寒假作业11 阶段性复习检测（范围：苏科版九上+九下全部）九年级数学苏科版

作业11 阶段性复习检测 考试时间：120分钟 满分：150分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣2x+y＝0 B．2x3﹣3x+1＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．3x﹣1＝0 2．（3分）抛物线y＝﹣4x2+1的对称轴是（　　） A．直线x B．直线x C．y轴 D．直线x＝2 3．（3分）已知点M（m﹣2，n），点N（m，t）在二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象上，若t＞4，则n的取值范围是（　　） A．n＞4或n＜﹣4 B．﹣4＜n＜4 C．n＞1或n＜﹣4 D．﹣4＜n＜1 4．（3分）平面内，若⊙O的半径为，OP＝2，则点P在（　　） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆内或圆外 5．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2+c经过（﹣2，y1），（0，y2），三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 6．（3分）如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOB＝2∠BOC＝88°，则∠BAC为（　　） A．44° B．33° C．22° D．11° 7．（3分）如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G．若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是OB上一点，CB＝3，OC＝5，将扇形OAB绕点C逆时针旋转，得到扇形DEF，若点O刚好落在上的点E处，则AF的值为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AC和BC为边向外作正方形ACFG和正方形BCDE，过点D作FC的延长线的垂线，垂足为点H．连接FD，交AC的延长线于点M．下列说法：①△ABC≌△HDC；②若FG＝1，DE＝2，则CN；③；④FM＝DM；⑤若AG，tan∠ABC，则△FCM的面积为4．正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11．（3分）已知一元二次方程x2+bx+8＝0有一个根为2，则另一个根为 　 　 ． 12．（3分）将二次函数y＝（x﹣3）2﹣2的图象向左平移5个单位后的抛物线解析式是　 　 ． 13．（3分）如图，扇形OAB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的顶点C、D、E分别在OA、、OB上，AF⊥ED，交ED的延长线于点F．求图中阴影部分的面积． 14．（3分）当x＝1时，二次函数y＝x2﹣7的函数值为　 　 ． 15．（3分）古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．如图，将古筝弦抽象为一条线段AB，若AB＝90cm，支撑点C是线段AB上靠近点A的一个黄金分割点（），则BC的长为 　 　 cm．（结果保留根号） 16．（3分）如图，已知AD是⊙O的弦，且AD＝4，以AD为一边作正方形ABCD．若BC边与⊙O相切，切点为E，则⊙O的半径为 　 　 ． 17．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在边AB和边AC上分别截取AP，AQ，使AP＝AQ，分别以点P，Q为圆心、以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部交于点R，作射线AR交BC边于点D．点E从点A出发，沿AB方向向终点B运动，连接CE，点F在边BC上，且∠CEF＝45°．设AE＝x，FD＝y，若y关于x的函数图象过点，则y的最小值为　 　 ． 18．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的⊙O上两动点，且为弦CD的中点，当C、D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大值与△PAB面积的最小值之比是　 　 ． 三．解答题（共10小题，满分96分） 19．（8分）解方程： （1）x2﹣2x+1＝4； （2）2x2+3x﹣2＝0． 20．（8分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 21．（8分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设方程的两个实数根为α，β，且α2+β2＝7，求m的值． 22．（8分）某数学兴趣小组要测量凌霄塔的高度AB．如图，塔前有一棵小树的高度CD＝6米，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD＝51米，D，E之间有一个花圃距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿BE后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，EG＝2.4米，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米；已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，且B、D、E、G在同一水平线上． （1）请求出DE的距离； （2）请求出凌霄塔的高度AB．（平面镜的大小厚度忽略不计） 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB． （1）直接写出：OA＝　 　 ，OB＝　 　 ； （2）若点E为x轴上的点，且△AOE∽△DAO．求此时点E的坐标． 24．（10分）如图，BE是⊙O的直径，点A在⊙O上，点C在BE的延长线上，∠EAC＝∠ABC，AD平分∠BAE交⊙O于点D，连接DE． （1）求证：CA是⊙O的切线． （2）当AC＝6，CE＝3时，求DE的长． 25．（10分）成都市龙泉驿区水蜜桃果大质优，外观艳丽，素有天下第一桃之称．某种植基地2022年开始种植水蜜桃200亩，到2024年水蜜桃的种植面积达到450亩． （1）求该基地这两年水蜜桃种植面积的平均年增长率； （2）市场调查发现，当水蜜桃的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价3元，每天可多售出120千克．为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地水蜜桃的平均成本价为10元/千克，若每天获利2160元，则售价应为多少元？ 26．（12分）“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多． （1）如图（a），AD是△ABC的角平分线，求证：； （2）如图（b），平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝7，BE平分∠ABC交AC于点E，则CE的长度为　 　 ； （3）如图（c），矩形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，将△ABE沿BE所在直线折叠，点A恰好落在边BC上的点F处．若AB＝3，BC＝4，求EF的长； （4）如图（d），正方形ABCD中，G为CD上一点，连接BG，将DG沿过G的直线折叠，使点D的对应点D′落在BG上，折痕与AD交于点H，与BC的延长线交于点E．若，BC＝8，则CE的长度为　 　 ． 27．（10分）如图1，AB是⊙O的直径，C是圆上不同于A，B的任意一点，延长CA到点D，连结BD．过点C作CE⊥AB，交BD于点E，连结AE． （1）求证：∠ACE＝∠ABC． （2）如图2，若AE∥BC，AE＝2，AC＝3，求tanD的值． （3）若，求tanD的值（用含m的代数式表示）． 28．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线P：y＝x2﹣2x的顶点为A，与x轴交于点B． （1）请直接写出点A，点B的坐标； （2）点C是第二象限抛物线上一点，若△ABC是等腰三角形，求C点坐标； （3）如图2，将抛物线P沿射线AB方向平移，得到抛物线P′，抛物线P的顶点A的对应点是点D，两抛物线交于点Q，过点Q作一条直线与两个抛物线分别交于E，F两点（点E在点F左边），试探究点Q，E，F的横坐标xQ，xE，xF之间的数量关系，并说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 作业11 阶段性复习检测 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣2x+y＝0 B．2x3﹣3x+1＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．3x﹣1＝0 【答案】C 【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，据此即可作答． 【解答】解：A、选项式子含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、选项式子的最高次数是3，不是一元二次方程，不符合题意； C、选项式子是一元二次方程，符合题意； D、选项式子的最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 2．（3分）抛物线y＝﹣4x2+1的对称轴是（　　） A．直线x B．直线x C．y轴 D．直线x＝2 【答案】C 【分析】根据抛物线的顶点式即可得出结论． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣4x2+3的顶点坐标为（0，1）， ∴抛物线的对称轴是y轴． 故选：C． 3．（3分）已知点M（m﹣2，n），点N（m，t）在二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象上，若t＞4，则n的取值范围是（　　） A．n＞4或n＜﹣4 B．﹣4＜n＜4 C．n＞1或n＜﹣4 D．﹣4＜n＜1 【答案】B 【分析】求得抛物线的开口方向和对称轴，利用二次函数的对称性结合点N（m，t）在二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象上，且t＞4，即可求得0＜m＜2，进一步得到﹣2＜m﹣2＜0，根据二次函数的增减性即可求得n的取值范围． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1， ∵x＝0时，y＝4， ∵点N（m，t）在二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象上，且t＞4， ∴0＜m＜2， ∴﹣2＜m﹣2＜0， 当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+4＝﹣4， ∴n的取值范围是﹣4＜n＜4， 故选：B． 4．（3分）平面内，若⊙O的半径为，OP＝2，则点P在（　　） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆内或圆外 【答案】C 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外：当d＝r时，点在圆上：当d＜r时，点在圆内． 【解答】解：∵点P到圆心的距离2，大于圆的半径， ∴点P在圆外． 故选：C． 5．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2+c经过（﹣2，y1），（0，y2），三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 【答案】A 【分析】根据所给函数解析式得出抛物线的对称轴为直线x＝2且开口向上，再结合二次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2+c， 所以抛物线的对称轴为直线x＝2且开口向上． 因为点（﹣2，y1），（0，y2），在该抛物线上， 则2﹣（﹣2）＝4，2﹣0＝2，，且4＞2， 所以y1＞y2＞y3． 故选：A． 6．（3分）如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOB＝2∠BOC＝88°，则∠BAC为（　　） A．44° B．33° C．22° D．11° 【答案】C 【分析】由∠AOB＝2∠BOC＝88°得∠BOC的度数，再由圆周角定理即可求得结果． 【解答】解：∵∠AOB＝2∠BOC＝88°， ∴∠BOC∠AOB＝44°， ∴∠BAC∠BOC＝22°， 故选：C． 7．（3分）如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G．若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段之间的关系可证明AG＝FG＝2AC＝2CG，根据平行线分线段成比例定理可判断A、C、D，可证明△CGD∽△FGE，得到，据此可判断B． 【解答】解：∵AC＝CG， ∴AG＝AC+CG＝2AC＝2CG， ∵AG＝FG， ∴FG＝2AC＝2CG， ∵AB∥CD∥EF， ∴，， 故选项A、C说法正确，不符合题意；D说法错误，符合题意； ∵CD∥EF， ∴△CGD∽△FGE， ∴， 故B说法正确，不符合题意， 故选：D． 8．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质求出∠A的度数，再由扇形面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠A120°，AB＝AF， ∴S阴影部分＝S扇形BAFπ， 故选：B． 9．（3分）如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是OB上一点，CB＝3，OC＝5，将扇形OAB绕点C逆时针旋转，得到扇形DEF，若点O刚好落在上的点E处，则AF的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接CF，CA，OE，根据旋转的性质得出OE＝OA＝8，再根据勾股定理求出，再证出△OCE∽△ACF，即可求出AF的值． 【解答】解：连接CF，CA，OE， 则∠BCD，∠ACF，∠OCE为旋转角， ∴∠BCD＝∠ACF＝∠OCE， ∵点A的对应点为点F，点O的对应点为点E， ∴CO的对应线段为CE，CA的对应线段为CF， ∴CO＝CE＝5，CA＝CF， ∵CB＝3，OC＝5， ∴OB＝BC+OC＝3+5＝8， ∴扇形OAB的半径为8， ∴OE＝OA＝8， ∵∠AOB＝90°， ∴CA， ∵，∠OCE＝∠ACF， ∴△OCE∽△ACF， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AC和BC为边向外作正方形ACFG和正方形BCDE，过点D作FC的延长线的垂线，垂足为点H．连接FD，交AC的延长线于点M．下列说法：①△ABC≌△HDC；②若FG＝1，DE＝2，则CN；③；④FM＝DM；⑤若AG，tan∠ABC，则△FCM的面积为4．正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由“AAS”可证△ABC≌△HDC，由锐角三角函数可求∠ABC＝30°，由三角形可求CN的长，通过证明CM为△DFH的中位线，可得FM＝DM，CM：DH＝1：2，可求；先求出△ABC的面积，通过证明△FCM∽△FHD，可求△FCM的面积，即可求解． 【解答】解：∵四边形BCDE是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°， ∵四边形ACFG是正方形， ∴CF＝AG＝AC，∠ACF＝∠ACH＝90°， ∴∠ACB＝∠HCD， ∵DH⊥CF， ∴∠H＝90°＝∠BAC， 在△ABC和△HDC中， ， ∴△ABC≌△HDC（AAS），故①正确； ∵FG＝1，DE＝2， ∴AC＝1，BC＝2， ∴sin∠ABC， ∴∠ABC＝30°， ∴∠BCN＝30°， ∴CN，故②正确； ∵△ABC≌△HDC， ∴AC＝HC， 又∵AC＝FC， ∴HC＝FC， 又∵CM∥DH， ∴CM为△DFH的中位线， ∴FM＝DM，CM：DH＝1：2， ∴；故③④正确； ∵AG， ∴AC， 在Rt△ABC中，tan∠ABC， ∴ABAC， ∴S△ABCAB×AC， ∵△ABC≌△HDC， ∴S△HDC＝S△ABC，AC＝CH， ∴CH＝CF， ∴S△DHF＝2S△CDH， ∵∠FCM＝∠H＝90°， ∴CM∥HD， ∴△FCM∽△FHD， ∴（）2， ∴S△FCMS△FHD，故⑤错误， 故选：D． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11．（3分）已知一元二次方程x2+bx+8＝0有一个根为2，则另一个根为 　4　 ． 【答案】4． 【分析】设方程的另一个根为t，则利用根与系数的关系得2t＝8，然后解一次方程即可． 【解答】解：设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得2t＝8， 解得t＝4， 所以方程的另一个根为4． 故答案为：4． 12．（3分）将二次函数y＝（x﹣3）2﹣2的图象向左平移5个单位后的抛物线解析式是y＝（x+2）2﹣2　 ． 【答案】y＝（x+2）2﹣2． 【分析】根据“左加右减”的法则进行解答即可． 【解答】解：将二次函数y＝（x﹣3）2﹣2的图象向左平移5个单位后的抛物线解析式y＝（x﹣3+5）2﹣2，即y＝（x+2）2﹣2． 故答案为：y＝（x+2）2﹣2． 13．（3分）如图，扇形OAB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的顶点C、D、E分别在OA、、OB上，AF⊥ED，交ED的延长线于点F．求图中阴影部分的面积． 【答案】1． 【分析】通过观察图形可知DE＝DC，BE＝AC，弧BD＝弧AD，阴影部分的面积正好等于长方形ACDF的面积，根据正方形的性质求出扇形的半径，从而求出AC的长，即可求出长方形ACDF的面积． 【解答】解：连接OD， ∵正方形的边长为1，即OC＝CD＝1， ∴OD， ∴AC＝OA﹣OC1， ∵DE＝DC，BE＝AC，弧BD＝弧AD， ∴图形ACD是面积等于图形BED的面积， ∴S阴＝长方形ACDF的面积＝AC•CD1． 14．（3分）当x＝1时，二次函数y＝x2﹣7的函数值为　﹣6　 ． 【答案】﹣6． 【分析】把x＝1代入二次函数解析式，计算即可． 【解答】解：当x＝1时，y＝12﹣7＝﹣6． 故答案为：﹣6． 15．（3分）古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．如图，将古筝弦抽象为一条线段AB，若AB＝90cm，支撑点C是线段AB上靠近点A的一个黄金分割点（），则BC的长为 　　 cm．（结果保留根号） 【答案】． 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：∵支撑点C是线段AB上靠近点A的一个黄金分割点， ∴， 故答案为：． 16．（3分）如图，已知AD是⊙O的弦，且AD＝4，以AD为一边作正方形ABCD．若BC边与⊙O相切，切点为E，则⊙O的半径为 　　 ． 【答案】． 【分析】连接EO并延长交AD于H点，连接OA，如图，先根据切线的性质得到OE⊥BC，根据正方形的性质得到AD∥BC，AB＝AD＝4，则EH⊥AD，再根据垂径定理得到AH＝DH＝2，接着证明四边形ABEH为矩形得到HE＝AB＝4，设⊙O的半径为r，则OA＝OE＝r，OH＝4﹣r，在Rt△OAH中利用勾股定理得到22+（4﹣r）2＝r2，然后解方程求出r即可． 【解答】解：连接EO并延长交AD于H点，连接OA，如图， ∵BC边与⊙O相切，切点为E， ∴OE⊥BC， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD∥BC，AB＝AD＝4， ∴EH⊥AD， ∴AH＝DHAD＝2， ∵∠B＝∠BAH＝∠AHE＝90°， ∴四边形ABEH为矩形， ∴HE＝AB＝4， 设⊙O的半径为r，则OA＝OE＝r，OH＝4﹣r， 在Rt△OAH中，22+（4﹣r）2＝r2， 解得r， 即⊙O的半径为． 17．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在边AB和边AC上分别截取AP，AQ，使AP＝AQ，分别以点P，Q为圆心、以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部交于点R，作射线AR交BC边于点D．点E从点A出发，沿AB方向向终点B运动，连接CE，点F在边BC上，且∠CEF＝45°．设AE＝x，FD＝y，若y关于x的函数图象过点，则y的最小值为　　 ． 【答案】． 【分析】根据作图可得AD是∠BAC的角平分线，则∠DAC＝∠BAD，根据题意得出，进而求得，证明△AEC∽△BFE得出，根据二次函数的性质，即可求解． 【解答】解：根据作图可得AD是∠BAC的角平分线，则∠DAC＝∠BAD， ∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝∠B＝45°， ∵∠CEF＝45°， ∴∠BAC＝∠FEC， ∵设AE＝x，FD＝y，y关于x的函数图象过点，∠BAC＝∠FEC， 当A，E重合时，F，B重合， ∴， 如图，作BG∥AC，延长AD至G，交BG于点G， ∴∠G＝∠DAC＝∠BAD， ∴AB＝BG， 设AC＝BC＝a，则， ∵BG∥AC， ∴△BGD∽△CAD， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵∠BEC＝∠BAC+∠ECA＝45°+∠ECA，∠BEC＝∠BEF+∠FEC＝∠BEF+45°， ∴∠BEF＝∠ECA， 又∵∠EAC＝∠B＝45°， ∴△AEC∽△BFE， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴当时，y的最小值为， 故答案为：． 18．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的⊙O上两动点，且为弦CD的中点，当C、D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大值与△PAB面积的最小值之比是　3：1　 ． 【答案】3，1． 【分析】过点P作PQ⊥AB于点Q，连接OC，OP，OQ，先利用垂径定理和勾股定理可得，再根据一次函数的解析式求出OA＝2，OB＝2，利用勾股定理可得然后利用三角形的面积公式可得△PAB的面积为，则要使△PAB的面积最大或最小，只需PQ最大或最小，最后利用三角形的三边关系可得当点O，P，Q共线时，PQ的最大值为OP+OQ，最小值为OQ﹣OP，由此即可得． 【解答】解：如图，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接OC，OP，OQ， ∵⊙O的半径为1， ∴OC＝1， ∵点P为弦CD的中点，， ∴OP⊥CD，， 对于一次函数y＝﹣x﹣2， 当y＝0时，﹣x﹣2＝0， 解得x＝﹣2，即A（﹣2，0），OA＝2， 当x＝0时，y＝﹣2， 解得B（0，﹣2），OB＝2， ∴在Rt△AOB中，OA＝OB，， ∴△PAB 的面积为，要使△PAB的面积最大或最小，只需PQ最大或最小， 又∵OP+OQ≥PQ，OQ﹣OP≤PQ（当且仅当，点O，P，Q共线时，等号成立）， ∴PQ的最大值为OP+OQ，最小值为OQ﹣OP，此时点O，P，Q共线， ∴此时， ∴PQ 的最大值为，最小值为， ∴△PAB 面积的最大值是，最小值是，1， 故答案为：3，1． 三．解答题（共10小题，满分96分） 19．（8分）解方程： （1）x2﹣2x+1＝4； （2）2x2+3x﹣2＝0． 【答案】（1）x1＝3，x2＝﹣1； （2）． 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣2x+1＝4， 配方得，（x﹣1）2＝4， 解得，x﹣1＝±2， 所以，原方程的解为x1＝3，x2＝﹣1； （2）2x2+3x﹣2＝0， 因式分解得，（x+2）（2x﹣1）＝0， 解得，x+2＝0或2x﹣1＝0， 所以，原方程的解为． 20．（8分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【答案】该品牌头盔销售量的月增长率为20%． 【分析】设该品牌头盔销售量的月增长率为x，利用该品牌头盔6月份的销售量＝该品牌头盔4月份的销售量×（1+该品牌头盔销售量的月增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：150（1+x）2＝216， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． 21．（8分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设方程的两个实数根为α，β，且α2+β2＝7，求m的值． 【答案】（1） 且m≠0； （2）m的值为﹣1或 ． 【分析】（1）根据关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m＝0有两个实数根，可得Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2＝﹣4m+1≥0 且 m≠0，求解即可； （2）根据根与系数的关系得：，，而a2+β2＝7，可得：（a+β）2﹣2aβ＝7，即，求解并检验即可． 【解答】解：（1）根据题意得， Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2＝﹣4m+1≥0 且 m≠0， 解得： 且m≠0； （2）根据根与系数的关系得： ，， ∵a2+β2＝7， ∴（a+β）2﹣2aβ＝7， ∴， 即 或 ， 解得：m1＝﹣1，， 经检验 m1＝﹣1， 是原方程的根， ∴m的值为﹣1或 ． 22．（8分）某数学兴趣小组要测量凌霄塔的高度AB．如图，塔前有一棵小树的高度CD＝6米，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD＝51米，D，E之间有一个花圃距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿BE后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，EG＝2.4米，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米；已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，且B、D、E、G在同一水平线上． （1）请求出DE的距离； （2）请求出凌霄塔的高度AB．（平面镜的大小厚度忽略不计） 【答案】（1）9米； （2）40米． 【分析】（1）根据题意可得，∠CED＝∠FEG，再根据垂直定义可得∠ABE＝∠CDE＝∠FGE＝90°，从而可得△CDE∽△FGE，然后利用相似三角形的性质进行计算可得DE＝9米； （2）证明△CDE∽△ABE，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）根据题意可得，∠CED＝∠FEG， ∵AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG， ∴∠ABE＝∠CDE＝∠FGE＝90°， ∴△CDE∽△FGE， ∴， ∴， 解得DE＝9米， （2）∵∠CED＝∠AEB，∠ABE＝∠CDE＝90°， ∴△CDE∽△ABE， 根据相似三角形的性质可得： ， ∴， AB＝40米． 答：霄塔的高度为40米． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB． （1）直接写出：OA＝　4　 ，OB＝　3　 ； （2）若点E为x轴上的点，且△AOE∽△DAO．求此时点E的坐标． 【答案】（1）4，3；（2）（，0）或（，0）． 【分析】（1）用因式分解法解出一元二次方程，即可求出OA、OB的长； （2）设点E的坐标为（m，0），根据相似三角形的性质得到，即可求出|m|的值，进而得到点E的坐标． 【解答】解：（1）方程x2﹣7x+12＝0， 分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）＝0， 可得：x﹣3＝0或x﹣4＝0， 解得：x1＝3，x2＝4， ∵OA＞OB， ∴OA＝4，OB＝3； 故答案为4，3； （2）设点E的坐标为（m，0）， 则OE＝|m|， ∵△AOE∽△DAO， ∴， ∴， ∴|m|， ∴m＝±， ∴点E的坐标为：（，0）或（，0）． 24．（10分）如图，BE是⊙O的直径，点A在⊙O上，点C在BE的延长线上，∠EAC＝∠ABC，AD平分∠BAE交⊙O于点D，连接DE． （1）求证：CA是⊙O的切线． （2）当AC＝6，CE＝3时，求DE的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）DE的长是． 【分析】（1）连接OA，则OA＝OB，所以∠OAB＝∠ABC，因为∠EAC＝∠ABC，所以∠EAC＝∠OAB，由BE是⊙O的直径，得∠BAE＝90°，推导出∠OAC＝∠BAE＝90°，即可证明CA是⊙O的切线； （2）连接OD，由AD平分∠BAE交⊙O于点D，求得∠DAE＝∠DAB∠BAE＝45°，则∠DOE＝2∠DAE＝90°，由OA2+AC2＝OC2，且AC＝6，CE＝3，OE＝OA，得OA2+62＝（3+OA）2，求得OD＝OE＝OA，所以DEOD． 【解答】（1）证明：连接OA，则OA＝OB， ∴∠OAB＝∠ABC， ∵∠EAC＝∠ABC， ∴∠EAC＝∠OAB， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BAE＝90°， ∴∠OAC＝∠EAC+∠OAE＝∠OAB+∠OAE＝∠BAE＝90°， ∵OA是⊙O的半径，且CA⊥OA， ∴CA是⊙O的切线． （2）解：连接OD， ∵AD平分∠BAE交⊙O于点D，∠BAE＝90°， ∴∠DAE＝∠DAB∠BAE＝45°， ∴∠DOE＝2∠DAE＝90°， ∵∠OAC＝90°， ∴OA2+AC2＝OC2， ∵AC＝6，CE＝3，OE＝OA， ∴OC＝3+OE＝3+OA， ∴OA2+62＝（3+OA）2， 解得OA， ∴OD＝OE＝OA， ∴DEOD， ∴DE的长是． 25．（10分）成都市龙泉驿区水蜜桃果大质优，外观艳丽，素有天下第一桃之称．某种植基地2022年开始种植水蜜桃200亩，到2024年水蜜桃的种植面积达到450亩． （1）求该基地这两年水蜜桃种植面积的平均年增长率； （2）市场调查发现，当水蜜桃的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价3元，每天可多售出120千克．为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地水蜜桃的平均成本价为10元/千克，若每天获利2160元，则售价应为多少元？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设该基地这两年水蜜桃种植面积的平均年增长率x，根据该基地2022年及2024年水蜜桃的种植面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设售价应降低y元，则每天可售出（200+40y）千克，根据总利润＝每千克的利润×x销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【解答】（1）解：设该基地这两年水蜜桃种植面积的平均年增长率x， ∵某种植基地2022年开始种植水蜜桃200亩，到2024年水蜜桃的种植面积达到450亩， ∴200（1+x）2＝450， 解得：x1＝0.5或x2＝﹣2.5（舍去）， ∴0.5×100%＝50%， 答：该基地这两年水蜜桃种植面积的平均增长率为50%； （2）解：设售价应降低y元，则每天可售出（200+40y）千克， ∵当水蜜桃的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价3元，每天可多售出120千克， ∴（20﹣10﹣y）（200+40y）＝2160， 整理，得：y2﹣5y+4＝0， 解得：y1＝1或y2＝4， ∵要尽量减少库存， ∴y＝4， 20﹣4＝16（元）， 答：售价应为16元． 26．（12分）“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多． （1）如图（a），AD是△ABC的角平分线，求证：； （2）如图（b），平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝7，BE平分∠ABC交AC于点E，则CE的长度为　4　 ； （3）如图（c），矩形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，将△ABE沿BE所在直线折叠，点A恰好落在边BC上的点F处．若AB＝3，BC＝4，求EF的长； （4）如图（d），正方形ABCD中，G为CD上一点，连接BG，将DG沿过G的直线折叠，使点D的对应点D′落在BG上，折痕与AD交于点H，与BC的延长线交于点E．若，BC＝8，则CE的长度为　　 ． 【答案】（1）如图a，过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E， ∴∠ACE＝∠DAC，∠E＝∠BAD， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠DAC， ∴∠ACE＝∠E， ∴AE＝AC， ∵CE∥AD， ∴， ∴； （2）4； （3）； （4）． 【分析】（1）过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，利用平行线分线段成比例定理即可得出结论； （2）由（1）中结论直接得解即可； （3）由题意易得，再求出AC即可得解； （4）连接CD′，先求得GD＝DC﹣GC＝8﹣4＝4，再证∠GD′C＝∠HGD′，得到CD′∥GE，进而利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【解答】（1）证明：如图a，过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E， ∴∠ACE＝∠DAC，∠E＝∠BAD， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠DAC， ∴∠ACE＝∠E， ∴AE＝AC， ∵CE∥AD， ∴， ∴； （2）解：∵平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝7， 由（1）结论可知， ∴， 故答案为：4； （3）解：∵将△ABE沿BE所在直线折叠， ∴∠ABE＝∠EBC，AE＝EF， ∴， ∵四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4， ∴∠ABC＝90°， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AC5， ∴， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， ∴； （4）解：如图d，四边形ABCD为正方形，连接CD′， ∴∠BCD＝90°， 在直角三角形BCG中，，BC＝8， 由勾股定理得：GC4， ∴GD＝DC﹣GC＝8﹣4＝4， ∵将DG沿过点G的直线折叠， ∴GD′＝GD，， ∴GD′＝GC＝4， ∴∠GD′C＝∠GCD′， ∵∠GD′C+∠GCD′＝∠DGD′， ∴， ∴∠GD′C＝∠HGD′， ∴CD′∥GE， ∴， ∴， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）． 故答案为：． 27．（10分）如图1，AB是⊙O的直径，C是圆上不同于A，B的任意一点，延长CA到点D，连结BD．过点C作CE⊥AB，交BD于点E，连结AE． （1）求证：∠ACE＝∠ABC． （2）如图2，若AE∥BC，AE＝2，AC＝3，求tanD的值． （3）若，求tanD的值（用含m的代数式表示）． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）． 【分析】（1）如图，设CE，AB交点为G，根据直径所对圆周角为90°得到∠ACB＝90°，由CE⊥AB，得到∠BGC＝90°，利用同角的余角相等即可证明结论； （2）根据平行线的性质可证∠CAE＝90°，证明△ACE∽△CAB，推出，求出BC，再证明△ADE∽△CDB，推出，求出CD，根据正切的定义即可求解； （3）过点E作EH⊥CD于点H，根据，求出2HE＝CH，2AG＝CG，2AC＝BC，设AG＝x，则CG＝2x，求出，，证明△DEH∽△DBC，推出，由，即，求出，由即可得解． 【解答】（1）证明：AB是⊙O的直径，C是圆上不同于A，B的任意一点，CE⊥AB，交BD于点E，如图，设CE，AB交点为G， ∴∠ACB＝90°，∠BGC＝90°， ∴∠ACE+∠BCE＝∠BCE+∠ABC＝90°， ∴∠ACE＝∠ABC； （2）解：∵AE∥BC，AE＝2，AC＝3， ∴∠CAE＝∠ACB＝90°， ∵∠ACE＝∠ABC， ∴△ACE∽△CBA， ∴， ∴， ∵AE∥BC， ∴△ADE∽△CDB， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点E作EH⊥CD于点H， ∵，∠ACE＝∠ABC， ∴， ∴2HE＝CH，2AG＝CG，2AC＝BC， 设AG＝x，则CG＝2x， 在直角三角形ACG中，由勾股定理得：， ∴， ∵∠CHE＝∠ACB＝90°， ∴HE∥BC， ∴△DEH∽△DBC， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 28．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线P：y＝x2﹣2x的顶点为A，与x轴交于点B． （1）请直接写出点A，点B的坐标； （2）点C是第二象限抛物线上一点，若△ABC是等腰三角形，求C点坐标； （3）如图2，将抛物线P沿射线AB方向平移，得到抛物线P′，抛物线P的顶点A的对应点是点D，两抛物线交于点Q，过点Q作一条直线与两个抛物线分别交于E，F两点（点E在点F左边），试探究点Q，E，F的横坐标xQ，xE，xF之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）A（1，﹣1），B（2，0）； （2）； （3）xE﹣xF＝6﹣4xQ． 【分析】（1）将y＝0代入抛物线，即可得到其与x轴交点，将二次函数转化为y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，即可得到其顶点坐标； （2）分别以A，B两点为圆心，以AB长为半径画圆，交抛物线于O，G，A，B，作AB的垂直平分线交抛物线于点H，交AB于点E，结合点C是第二象限抛物线上一点，那么当C点只有在点H位置时，才符合题意使得△ABC是等腰三角形，过B作BF∥y轴，过点A作AF∥x轴，然后证明F在AB的垂直平分线上，接着求得点E坐标，求得直线EF表达式，联立直线EF与抛物线，即可得到点C； （3）先求得直线AB：y＝x﹣2，不妨设D（t，t﹣2），那么抛物线P′的表达式为y＝（x﹣t）2+t﹣2，联立两抛物线，求得，再设直线EF的表达式为：，分别联立直线EF和抛物线P，P′，得到，，那么xE﹣xF＝2+q﹣（2t+q）＝2﹣2t，结合，即可得到三者关系． 【解答】解：（1）A（1，﹣1），B（2，0）；理由如下： 抛物线P：y＝x2﹣2x的顶点为A，与x轴交于点B， ∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴A点坐标为（1，﹣1）； 当y＝0时，得：x2﹣2x＝0， 解得：x1＝0，x2＝2， ∴B（2，0）； （2）∵B（2，0），O（0，0），A是抛物线的顶点， ∴AO＝AB， 过B作BF∥y轴，过点A作AF∥x轴， ∴F（2，﹣1）， ∴AF＝2﹣1＝1，BF＝1， ∴AF＝BF， 在直角三角形ABF中，∠AFB＝90°， 由勾股定理得：， ∴AB＜OB， 如图1，分别以A，B两点为圆心，以AB长为半径画圆，交抛物线于O，G，A，B，作AB的垂直平分线交抛物线于点H，交AB于点E， ∵点C是第二象限抛物线上一点， ∴当C点只有在点H位置时，才符合题意题意使得△ABC是等腰三角形， ∵E是线段AB的中点， ∴， ∵AF＝BF， ∴F在线段AB的垂直平分线上， 设直线EF的表达式为y＝kx+b（k≠0），将点E，点F的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线EF的表达式为y＝﹣x+1， 联立得：， 解得：， ∵点C是第二象限抛物线上一点时， ∴点C的横坐标， ∴， ∴； （3）xE﹣xF＝6﹣4xQ．理由如下： 设直线AB的表达式为y＝mx+n（m≠0），将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AB的表达式为y＝x﹣2， 设D（t，t﹣2），则抛物线P′的表达式为y＝（x﹣t）2+t﹣2， 联立得：， 解得：， ∴， ∴， 设直线EF的表达式为y＝qx+p（q≠0），将点Q的坐标代入得： ， ∴， ∴直线EF的表达式为， 联立直线EF和抛物线P：y＝x2﹣2x，得： ， 整理得：， ∴， 联立直线EF和抛物线y＝（x﹣t）2+t﹣2，得： ， 整理得：4x2﹣（8t+4q）x+3t2+4t﹣4+2tq+4q＝0， ∴， ∴xE﹣xF＝2+q﹣（2t+q）＝2﹣2t， ∵， ∴t＝2xQ﹣2， ∴xE﹣xF＝2﹣2（2xQ﹣2）＝6﹣4xQ， ∴xE﹣xF＝6﹣4xQ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/21 19:22:26；用户：19902929970；邮箱：19902929970；学号：37357472 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $