陕西省咸阳市秦都区2025-2026学年上学期期末考试九年级数学模拟卷

2025-2026学年度第一学期秦都区期末考试模拟卷 九年级数学 一．选择题（共8小题） 1．已知x＝3是方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值为（　　） A．﹣2 B．3 C．4 D．﹣4 2．我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法，“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，以下四个图形中不是该模型三视图的是（　　） A． B． C． D． 3．已知△ABC∽△DEF，∠A＝75°，∠E＝60°，则∠B的度数为（　　） A．60° B．75° C．85° D．45° 4．如图，菱形ABCD中，AB＝6，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是（　　） A．8 B．15 C．10 D．6 5．关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有实根，则k的取值范围是（　　） A．k≠0 B．k≥1且k≠0 C．k≤1 D．k≤1且k≠0 6．已知反比例函数的图象在各自的象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A．m＞3 B．m≠3 C．m＜3 D．m＝3 7．如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O．若OC＝4，则BD的长为（　　） A．2 B．4 C． D．8 8．下列关于反比例函数图象的描述错误的是（　　） A．图象位于第一、三象限 B．点（1，4）在此函数图象上 C．在每个象限内，函数y随x的增大而增大 D．图象关于坐标原点成中心对称 二．填空题（共5小题） 9．孙敬是成语悬梁刺股中典故人物之一，孙敬“悬梁”在灯下读书的影子是　 　 投影．（填“中心”或“平行”） 10．若m是方程x2﹣4x﹣1＝0的根，则2m2﹣8m的值为 　 　 ． 11．若△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，△ABC的周长为10，则△DEF的周长是　 　 ． 12．如图，点A（3，n）在双曲线y上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C．线段OA的垂直平分线交OC于点B，则△ABC周长的值是　 　 ． 13．如图，正方形ABCD的边长为，动点E、F分别从点A、C同时出发，都以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为　 　 cm． 三．解答题（共13小题） 14．解方程： （1）（x﹣3）2＝2x（3﹣x） （2）x2﹣2x﹣4＝0 15．在一个不透明的布袋中，有红球、白球共40个，这些小球除颜色不同外其他完全相同，摇匀后，从布袋中随机摸出一个小球并记录颜色，记为一次试验，通过多次重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，估计布袋中白球的个数． 16．如图，已知点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，AE＝2，AD＝3，AC＝4，AB＝6．求证：△ADE∽△ABC． 17．如图，已知△ABC，∠BAC＝90°． （1）尺规作图：过点A作一条直线交BC于D，使其将△ABC分成两个相似三角形（保留作图痕迹，不写作法）； 18．如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE∥AB，DF⊥AB，求证：四边形BEDF是正方形． 19．京剧脸谱是一种内涵丰富的艺术表现形式，每个脸谱都有一种主色调，以显示剧中人物的性格特征，如关羽脸谱为红色，曹操是白色，包拯是黑色，窦尔敦是蓝色．美术课上，老师准备了如图所示的A、B、C、D四张不同的脸谱（大小、形状及背面完全相同），并将这四张脸谱背面朝上，洗匀放好． （1）文文从这四张脸谱中随机抽取一张，抽到的脸谱是D的概率为　 　 ； （2）文文从这四张脸谱中同时随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法求她抽到的脸谱中有一张是B的概率． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务． （1）△ABC和△A1B1C1关于y轴对称，画出△A1B1C1； （2）若△A2B2C2与△A1B1C1是关于原点O为位似中心的位似图形，位似比为2：1，且△A2B2C2位于第四象限，画出△A2B2C2； （3）已知B（1，1），则B2点坐标为　 　 ． 21．已知蓄电池的电压为定值．使用此蓄电池作为电源时，电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过8A，那么该用电器的可变电阻至少是多少？ 22．利用标杆BE测量建筑物的高度．如果标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，求楼高CD． 23．石西经贸兴趣小组同学计划在春节前购进对联和灯笼两种商品进行销售，据了解得知，若购进40副对联和25对灯笼需要310元，若购进50副对联和50对灯笼需要500元． （1）求每副对联和每对灯笼的进价各是多少； （2）经贸兴趣小组同学们计划将一天中灯笼销售的全部利润捐给儿童福利院．经调研发现当灯笼每对售价为10元时，每天可以销售灯笼50对，且灯笼售价每升高0.5元/对，日销量减少3对，若经贸兴趣小组希望向儿童福利院捐款228元，且尽量优惠顾客，求此时每对灯笼的售价应为多少元． 24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB中点，CE∥AB，DE是∠CDB的角平分线，连接AE、BE． （1）求证：四边形CDBE是菱形； （2）若AC＝AD＝3，求AE的长． 25．如图，直线y＝x+2与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为1． （1）求k的值及点B的坐标； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出不等式的解集； （4）已知点D在x轴上，△ABD的面积为8，求点D的坐标． 26．（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH＝EF+EG； （2）若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； （3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL＝BC，连接CL，点E是CL上任一点，EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； （4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段的关系，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论． 2025-2026学年度第一学期秦都区期末考试模拟卷 九年级数学 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A D D A D C 一．选择题（共8小题） 1．已知x＝3是方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值为（　　） A．﹣2 B．3 C．4 D．﹣4 【分析】把x＝3代入x2+mx﹣3＝0运算求解即可． 【解答】解：由条件可得：9+3m﹣3＝0， 解得：m＝﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解相关运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 2．我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法，“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，以下四个图形中不是该模型三视图的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三视图的定义可得答案． 【解答】解：A．该图形是这个模型的俯视图，故本选项不符合题意； B．该图形不是这个模型的三视图，故本选项符合题意； C．该图形是这个模型的主视图，故本选项不符合题意； D．该图形是这个模型的左视图，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】此题主要考查了几何体的三视图，掌握三视图的定义是解决本题的关键． 3．已知△ABC∽△DEF，∠A＝75°，∠E＝60°，则∠B的度数为（　　） A．60° B．75° C．85° D．45° 【分析】根据相似三角形的对应角相等得到∠B＝∠E即可． 【解答】解：由题意得， ∵△ABC∽△DEF，∠E＝60°， ∴根据相似三角形的性质得，∠B＝∠E＝60°， 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是相似三角形性质的熟练掌握． 4．如图，菱形ABCD中，AB＝6，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是（　　） A．8 B．15 C．10 D．6 【分析】由菱形的性质可得AB＝BC，∠ACB＝∠ACD∠BCD＝60°，可证△ABC是等边三角形，可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，∠ACB＝∠ACD∠BCD＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝6， 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 5．关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有实根，则k的取值范围是（　　） A．k≠0 B．k≥1且k≠0 C．k≤1 D．k≤1且k≠0 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有实根， ∴， 解得：k≤1且k≠0． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键． 6．已知反比例函数的图象在各自的象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A．m＞3 B．m≠3 C．m＜3 D．m＝3 【分析】根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，函数图象在第一、三象限，且在各自象限内y随x的增大而减小，得出m﹣3＞0，然后求解即可． 【解答】解：∵反比例函数在各自象限内y随x的增大而减小， ∴m﹣3＞0， ∴m＞3， 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 7．如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O．若OC＝4，则BD的长为（　　） A．2 B．4 C． D．8 【分析】根据矩形的性质得到BD＝AC，OA＝OC＝4，进而可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴BD＝AC＝8， 故选：D． 【点评】本题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质解答． 8．下列关于反比例函数图象的描述错误的是（　　） A．图象位于第一、三象限 B．点（1，4）在此函数图象上 C．在每个象限内，函数y随x的增大而增大 D．图象关于坐标原点成中心对称 【分析】根据反比例函数中k＝4＞0，图象位于第一、三象限，关于原点对称，且在每个象限内y随x的增大而减小，据此逐一判断即可． 【解答】解：A、∵k＝4＞0， ∴函数图象位于第一、三象限，正确，不符合题意； B、∵当x＝1时，， ∴点（1，4）在此函数图象上，正确，不符合题意； C、∵k＝4＞0， ∴函数图象在第一、三象限内，在每一象限内y随x的增大而减小，原说法错误，符合题意； D、反比例函数的图象关于原点成中心对称，正确，不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查的是反比例函数的图象与性质，熟知以上知识是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 9．孙敬是成语悬梁刺股中典故人物之一，孙敬“悬梁”在灯下读书的影子是　中心　 投影．（填“中心”或“平行”） 【分析】根据点光源发出的光线形成的投影是中心投影解答即可． 【解答】解：∵灯是点光源， ∴孙敬在灯下读书的影子是中心投影． 故答案为：中心． 【点评】本题主要考查了中心投影，解题的关键是掌握中心投影的定义． 10．若m是方程x2﹣4x﹣1＝0的根，则2m2﹣8m的值为 　2　 ． 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到m2﹣4m＝1，再变形2m2﹣8m得到2（m2﹣4m），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵m是方程x2﹣4x﹣1＝0的根， ∴m2﹣4m﹣1＝0， ∴m2﹣4m＝1， ∴2m2﹣8m＝2（m2﹣4m）＝2×1＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 11．若△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，△ABC的周长为10，则△DEF的周长是　20　 ． 【分析】相似三角形的周长比等于相似比，由此可求解． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2， ∴S△ABC：S△DEF＝1：2， ∵△ABC的周长为10， ∴10×2＝20，即△DEF的周长为20， 故答案为：20． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，关键是相似三角形性质的熟练掌握． 12．如图，点A（3，n）在双曲线y上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C．线段OA的垂直平分线交OC于点B，则△ABC周长的值是　4　 ． 【分析】先求出点A的坐标，根据点的坐标的定义得到OC＝3，AC＝1，再根据线段垂直平分线的性质可知AB＝OB，由此推出△ABC的周长＝OC+AC． 【解答】解：∵点A（3，n）在双曲线y上， ∴n＝1， ∴A（3，1）， ∴OC＝3，AC＝1． ∵OA的垂直平分线交OC于B， ∴AB＝OB， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝OB+BC+AC＝OC+AC＝3+1＝4． 故答案为4． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和线段中垂线的性质，将求△ABC的周长转换成求OC+AC是解题的关键． 13．如图，正方形ABCD的边长为，动点E、F分别从点A、C同时出发，都以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为　（1）　 cm． 【分析】连接AC、BD，交于点O，由题意可知，EF经过点O，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可． 【解答】解：连接AC、BD，交于点O， 由题意可知，EF经过点O，取OB中点M，连接MA，MG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AO＝OB， ∵AB＝2cm， ∴OA＝OB＝2cm， ∴OM＝1cm， ∴AM（cm）， 在Rt△BOG中，M是OB的中点， ∴GMOB＝1cm， ∵AG≥AM﹣MG＝（1）cm， 当A，M，G三点共线时，AG最小＝（1）cm， 故答案为：（1）． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题是解决本题的关键． 三．解答题（共13小题） 14．解方程： （1）（x﹣3）2＝2x（3﹣x） （2）x2﹣2x﹣4＝0 【分析】（1）利用因式分解法求解可得； （2）利用公式法求解可得． 【解答】解：（1）∵（x﹣3）2＝2x（3﹣x）， ∴（x﹣3）2+2（x﹣3）＝0， ∴（x﹣3）（x﹣1）＝0， 则x﹣3＝0或x﹣1＝0， 解得x＝3或x＝1； （2）∵x2﹣2x﹣4＝0， ∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4， 则Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0， ∴x＝1±． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 15．在一个不透明的布袋中，有红球、白球共40个，这些小球除颜色不同外其他完全相同，摇匀后，从布袋中随机摸出一个小球并记录颜色，记为一次试验，通过多次重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，估计布袋中白球的个数． 【分析】根据频数、频率与数据总数三者的关系即可求解． 【解答】解：40×25%＝10（个）， ∴估计布袋中白球的个数为：40﹣10＝30（个）． 【点评】本题考查了频数、频率与数据总数的关系，掌握这一关系是关键． 16．如图，已知点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，AE＝2，AD＝3，AC＝4，AB＝6．求证：△ADE∽△ABC． 【分析】由题意得到，再结合∠DAE＝∠BAC即可得到△ADE∽△ABC． 【解答】证明：∵AE＝2，AD＝3，AC＝4，AB＝6， ∴， 又∵∠DAE＝∠BAC， ∴△ADE∽△ABC． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键． 17．如图，已知△ABC，∠BAC＝90°． （1）尺规作图：过点A作一条直线交BC于D，使其将△ABC分成两个相似三角形（保留作图痕迹，不写作法）； 【分析】（1）过点A作AD⊥BC于D，利用相似三角形的判定方法可得到△ABD与△CAD相似； 【解答】解：（1）如图，AD为所作． 【点评】本题考查了作图﹣相似变换、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理和相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 18．如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE∥AB，DF⊥AB，求证：四边形BEDF是正方形． 【分析】先根据角平分线的性质定理得到∠DBF＝∠DBE＝45°，ED＝DF，进而求出∠DEB＝∠EBF＝90°，∠BDE＝∠DBE＝45°，∠DFB＝90°，得到∠FDB＝∠FBD＝45°，BE＝ED，得到DF＝FB，即可证明四边形BEDF是正方形． 【解答】证明：∵∠ABC＝90°，BD平分∠ABC， ∴∠DBF＝∠DBE＝45°，ED＝DF， 又∵DE∥AB，DF⊥AB， ∴∠DEB＝∠EBF＝90°，∠BDE＝∠DBE＝45°，∠DFB＝90°， ∴∠FDB＝∠FBD＝45°，BE＝ED， ∴DF＝FB， ∴BE＝ED＝DF＝FB，且∠DFB＝∠DEB＝∠EBF＝∠FDE＝90°， ∴四边形BEDF是正方形． 【点评】本题考查了角平分线的性质定理，等边对等角，正方形的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 19．京剧脸谱是一种内涵丰富的艺术表现形式，每个脸谱都有一种主色调，以显示剧中人物的性格特征，如关羽脸谱为红色，曹操是白色，包拯是黑色，窦尔敦是蓝色．美术课上，老师准备了如图所示的A、B、C、D四张不同的脸谱（大小、形状及背面完全相同），并将这四张脸谱背面朝上，洗匀放好． （1）文文从这四张脸谱中随机抽取一张，抽到的脸谱是D的概率为　　 ； （2）文文从这四张脸谱中同时随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法求她抽到的脸谱中有一张是B的概率． 【分析】（1）直接运用概率公式求解即可； （2）先画出树状图，可知共有12种等可能的结果，再得到抽到的脸谱中有一张是B的结果种数，最后由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）从A、B、C、D四张不同的脸谱中随机抽取一张，抽到的脸谱是D的概率为； 故答案为：； （2）从这四张脸谱中同时随机抽取两张，作树状图如下： 由图知，共有12种等可能的结果，其中抽到的脸谱中有一张是B的结果数为6， ∴抽到的脸谱中有一张是B的概率为． 【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，画出树状图是解题的关键． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务． （1）△ABC和△A1B1C1关于y轴对称，画出△A1B1C1； （2）若△A2B2C2与△A1B1C1是关于原点O为位似中心的位似图形，位似比为2：1，且△A2B2C2位于第四象限，画出△A2B2C2； （3）已知B（1，1），则B2点坐标为　（2，﹣2）　 ． 【分析】（1）分别作点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，然后连线即可； （2）①由（1）及位似的性质进行作图即可； ②根据平面直角坐标系写出坐标即可． 【解答】解：（1）△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图1即为所求； （2）如图2，△A2B2C2即为所求； （3）由平面直角坐标系可得：B2点坐标为（2，﹣2）， 故答案为：（2，﹣2）． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换，作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称和位似变换的性质是解题的关键． 21．已知蓄电池的电压为定值．使用此蓄电池作为电源时，电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过8A，那么该用电器的可变电阻至少是多少？ 【分析】（1）反比例函数经过点（10，4），代入反比例函数式，即可求得函数解析式． （2）I≤8时，根据反比例函数的单调递减性质，求电阻R的范围． 【解答】解（1）设反比例函数表达式为I （k≠0） 将点（10，4）代入得4 ∴k＝40 ∴反比例函数的表达式为 （2）由题可知，当I＝8时，R＝5， 且I随着R的增大而减小， ∴当I≤8时，R≥5 ∴该用电器的可变电阻至少是5Ω． 【点评】本题主要考查反比例函数的应用问题，掌握反比例函数的单调性质是解答本题的关键． 22．利用标杆BE测量建筑物的高度．如果标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，求楼高CD． 【分析】先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值． 【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC， ∴EB∥DC， ∴△ABE∽△ACD， ∴， ∵BE＝1.2m，AB＝1.6m，BC＝12.4m， ∴AC＝14m， ∴， ∴CD＝10.5． 答：楼高CD是10.5m． 【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键． 23．石西经贸兴趣小组同学计划在春节前购进对联和灯笼两种商品进行销售，据了解得知，若购进40副对联和25对灯笼需要310元，若购进50副对联和50对灯笼需要500元． （1）求每副对联和每对灯笼的进价各是多少； （2）经贸兴趣小组同学们计划将一天中灯笼销售的全部利润捐给儿童福利院．经调研发现当灯笼每对售价为10元时，每天可以销售灯笼50对，且灯笼售价每升高0.5元/对，日销量减少3对，若经贸兴趣小组希望向儿童福利院捐款228元，且尽量优惠顾客，求此时每对灯笼的售价应为多少元． 【分析】（1）设每副对联进价a元，每对灯笼进价b元．根据题意列方程组解答即可； （2）设每对灯笼在10元的基础上涨价x元，根据题意列方程解答即可． 【解答】解：（1）设每副对联进价a元，每对灯笼进价b元． 根据题意列二元一次方程组得，， 解得， 答：每副对联进价4元，每对灯笼进价6元； （2）设每对灯笼在10元的基础上涨价x元． 根据题意列一元二次方程得，， 解得，x2＝2， ∵要尽量优惠顾客， ∴x＝2， ∴10+x＝10+2＝12（元）， 答：此时每对灯笼的售价为12元． 【点评】本题考查运用二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，理解题意找出等量关系是解题的关键． 24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB中点，CE∥AB，DE是∠CDB的角平分线，连接AE、BE． （1）求证：四边形CDBE是菱形； （2）若AC＝AD＝3，求AE的长． 【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线性质得CDAB＝AD＝BD，进而证明∠CED＝∠CDE，则CD＝CE，再证明四边形CDBE是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）先证明四边形ACED是平行四边形，再证明平行四边形ACED是菱形，得AE⊥CD，则AE⊥BE，然后由勾股定理求出AE的长即可． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴CD＝AB＝AD＝BD， ∵CE∥AB， ∴∠CED＝∠BDE， ∵DE是∠CDB的角平分线， ∴∠CDE＝∠BDE， ∴∠CED＝∠CDE， ∴CD＝CE， ∴CE＝BD， ∵CE∥BD， ∴四边形CDBE是平行四边形， 又∵CD＝BD， ∴平行四边形CDBE是菱形； （2）解：由（1）可知，CD＝BD＝AD，四边形CDBE是菱形， ∴CD∥BE，BE＝BD＝CD， ∵CE∥AB， ∴四边形ACED是平行四边形， ∵AC＝AD＝3， ∴平行四边形ACED是菱形，AB＝2AD＝6，BE＝BD＝AD＝3， ∴AE⊥CD， ∴AE⊥BE， ∴∠AEB＝90°， ∴AE3． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定、平行线的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 25．如图，直线y＝x+2与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为1． （1）求k的值及点B的坐标； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出不等式的解集； （4）已知点D在x轴上，△ABD的面积为8，求点D的坐标． 【分析】（1）利用直线y＝x+2求得A的坐标，然后利用待定系数法求得k的值，最后解析式联立即可求得B的坐标； （2）设直线y＝x+2与x轴的交点为C，然后根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC求解即可； （3）根据图象即可求解； （4）利用三角形面积求得CD，即可求得D的坐标． 【解答】解：（1）∵直线y＝x+2与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为1， ∴把x＝1代入y＝x+2得y＝3， ∴A（1，3）， ∴k＝1×3＝3； 解析式联立，解得或， ∴B（﹣3，﹣1）； （2）设直线y＝x+2与x轴的交点为C，则C（﹣2，0）， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC4； （3）观察图象，不等式的解集为﹣3＜x＜0或x＞1； （4）∵S△ABD＝S△ACD+S△BCD＝8， ∴8， ∴8， ∴CD＝4， ∴点D的坐标为（2，0）或（﹣6，0）． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积，求得交点坐标，数形结合是解题的关键． 26．（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH＝EF+EG； （2）若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； （3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL＝BC，连接CL，点E是CL上任一点，EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； （4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段的关系，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论． 【分析】（1）要证明CH＝EF+EG，首先要想到能否把线段CH分成两条线段而加以证明，就自然的想到添加辅助线，若作CE⊥NH于N，可得矩形EFHN，很明显只需证明EG＝CN，最后根据AAS可求证△EGC≌△CNE得出结论． （2）过C点作CO⊥EF于O，可得矩形HCOF，因为HC＝FO，所以只需证明EO＝EG，最后根据AAS可求证△COE≌△CGE得出猜想． （3）连接AC，交BD于O，过E作EH⊥AC于H，可得矩形FOHE，很明显只需证明EG＝CH，最后根据AAS可求证△CHE≌△EGC得出猜想． （4）点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高，很显然过C作CE⊥PF于E，可得矩形GCEF，而且AAS可求证△CEP≌△CNP，故CG＝PF﹣PN． 【解答】（1）证明：过E点作EN⊥CH于N． ∵EF⊥BD，CH⊥BD， ∴四边形EFHN是矩形． ∴EF＝NH，FH∥EN． ∴∠DBC＝∠NEC． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，且互相平分 ∴∠DBC＝∠ACB ∴∠NEC＝∠ACB ∵EG⊥AC，EN⊥CH， ∴∠EGC＝∠CNE＝90°， 又∵EC＝CE， ∴△EGC≌△CNE． ∴EG＝CN ∴CH＝CN+NH＝EG+EF； （2）解：猜想CH＝EF﹣EG； （3）解：EF+EGBD； （4）解：点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高．如图①，有CG＝PF﹣PN． 【点评】此题主要考查矩形的性质和判定，解答此题的关键是作出辅助线，构造矩形和三角形全等来进行证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $