湖北十堰市2026届高三上学期1月调研考试（一模）数学试题

十堰市2026年高三年级元月调研考试 数 学 本试题卷共4页，19题，均为必考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上 的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿 纸上无效。 4.考生必须保持答题卡的卷面整洁。考试结束后，只交答题卡。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1,已知i为虚数单位，若3=一i,则z= A.-1+3i B.-1-3i C.1+3i D.1-31 2.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P(s,t)在C上，且|PF|=3,O为原点，则|OP|= A.6 B.2√3 C.4 D.2√2 3.印刷电路板(PCB)是支撑数字产业的核心组件，中国在全球已形成显著竞争优势.某机构调研得到 2021一2025年度中国PCB市场规模（单位：千亿元）依次为3.88,3.84,4.16,4.46,4.71，则这5个数 据的40%分位数是 A4.02 B.4.00 C.3.88 D.3.84 4.若向量a=(-1,2),b-a=(3,0),记0=(a,b》,则cos20= A-手 B告 C.-10 10 n需 5.已知正数x,y满足x十y=xy,则x十4y的最小值为 A.6 B.7 C.8 D.9 6.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,bc若a=4,A=号于，siB+sinC=3,则6c= 41 A鳄 B.20 C.16 D.9 【高三数学第1页（共4页）】 7.已知正四面体ABCD各条棱的中点都在球O的表面上，则球O的表面积与该正四面体的表面积之 比为 A.23x B.3x C.3x D.3 3 9 6 36 8.若函数f(x)=eln(1+)有极值，则实数a的取值范围是 A(-∞，0)U(e,+∞) B.(-∞，-e)U(0,+∞) C.(-∞，-e) D.(e,十∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知集合M={1,2},若集合N满足M∩N=⑦，则N可以是 A{x|x2+2x=0} B.{x|x2-x≤0} c{=1-2 D.{x|x=3n-1,n∈Z 10.若(-1十x)7=a0十a1x十a2x2+…十a6x5+ax2,则 Aa≤a3(i=0,1,2,3,…,7) B.2la:=126 C.从ao,a1,·,a,这8个数中任取2个，这两个数的积为正数的取法有12种 D.从ao,a1,a2,…,a这8个数中任取3个，这三个数的和等于a,a1,a2,…,a1中某数的取法有28种 11.已知定义域与值域均为R的函数f(x)满足Vx1,x2∈R,f(f(x1一x2)=f(2x1)十f(一2x2)-1, 且f(0)=一1，则 Af(-1)=-3 B罗5⑧)=-4052 C.彐∈R,g(x)=f(x)十k是奇函数 D.3k∈R,g(x)=f(x)十kx满足g(x十1)=g(x) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知22=3,3=5，用a,b表示lg5= 18.已知双曲线C,等-芳=1(a>0,6>0),记c=V+F,C经过点P(c,n),Q(c,%)(0≠%)，且 |PQ|=√2|OP|(O为原点)，则C的离心率为 14.若函数f(x)=la十si血+lal-sinz-a-号有零点，则实数a的取值范围是 T吉一粉兴$节石11伤11 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知数列{an}的前n项和Sn=3一3an (1)证明：{an}是等比数列； (2若a,s分别是等差数列(a.}的第1项与第3项，求，)的公差， 16.(本小题满分15分) 某生态农场用精准农业技术种植番茄，研究两种智能灌溉系统(A型与B型)对果实品质的影响.农场 随机选取200株番茄，记录灌溉类型及果实糖度达标情况，得如下列联表： 灌溉系统 糖度达标 糖度不达标 合计 A型 62 38 100 B型 45 55 100 合计 107 93 200 (1)根据小概率值α=0.05的独立性检验，判断番茄果实糖度达标与灌溉类型是否有关联； (2)该农场同时测试无土栽培技术对产量的影响，已知单株番茄产量(kg)为X,通过测试得到使用无 土栽培时X的分布列为： X 1 1.5 2 P 0.2 0.5 0.3 使用传统土壤栽培时X的分布列为： X 0.8 1.2 1.6 0.4 0.4 0.2 从这两种方式栽培的番茄中随机各抽取1株，若使用无土栽培技术与使用传统土壤栽培时番茄的 产量相互独立，求抽到的2株番茄总产量大于3kg的概率 n(ad-bc)2 附：x=(a+b)+ac)+d其中n=a+b+c+d. a 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17.(本小题满分15分) 如图，几何体ABCDEF为四棱锥E-ABCD和三棱锥F-BCE的组合体.在四棱锥E-ABCD中，底 面ABCD是边长为4的正方形，△BCE是正三角形，平面BCE⊥平面ABCD,EF⊥BE,BF=CF. (1)求证：EF∥AB; (2)若三楼锥F-BCE的体积是四棱锥E-ABCD的体积的号，求直线 CF与平面ADE所成角的正弦值. 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C等+芳-1(a>>0)的实轴长为43，点D(3,1)在C上 (1)求C的离心率； (2)若A,B分别为C的左、右顶点，过点E(W3,0)且斜率不为0的直线与C交于G,H两点，直线 AG,BH交于点M,证明：点M在定直线上； (3)已知P,Q,R均在C上，0为原点，O录=mO+nO反，其中P,Q均不在x轴上，mm≠0，且m十t-1, 记直线OP,OQ的斜率分别为k1,k2,证明：k12为定值 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=x3十ax-1|(a∈R) (1)若f(x)在(0，+∞)上单调递增，求a的取值范围； (2)若a=0,证明：f(x)+4x≤16e2, (3)试讨论过点P(-1,0)且与曲线y=f(x)(x∈(-∞，1)U(1,十∞)相切的直线的条数. 高三数学第4页共↓页)】十堰市2026年高三年级元月调研考试 数学参考答案 1.C由31-i,得=3二=3=i=1+31故选C -i-i·i 2.B由抛物线的定义，得|PF|=s+1=3,解得=2，所以=4=8，所以OP|=√2+F=√4+8=23.故选B. 3.A因为5×40%=2，故这5个数据的40%分位数是将数据从小到大排列后第2个数据(3.88)与第3个数据(4.16)的 平均数4.02.故选A. 2 4.A由题意.得b=（-1,2)+(3,0)=(2,2).所以c0s0=1ab=5×25=10·所以©os29=2cos20-1=2X 。-1=一寺故选A 5D由+y=,得+}=1，所以中=+(+）=5+型+号≥5+2√空×子=9，当且仅当空= 子，即=2y=3时等号成立.故选D 6D由后c春得血B=得血C-得.所以号a时e=9.即=6，又=+-2hmsA=5+ 2 C-k=(叶c-一3k,所以k=+”L_6。-9,易知此时三角形有解故选D 3 7.C设正四面体的棱长为2a,则表面积为S,=4X.(2)=43a;该正四面体的各条棱的中点构成棱长为a的正八 4 面体，其各顶点都在半径为号。的球0的表面上则球O的表面积为S5,=4(停。)广=2，所以产=乙-故 S43a26 选C &A因为f)=elh(1+).所以广)=e[h(1+后)++a]令f)=0,得n1+)十+a=a若a> 0.得h十a)+本。ha=0.设g)=hcta)+十。ha,则)=。=产品，易得当 x∈(-a,1一a)时，g(x)<0:当x∈(1-a,十o∞)时，g(x)>0,所以g(x)在(-a,1一a)上单调递减，在 (1-a,十∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1-a)=1-lna.又当x-a时，g(x)~十∞：当x十c∞时，g(x)→ +o∞，所以当1一lna<0,即a>e时，g(x)存在零点且在该零点的左右两侧变号，故f(x)有极值：若a<0,则 h(1+后）++。=h(--a)++ala(-a).设A)=n(--a++。-h(-a).则c)= x十a (x+a)2 h(x)在（一0，一a)上单调递减，且h(0)=是<0：又当x-∞时，h(x)一十6o,所以M(x)存在零点且在该零点的 左右两侧变号，所以f(x)一定有极值.综上所述，实数a的取值范围是（一o∞.0）U(c,十c∞).故选A. 9.AC对于A.V={0,-2〉，则M∩V=,满足题意；对于B,V={x|0≤x≤1}，则M∩N={1},不满足题意；对于 C,N=(yly<1冫，则M∩V=☑，满足题意；对于D,当n=1时，3n-1=2,2∈M∩N,不满足题意.故选AC. 10.ACD通项T,+1=C(-1)-x,所以a=C(-1)-r(r=0,1,…,7),得a3=C(-1)‘=35,a4=C(-1)3=-35. 由二项式系数的性质知ag最大，故A正确：由a,=C(-1)-r,得|a,|=C,所以2|a,|=C十C十…十Cg=2-1 =127,故B错误；由a,=C(一1)-，得ao,a2,a4,as为负数，a1,as,a5,a为正数，所以从a,a,a2,…,a,中任取 2个，这两个数之积为正数的取法有C+C=12种，故C正确：由题意知a=一1，a=7,ag=-21,as=35,a,=一35： aa=21,as=-7,ar=1,所以ag十a:=a1十a6=az十as=a3十a4=0,所以从ao,a1,a2,…,a:中任取3个，其和仍在该 组数据中的取法有4C=24种，又a1十a2十a3=7-21+35=21=as,a:十as十as=一21=a2,a2十a3十as=7=aa十 a十a:=-7=a6,所以共有24+4=28种，故D正确.故选ACD. 11.ACD因为V1,∈R,f(f(1-x))=f(2m)+f(-22)-1,取=x2=0,得f(f(0))=2f(0)-1.即 f(-1)=-3,故A正确：取4==，得ff(0)=f(x)+f(-x)-1.即f(x)+f(-x)=-2,所以 罗0=一2X2026+f0=-4053放B错误：当及=1时，g)十g(-x)=f)十1+(-x)+1=0.所 【高三数学·参考答案第1页（共4页）】 以当k=1时，gx)是奇函数，放C正确：取=乞=一受，得f(f(x)=2f(x)-1.设f()=1,则1的取值范 围是R,且f(t)=21一1.所以f(x)=2x一1.当k=-2时，g(x)=f(x)一2x=-1,所以g(x十1)=g(x)=一1.故 D正确.故选ACD, log:5 见中由2=33=5，得aog3,h=og5,所以og5=b3og5b,所以g5品0g2bg专 log25 ab 1+log:5-1Falr 1生学由题意，知0过C的右焦点F.且P00F,易求科1PP-二由1PO1一1OP,哥△0F是等驱直角 三角形.OP为斜边，所以tam∠POF=tan45°=PE=上，所以=ac,即2一ac-a=0,2-e-1=0.所以C的离 心率e=2 14[-号，号]①当1a≥1时f)=21a-a-号若a≥1.则f0=a-号>0：若a≤-1.则r)=-3a-号 ≥3-子>0故当1a≥1时，f(x)没有零点：②当la<1时，若1sinx≤al,则-la≤nr≤a,f(r)= 1a+sinx+la-inx-a-号=2引a-a-号，若f)有零点，则2la--号=0.解得a=号，或a=-一号若 |sinx>a.则sin>la,或sinx<-la≤lal,若sin>la,则fx)=la+sinr+sinx-a-a-号 =2sinr-a-子若simx<-la,则f(r)=-lal-simr+la-sinx-a-号=-2sinr-a-子，所以fr)= 2sinx小-a-子，若f)有零点，则sim=之(a+号)>al.又al<1,解得-号<a<号综上，a的取值范围 是[-号号] 15.(1)证明：因为S,=3一3am,所以Sn+1=3一3an+1,…1分 两式相减，得a+1=3-3+1-(3-3an)=3n一3+1，…3分 所以a1=子a 小小…4分 又S.=3-3a.,得a=S=3-31解得a1=…6分 所以“一=圣，故口，}是首项为子，公比为子的等比数列. …7分 (2)解：由1)得a.=子×（保）》=（保广.… …8分 =a=(）广'= 64 2 2 6 6 6 ……11分 所以数到)的公差d=么一4=立一器-高 …… …13分 法二：6的公差d=号-4)=号（号s-a)=21-2)=2[1-2x(保）广门=品 …13分 16.解：(1)零假设H:番茄果实糖度达标与灌溉类型无关联。…1分 依据列联表计算，得父=202×器 ≈5.808>3.841=x%.%,…4分 根据小概率值α=0.05的独立性检验，推断H。不成立，即认为番茄果实糖度达标与灌溉类型有关联.·6分 (2)抽到的2株番茄总产量大于3kg,则从无土栽培的番茄中抽取的番茄单株产量为1.5kg时，从传统土壤栽培的番 茄中抽取的番茄单株产量为1.6kg,………9分 从无土栽培的番茄中抽取的番茄单株产量为2kg时，从传统土壤栽培的番茄中抽取的番茄单株产量为1.2kg,或1.6kg, ………11分 枚所求概率为0.5X0.2十0.3(0.4十0.2)=0.28.…15分 【高三数学·参考答案第2页（共4页）】 17.(1)证明：在正方形ABCD中，AB⊥BC 又平面BCEL平面ABCD,平面BCE∩平面ABCD=BC,ABC平面ABCD. 所以ABL平面BCE.…2分 取BC的中点O,连接OE,OF,因为BE=CE,BF=CF, 所以BCLOE,BC⊥OF,……3分 又OE∩OF=O,OE.OFC平面OEF,所以BC⊥平面OEF】 又EF℃平面OEF,所以BCLEF.…5分 又EF⊥BE,BE∩BC=B,BC,BEC平面BCE, 所以EF⊥平面BCE.又AB⊥平面BCE,所以EF∥AB.… …7分 (2)解：取AD的中点G,连接OG,则OB,OG,OE两两垂直，以O为原点，直线OB OG.OE分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,4,0), C(-2.0,0),D(-2,4,0),E(0.0,23),所以AD=(-4,0,0),AE (一2，-4,25).……9分 D n·AD=0. -4x=0 设平面ADE的一个法向量n=(x,y,z),则 即 n…A=0.即{-2x-4y+23=0. 令y=3,解得x=0z=2,所以n=(0,5,2).…11分 由题意知子Sam·EF= 5sm0Ex景即号×9x16,E=×16x2× 34 所以EF=3,所以F(0,-3,23).C亦=(2，-3,23). …13分 设直线CF与平面ADE所成的角为0，则sin0= CF.nl 3 21 ICFIII 5X/7 35 /21 所以直线CF与平面ADE所成角的正弦值为 15分 35 18.(1)解：因为C的实轴长为43，所以a=23,. …1分 所以C的方程为后+芳=1， 因为点D(3.1)在C上，所以是+=1.解得=4 …3分 所以C的离心常为24-运 23-3 …………………4分 (2)证明：由题意可设直线GH的方程为x=y十3，G(n·y),H(2为)， 由1)知C的方程为后+苦-1.与x=+5联立，得(r+3)y+25y-9=0, 显然为式A十渠%=头36= 9 2(y+y), …6分 由题意知A(-2√3,0)，B(25,0), 所以直线AG的方程为y=—少 十2（x+2B).直线BH的方程为y=立 （x—23),…8分 x2-2V3 两式联立消去y得士2=+23)业-m十33)业=丛+35型 x-23(x2-23)h（t-√3)nty2-3y 冬十>十3 ntm) 3 …………10分 (+)-5号+3) 33 所以x=43,即点M在定直线x=43上.………11分 (3)证明：设P(p),Q(x0%),R(xR),则x十3y7=12,x十30=12，x京十3项=12，…12分 因为O求=mOP+nOQ,所以xR=map十nxQ,y=myp十a: 所以(mxp十n.xe)2+3(myp十ny%)2=12. …13分 即m2(x+3yn)+(.x6+36)+2mxp.xQ十6 mypyq-=12, 12m+12n+2mnxpxq+6mnyryq=12, 【高三数学·参考答案第3页（共4页）】 因为m2十2=1，所以2mpx0十6 mypyq=0,…15分 因为m≠0，所以0=一30所以头·为=一号即=一子 所以k:k:为定值一3 …17分 19.(1)解：当x≥1时，f(x)=x2+a.x-a,则(x)=32十a≥3十a,…1分 因为f(x)在[1，十o∞)上单调递增，所以3十a≥0，即a≥一3.…2分 当0x≤1时，f(x)=x3-a.x+a, 因为f(x)在(0,1]上单调递增，所以f(x)=3.x2一a≥0，即a≤3x2对x∈(0,1]恒成立， 所以☑≤0。…小…4分 综上，得一3a≤0，所以a的取值范围是[一3,0们.…5分 (2)证明：当a=0时，fr)=,设gx)=f)+4=十4，则g)=3c+4-4红 …6分 因为3x2+4--4x=x2-4x+4+2x2-x3=(x-2)2+2(2-x)=(2-x)(x2-x十2)=(2 [()+] 所以当x∈(-oo,2)时g(x)>0;当x∈(2，+o∞)时，g(x)<0, 所以g(x)在（一∞，2）上单调递增，在(2，十∞)上单调递减，… ……8分 所以g（x)≤g(2)=9,即十4<6，所以2+4r≤16e-,即fx)+4≤16e.…9分 er (3)解：当x>1时，f(x)=x3+a:x-a,f(x)=3x2+a 设过点P(-1,0)的直线与y=f(x)的图象切于点Q(s,s3+as一a)(s>1), 则切线斜率k=(s)=2 g十7，即3+a=+as-@ s+1 整理得a=-广受。 ……11分 设k(s)=--号(>1).则F()=-3-3<0,所以k()在1，十∞)上单调递减且k(1)=- 5 当→十o∞时，k(s)→一o∞， 所以.当。<一昌时，满足条件的：的值只有1个，切线有1条：当。>一多时，满足条件的：的值不存在，切线不存在 ……………13分 当x<1时，f(x)=x3-ax十a,f(x)=3r2-a, 设过点P(-l,0)的直线与y=f(x)的图象切于点M(t,f-at十a)(1<1), 则切线斜率表=了0=骨即3-。=， 1+1 整理得a=+受 …14分 设A)=产+是(1<D.则W()=3(+1),当<-1，或0<<1时/)>0：当-1<1<0时，/(1)<0，所以 h(1)在（一∞，一1）上单调递增，在（一-1.0）上单调递减，在(0,1)上单调递增， 5 且当oa时，h(t→-o∞，h(1)三7h(0)=0,h(1)=2m 15分 所以，当>受时，满足条件的1的值不存在，切线不存在 当号<a<号或a<0时，满足条件的1的值只有1个，切线有1条： 当a=或a=0时，满足条件的1的值只有2个，切线有2条， 当0<a<之时，满足条件的t的值只有3个，切线有3条。 综上，当≥号时，切线有0条：当}<a<号或-昌<a<0时，切线有1条；当a=或a=0或a<-昌时，切线有 2条，当0<a<2时，切线有3条 …17分