精品解析：湖北省孝感市2026届高三第一次统一考试数学试题

孝感市2026届高三年级第一次统一考试 数学试卷 考试时长：120分钟 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷、草稿纸上无效． 2．填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试卷、草稿纸上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列选项中，与复数（i为虚数单位）相等的复数是（ ） A. B. C. D. 2. 设全集，集合，则中元素个数为（ ） A 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 已知点在抛物线上，则点到抛物线的焦点的距离为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6 4. 设数列满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 5. 若点是函数的图象的一个对称中心，则的值为（ ） A B. C. D. 6. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若，，则边上的中线长为（ ） A. B. C. 6 D. 10 7. 已知正实数x，y满足，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 8. 已知圆，直线，直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 存在，使得与圆C相切 C. ，且，都与圆C相交，但被圆C截得的两条弦长不可能相等 D. 设圆心到，的距离分别为，，则为定值 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 关于定义域为的函数，下列说法正确的有（ ） A. 存在函数，使得恒成立 B. 存在函数，使得恒成立 C. 存在函数，使得恒成立 D. 存在函数，使得恒成立 10. 若三棱锥的所有棱长均为1，M，N分别为棱，的中点，则（ ） A. B. 该三棱锥表面积为 C. 该三棱锥外接球的体积为 D. 异面直线，所成角的余弦值为 11. 曲线，，下列说法正确的是（ ） A. 若点在曲线C上，则点也一定在曲线C上 B. 若曲线C表示双曲线，则其离心率 C. 若，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆 D. 不论为何值，直线与曲线C恒有两个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则________． 13. 已知数列为等比数列，，公比，是数列的前n项积．若，则n的最小值为______． 14. 某商场举办抽奖活动，在一个不透明的抽奖箱中有六个相同的小球，编号分别为1、2、3、4、5、6．活动规则如下：每位顾客连续有放回地抽取三次，若三次抽到的小球编号之和为5的倍数，则视为中奖．现甲、乙、丙三位顾客依次参加抽奖活动，且每人是否中奖相互独立．记中奖人数为X，则X的数学期望为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（），且． （1）求在点处的切线方程； （2）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求函数在上的值域． 16. 2025年8月30日晚，以“知音湖北，与‘篮’共舞”为主题的湖北省全国百强县篮球联赛八支球队分别在汉川、仙桃、潜江、枝江同时开战．湖北省以体育赛事为纽带，推动文体旅深度融合，为县域经济高质量发展注入新动能．组委会对其中5个参赛县的宣传费用（万元）与现场观众人数（百人）进行统计，数据如下： 参赛县 A B C D E 宣传费用x（万元） 2 3 4 5 6 现场观众人数y（百人） 19 22 24 27 28 （1）从这5个参赛县中随机抽取3个，记现场观众人数不少于24百人的县的个数为，求随机变量的分布列及数学期望； （2）利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测宣传费用为8万元时的现场观众人数． 附：线性回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为： ，． 17. 如图①，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．点在的延长线上，且．当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合．） （1）求曲线的方程； （2）矩形中，，．分别是矩形的四条边的中点． （ⅰ）如图②，已知点是线段上靠近原点的4等分点，直线与曲线交于两点，与圆交于两点，求的值； （ⅱ）如图③，已知点是线段的等分点，点是线段的等分点．证明：直线与（）的交点L在曲线上． 18. 已知长方体中，，，点M在棱上，点N在棱上，且，，P为棱中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）平面把长方体分割成两部分，求较小部分几何体的体积． 19. 已知定义在上的函数满足以下条件： ①； ②当时，； ③对，均有，且． （1）用表示； （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）已知数列满足，求数列的前n项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 孝感市2026届高三年级第一次统一考试 数学试卷 考试时长：120分钟 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷、草稿纸上无效． 2．填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试卷、草稿纸上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列选项中，与复数（i为虚数单位）相等的复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法法则计算出，得到答案. 【详解】． 故选：A 2. 设全集，集合，则中元素个数（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先解出全集再计算即可. 【详解】由且，解得全集，则，共有6个元素. 故选：C. 3. 已知点在抛物线上，则点到抛物线的焦点的距离为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先把代入到抛物线方程得，故准线为，进而由抛物线的定义可得. 【详解】因为代入，得，故准线为， 点到抛物线的焦点的距离等于点到准线的距离，所以， 故选：C 4. 设数列满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】将数列类比成函数后递推即可求得周期. 【详解】因为，且， 所以 ，， 所以数列的周期为2，故 故选：A 5. 若点是函数的图象的一个对称中心，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦函数对称中心性质得，，然后利用诱导公式求值即可. 【详解】因为点是函数的图象的一个对称中心， 所以，，即，， 所以，所以. 故选：D 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边上的中线长为（ ） A. B. C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理和数量积的定义得，然后利用中线向量表示及模的运算求解中线长即可. 【详解】中，由余弦定理得， 又，所以，所以，记边上的中点为M， 因为，所以，所以. 故选：B 7. 已知正实数x，y满足，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数运算性质得，然后利用基本不等式的常数代换技巧求解最小值即可. 【详解】因为，所以，所以，即， 所以， 当且仅当时取等． 故选：B 8. 已知圆，直线，直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 存在，使得与圆C相切 C. ，且，都与圆C相交，但被圆C截得的两条弦长不可能相等 D. 设圆心到，的距离分别为，，则为定值 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线平行列方程求解判断A；根据直线过定点在圆C内判断B；根据弦长公式列方程求解判断C；根据垂径定理求解即可判断D. 详解】对于A：若，则，即，无解，所以A错误； 对于B：直线，令则， 所以直线过定点，又因为，即在圆C内， 所以直线与圆C相交，所以B错误; 对于C：若两弦长相等，则， 所以，所以或， 所以或，所以C错误 对于D：直线，令，则， 所以直线也过定点，因为，所以为定值，所以D正确. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 关于定义域为的函数，下列说法正确的有（ ） A. 存在函数，使得恒成立 B. 存在函数，使得恒成立 C. 存在函数，使得恒成立 D. 存在函数，使得恒成立 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除选项AD，举例分析判断选项BC. 【详解】对于定义域为的函数，函数与的定义域均为， 因, 故为偶函数，为奇函数， 而为奇函数，为偶函数，故AD错误， 令，可得， ，故BC正确. 故选：BC 10. 若三棱锥的所有棱长均为1，M，N分别为棱，的中点，则（ ） A. B. 该三棱锥表面积为 C. 该三棱锥外接球体积为 D. 异面直线，所成角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质定理证明选项A；根据正四面体的表面积公式求解即可判断B；利用补体法求解正四面体的外接球半径，代入球的体积公式求解判断C；利用向量法求解异面直线夹角余弦值判断D. 【详解】由题意三棱锥为棱长为1的正四面体， 对于A：因为在正四面体中，M为中点， 所以，，又，平面， 所以平面，平面，所以，所以A正确； 对于B：因为正四面体每个面都是边长为1的正三角形， 所以此正四面体的表面积为，所以B错误； 对于C：把该正四面体放在正方体中，如下图所示： 设该正方体的棱长为，则有， 所以该正方体的对角线长为， 所以该正方体外接球的半径为，即该正四面体外接球的半径为， 所以该正四面体外接球的体积为，所以C正确； 对于D：因为， 所以 ，又， 所以异面直线，所成角的余弦值为，所以D正确. 故选：ACD 11. 曲线，，下列说法正确的是（ ） A. 若点在曲线C上，则点也一定在曲线C上 B. 若曲线C表示双曲线，则其离心率 C. 若，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆 D. 不论为何值，直线与曲线C恒有两个交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，对各选项进行分析即可. 【详解】A：将点代入方程左边： 由于在曲线上，故原式等于1，所以也在曲线上，该曲线C关于原点对称，所以A正确. B：曲线方程可改写为：，当时，即， 此时方程为：， 即标准双曲线形式：， 其中，， 双曲线离心率公式：， 所以B正确. C：因为，所以， 方程为：， 是椭圆标准形式，可得：，， 因为，所以，故，焦点在y轴上， 所以C错误. D：将直线代入曲线方程： ，展开：， 整理成关于的二次方程： ， 根据判别式：， 化简得：，因为，所以恒成立, 方程恒有两个不同实根，直线与曲线恒有两个交点. 所以D正确 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，可求解值，分析导函数符号即可得到函数的单调递增以及递减区间，即可求解. 【详解】根据题意可知， 则可得，令，即， 解之可得或， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以可知，，所以. 故答案为： 13. 已知数列为等比数列，，公比，是数列的前n项积．若，则n的最小值为______． 【答案】26 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式基本量运算及指数运算法则求得，然后解指数不等式即可求解. 【详解】由题意， 所以， 由，可得，则有，解得或， 又n为正整数，所以n的最小值是26． 故答案为：26 14. 某商场举办抽奖活动，在一个不透明的抽奖箱中有六个相同的小球，编号分别为1、2、3、4、5、6．活动规则如下：每位顾客连续有放回地抽取三次，若三次抽到的小球编号之和为5的倍数，则视为中奖．现甲、乙、丙三位顾客依次参加抽奖活动，且每人是否中奖相互独立．记中奖人数为X，则X的数学期望为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得每位顾客中奖的概率，由题意，然后利用二项式的期望公式求解即可. 【详解】由题意，三次抽奖的所有情况共有种，和为5的倍数的情况有： ①三个编号均不相同1，3，6；1，4，5；2，3，5；4，5，6共种； ②恰有两个编号相同1，1，3；2，2，1；2，2，6；3，3，4；4，4，2；6，6，3共种， ③三个编号都相同5，5，5共1种，所以中奖的概率， 由题意，所以X的数学期望． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（），且． （1）求在点处的切线方程； （2）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求函数在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件先求解出的值，然后求解出，结合时的导数值和函数值可求切线方程； （2）先求得的解析式，再通过换元法求解出的值域. 【小问1详解】 因为且，所以，所以， 所以，所以， 所以切线方程为，即为； 【小问2详解】 由条件可知，， 因为，令， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且，所以， 所以函数在上的值域为. 16. 2025年8月30日晚，以“知音湖北，与‘篮’共舞”为主题的湖北省全国百强县篮球联赛八支球队分别在汉川、仙桃、潜江、枝江同时开战．湖北省以体育赛事为纽带，推动文体旅深度融合，为县域经济高质量发展注入新动能．组委会对其中5个参赛县的宣传费用（万元）与现场观众人数（百人）进行统计，数据如下： 参赛县 A B C D E 宣传费用x（万元） 2 3 4 5 6 现场观众人数y（百人） 19 22 24 27 28 （1）从这5个参赛县中随机抽取3个，记现场观众人数不少于24百人的县的个数为，求随机变量的分布列及数学期望； （2）利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测宣传费用为8万元时的现场观众人数． 附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，． 【答案】（1）分布列见解析， （2），预测宣传费用8万元时的现场观众人数为33.2百人 【解析】 【分析】（1）得到的可能取值和对应的概率，从而得到分布列和期望值； （2）代入公式得到，从而得到y关于x的线性回归方程，当时，（百人），从而得到答案. 【小问1详解】 因为观众不少于24百人的县共有3个，所以的可能取值为1，2，3， ，，， 所以分布列如下： 1 2 3 P 所以； 【小问2详解】 由题意，， ， ， 所以， ， 所以y关于x的线性回归方程为， 当时，（百人）， 故预测宣传费用为8万元时现场观众人数为33.2百人． 17. 如图①，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．点在的延长线上，且．当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合．） （1）求曲线的方程； （2）矩形中，，．分别是矩形的四条边的中点． （ⅰ）如图②，已知点是线段上靠近原点的4等分点，直线与曲线交于两点，与圆交于两点，求的值； （ⅱ）如图③，已知点是线段的等分点，点是线段的等分点．证明：直线与（）的交点L在曲线上． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设点M的坐标，点P的坐标，由点在圆上及可得； （2）（i）先求出直线方程，联立直线方程和椭圆得，联立直线方程和圆的方程可得，进而可得；（ⅱ）由题，，，，进而得直线直线方程：，直线方程： ，进而得，进而可判断. 【小问1详解】 设点M坐标为，点的坐标为，则点I的坐标为 由得，，所以， 因为点在圆上，所以，把，代入得：，即曲线的方程是： 【小问2详解】 （ⅰ）由题意，点，，， 所以直线方程为 由得所以 由得所以 由相似得 （ⅱ）证明：由题知：，，， ， 直线方程： 直线方程： 联立直线方程和直线方程，得，所以 代入直线方程得 所以 所以 所以，点L在椭圆上. 18. 已知长方体中，，，点M在棱上，点N在棱上，且，，P为棱中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）平面把长方体分割成两部分，求较小部分几何体的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点Q，连接，利用基本事实4及线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后利用向量法求解平面夹角的余弦值即可. （3）取中点R，根据平面性质确定较小部分几何体为三棱台，然后利用棱台体积公式求解即可. 【小问1详解】 取中点Q，连接，，则， 因为，，所以四边形为平行四边形，所以， 则， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 以D为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，， 设平面的法向量为， 由， ， 又平面的一个法向量为 ， 平面与平面夹角为， 则 ， 即平面与平面夹角的余弦值为 ； 【小问3详解】 取中点R，由（1）知，所以B，M，N，R四点共面， 所以四边形为梯形， 设，则平面，平面， 所以平面平面， 所以直线，所以直线，直线，直线共点S， 所以为三棱台，显然为体积较小部分， 因为，，高， 所以其体积为： . 19. 已知定义在上的函数满足以下条件： ①； ②当时，； ③对，均有，且． （1）用表示； （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）已知数列满足，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2）是上的单调递增函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先令，得，再令即可求得. （2）先判断的单调性，再结合函数法则利用单调性定义证明即可. （3）先求得，然后利用是上的单调递增函数得，进而结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和法及错位相减法求和即可. 【小问1详解】 对③式，令，，则， 即，又∵，∴， 对③式，令，则， 又∵，即，∴. 【小问2详解】 是上的单调递增函数， 证明：，且，则 ， ∵，∴， 又∵时，，∴， ∵当时，，则，∴， 又∵时，，而，∴， ∴，∴， ∴，即， ∴是上的单调递增函数. 【小问3详解】 对③式，令，则， ∴ ， 又∵是上的单调递增函数，∴， ∴， 设，① 则 ，② 得：， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $