对角线，相交于点， ，，， ， ， 菱形的面积为，即， ， ， 由题意得：，，四边形是平行四边形， ，， 点在的垂直平分线上， ， ， ， ，即， 解得：； （2）存在， 如图，连接，过点作于点， ，，，， ， ，即， ， ，， ， ，即， ， ， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，； （3）存在， 如图，点在的平分线上，过点作于点，，交的延长线于点， ， ， ， ， ，， ， ，即， ， 当时，点在的平分线上． 【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键． 53．如图，已知直角梯形中，，，，，，动点从点出发，沿方向向终点匀速运动，速度为，同时动点、都从点出发，分别沿、的方向匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，连接，，设它们运动时间为． (1)当为何值时，四边形为矩形？ (2)设的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使得的面积等于四边形的面积的三分之一？ (4)如图，连接，是否存在某一时刻，使经过的中点？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 (4)存在，的值为 【分析】（）由矩形的性质可得，即得，解方程即可求解； （）根据的面积梯形的面积的面积的面积解答即可求解； （）求出四边形的面积，根据题意得到，解方程即可求解； （）设为的中点，作于于，由是的中位线，得到，，求出，证明，得出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，则， 当四边形为矩形，， ∴， 解得， 即当为时，四边形为矩形； （2）解：∵， ， ∵， ， ∵的面积梯形的面积的面积的面积， ∴， 即； （3）解：存在，理由如下： 四边形的面积， 若的面积等于四边形的面积的三分之一， 则， 解得或， 即存在某一时刻或，使得的面积等于四边形的面积的三分之一； （4）解：存在，理由如下： 设为的中点，作于于，如图所示，则， ∵， ∴四边形是矩形， ， 为的中点，， ∴， ∴， 是的中位线， ， ， ， ， ， 即， 解得或， 当时，， ∴不合题意，舍去， ， 存在某一时刻，使经过的中点，此时的值为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行线等分线段定理，三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 54．如图，在中，，，，动点从出发沿方向，以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，到达点后立即以原来速度沿返回；同时动点从点出发沿以每秒个单位长度向点匀速运动，当到达时，、两点同时停止运动．设、运动的时间为秒． (1)当为何值时，？ (2)在点从向运动的过程中，在上是否存在点使与全等？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； (3)伴随着、两点的运动，线段的垂直平分线交于点，交折线于点当经过点时，求出的值． 【答案】(1) (2)存在， (3)的值为和 【分析】（1）由题意得，则，先勾股定理求出，再由平行线分线段成比例定理列出比例式，求方程即可求出的值； （2）根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的性质求出，最后用勾股定理求解即可； （3）分由向运动和由向运动两种情况讨论，根据线段垂直平分线的性质、相似三角形的性质计算即可． 【详解】（1）解：如图，，则， 在中，由勾股定理可得， ， ，即，解得，， 当时，； （2）解：存在，如图，由题意可知， 又， 要使与全等，只有这一种情况， 此时，， ， ，即，解得，， 则， 在中，由勾股定理可得； （3）解：①当由向运动时，， ， ， ， ，即，解得； ②如图，当由向运动时，过作交于点， ，， 则，即， 解得，， 同理可求得， ， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得， 综上可知满足条件的的值为和． 55．在矩形中，为边上一点，把△沿翻折，使点恰好落在边上的点．地 城 类型10 相似三角形与三角函数综合 (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴ 由翻折的性质得，， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：由矩形和翻折的性质得，，，， 由勾股定理得，， 假设，则， 由（1）得，， ∴， 即， 解得， ∴的长为； （3）解： 假设，则， ∵， ∴， 由勾股定理得，，， 由（1）得，， ∴， 即， 解得，， ∴． 56．如图1，在中，点，分别是边，上的点，，交于点． (1)若是等边三角形，，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，，，求的长度； (3)如图3，，，，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)9 (3)20 【分析】（1）根据等边三角形的条件证明即可； （2）证明，或，根据相似比建立方程求解； （3）过点、点作的垂线，证明，或过点、点作的垂线，证明，借助相似比建立关系，利用勾股定理求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， ， ； ． （2）方法一：设， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ． ， ，， ， ． 方法二：设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． （3）过点作于点，过点作于点， ， ， ， ， 在Rt中， 设，， 在Rt中，由勾股定理得， ，（也可由得出）， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 方法二：过点作交延长线于点，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在Rt中，， ， 在Rt中，由勾股定理得， ， ， ， ， ， ，， （可由得出）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 57．【模型识别】如图1，于点B，于点C，交于点D，求证：． 【尝试应用】如图2，在平行四边形中，E是上的一点，连接，作交于点F，， 若，，，求的值； 【拓展探究】如图3，已知菱形的边长为10， ，点E为边上的一点，连接，过点A作交于点F，交于点G，且，求的长． 【答案】模型识别：见解析；尝试应用：；拓展探究： 【分析】本题考查矩形的判定与性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，属四边形综合题目，难度较大，为中考压轴题目． （1）证明即可得出结论； （2）过点A作的延长线于点M，过点F作于点N，先证明四边形是矩形，，求出 继而证明，则 ，设，则，，，即，得到 ，求出x的值，即可解答． （3）连接交于，交于，根据菱形性质和解直角，求得，，再证明，得，从而得，继而求得，然后证明，得到，则，即可求得，，从而求得，则可求得，，，证明得，即，则，最后由求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ； （2）过点A作的延长线于点M，过点F作于点N，如图 有， 四边形是平行四边形， ，，， ∴，， ，四边形是矩形，， ∴，， 即， ，， ，， ，或（不合题意，舍去） ， ， 设，则，，， 即， ∴， ， 即 解得：，（不符合题意，舍去）， ； （3）连接交于，交于， 四边形是菱形， ， ， ， 设，，由勾股定理，得， 解得：， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， ， ，， 四边形是菱形， ， ， ，即， ， ． 58．【问题情境】（1）如图1，正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，，易证（不需写出证明过程），此时的值是______； 【问题解决】（2）如图2，矩形中，，，E、F别是边和对角线上的点，，，①求证：；②求的长； 【变式探究】（3）如图3，菱形中，，对角线，交的延长线于点H，E、F分别是线段和上的点，，，求的长． 【答案】（1）；（2）①见解析；②；（3） 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、矩形、菱形的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，证明是解题的关键，注意解题方法的延续性． （1）说明，，即可得，进而可得，； （2）①连接交于点，通过计算，得出，再由，可证明； ②由①的结论，则； （3）连接交于点，同理得，则，得，求出的长，再利用，得，从而求得结果． 【详解】（1）解：∵为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）①证明：如图，连接，交于点O， ∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由①得， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，交于点O， ∵四边形为菱形，，， ∴，，，，， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 59．如图1，为矩形的对角线，点在边上，连接，过点作分别交，于点，点，过点作，垂足为点，分别交，于点，点，．      (1)求证：； (2)如图2，若且点为中点，求证：； (3)如图3，若，，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（）利用等角的余角相等，得到和，即可证明； （）证得四边形是正方形，再证明，即可得证； （）设，则，证明，利用三角函数关系求得，证明，推出，证明，推出，根据，即可求解． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，      ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵，即， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，即， 同（）得， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，正切函数，正方形的判定和性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 60．如图1，在正方形中，E是对角线延长线上的一点，线段绕点B顺时针旋转至，连接． (1)求证：； (2)连接交于点F，并延长与的延长线相交于点H． ①如图2，若，求的值； ②如图3，与相交于点Q，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据“边角边”证明即可； （2）①证明，再列出比例式即可求解；②由①可得，列出比例式，再设出正方形的边长，求出，作于M，根据三角函数定义求解即可． 【详解】（1）证明：在正方形中， ∴，， ∵线段绕点B顺时针旋转至， ∴，， ∴， ∴ ∴． （2）解：①在正方形中，E是对角线延长线上的一点， ∴， ∴， ∵，， ∴，     ∴，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ； ②∵， ∴， 由①可知，， ∴， 设出正方形的边长为m，则， ∵， ∴， 解得，（负值舍去）， 作于M， 则， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相关判定定理进行证明推理． 61．（1）如图，点为正方形对角线上一动点，过点作交于点，试判断线段、的数量关系，并说明理由；地 城 类型11 相似三角形相关定值问题 （2）如图，点为矩形对角线上一动点，过点作交于点，若，，试判断的值是否为定值？若是定值，请求出的值；若不是定值，请说明理由．    【答案】（1），理由见解析；（2）的值是定值， 【分析】（1）过点作，交于，证明，由全等三角形的性质得出结论； （2）过点作，交于点，证明，得出，由直角三角形的性质得出结论． 【详解】解：．理由： 过点作，交于，   四边形是正方形， ， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴ ∴， ， ， ； 的值定值． 过点作，交于点，    ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，矩形的判定及性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 62．如图，在平面直角坐标系中，点、，点在第一象限，点在线段上，，，，，垂足为，连接、． (1)请直接写出图中与相似的三角形，直接写出线段的长（用含的代数式表示）； (2)当时，求的值； (3)的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)的面积为定值 【分析】（1）证明，结合，可得，可得，结合，可得，，； （2）如图，延长于，证明，，可得，可得，而，可得，结合，，再建立方程求解即可； （3）由（1）得：，，，可得，利用，再计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，； （2）解：如图，延长交x轴于， ∵，即， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，， 经检验：不符合题意，舍去， ∴； （3）解：的面积为定值，理由如下： 由（1）得：，，， ∴的纵坐标为， ∴， ∴ ． 63．（1）如图1，正方形和正方形，连接并延长交于点．求证：； （2）如图2，若将（1）中正方形改为菱形，且，求的度数； （3）如图3，若将（1）中正方形改为矩形，且，，．连接，，将矩形绕点旋转，旋转过程中发现的值为定值，请求出这个定值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）260 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形，矩形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，勾股定理等；掌握判定方法及性质，作出恰当的辅助线，构建直角三角形，利用勾股定理解答是解题关键． （1）如图，交于，由正方形的性质及可判定，由全等三角形及性质得，即可得证； （2）同（1）可证，得，再结合三角形的内角定理，即可求得； （3）连接、，交于，交于，由矩形的性质及三角形相似判定方法得，由三角形相似的性质得，由勾股定理得，，，，即可求解； 【详解】解：（1）如图，交于， 四边形与四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中，， ， ∴， ， ，则 ， ； （2）如图，交于， 四边形与四边形是菱形，， ，， ， ， 在和中，， ， ，， ， ； （3）如图，连接、，交于，交于， 四边形和四边矩形是矩形， ， ， ， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 64．如图1，正方形的边长为4，点是边上一动点（不与端点重合），连接． (1)当时，求的周长； (2)将沿折叠得到，延长交射线于点． ①如图2，当为中点时，求的长； ②当点在边上运动的过程中，小方同学认为的长度是一个定值，而小程同学认为的长度才是一个定值，你认为谁说的对呢？说出你的理由． 【答案】(1) (2)①1 ②当点F在的延长线上时，为定值，小程同学说得对；当点F在线段上时，为定值，小方同学说得对．理由见解析 【分析】（1）由勾股定理求出，即可求出的周长． （2）①连接，通过证明，得到为的角平分线，，进而得出，再通过，得出，从而求的长，即可得到的长度． ②通过辅助线构造和，得出，，再根据点F的位置进行分类讨论判断，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴， 在中，，，则， ∴的周长， 故的周长为． （2）解：①连接，如图， ∵正方形， ∴， 根据折叠的性质，，，． ∴， ∵点E为的中点， ∴ ∴， 在和中，，， ∴． ∴，． ∴， ， ∵ ∴ ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∴． ∴． ②当点F在的延长线上时，为定值，小程同学说得对； 当点F在线段上时，为定值，小方同学说得对． 理由如下： 延长交于点H，交延长线于点G，连接．如图， 由正方形与折叠的性质得， ，， ∴对于和，，， ∴， ∴， 在和中，，，， ∴， ，， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 如图a，当点F在的延长线上时，， ∵，，， ∴； 如图b，当点F在线段上时，， ∵，，， ∴． 故当点F在线段上时，小方同学说得对；当点F在的延长线上时，小程同学说得对． 【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，以及分类讨论的能力．通过构造全等三角形证明是解决本题的关键． 65．如图1，在中，，，． (1)请计算的面积； (2)如图2，将沿着翻折，D点的对应点为，线段交于点M，请计算的长度； (3)如图3，在（2）的条件下，点P为线段上一动点，过点P作于点N，交的延长线于点G．在点P运动的过程中，的长度是否为定值？如果是，请计算出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)的长度为； (3)的长度是定值，这个定值为． 【分析】（1）作，在中，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得高的长，再根据平行四边形的面积公式即可求解； （2）先证明，再在中，由勾股定理列式计算即可求解； （3）利用勾股定理求得，证明，求得，再求得，过点作交的延长线于点，得到的长度是的长度，据此求解即可． 【详解】（1）解：作交延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， 在中，，， ∴的面积为； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得：，即的长度为； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，由折叠的性质得， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的长度是的长度， 过点作交的延长线于点， ∴四边形是矩形， ∴，由折叠的性质得， 又， ∴， ∴． 综上，的长度是定值，这个定值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，第3问求得是解题的关键． 66．【问题情境】在数学活动课上，奋飞组的同学在延时课上用两张矩形纸片进行探究活动．小组同学准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，点E，G分别落在，边上时，点E，G恰好为边，的中点．然后将矩形纸片绕点B按顺时针方向旋转，旋转角为α，连接与． 【观察发现】 （1）如图2所示，当时，小组成员发现与存在的数量关系为______；位置关系为______； 【探索猜想】 （2）如图3所示，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）在矩形的旋转过程中，连接，，得为定值，请直接写出此定值． 【答案】（1）；；（2）成立，理由见解析；（3）的定值为125 【分析】（1）延长交于点H，证明，即可得，再根据相似的性质得到，通过等量转换，证明，即可解答． （2）证明，得出，，设与交于点P，与交于点O，由“8”字模型得，即可解答． （3）连接，，由（2）得，根据勾股定理得出，即可解答． 【详解】解：（1）如图1所示，延长交于点H． ∵点E，G恰好为边的中点， ∴，， ∵四边形和是矩形，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 由“8”字模型得， ∴． 故答案为：；． （2）当时，（1）中发现的结论仍然成立． 理由：如图2所示， ∵四边形和是矩形， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴，， 设与交于点P，与交于点O，由“8”字模型得， ∴； ∴当时，AE与CG的数量关系是；位置关系是． （3）的定值为125． 连接，，由（2）得， ∴、、、均为直角三角形， 根据勾股定理得：，， ，， ∴， ∵， ， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，三角形内角和定理的应用，作出正确的辅助线是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $