吉林省延边朝鲜族自治州和龙市2025-2026学年高二上学期期末学科质量检测数学试题

秘密·启用前 2025~2026学年度第一学期高二学科质量检测 数学试题 考试时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上」 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡，并交回。 4本试卷考察内容：人教A版选择性必修第一册~选择性必修第二册第四章止。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项 符合题目要求。 1.经过A(-1,0),B(2,√3)两点的直线倾斜角为() A.30 B.45° C.60 D.135 2.已知数列片名立六0…则该数列的一个通项公式为《) 2 A.a,=(←1yx1 2n B.a=(0京 C.a=(1-x1 D.4=()"× 1 n(n+1) n(n+1) 3.已知点P(x。,y,)在抛物线C:y2=4x上，且点P到抛物线C焦点的距离等于点P到直线x=5的距离， 则x=() A.1 B.2 C.3 D.4 4.己知点Q是点P(3,2,4)在坐标平面Oz内的射影，则1O9=() A.√13 B.5 C.26 D.2W5 5.已知双曲线c: a2-b2 =1(a>0,b>0)的左焦点为F,M为C的渐近线上一点，M关于原点的对称点 为N,若∠MFN=90°，且FN=V51FMI,则c的渐近线方程为() A.y 3 B.y=±V3x C.y=±6 D.y=±√6x 6.中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今 有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是今有一女子很会织布，每日加倍增长，5 天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布( A尺 B.尺 e尺 D.3尺 16 7.已知直线1：x-y-1=0,若直线1与连接A(,-2)、B(2,1)两点的线段总有公共点，则直线1的倾斜角 范围为() 【高二数学试题第1页（共4页）】 A B.) c. D.To 8.已知抛物线C:y2=2px的焦点F与双曲线16.x2-2y2=1的右焦点重合，斜率为k的直线1与C的两个 交点为A,B.若|AF+BF=4,则k的取值范围是() A.(5U5 B.(西oUas C.←m,- 5U西 D.(年oUos 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分： 9.已知向量ā=(-1,0，-3)，b=(2,2,1),c=(-1,-2,2),则() A,与5方向相同的苹位向量是) B.(a-b)⊥c C.(a+b/1 D.cos(,6)=1 6 10.数列a)中，4=2，a1+1=1,nN,则() a A.4a4=4 1 B.4+4,+4+…+a2o2=1011 C.a4,4.4o24=-2 D.442+424+4,4+..+4024o23=-1011 1.已知抛物线C:2=4x的焦点为P,P为c上一动点，点4号2)，B6),则() A.B.C.-D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若空间三点A(←1,1,0)，B(0,0,-1),C1,-1,1),则△ABC的面积为 13.若存在等比数列a,},使得62a=a4,+a4,+9，则公比g的取值范围是 14.平面直角坐标系xOy中，已知MN是⊙C:(x-1)2+(y-2)2=2的一条弦，且CM⊥CN,P是MN的中 点.当弦W在圆C上运动时，直线1：x-3y-5=0上存在两点A,B,使得∠APB>5恒成立，则线段AB 长度的最小值是」 【高二数学试题第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知数列a}满足a=4a1=4-40ueN). a 1)求证：（2是等差数列： (2)求数列{a}的通项公式. 16.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD//BC,AB L AD,PA=1,AB=√3，BC=1,AD=2, M是PD的中点. （1)求证：CM//平面PAB: (2)求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值； (3)在线段BD上是否存在点Q,使得点D到平面P40的距离为2I？