精品解析：广东省深圳市盐田高级中学2026届高三上学期数学周三测试试题（23）

深圳市盐田高级中学2026届元月高三数学周三测试卷（23） 班级：___________姓名：___________命题人：俞兴保 审题人：高伟 一、单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由并集定义可直接得到结果. 【详解】由并集定义知：. 故选：D. 2. 复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出复数，在根据复数的几何意义可解. 【详解】，复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 3. 设为非零实数，则“”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】对取特殊值并对充分性、必要性分别判断即可得出结论. 【详解】当时，若取，但此时不成立，即充分性不成立； 当时，若取，但此时不成立，即必要性不成立. 因此“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 4. 已知为实数，向量，，，若，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量坐标及向量垂直关系建立方程求参数. 【详解】由，，得， 又，则有， 即，解得或, 故选:D. 5. 已知，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合三角函数知识，即可得到与的大小关系，通过构造函数，利用单调性即可推导出与的大小关系，进一步比较即可. 【详解】由三角函数线知识可知，当时，， 故. 令， 则 故在上单调递减，则. 故，即，故. 综上，. 故选：A. 6. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用扇形弧长公式及等差数列求和公式计算即可. 【详解】由题意每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1， 则第段圆弧的半径为，弧长记为，则， 所以. 故选：D． 7. 已知是抛物线的焦点，是上不同的两点，且都在第一象限，若轴，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由轴，得到，根据，得到所以，结合，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】因为轴，所以， 又因为，所以，可得得，所以， 因为，所以，得. 故选：A. 8. 已知函数，在区间上任取三个数均存在以为边长的三角形，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：由得，由导数性质得 由题意得且由此能求出的取值范围． 详解：∵函数，，， 由 得x=1， 时， 时， ， ∴ ∵在区间上任取三个数均存在以为边长的三角形， ，① ② 联立①②，得 ． 故选D． 点睛：本题考查实数的求值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用． 二、多选题 9. 分别是等差数列的前项和，则（ ） A. 是等差数列 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由等差数列的性质及前项和性质进行求解． 【详解】设等差数列的公差分别为， 则， 所以是等差数列，A正确； ，故B错误； 设， 则， 又， 所以. 可设， 所以， 所以，故C正确； 成等差数列， 又， 所以，所以，故D错误. 故选：AC 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三角函数的周期性来判断ACD，利用正弦函数的单调性来判断B. 【详解】选项A：由题意可知，函数的最小正周期，所以，A正确. 选项B：当时，，所以在上不单调，B错误. 选项C：若，则或，所以的最小值为，C正确. 选项D：若，则，，所以的最小值为，D错误. 故选：AC. 11. 如图，点是边长为2的正方体的表面上一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当点在侧面上时，四棱锥的体积为定值 B. 存在这样的点，使得 C. 当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 D. 当时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，求出四棱锥的体积即可判断；对于选项B，结合空间向量的线性运算即可判断；对于选项C，分当点在侧面，侧面上以及当点在上底面上，和点在侧面上三种情况分类讨论即可判断；对于选项D，分当在底面上和点在侧面上分类讨论即可判断. 【详解】对于选项A，点到侧面的距离即为2，， 故四棱锥的体积， 所以四棱锥的体积为定值，故A选项正确； 对于选项B，因为， 而，因此点是的中点， 所以这样的点不在正方体的表面上，故B选项错误； 对于选项C，①当点在侧面，侧面上时（不包括正方形 的边界），过点作平面的垂线，垂足为，连，在 中，由，可得；②当点在上底面 上时，过点作平面的垂线， 垂足为，若，必有，又由，有 ，此时点的轨迹是以为圆心，2为半径的四分之一圆， 点的轨迹长度为；③当点在侧面上时， 点在线段上符合题意， 此时点的轨迹长为；由上知点的轨迹长度为，故C选项正确； 对于选项D，①当在底面上时，点的轨迹为以为圆心， 为半径的圆与底面的交线，记圆与相交于点，与交于点， 有，可得， 则点的轨迹与底面的交线长为； ②当点在侧面上时，， 可得点的轨迹与侧面的交线为以点为圆心， 为半径的四分之一圆，交线长为． 由对称性可知，点的轨迹长度为，故D选项正确． 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：对于立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程. 三、填空题 12. 的展开式中的系数为______________． 【答案】 【解析】 【分析】将展开得到，再找出展开式的含的项和含的项即可. 【详解】将展开得到， 只需要找出展开式的含的项和含的项即可. 结合二项式定理分析得到的展开式含的项如下， 为， 则展开式中的系数为. 故答案为：30. 13. 已知双曲线的右顶点为，点在的右支上，为关于轴的对称点，若直线的斜率之积为，则的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】取双曲线的左顶点为，利用对称性得出，斜率之积为，因此可得，再由离心率定义计算可得结果. 【详解】设双曲线的左顶点为，连接，如下图所示： 因为为关于轴的对称点，所以斜率与斜率互为相反数， 设，易知， 由题意可知，斜率之积为，即， 可得；又，得到，因此； 所以，即双曲线的离心率为. 故答案为： 14. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，是其中一个正六边形的顶点，为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的几何意义求数量积的取值范围. 【详解】设向量在向量上的投影向量为，则，如图， 过作，垂足为，过作，垂足为． 当在、处时，最小，最小值为； 当在、处时，最大，最大值为． 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 四、解答题 15. 已知数列满足，. （1）证明：是等比数列； （2）设，证明：. 【答案】（1）证明如下： 因为，，则，，… 以此类推可知，对任意的，， 由已知得，即， 所以，且， 所以是首项为，公比为的等比数列. （2）证明如下： 由（1）知，，， ， . 【解析】 【分析】（1）对取倒数，整理得，变形得，然后利用等比数列定义即可证明； （2）先利用等比数列通项公式求得，然后利用裂项相消法求和，再利用数列的符号得范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 在中，内角的对边分别为．已知． （1）求； （2）若，点在边上，，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角及正弦的和角公式得到，进而可得，即可求解； （2）根据条件，利用（1）中结果及三角形面积公式，得，再由余弦定理及基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理可得， 由，则， 可得，所以， 由，即，则，即， 根据，解得. 【小问2详解】 由（1）有， 由，有， 由余弦定理， 当且仅当时，等号成立，所以， 所以， 所以面积的最大值为. 17. 如图，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，底面，且． （1）若点、分别在棱、上，且，，求证：平面； （2）若点在线段上，且三棱锥的体积为，试求线段的长． 【答案】（1）以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系． 则，，，，， 因为，，所以，， 则，，． ，，即垂直于平面中两条相交直线， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积垂直关系坐标表示表示计算论证线线垂直，再根据线面垂直判定定理得结果； （2）先利用向量求点面距，再根据体积公式列方程解得向量的坐标，最后根据向量的模的坐标公式求结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，可设， 所以向量的坐标为， 平面的法向量为． 点到平面的距离． 中，，，，所以． 三棱锥的体积，所以． 此时向量的坐标为，，即线段的长为． 【点睛】本题考查利用空间向量证线面垂直以及利用空间向量求点面距，考查基本分析求解能力，属中档题. 18. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且点在椭圆上. （1）求的方程. （2）过点作直线交于两点，过原点作直线的平行线交于两点，则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）由题意可确定，再设出椭圆的方程，将代入椭圆方程，结合，可求得，进而确定椭圆方程； （2）分为 “斜率为”与“斜率不存在或斜率存在但不为0”两种情况进行讨论：①当斜率为0时，重合，可求得；②当斜率不存在或斜率存在但不为0时，分别将与与椭圆方程进行联立，再利用弦长公式分别表示出与，可求得.综上，可确定. 【小问1详解】 抛物线的焦点，则 又在椭圆上，将点代入椭圆方程得. 解得，所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 ①若直线的斜率为，则与重合，， 又因为，即，此时； ②若直线的斜率不存在或斜率存在但不为0，则可设其方程为，则平行线的方程为 联立与椭圆方程，消去得 设，则， 由弦长公式，可得 ， 联立与椭圆方程，消去得，解得， 由对称性及弦长公式，可得， 因此，此时. 综上所述，存在常数，使得恒成立，. 19. 若函数满足条件：函数的定义域为，且，，，当时，都有，则称为区间上的“型函数”. （1）若在其定义域上是“型函数”，求实数的最大值； （2）若函数不是上的“型函数”，求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据“型函数”的定义求解即可； （2）结合“型函数”的定义，将问题转化为在上存在解，且为解集的子集，结合导数可求的范围. 【小问1详解】 由题可得， 易知，令，得， 所以当时，，当时，， 因此在上单调递减，在上单调递增. 根据“型函数”的定义，要使是其定义域上的“型函数”， 需要，使得对，都有，这要求函数在区间上单调递减， 由的单调性可知，函数的单调递减区间为，故的最大值为. 【小问2详解】 由“型函数”的定义可知，若函数是上的“型函数”， 则在存在递减区间， 故在上存在解，且为解集的子集， 由题可得， 设，， 则， 当时，，为上的增函数，则，不合题意， 当时，若，， 则为上的减函数，则，符合题意， 若，当时，， 则为上的增函数，则，不合题意， 所以函数是上的“型函数”，则， 故函数不是上的“型函数”，则. 综上可得的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市盐田高级中学2026届元月高三数学周三测试卷（23） 班级：___________姓名：___________命题人：俞兴保 审题人：高伟 一、单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设为非零实数，则“”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知为实数，向量，，，若，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 5. 已知，，，则（　　） A. B. C. D. 6. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是抛物线的焦点，是上不同的两点，且都在第一象限，若轴，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 8. 已知函数，在区间上任取三个数均存在以为边长的三角形，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题 9. 分别是等差数列的前项和，则（ ） A. 是等差数列 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 11. 如图，点是边长为2的正方体的表面上一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当点在侧面上时，四棱锥的体积为定值 B. 存在这样的点，使得 C. 当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 D. 当时，点的轨迹长度为 三、填空题 12. 的展开式中的系数为______________． 13. 已知双曲线的右顶点为，点在的右支上，为关于轴的对称点，若直线的斜率之积为，则的离心率为______. 14. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，是其中一个正六边形的顶点，为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是___________． 四、解答题 15. 已知数列满足，. （1）证明：是等比数列； （2）设，证明：. 16. 在中，内角的对边分别为．已知． （1）求； （2）若，点在边上，，求面积的最大值． 17. 如图，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，底面，且． （1）若点、分别在棱、上，且，，求证：平面； （2）若点在线段上，且三棱锥的体积为，试求线段的长． 18. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且点在椭圆上. （1）求的方程. （2）过点作直线交于两点，过原点作直线的平行线交于两点，则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 若函数满足条件：函数的定义域为，且，，，当时，都有，则称为区间上的“型函数”. （1）若在其定义域上是“型函数”，求实数的最大值； （2）若函数不是上的“型函数”，求实数的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $