精品解析：贵州省黔西南布依族苗族自治州兴仁市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

兴仁市2025—2026学年度第一学期教学质量监测试题八年级数学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. “嫦娥”奔月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“天和”遨游星辰……在浩瀚的宇宙中谱写着中华民族飞天梦想的乐章．下列航天图标（不考虑字符与颜色）为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 数学来源于生活，又服务于生活，如图，人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的性质，根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性， 故选：C． 3. 如图，为估计沙堆两侧点A，B间的距离，某同学在沙堆一侧选取一点C，测得，，那么点A，B两点之间的距离可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系：已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．首先根据三角形的三边关系定理求出的取值范围，然后再判断各选项是否正确． 【详解】解：∵，，能构成三角形， ∴， 即， 只有8符合题意， 故选：B． 4. 如图，和是的两个外角，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角，根据三角形的内角和定理得到，再根据外角的定义，求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故选B． 5. 等腰三角形的两内角的度数之比为，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和，一元一次方程的应用，等腰三角形两内角之比为，需分顶角与底角之比为或底角与顶角之比为两种情况讨论，利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：设顶角为，底角为． ∵等腰三角形， ∴两底角相等． 情况1：顶角与底角之比为，即． 设，． ∵， ∴， 解得：， ∴． 情况2：底角与顶角之比为，即． 设，． ∵， ∴， 解得：， ∴． ∴顶角为或． 故选C． 6. 在整式乘法公式的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形验证著名的平方差公式．这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ） A. 整体思想 B. 数形结合思想 C. 分类思想 D. 类比思想 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【详解】解：由左图可知阴影部分面积为， 由右图可知阴影部分面积为， 根据两图形的面积相等可得， 这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B． 7. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设规定时间为天，分别表示出慢马和快马的行驶时间与速度，根据“快马的速度是慢马的倍”这一等量关系列方程即可解答． 【详解】解：设规定时间为天， ∵慢马所需时间比规定时间多天， ∴慢马的行驶时间为天，慢马速度为， ∵快马所需时间比规定时间少天， ∴快马的行驶时间为天，快马速度为， 又∵快马的速度是慢马的倍， ∴可得方程 ，即选项B符合题意． 8. 若把分式中的a，b都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的2倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质．将a和b都扩大到原来的2倍后， 代入分式并化简， 得到与原分式相同的结果． 【详解】解：原分式为， 当a和b都扩大到原来的2倍时，新分式为． ∵， ∴分式的值不变． 故选：C． 9. 在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：A、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； B、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； C、∵，，，无法证得三角形的内角和等于，故此选项符合题意； D、如图， ∵，∴，，∵，∴，∵，∴， ∴，故此选项不符合题意． 故选：C． 10. 王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应六个字：北，爱，我，数，学，河，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱数学 B. 爱河北 C. 河北数学 D. 我爱河北 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解，且与现实生活联系创新，正确分解并找出所对应汉字是解题的关键． 将题干算式因式分解，然后每个因式所对应汉字即可求解． 【详解】解： ， ∵3对应“我”，对应 “北”，对应“河”， 对应“爱”， ∴可能的密码信息是：我爱河北， 故选D． 11. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点D．则下列结论错误的是（ ） A. 是的角平分线 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了含的直角三角形的性质、角平分线的尺规作图、等角对等边等知识．根据角平分线的作法即可判断A；根据三角形内角和定理和角平分线定义求出，即可判断B；根据含的直角三角形的性质和三角形面积公式即可判断C；根据含的直角三角形的性质即可判断D． 【详解】解：由作法得是的平分线，所以选项A的结论正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴，所以B的结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，所以C的结论错误，符合题意； 设， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴，所以D的结论正确，不符合题意； 故选：C． 12. 如图，已知：∠MON＝30°，点A1，A2，A3……在射线ON上，点B1，B2，B3……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1＝1，则△A7B7A8的边长为（　　） A. 64 B. 32 C. 16 D. 128 【答案】A 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质和∠MON＝30°，可得A1B1＝OA1＝1，∠OB1A2＝90°，再由△A2B2A3、△A2B2A3是等边三角形，可得，从而得到，可得到A2B2＝2B1A2，同理B3A3＝2B2A3，进而得到A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，即可求解． 【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形， ∴∠B1A1A2＝60°，∠A1B1A2＝60°， ∵∠MON＝30°， ∴∠OB1A1＝30°， ∴A1B1＝OA1＝1，∠OB1A2＝90°， ∴A2B1＝1， ∵△A2B2A3、△A2B2A3是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴A2B2＝2B1A2， 同理B3A3＝2B2A3， ∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16， 以此类推：△A7B7A8的边长为 26＝64． 故选：A 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上） 13. 我们生活在物质的世界里，所有的物质都是由一些看不见的微小粒子构成的，例如水就是由水分子构成的．科学家们通过测量发现一个水分子的直径仅约，其中用科学记数法表示为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：用科学记数法表示为， 故答案为：． 14. 两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母a；乙同学：当时，分式的值为0．请你写出满足上述全部特点的一个分式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了写出某些特征的分式，根据分式值为零的条件，当时分子为零且分母不为零，因此分子应含的因子，分母在时不为零． 【详解】解：当时，分式的值为0，因此分子必须为0，但分母不能为0， 设分子为，分母为a，则当时，分子，分母，满足条件． 故答案为：（答案不唯一）． 15. 如图，在中，点O为三角形的重心，D为中点，若的面积为24，则的面积是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了重心，三角形中线的性质， 延长，交于点E，根据重心的性质得出，进而得出，即可求出，再根据中点的定义得出答案． 【详解】解：如图所示，延长，交于点E， ∵点O是的重心， ∴是的中线， ∴， ∴， 即， 同理，． ∵， ∴． ∵D是的中点， ∴． 故答案为：4． 16. 如图，P为等边三角形外一点，连接，，．已知，，O为的中点，则的最大值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先认真理解题意，在的左边，作一个以为边的等边三角形，运用等边三角形的性质，证明，再运用三角形三边关系以及两点之间线段最短，得出当三点共线，则，即，故的最大值为，即可作答． 【详解】解：依题意，在的左边，作一个以为边的等边三角形，如图所示： ∵是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形， ∴， 则， 即， ∵ ∴， ∴， ∵为的中点， ∴的最大值为， 在中，， 当三点共线，则， 即， ∴的最大值为， 故答案为：4 三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）先化简代数式，再选择一个你喜欢的a的值代入求值． 【答案】（1） （2）化简为，当时，值为 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂，实数的混合运算，分式的化简求值． （1）先计算负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，然后计算乘法，最后再计算加减法． （2）先化简分式，再代入数值计算即可得出答案． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 由题意得且,故可取. 故原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）求出的面积． （2）作关于x轴对称的． （3）在y轴上找一点P，使得的值最小，请在图中作出点P（保留作图痕迹），并直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2） 解：如图，即为所求作； （3） 解：如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）利用割补法求三角形的面积即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）作点C关于y轴对称的点，连接，交y轴于点P，则点P即为所求，即可得出答案． 【小问1详解】 解：的面积； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作点C关于y轴对称的点，连接，交y轴于点P，连接， ∵ ∴此时为最小值， 则点P即为所求． 由图可得，． 19. 已知，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）32 （2）25 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用． （1）根据同底数幂乘法的逆用计算即可． （2）根据同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用计算即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． 20. 先阅读下列解题过程，再回答问题． 解方程． 解：方程两边乘，得，…第①步 移项，得，．．．第②步 合并同类项、系数化为1，得，…第③步 … （1）以上解方程的步骤中，最先开始出错的是第_____步（填序号），错误的原因是_____； （2）请写出正确的解答过程． 【答案】（1）①； 左边的常数项没有乘 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的求解，分式方程去分母是解题的关键． （1）首先利用去分母计算分式方程，即可发现开始出错的是第①步，再根据等式的基本性质回答即可． （2）正确的解答过程首先利用去分母计算分式方程，再去括号，移项、合并同类项计算得出解，再进行验证解是否符合即可． 【小问1详解】 解：∵方程两边乘， 得， ∴开始出错的是第①步； 错误的原因是左边的常数项没有乘． 【小问2详解】 解：． 方程两边乘，得， 去括号得：． 移项，得 合并同类项、系数化为1，得， 经检验，当时，， 则原分式方程的解为：． 21. 如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，， （1）从下列条件中选择一个作为已知条件：①；②；③；求证：； （2）在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：①∵， ∴， 即． ∵， ∴； ③∵， ∴， 即． ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 对于（1），先证明，再根据“边边边”和“边角边”可得结论； 对于（2），根据全等三角形的对应角相等得出，再根据三角形内角和定理得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． 22. 某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进A型机器人多少台？ 【答案】（1）A型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料 （2）至少购进A型机器人7台 【解析】 【分析】本题考查分式方程应用，一元一次不等式应用． （1）设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运材料，根据题意建立方程求出其解即可得； （2）设购进A型机器人台，根据每小时搬运材料不得少于列出不等式进行求解即可得． 【小问1详解】 解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运材料， ∴， 解得， 经检验，是所列方程的解， 当时，， 答：A型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料； 【小问2详解】 解：设购进A型机器人台，则购进B型机器人台， ， 解得：， ∵是整数， ∴， ∴a的最小值为， 答：至少购进A型机器人7台． 23. 阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 例2：“三一分组”： 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： （1）分解因式： ①； ②． （2）已知的三边a，b，c满足，试判断的形状． 【答案】（1）①；② （2）等边三角形 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，等边三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）①先分组，然后用提公因式法进行因式分解即可得到答案；②先分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可得到答案； （2）先利用因式分解，得到，再根据平方的非负关系，得到，即可判断的形状． 【小问1详解】 解：① ； ② ； 【小问2详解】 解：等边三角形，理由如下： ， ∴ ， ∴， ，， ，，， ∴， 的形状是等边三角形． 24. “数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证乘法公式______． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则______． 【知识迁移】 （3）如图②，点D在线段CE上，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为9，的面积为3，求CE的长度． 【答案】（1）（2）32（3）6 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，算术平方根等知识，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）从“整体”与“部分”分别用代数式表示图形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据整体代入计算即可； （3）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，由题意可得，，进一步求出，，根据求出的值，最后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为， 可以验证公式． 故答案为：． （2）由条件可知， 当，时，． 故答案为：32． （3）设正方形的边长为m，正方形的边长为n， 则，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即． 25. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图①，在和中，，，，连接．直接写出与的数量关系是：______； （2）类比探究：如图②，在和中，，，，连接请猜想与的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸：如图③，和均为等腰直角三角形，，连接，且点B、E、F在一条直线上，过点A作，垂足为M．请直接写出之间的数量关系． 【答案】（1） （2） ，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可根据证明，则； （2）利用证明即可得出结论； （3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵和都是等腰三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴仁市2025—2026学年度第一学期教学质量监测试题八年级数学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. “嫦娥”奔月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“天和”遨游星辰……在浩瀚的宇宙中谱写着中华民族飞天梦想的乐章．下列航天图标（不考虑字符与颜色）为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 数学来源于生活，又服务于生活，如图，人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 垂线段最短 3. 如图，为估计沙堆两侧点A，B间的距离，某同学在沙堆一侧选取一点C，测得，，那么点A，B两点之间的距离可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，和是的两个外角，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 等腰三角形的两内角的度数之比为，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 在整式乘法公式的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形验证著名的平方差公式．这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ） A. 整体思想 B. 数形结合思想 C. 分类思想 D. 类比思想 7. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若把分式中的a，b都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的2倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 9. 在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（ ） A. B. C. D. 10. 王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应六个字：北，爱，我，数，学，河，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱数学 B. 爱河北 C. 河北数学 D. 我爱河北 11. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点D．则下列结论错误的是（ ） A. 是的角平分线 B. C. D. 12. 如图，已知：∠MON＝30°，点A1，A2，A3……在射线ON上，点B1，B2，B3……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1＝1，则△A7B7A8的边长为（　　） A. 64 B. 32 C. 16 D. 128 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上） 13. 我们生活在物质的世界里，所有的物质都是由一些看不见的微小粒子构成的，例如水就是由水分子构成的．科学家们通过测量发现一个水分子的直径仅约，其中用科学记数法表示为______________． 14. 两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母a；乙同学：当时，分式的值为0．请你写出满足上述全部特点的一个分式______． 15. 如图，在中，点O为三角形的重心，D为中点，若的面积为24，则的面积是______． 16. 如图，P为等边三角形外一点，连接，，．已知，，O为的中点，则的最大值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）先化简代数式，再选择一个你喜欢的a的值代入求值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）求出的面积． （2）作关于x轴对称的． （3）在y轴上找一点P，使得的值最小，请在图中作出点P（保留作图痕迹），并直接写出点P的坐标． 19. 已知，，． （1）求的值； （2）求的值． 20. 先阅读下列解题过程，再回答问题． 解方程． 解：方程两边乘，得，…第①步 移项，得，．．．第②步 合并同类项、系数化为1，得，…第③步 … （1）以上解方程的步骤中，最先开始出错的是第_____步（填序号），错误的原因是_____； （2）请写出正确的解答过程． 21. 如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，， （1）从下列条件中选择一个作为已知条件：①；②；③；求证：； （2）在（1）的条件下，若，，求的度数． 22. 某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进A型机器人多少台？ 23. 阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 例2：“三一分组”： 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： （1）分解因式： ①； ②． （2）已知的三边a，b，c满足，试判断的形状． 24. “数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证乘法公式______． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则______． 【知识迁移】 （3）如图②，点D在线段CE上，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为9，的面积为3，求CE的长度． 25. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图①，在和中，，，，连接．直接写出与的数量关系是：______； （2）类比探究：如图②，在和中，，，，连接请猜想与的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸：如图③，和均为等腰直角三角形，，连接，且点B、E、F在一条直线上，过点A作，垂足为M．请直接写出之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $