广东省盐田高级中学2026届高三上学期数学期末模拟试卷（2）

2026年01月22日盐田高级中学高三数学期末模拟试卷（2） 姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、选择题 1．已知集合,,则( ) A. B. C. D. 2．“数列为等差数列”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3．若,则( ) A. B.280 C.560 D. 4．如图,四棱柱中,四边形为平行四边形,E,F 分别在线段上,且,G在上且平面平面,则( ) A. B. C. D. 5．2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假,共7天.某单位安排7位员工值班,每人值班1天,每天安排1人.若甲不在除夕值班,乙不在正月初一值班,而且丙和甲在相邻的两天值班,则不同的安排方案共有( ) A.1440种 B.1360种 C.1282种 D.1128种 6．已知函数与的图象分别向右平移个单位长度和个单位长度后,所得图象重合,则( ) A. B. C. D. 7．已知点,,点P在圆上运动,的最大值为,最小值为,则( ) A. B. C. D. 8．设双曲线的右焦点为F,双曲线C上的两点A,B关于原点对称,且满足,,则双曲线C的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中不放回地随机取两次,事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”,事件B表示“第二次取出的球的数字是奇数”,事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”,则( ) A.A与B为互斥事件 B.B与C相互独立 C. D. 10．设函数,则( ) A.不是函数的极值点 B.当时, C.当时, D.当时, 11．已知抛物线的焦点为F,A,B,P为抛物线C上的点,,若抛物线C在点A,B处的切线的斜率分别为,且两切线交于点M.N为抛物线C的准线与y轴的交点.则以下结论正确的是( ) A.若,则 B.直线PN的倾斜角 C.若,则直线AB的方程为 D.的最小值为2 三、填空题 12．已知圆柱与圆锥的高均为2,且二者底面半径相等,若圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等,则圆锥的体积为________. 13．某流水线上生产的一批零件,其规格指标X可以看作一个随机变量,且,对于的零件即为不合格,不合格零件出现的概率为0.05,现从这批零件中随机抽取500个,用Y表示这500个零件的规格指标X位于区间的个数,则随机变量Y的方差是______________. 14．已知在上单调递增,其图象过点且在区间上有且仅有两条对称轴,则满足题意________.（写出一个值即可） 四、解答题 15．在中,已知.（1）求; （2）若在边上存在点E,使为锐角三角形,求的取值范围. 16．已知椭圆的离心率为,过坐标原点O和点的直线与椭圆C交于A,B两点,且.（1）求椭圆C的方程; （2）直线l与C交于M,N两点（M,N在x轴的同侧）,分别是椭圆C的左,右焦点,当时,求四边形面积的最大值. 年份代码x 1 2 3 4 5 市场规模y 3.98 4.56 5.04 5.86 6.36 17．统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下表为2020年—2024年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中2020年—2024年对应的代码依次为1—5.，，，其中参考公式： ，. (1)由上表数据可知，若用函数模型拟合y与x的关系，请估计2028年我国在线直播生活购物用户的规模（结果精确到）； (2)已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率P，现从我国在线直播购物用户中随机抽取5人，记这5人中选择在品牌官方直播间购物的人数为X，若，求X的数学期望和方差. 18．已知函数.(1)当时,求函数的单调区间； (2)若有3个零点,,,其中.求实数a的取值范围. 19．如图,在四棱柱中,已知底面， ,点E是线段上的动点. （1）求证:平面平面;（2）求直线与所成角的余弦值的最大值; （3）在线段上是否存在与B不重合的点E,使得二面角的正弦值为?若存在,求线段的长;若不存在,请说明理由. 2026年01月22日盐田高级中学高三数学期末模拟试卷（2）参考答案 1．答案：B 解析：由,, 则. 故选：B. 2．答案：A 解析：如果数列是等差数列,根据等差数列的下标性质可得一定有, 反之成立,不一定有数列是等差数列, 比如满足,但是数列不是等差数列, 所以“数列为等差数列”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．答案：C 解析：因为, 由二项式定理可得, 令,解得, 可得,所以. 故选:C. 4．答案：B 解析：延长交于点H,连接, 则, 因为,所以, 因为平面平面,平面平面, 平面平面, 所以,又四边形为平行四边形, 所以,所以, 因为,所以, 因为,所以, 所以, 所以. 故选:B 5．答案：D 解析：采取对丙和甲进行捆绑的方法： 如果不考虑“乙不在正月初一值班”,则安排方案有：种, 如果“乙在正月初一值班”,则安排方案有：种, 若“甲在除夕值班”,则“丙在初一值班”,则安排方案有：种. 则不同的安排方案共有(种). 故选：D. 6．答案：C 解析：依题意,得, 所以或, 得或（不恒成立,舍去）, 故选：C. 7．答案：D 解析：如图, 过点A向圆引两条切线,切点分别为, 则与分别为的最大､最小角,设, 由,可得, 由可知, 所以. 故选：D. 8．答案：A 解析：如图所示: 设双曲线的左焦点,由双曲线的对称性可知,四边形为平行四边形, 又,则,所以平行四边形为矩形,故, 设,,则, 在中,,, 所以,则, 所以, 令,得, 又由,得, 因为对勾函数在上单调递增,所以, 所以,即, 则,故, 所以, 所以双曲线离心率的取值范围是, 故选:A 9．答案：BD 解析：依题意,不放回的随机取两次,共有种不同结果, ,共15个不同结果, ,共15个不同结果, ,共12个不同结果, 对于A,事件能同时发生,如基本事件,A与B不互斥,A错误； 对于B,,, 共6个不同结果,,B与C相互独立,B正确； 对于C,,共9个不同结果, ,,C错误； 对于D,由选项B知,,D正确. 故选：BD. 10．答案：BC 解析：A选项,, 令,解得或,令,解得, 故在上单调递增,在上单调递减, 故是函数的极大值点,A错误; B选项, , 因为时,,故, 故,B正确; C选项,,,, 由A知,在上单调递减, 且,故,C正确; D选项,时,,, 即, 因为在上单调递减,所以,D错误. 故选:BC 11．答案：BCD 解析：由题,则向量的夹角为,故F,A,B三点共线, 设,与C的方程联立得,设, 则,,故, 由抛物线的定义得, 故,,所以A错误; 设,,当时,直线PN倾斜角大于等于, 当时,,所以直线PN的倾斜角,B正确; 记直线AB的斜率为k,令,则,则, 又,所以,所以,又直线AB过点,故直线AB的方程为,C正确; ,又,所以, 同理,联立解得,即,又, 所以,当时,等号成立,所以的最小值为2,D正确; 故选:BCD. 12．答案：/ 解析：设圆柱与圆锥的底面半径均为r,由题意得圆柱与圆锥的高均为2, 则圆柱的侧面积为,圆锥的表面积为, 若圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等, 则,化简得, 解得,且设圆锥体积为,故. 故答案为: 13．答案：45 解析：由正态分布的性质得质量指标在区间的概率为, 即1件产品的质量指标位于区间的概率为,, 故. 故答案为：45. 14．答案：4（答案不唯一,4,5,6任写一个即可） 解析：因为函数的图象过点,则,即, 且,即,可得, 所以, 因为,且,则, 若函数的图象在区间上有且仅有两条对称轴, 则,解得, 又因为,且,则, 若函数在区间上单调递增,且, 则,解得, 综上所述:,且, 所以,例如. 故答案为:4（答案不唯一,4,5,6任写一个即可）. 15．答案：（1） （2） 解析：（1）因为由余弦定理有:, 因为为的内角,所以 （2）因为由余弦定理有: =, 所以 设,由点E在边上,且为锐角三角形,所以, 所以. 在中,由, 所以,所以, 所以 由是定义域上的减函数,所以, 所以的范围为. 16．答案：（1）; （2）2. 解析：（1）由椭圆的离心率为,得,则, 椭圆方程化为,直线的斜率,其方程为, 由椭圆对称性,不妨设点,由,解得, 因此,解得, 所以椭圆C的方程为. （2）如图,延长交E于点,由（1）知, 设,设的方程为, 由消去x得,则, 设与的距离为d,四边形的面积为S, 由及椭圆的对称性知,点N与点关于原点对称, 则 又 当且仅当,即时,等号成立, 所以四边形面积的最大值为2. 17．答案：(1)7.77亿人； (2)， 解析：（1）设，则， 因为，，， 所以，， 所以，y与x的拟合函数关系式为 当时，， 则估计2028年我国在线直播生活购物用户的规模为7.77亿人. （2）由题意知， 所以，， 由，可得， 因为，解得， 所以，，. 18．答案：(1)单调递增区间为,无单调递减区间 (2) 解析：(1)当时,,, 则在恒成立,所以在单调递增, 故的单调递增区间为,无单调递减区间. (2), ,,则除1外还有两个零点, , 令, 当时,在恒成立,则, 所以在单调递减,不满足,舍去； 当时,要是除1外还有两个零点,则不单调, 所以存在两个零点,所以,解得, 当时,设的两个零点为m,, 则,,所以 当时,,,则单调递增； 当时,,,则单调递减； 当时,,,则单调递增； 又,所以,, 而,且, ,且, 所以存在,,使得, 即有3个零点,,, 综上,实数a的取值范围为. 19．答案：（1）证明见解析 （2） （3）存在, 解析：（1）由,,所以. 由平面,平面,所以. 由,,,平面, 所以平面,又平面,所以平面平面. （2）取中点,连接, 在梯形中,因为,,所以,, 则在中,,由,则, 易知两两垂直,分别以为x,y,z轴,建立空间直角坐标系, 如下图所示: 在四棱柱中,,则, 因为平面,平面,所以, 在中,, 则,,,, 取,,, 设平面的法向量为,可得,则, 取,则,所以平面的一个法向量, 设点到平面的距离, 设直线与平面所成角为,则,即, 在四棱柱中,因为,且平面, 所以当直线与所成角为时,其余弦值取得最大值,即为. （3）由题意作图如下:由题可知 ,,, 因为,所以,则,, , 设平面的法向量,可得, 则,令,则, 所以平面的一个法向量, 设平面的法向量,可得, 则,令,则, 所以平面的一个法向量, 设二面角的大小为, 则, 由二面角的正弦值为,则, 可得,化简可得,解得或, 由,则,故存在,. 学科网（北京）股份有限公司 $