若存在，求出B吧的值：若不 7 BD 存在，请说明理由 17.已知圆o的方程为x2+y2=16,直线与圆0交于R,S两点. (1)若坐标原点o到直线的距离为；，且1过点M心，)，求直线的方程： (2)已知点P(40,Q为s的中点，若风，s在x轴上方，且满足∠0R+∠0s=年，在圆O上是否 存在定点T,使得△POT的面积为定值？若存在，求出△PQT的面积；若不存在，说明理由. y 【高二数学试题第3页（共4页）】 18,设双曲线C号茶-ab6o)的左、右焦点分别为，片，且焦距为6，点Q5)在双曲线c上， (1)求双曲线C的方程； (2)已知M是直线x-号上一点，直线MR交双曲线Q于A1在第一象限)，B两点，0为坐标原点， 过点M作直线OA的平行线1,1与直线OB交于点P,与x轴交于点Q,证明：P为线段MQ的中点. 19.已知椭圆C兰+茶=1a>b0只，R分别是左、右焦点，焦距为2，点M0马在柄圆c上，过点 作直线1交于椭圆A、B两点， (1)求椭圆c的标准方程； (2)若直线1的倾斜角为至求线段8的长： (3)求△FAB的面积最大值. 【高二数学试题第4页（共4页）】20252026学年度第一学期高二学科质量检测 数学试题参考答案、试题解析及评分标准 一。选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 y C B D B C D A ACD BD ABD 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项 符合题目要求。 1.【答案】A 【考点】直线的倾斜角 【解答】解：过点A(10),B2,3)的直线的斜率=5-0-5 号9，设直线的倾斜角为9,00<130， 所以k=tm6,所以0=30 2.【答案】C 【考点】由数列若干项归纳出通项公式 【解答】解：数列时言合动品4 11 1 1 1×2,9- 1 2x3’4 3x4’、1 4×5’0= 5×61 由此归纳得出该数列的一个通项公式为：Q(少二 nx(0+1) 3.【答案】B 【考点】抛物线的焦点与准线 【解答】解：点P(x。,y)在抛物线C:y2=4x上，则抛物线的准线为x=-1, 故点P到抛物线C焦点的距离为x。+1,点P到抛物线C焦点的距离等于点P到直线x=5的距离， 故x+1=5-x1,得x=2. 4.【答案】D 【考点】空间两点间的距离公式；空间中的点在坐标平面内的射影 【解答】解：由已知可得：Q0,2,4),则00=(0,2,4)，所以00√02+22+4？=2√5. 5.【答案】B 【考点】求双曲线的渐近线方程 【解答】解：根据对称性，不妨设M在左支， 因为∠MN=90°，且|FN=31FM|,所以∠FMN=60°，|N=2|Ml, 因为M,N关于原点对称，所以|OM曰ON,又MN=90°， 可得1 FOOM=ON1,所以∠MOr=60°， 可得渐近线N的倾斜角为60°，则双曲线C的渐近线方程为y=±V3.x. 6.【答案】C 高二数学参考答案第1页（共7页) 【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前项和 【解答】解：设每日织布尺数构成的数列为{a},则{a}是公比为2的等比数列， 出隐知0碧5，解得4=引该女子第二天织布数为4引2 10 1-2 31 7.【答案】D 【考点】直线的斜率 【解答】解：直线1的方程可得 1所以，直线过定点P0,-, x=0 设直线1的斜率为k,直线1的倾斜角为u,则0<a<π， 因为直线P4的斜率为1-（-2)=-1，直线PB的斜率为1-1=1， 0-1 0-2 因为直线1经过点P(O,-),且与线段AB总有公共点， 所以-l<K1,即-1<tan as,因为≤a<π，所以0≤a≤亚或3r。 ≤a<π， 4 故直线1的倾斜角的取值范围是0孔U行网· 8.【答案】A 【考点】直线与抛物线的综合；双曲线的几何特征 【解答】解：双曲线的标准方程是上=1，其右焦点是己，0). 11 41 162 所以号音p子抛物线c是尸-.斜率为k的直线1设为9=众+b, 24 联立+b消去y,化简整理得kx+2h-3x+b:=0.由△=(2h-》-4xk6>0得，12励<9，励<3。 3 y2=3x 因为A14,所以+%子4，即+了而5+=流3，即-地3- 2 解得6-6型.代入子符到k6雪孩雪 5 5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.【答案】ACD 【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间向量线性 运算的坐标表示 【解答】解：由于b=(2,2,1),1b=√22+22+1=3， 对于4：可得与5方陶州同的单位时量是红20=写号我，故4正输。 对于B:因为a-万=(-3，-2，-4，(a-):c=-1,所以a-万与c不垂直，故B错误. 对于c:因为a+b=1,2,-2)=c,所以(a+b)/1e,故C正确， 高二数学参考答案第2页（共7页) 对于D:sa6)-a6-之30，故D正确. 1ab1v10x36 10.【答案】BD 【考点】数列递推式 【解答】解：由数列{a}中，4=2，a+1+ 14-1-1,a=1--2, =1,可得a=1-1=,。 a a, 43 … 可得数列a)是周期为3的周期数列.对于4，a=a:=a子，4错误： 对于B,4+a+a++am=674a+a+a,)=674×3=101,B正确： 2 对于c,4a,4a4=(aaa,)am44=l,c错误：对于D,由a1+1-1,可得a,a1=a-1, a 故a%,+a,+404++a2e4m=4-1+a,1+…(a0n-)=4+a,+a,++a2-2022=1011-2022=101.D正确. 11.【答案】ABD 【考点】抛物线上的点到准线及其平行线的距离；抛物线的定义 【解答】解：抛物线C:y2=4x的焦点F1,0),准线为x=-1. 对于A:由三角不等式，F-441AP卡g+2-=食+2只， 构P-A号A正确， 对于B：由抛物线定义，|PFI等于P到准线x=-1的距离，设P在准线上的射影为H,则|PF曰PH1. |PFI+|PB=PH|+|PB,其最小值为B到准线的距离3-(-1)=4， 故|PF+|PB|4,B正确. 对于C:由三角不等式P9<A.仙0-之1G-妒-，侵= 6 而子故c错误。 对于DBM为定值且BMS>I,结合1PB1≥0，故BA+PB≥BA>1,D正确。 6 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.【答案】 【考点】空间两点间的距离公式 【解答】解：已知空间三点A(1,1,0),B(0,0,-),C1,-1,1), 则西=4-1-D,AC=2,-2.D,则1峦卡5，|AC3,则cos∠B4C-8AC-5,则m∠BAC-6 1AB‖AC3 所以△c的面积为衣由aC分53×53 32 高二数学参考答案第3页（共7页) 13.【答案】[-2,0)J(0,1]. 【考点】等比数列的性质 【解答】解：设数列的公比为q(g≠0)，则6W2a=a4+a4,+9，,整理得(gd+q)a-62a+9=0, 当q+q≠0时，△=72-36(g+g)≥0，解得-2≤q≤1，且9≠0,9≠-1； 当G+q=0时，易知q=-1,符合题意；则公比q的取值范围是[-2,0)J(0,]. 14.【答案】210+2 【考点】直线和圆的方程的应用 【解答】解：因为P为MN的中点，所以CP⊥MW,又因为CM⊥CN,所以三角形CMN为等腰直角三 角形，所以CP=1,即点P在以C为圆心，以1为半径的圆上，点P所在圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=1, 要使得∠APB>C恒成立，则点P所在的圆在以AB为直径的圆的内部， 而AB在直线：x-3y-5=0上，C到直线1：x-3y-5=0的距离d=1-3x2-51=0. V12+32 所以以AB为直径的圆的半径的最小值为r=√10+1，所以AB的最小值为2r=2√10+2. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【考点】等差数列的性质；数列递推式 【解答】(1)证明：1 1 1 1 411 …4分 a-24,-24-4-2a.-22a.-44.-22 所以{为公差为1的等差数列…6分 (2)解：由于。为公差为的等差数列，且首项为}所以。'2 .…10分 4-221 所以a-2+2…13分 16.【考点】直线与平面平行：空间向量法求解二面角及两平面的夹角：空间中点到平面的距离 【解答】解：(1)证明：取AB的中点E,连接ME,因为M是PD的中点， 所以BAD,又因为BC型AD,所以BC2分 所以四边形BCMB是平行四边形，所以CM/BE…3分 又因为CMt平面PAB,BEC平面PAB, 所以CM/平面PAB… 5分 (2)由题意：PA⊥平面ABCD,且AB⊥AD,则AP,AB,AC两两垂直， 所以建立如图所示空间直角坐标系， 又因为PA=1,AB=√3，BC=1,AD=2,M是PD的中点， 所以点的坐标为P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,2,0),C(3,1,0)…6分 高二数学参考答案第4页（共7页) 所以平面PAB的法向量为元=(0,1,0)…7分 设平面PCD的法向量为元，=（化，y,z), PC=(5,1,-1),PD=(0,2,-1),由PC.元2=0，PD.元2=0， 则及0则0，令y1,则元=停89分 i,·PD=0 2y-z=0 所以cos<元，元，= -=5.所以，平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为5 1 …10分 3+1+44 1 (3)设B0=元，且B=W5,0,0),BD=(5,20), BD 则B0=BD,A回=AB+BD=(V5-52,2入，0)，AP=(0,0,1)…12分 设平面PA0的法向量为元，=(x,,), 则西0=0，可得5-5+2，=0， 元·AP=0 50=0 令1，所以元=（5L0.因为点D到平面40的距离为2 -21 .…13分 所以d=1元PD1 2 1 …14分 422 21,解得 7 2 V30-)+1 所以存在点0，使得点D到平面2A0的距离为，，此时=7……15分 BD 2 17.【考点】直线与圆的位置关系 【解答】解：（1)设1：y=k(x-3),即1：-y-3k=0, 出题意有子解符长，所以1y上 3化3）… 6分 Vk2+12 (2)由于∠OPR+∠0S=年，根据圆心角性质可知os和OR的顿斜角之和为号， 设S(4cos0,4sin0),R(4cos,4sina),由于tan(6+a) tan0+tana +叨…8分 1-tan etan a 所以tan0tanu=1,所以R(4sin6,4cos0) 10分 所以直线S的斜率为-1，根据对称性可知Q在直线y=x上…12分 当T为(0,4时，△PQT的面积为定值，其面积为4×4÷2=8…15分 18.【考点】根据双曲线上的点求双曲线的标准方程；直线与双曲线的位置关系及公共点个数 【解答】解：(1)因为焦距为6，所以c=3, 高二数学参考答案第5页（共7页) 将点(22.D代入C的方程得行-1…eo…2分 又因为d+=c2=9,联立解得d=6,b=3,所以双曲线c的方程为￡_上 =1…4分 63 (2)证明：由(1)可知：M的横坐标为2， 设直线M的方程为x=y+3,则M的纵坐标为yw=-二 x=w+3 联立{E号1消去x,得-2+6m+3=0… …6分 63 则m2-2≠0 a=(6m2-12m-2)=240r2+少>0'可得m≠士万… 8分 设A,),B(,),则+，=二6， 3 m2-24- m2-2’ 因为1104，所以直线1的方程为y+1-,K-2》 …10分 m ny,+3 又因为直线OB的方程为y=,x, %2+3 y+1-y7-2) 1 联立方程组 m my,+3 + yy2+一2 ,解得y= 二，即P的纵坐标为y。= …12分 = y-y2 y-y2 y2+3 血+以心2器3两式相除， 得》2=1，即y2+)…………14分 y+y 2m 1 所以y,= +业 -g+y)+ =2 nL -1-y) =2 -…16分 y-y y-2 y-y2 2n 因为。=0，所以，=4，故P为线段M0的中点…17分 2 19.【考点】根据abc及其关系式求椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系及公共点个数 【解答】解：(1)由题可知，2c=2,故c=1,因此a2-b2=1, 因为点M0,在椭圆C上，故号十91………………2分 [ad2-b2=1 联立191解得4，故椭圆c:士 4+3=1 ·4分 1b2=3 a24b2 (2)由题可知，E1,0),故直线1：y=x-1,设点A(x，),B(x,y), y=x-1 联立直线1与椭圆C+ ,得7x2-8x-8=0…6分 高二数学参考答案第6页（共7页) 根据韦达定理，十x=8。 方9oo8分 由蔻长公式知名5对5空5 28824 …10分 V49 7 (3)易知直线AB与x轴不重合，设直线AB的方程为x=y+1, 联立t=w+1 子42=2’得(3+4y+60w-9=0………12 △=36m2+36(32+4)=144(m2+1)>0, 由韦达定理可得y+y2= 60 9 3m2+4’y=- …14分 3m2+4 所以y-上+-”4( 9 12Nm2+1 …15分 32+43m2+4 以三角形的面积为SRy上2x2Vm+12m 12 3m2+43m2+4 …16分 3Wm2+1+ 1 3m2+1 令t=√m+1≥1，则函数y=3t+在，+)上为增函数， 故当11时，即当时，S取最火值，且及=品 =3…17分 高二数学参考答案第7页（共7页)