精品解析：江苏省苏州市相城实验中学2025-2026学年1月月考八年级数学试卷

2025－2026学年度第一学期1月现场作业 （初二数学） 一、单选题 1. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若的三边长分别是a、b、c，满足下列条件的不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. D. 3. 点M在第二象限，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M坐标是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小志依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间 1 2 3 4 5 6 水的高度 1.5 3 4.5 6 7.5 9 下列说法中，不正确的是（ ） A. 上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系 B. 当容器中水的高度为时，对应的时间为 C. 当经过的时间为时，容器中水的高度是 D. 时间每增加，容器中水的高度增加 6. 如果点在第二象限，则关于轴的对称点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ） A. 30 B. 60 C. 78 D. 156 8. 如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. C. 5 D. 二、填空题 9. 要使函数有意义，则的取值范围是_______． 10. 已知点，若点在轴上，则点的坐标为______． 11. 若与最简二次根式可以合并，则的值为_________． 12. 如图，在数轴上点A，B对应的实数分别为1，3，，以A为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点P，则点P对应的实数为_____． 13. 如图，有一圆柱，其高为15，它的底面周长为10，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B，其中B离上沿3，则蚂蚁经过的最短路程为______． 14. 在平面直角坐标系中，点在函数的图像上，且，则代数式的值为_____． 15. 如图，将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为．若的长为，则的长为______． 16. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线绕点B逆时针旋转，交x轴于点C，则直线的函数表达式是______ 三、解答题 17. 计算： （1）； （2） 18. 解方程：． 19. 因式分解： （1） （2） 20. 先化简，再求值：．从中选一个合适的数代入求值． 21. 在直角坐标系内的位置如图所示： （1）分别写出点的坐标：：______，：______； （2）的周长为______，面积为______； （3）请在这个坐标系内画出与关于轴对称，若点是线段上的任意一点，则点在上的对应点的坐标为______． 22. 城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地．如图，，米，米，米，试求阴影部分的面积． 23. 如图，，，． （1）求证：． （2）若，求证是等边三角形． 24. 如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点． （1）求一次函数解析式； （2）点是轴上的点，若的面积为3，求此时点的坐标． 25. 如图，已知：点P（2m-1，6m-5）在第一象限角平分线OC上，∠BPA=90°，角两边与x轴、y轴分别交于A点、B点． （1）求点P的坐标 （2）若点A（，0），求点B的坐标． 26. 与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请根据【阅读材料】来完成【解决问题】的证明． 【阅读材料】已知实数x，y满足，求证：． 证明：∵，∴，，∴，∵，∴，∴． 【解决问题】已知实数x，y满足，求证． 27. 【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和的直角三角形的斜边，是直角边分别是和的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图），向右平移直角使点和重合（图），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． （1）代数式的最小值为______； （2）变式训练：求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数满足，则______． （4）的最大值是______； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期1月现场作业 （初二数学） 一、单选题 1. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，逐一验证各选项的正确性解答即可． 本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A. 与的被开方数不同，无法合并，错误，不符合题意； B. ，错误，不符合题意； C. ，正确，符合题意； D. ，错误，不符合题意， 故选：C． 2. 若的三边长分别是a、b、c，满足下列条件的不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理逐项判断即可得． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴是直角三角形，此项不符合题意； B、∵，，， ∴， ∴是直角三角形，此项不符合题意； C、∵， ∴设，则， ∴， ∴是直角三角形，此项不符合题意； D、∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，此项符合题意； 故选：D． 3. 点M在第二象限，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握点到坐标轴的距离的意义，各象限内点的坐标特征是解题的关键．设点的坐标是，根据点到轴的距离为3，到轴的距离为4，点在第二象限，即可求出点的坐标． 【详解】解：设点的坐标是， 点到轴的距离为3，到轴的距离为4， ，， ，， 点在第二象限， ，， ，， 点的坐标是， 故选：． 4. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小志依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间 1 2 3 4 5 6 水的高度 1.5 3 4.5 6 7.5 9 下列说法中，不正确的是（ ） A. 上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系 B. 当容器中水的高度为时，对应的时间为 C. 当经过的时间为时，容器中水的高度是 D. 时间每增加，容器中水的高度增加 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用表格表示两个变量之间的关系，正确从表格获取信息是解题的关键． 根据表格的信息即可求解． 【详解】解：A、上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系，正确，不符合题意； B、当容器中水的高度为时，对应的时间为，该选项错误，故符合题意； C、当经过的时间为时，容器中水的高度是，正确，不符合题意； D、由表格可得时间每增加，容器中水的高度增加，正确，不符合题意； 故选：B． 6. 如果点在第二象限，则关于轴的对称点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点所在的象限、点坐标的轴对称变换，熟练掌握点所在象限的符号特征是解题关键．先求出关于轴的对称点的坐标为，再求出，则可得，，据此解答即可得． 【详解】解：关于轴的对称点的坐标为， ∵点在第二象限， ∴， ∴，， ∴， ∴点在第二象限， 故选：B． 7. 如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ） A. 30 B. 60 C. 78 D. 156 【答案】B 【解析】 【分析】将点P的运动轨迹和图象结合起来，进行分析可知：AB＝BC＝13，所以为等腰三角形，当时，BP=12，对应图象中的点M的y值，根据三线合一可知，当时，点P为AC的中点，根据勾股定理可求CP，进而可求AC，根据三角形面积公式可得最后结果． 【详解】解：由图象可知： AB＝BC＝13 为等腰三角形 当点P在C-A上运动时，对于图象中的曲线部分 由于M是曲线部分的最低点 此时BP最小， 即BP⊥AC，BP＝12 由勾股定理可知：PC＝5 PA＝PC＝5（根据等腰三角形三线合一可知） AC＝10 故选：B 【点睛】本题考查了函数图象的理解和应用以及等腰三角形的性质，数形结合是解决本题的关键． 8. 如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， 阴影部分的面积为． 二、填空题 9. 要使函数有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负性，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 10. 已知点，若点在轴上，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了在轴上的点的坐标特点，由点在轴上，则横坐标为，即，然后求的值，再代入纵坐标即可，熟知在轴上的点横坐标为是解题的关键． 【详解】解：因为点在轴上， 所以根据轴上的点的坐标特点，横坐标为，可得：， 解得：， 代入纵坐标：， 所以点的坐标为：， 故答案为：． 11. 若与最简二次根式可以合并，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义和二次根式的化简，先把化简成最简的二次根式，即可得到关于t的一元一次方程，求出t即可． 【详解】解：化简：， ∵与最简二次根式可以合并， ∴， 解得： 12. 如图，在数轴上点A，B对应的实数分别为1，3，，以A为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点P，则点P对应的实数为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】通过勾股定理及数轴上的运算求解． 【详解】解：在直角三角形中，． ∴点P表示的数为． 【点睛】本题考查数轴上点的运算及勾股定理，解题关键是构造直角三角形求解． 13. 如图，有一圆柱，其高为15，它的底面周长为10，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B，其中B离上沿3，则蚂蚁经过的最短路程为______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，则A，H所在的长方形的长为圆柱的高15，宽为底面圆周长的一半，，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理求得的长． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开，得到长方形， 连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离，其中C，H分别是，的中点， ∵底面周长是10， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴蚂蚁经过的最短距离为13． 故答案为：13． 14. 在平面直角坐标系中，点在函数的图像上，且，则代数式的值为_____． 【答案】 8 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征和代数式求值。通过代入点坐标求得 ，再利用平方差公式计算即可。 【详解】解：∵点 在函数 的图像上， ∴ ， ∴ ， 又 ∵ ， ∴ ， 故答案为：8. 15. 如图，将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为．若的长为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，平行线间的距离，作于点，连接，设与交于点，则，又四边形是正方形，所以，，，根据平行线间的距离相等得，又将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为，则，然后证明，所以，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作于点，连接，设与交于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 根据平行线间的距离相等得， ∵将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线绕点B逆时针旋转，交x轴于点C，则直线的函数表达式是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，以及旋转的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线． 过点A作，交直线于点D，再过点D作轴于点E，先求出点A、B的坐标，进而得到，，，由旋转得，得到，证明，推出，，进而求出点D的坐标，再利用待定系数法，即可求出答案． 【详解】解：过点A作，交直线于点D，再过点D作轴于点E， 在中，令，得， 令，得，解得， ，， ，， 由旋转得， 又， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为，将，代入， 得：， 解得， 直线的解析式为， 故答案为：． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，即可求解； （2）根据二次根式的乘法进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．方程两边同乘以化成整式方程，再解一元一次方程，然后进行检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解， 所以方程的解为． 19. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解的基本方法，包括提取公因式和公式法（平方差公式和完全平方公式），灵活运用因式分解方法是解答本题的关键． （1）原式先提取公因式后再运用平方差公式因式分解即可； （2）原式先提取公因式后再运用完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：．从中选一个合适的数代入求值． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分，再选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵当，时，分式无意义， 故取， 当时，原式． 21. 在直角坐标系内的位置如图所示： （1）分别写出点的坐标：：______，：______； （2）的周长为______，面积为______； （3）请在这个坐标系内画出与关于轴对称，若点是线段上的任意一点，则点在上的对应点的坐标为______． 【答案】（1），； （2），； （3） 如图，即为所求； ． 【解析】 【分析】本题考查了利用轴对称作图，三角形面积的计算，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可； （）利用勾股定理即可求出、、的长，可得的周长；利用三角形所在的正方形面积减三个小直角三角形的面积即可求出的面积； （）根据与关于轴找出点的对应点的位置，然后顺次连接即可，再由关于轴对称的性质即可求出的坐标． 【小问1详解】 解：如图可得；； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：，，， ∴的周长为； ∴的面积为 ， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：∵与关于轴对称，点是线段上的任意一点， ∴点在上的对应点的坐标为， 故答案为：． 22. 城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地．如图，，米，米，米，试求阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积为平方米 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的计算是关键． 根据题意，运用勾股定理得到，运用勾股定理逆定理得到是直角三角形，由面积公式计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴米， 在中，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ （平方米）， ∴阴影部分的面积为平方米． 23. 如图，，，． （1）求证：． （2）若，求证是等边三角形． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ． （2） 证明：在中， ， 又 ，， ， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形和等边三角形的判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法．解题时注意第②问中三角形内角和定理及平角定义的综合运用． (1)先根据，，，判定，得出，进而得到为等腰三角形； (2)根据，得出，再根据平角的定义，得到，最后判定等腰为等边三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点． （1）求一次函数解析式； （2）点是轴上的点，若的面积为3，求此时点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）设，根据三角形的面积为3建立方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：将、代入， 得， 解得，， 故一次函数的解析式为． 【小问2详解】 设，、， 解得，或， 故点的坐标为或． 25. 如图，已知：点P（2m-1，6m-5）在第一象限角平分线OC上，∠BPA=90°，角两边与x轴、y轴分别交于A点、B点． （1）求点P的坐标 （2）若点A（，0），求点B的坐标． 【答案】（1）P（1，1） ；（2）B（0，0．5）． 【解析】 【分析】试题分析：（1）由第一象限角平分线上的点横、纵坐标相等即可得； 过点P作PF⊥x轴，PE⊥y轴，证△BEP≌△AFP，从而可得． 【详解】试题解析：（1）∵2m-1="6m-5" ，∴m=1，∴P（1，1） ； （2）过点P作PF⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为点F、E，则有∠EPF=90°，PE=PF，∠PEB=∠PFA=90°，由∵∠BPA=90°，∴∠EPB=∠FPA，∴△BEP≌△AFP，∴PE=PF=1，BE=AF=0．5，∴B（0，0．5）． 考点：1．第一象限角平分线上的点的坐标特征；2．三角形全等的判定与性质． 26. 与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请根据【阅读材料】来完成【解决问题】的证明． 【阅读材料】已知实数x，y满足，求证：． 证明：∵，∴，，∴，∵，∴，∴． 【解决问题】已知实数x，y满足，求证． 【答案】 证明：∵， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，实数的加减乘法运算法则，平方差公式，二次根式有意义，解题的关键是掌握不等式的性质．根据二次根式有意义，平方差公式，不等式的性质，由此即可证明问题． 【详解】略 27. 【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和的直角三角形的斜边，是直角边分别是和的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图），向右平移直角使点和重合（图），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． （1）代数式的最小值为______； （2）变式训练：求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数满足，则______． （4）的最大值是______； 【答案】（）；（）；（）（）． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （）以和对应直角三角形斜边，通过构造直角三角形，结合勾股定理解方程求解即可； （）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可． 【详解】解：（）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，，点在的上方，且，，点在的下方，且，， 则，， ∴表示， ∵， ∴的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为， 故答案为：； （）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，，点在的上方，且，，点在的下方，且，， 则，， ∴表示， ∵， ∴的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为； （）如图，构造，于点，，， 设， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴方程的解是， 故答案为：； （）构造，，，，，，，如图所示， 过点作，交延长线于点， 则，，， 设，则，，， ∴代数式表示， ∵， ∴的最大值为的长， 即代数式的最大值为的长， 在中,由勾股定理得：， ∴的最大值为， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $