精品解析：山西省晋中市左权县部分学校2025-2026学年上学期九年级期末模拟数学试题

2025-2026学年度九年级期末教学评估 九年级数学（北师大版） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 5．本试卷任何人不能以任何形式外传，翻印！如若发现，必追究法律责任！ 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑． 1. 山西威风锣鼓，又称晋南威风锣鼓，是流传于山西省晋南地区一种民间打击乐艺术形式，被誉为“天下第一鼓”．如图是“山西威风锣鼓”的立体图形，该立体图形的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 8 B. 2 C. D. 3. 某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成统计图，如图所示，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ） A. 0.95 B. 0.90 C. 0.85 D. 0.80 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 圆周角是圆心角的一半 B. 相似多边形都是位似多边形 C. 一元二次方程的常数项为 D. 两组邻边分别相等的四边形是菱形 6. 如图，A，B，C三点在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线，相交于点O，E为的中点，，，那么（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形纸片中，，，同学们按以下所给图步骤折叠这张矩形纸片，则线段长为（ ） A. 8 B. 5 C. D. 10. 二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如下表： x 0 1 3 y 3 5 3 下列结论：①；②当时，y值随x值的增大而减小；③当，函数有最小值；④是方程的一个根；⑤当时，．其中结论正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若圆锥母线长为7，底面圆的半径为4，则圆锥的侧面积是________．（结果保留） 12. 如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是________．（只填一个） 13. 年月1日当天晚上，澳门进行了烟花秀表演．一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为_______． 14. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例函数图象交于点B，则________． 15. 劳动课上刘老师布置了一项很有意义的家庭作业：要求给家里的锅盖做一个锅盖架，如图①．图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为A，B，锅盖直径为，锅盖最低点C到的距离是，则________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算与解方程 （1）解方程：； （2）计算：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上．若直线的表达式为，点，求点B的坐标． 18. 12月4日是国家宪法日，为宣传宪法和相关法律法规，省司法厅联合有关部门在山西运城市盐湖区举办“宪法进农村”主题活动．组织者为了普及法律知识，准备了四张除注字外完全相同的宪法知识卡片，放入一个不透明的箱子里．卡片分别为：A（国家的基本制度），B（宪法的基本原则），C（公民的基本权利），D（公民的基本义务）．活动期间，参与者随机抽取卡片进行学习． （1）小兰随机从箱子里抽取一张卡片，抽到B（宪法的基本原则）卡片的概率为________； （2）小华随机从箱子里抽取两张卡片，求抽到的两张卡片恰好是A（国家的基本制度）和C（公民的基本权利）的概率． 19. 山西运城被誉为“北方水果之乡”，近年来通过品种改良与科学种植，苹果产业快速发展．2023年某果园种植“万荣”苹果平均亩产量约为，为了提高“万荣”苹果产量，该果园大力推广“大苗建园，宽行密植”种植模式及智能化管理技术，到2025年平均亩产量达到． （1）若该果园2023年到2025年种植“万荣”苹果平均亩产量年增长率相同，求该果园种植“万荣”苹果平均亩产量的年平均增长率； （2）2025年该果园苹果大丰收，老板在销售苹果时发现若以每箱75元出售时，每天可卖400箱．若每箱涨价0.5元时，日销售量就减少5箱．已知每箱苹果的成本为45元．求每箱苹果涨价多少元时，日销售总利润最大？最大利润是多少元？ 20. 项目式学习 学习素材 项目背景 山西省拥有丰富的旅游资源，某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道． 素材 设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建，两段长度相等观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台． 索道与的夹角为，与水平线夹角为，点B的垂直高度为，，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．） 任务一 求索道的长； 任务二 求山顶点D到水平地面的距离的长．（参考数据：，，，） 21. 在学习完《直线与圆的位置关系》后，老师布置了一道作图题如下：如图，及外一点P．求作：直线，使与相切于点Q．小彤经过探索，给出了一种作图方法，如下： ①连接，分别以O，P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A，B两点（点A，B分别位于直线OP的上下两侧）； ②作直线交于点C； ③以点C为圆心，为半径作，交于点Q（Q位于直线上侧）； ④作直线，交于点D，则直线即为所求作直线． 请根据小彤同学的作图方法，解答下面问题： （1）完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）结合作图，请说明是的切线； （3）若半径为2，，则的长为________． 22. 综合与实践 近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，其为车主提供更舒适、安全的充电环境．图1是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点A，B的水平距离为6米． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）现有一辆新能源客车需要充电，图2是该车的截面图，已知车身长约5米，车厢的最高点与遮阳棚接触点离地面约2.36米．请通过计算说明这辆新能源客车是否可以完全停进遮阳棚的正下方． （3）为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图3，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在中点处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架，直接写出第二段钢架的长． 23. 综合与探究 问题情境：已知：如图1，在矩形中，E为的中点，作于点F． 猜想证明： （1）判断与是否相似？相似请证明，不相似请说明理由； 深入探究： （2）若，求的值； 拓展延伸： （3）如图2，连接交于点G，若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级期末教学评估 九年级数学（北师大版） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 5．本试卷任何人不能以任何形式外传，翻印！如若发现，必追究法律责任！ 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑． 1. 山西威风锣鼓，又称晋南威风锣鼓，是流传于山西省晋南地区的一种民间打击乐艺术形式，被誉为“天下第一鼓”．如图是“山西威风锣鼓”的立体图形，该立体图形的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图，正确理解三视图的识别是解题的关键．根据左视图的定义求解即可． 【详解】解：从左侧看，该立体图形的左视图是． 故选：D． 2. 已知，则（ ） A 8 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．利用设法进行计算，即可解答． 【详解】解：设，则，，， ∴， 故选：B． 3. 某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设月平均增长率为x，则二月份生产钢铁吨，则三月份生产钢铁吨，再根据第一季度共生产钢铁1860吨列出方程即可得到答案． 【详解】解：设月平均增长率为x， 由题意得，， 故选：C． 4. 某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成统计图，如图所示，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ） A. 0.95 B. 0.90 C. 0.85 D. 0.80 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，由图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.90，即可得解． 【详解】解：由图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.90，故成活的概率约为0.90. 故选：B． 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 圆周角是圆心角的一半 B. 相似多边形都是位似多边形 C. 一元二次方程的常数项为 D. 两组邻边分别相等的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似图形的定义、一元二次方程的定义、菱形的判定等知识．利用相似图形的定义、一元二次方程的定义、菱形的判定分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，故原命题是假命题，该选项不符合题意； B、相似多边形不一定是位似多边形，故原命题是假命题，该选项不符合题意； C、一元二次方程即的常数项为，故原命题是真命题，该选项符合题意； D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题是假命题，该选项不符合题意． 故选：C． 6. 如图，A，B，C三点在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理．根据圆周角定理“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”可直接求解． 【详解】解：由图可知是所对的圆心角，是所对的圆周角， ， 故选：C． 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．根据题意可得该图象位于第二，四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴该图象位于第二，四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大， ∴点，位于第二象限，位于第四象限， ∴， ∴． 故选：A． 8. 如图，菱形对角线，相交于点O，E为的中点，，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，求一个角的正弦值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由四边形是菱形，得，，再结合为的中点，得，，故，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵为的中点，， ∴， ∴，， 在中，， 故选A． 9. 如图，矩形纸片中，，，同学们按以下所给图步骤折叠这张矩形纸片，则线段长为（ ） A. 8 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质．由通过折叠得到可得：，，推出，由矩形通过折叠得到矩形可得：，得到为等腰直角三角形，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由通过折叠得到可得：，， 则， 由矩形通过折叠得到矩形可得：， ，， 为等腰直角三角形， ， ， 故选：D． 10. 二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如下表： x 0 1 3 y 3 5 3 下列结论：①；②当时，y值随x值的增大而减小；③当，函数有最小值；④是方程的一个根；⑤当时，．其中结论正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系等知识点．根据x与y的部分对应值可列出关于a、b、c的方程组，解得a、b、c的值，结合抛物线的对称轴、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系等逐个选项分析即可． 【详解】解：根据x与y的部分对应值可知： ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为． ①，故本选项正确； ②对称轴为直线，， ∴当时，y的值随x值的增大而减小，故本选项错误； ③∵， ∴函数有最大值，没有最小值，故本选项错误； ④对于方程，即， 由表格知时，满足，故本选项正确； ⑤不等式可化为：，即， ∵由表格可知，，均在直线上，又抛物线开口向下， ∴当时，，故本选项正确； 综上，①④⑤正确共3个． 故选：B． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若圆锥的母线长为7，底面圆的半径为4，则圆锥的侧面积是________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】解：根据圆锥侧面积公式 ， 代入 ， ， 得 ． 故答案为：． 12. 如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是________．（只填一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查添加条件使两个三角形相似，涉及两个三角形相似的判定定理，根据图形，结合两个三角形相似的判定定理添加条件即可得到答案，熟记两个三角形相似的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：①两角对应相等的两个三角形相似： ， 当时，； 当时，； ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似： ， 当时，； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 年月1日当天晚上，澳门进行了烟花秀表演．一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．把二次函数的一般式写成顶点式，找出顶点坐标，即可知道多长时间后得到最高点． 【详解】解：由题可得：． ， 二次函数图象开口向下， 当时，升到最高点， 故答案为：8． 14. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例函数图象交于点B，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确构造相似三角形是解题的关键．作轴，轴，根据值的几何意义，得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值即可． 【详解】解：作轴，轴，垂足分别为， 则：， ∵点为反比例函数图象上的一点，点为反比例函数图象上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 故答案为：2． 15. 劳动课上刘老师布置了一项很有意义的家庭作业：要求给家里的锅盖做一个锅盖架，如图①．图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为A，B，锅盖直径为，锅盖最低点C到的距离是，则________． 【答案】32 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的相关性质、勾股定理，掌握圆的性质及勾股定理的应用是解题关键．根据题意设锅盖的圆心为，与交于点，连接，进而构造直角三角形，运用已知条件及勾股定理求出，由垂径定理可得的长． 【详解】解：如图，锅盖圆心为，与交于点，连接， 图② 由题意知， ， ， ∴，． 在中，由勾股定理，得， ∴． 故答案为：32． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算与解方程 （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）； （2）1 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数的运算，熟练掌握解一元二次方程的方法，特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）代入特殊锐角三角函数值，再计算乘方和乘法，最后计算加减即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 则， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上．若直线的表达式为，点，求点B的坐标． 【答案】点B的坐标为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，把代入进而求出点A的坐标，把代入中，即可求出反比例函数解析式，再联立一次函数与反比例函数的解析式并求解即可求出点B的坐标． 【详解】解：把代入， 得：， ∴， 把代入中， 则， ∴反比例函数的解析式为：， 联立， 解得：或， ∴点B的坐标为． 18. 12月4日是国家宪法日，为宣传宪法和相关法律法规，省司法厅联合有关部门在山西运城市盐湖区举办“宪法进农村”主题活动．组织者为了普及法律知识，准备了四张除注字外完全相同的宪法知识卡片，放入一个不透明的箱子里．卡片分别为：A（国家的基本制度），B（宪法的基本原则），C（公民的基本权利），D（公民的基本义务）．活动期间，参与者随机抽取卡片进行学习． （1）小兰随机从箱子里抽取一张卡片，抽到B（宪法的基本原则）卡片的概率为________； （2）小华随机从箱子里抽取两张卡片，求抽到的两张卡片恰好是A（国家的基本制度）和C（公民的基本权利）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式及列树状图进行求解概率， （1）根据题意及概率公式可直接进行求解； （2）根据题意可列树状图进行求解概率． 【小问1详解】 解：∵一共有4个知识卡片，每个知识卡片被抽到的可能性相等， ∴抽取到B（宪法的基本原则）卡片的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好是A（国家的基本制度）和C（公民的基本权利）的结果有2种， ∴抽取到恰好是A（国家的基本制度）和C（公民的基本权利）的概率为． 19. 山西运城被誉为“北方水果之乡”，近年来通过品种改良与科学种植，苹果产业快速发展．2023年某果园种植“万荣”苹果平均亩产量约为，为了提高“万荣”苹果产量，该果园大力推广“大苗建园，宽行密植”种植模式及智能化管理技术，到2025年平均亩产量达到． （1）若该果园2023年到2025年种植“万荣”苹果平均亩产量的年增长率相同，求该果园种植“万荣”苹果平均亩产量的年平均增长率； （2）2025年该果园苹果大丰收，老板在销售苹果时发现若以每箱75元出售时，每天可卖400箱．若每箱涨价0.5元时，日销售量就减少5箱．已知每箱苹果的成本为45元．求每箱苹果涨价多少元时，日销售总利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）该果园种植“万荣”苹果平均亩产量的年平均增长率是； （2）每箱苹果涨价5元，日销售总利润最大，最大利润为元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和二次函数表达式是解题的关键． （1）设年平均增长率是，利用2025年平均亩产量年的平均亩产量年平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每箱苹果涨价元，利润为，根据题意列出函数关系式，利用二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设年平均增长率是， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， 故该果园种植“万荣”苹果平均亩产量的年平均增长率是； 【小问2详解】 解：设每箱苹果涨价元，利润为， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：每箱苹果涨价5元，日销售总利润最大，最大利润为元． 20. 项目式学习 学习素材 项目背景 山西省拥有丰富的旅游资源，某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道． 素材 设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建，两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台． 索道与的夹角为，与水平线夹角为，点B的垂直高度为，，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．） 任务一 求索道的长； 任务二 求山顶点D到水平地面的距离的长．（参考数据：，，，） 【答案】任务一：的长约为 任务二：的长约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形在实际问题中的应用，解题的关键是利用直角三角形的边角关系求出各线段长度，再通过线段的和差关系完成求解． 在中，利用的定义求的长；再由，在（为在上的垂足）中，利用和求和的长；最后结合矩形的性质，得到，完成计算． 【详解】任务一：解：在中，， ∵，， ∴， 答：索道的长约为． 任务二：解：由题意，， 过点作于点， 则四边形为矩形，， 在中，， ． 答：山顶点到水平地面的距离的长约为． 21. 在学习完《直线与圆的位置关系》后，老师布置了一道作图题如下：如图，及外一点P．求作：直线，使与相切于点Q．小彤经过探索，给出了一种作图方法，如下： ①连接，分别以O，P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A，B两点（点A，B分别位于直线OP的上下两侧）； ②作直线交于点C； ③以点C为圆心，为半径作，交于点Q（Q位于直线的上侧）； ④作直线，交于点D，则直线即为所求作直线． 请根据小彤同学的作图方法，解答下面问题： （1）完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）结合作图，请说明是的切线； （3）若半径为2，，则的长为________． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3） 【解析】 【分析】（）根据题意步骤作图即可； （）由圆周角定理得，结合是半径即可得证； （）先求出，由作图知，直线是的垂直平分线，所以，最后利用建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：解：如图所示；    ， 【小问2详解】  解：理由：连接， 由作图知，是的直径， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问3详解】 解：连接，由（）知，， ∵，， ∴， 由作图知，直线是的垂直平分线， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 22. 综合与实践 近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，其为车主提供更舒适、安全的充电环境．图1是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点A，B的水平距离为6米． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）现有一辆新能源客车需要充电，图2是该车的截面图，已知车身长约5米，车厢的最高点与遮阳棚接触点离地面约2.36米．请通过计算说明这辆新能源客车是否可以完全停进遮阳棚的正下方． （3）为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图3，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在中点处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架，直接写出第二段钢架的长． 【答案】（1） （2）不可以 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求一次函数关系式，二次函数的综合问题， 对于（1），设抛物线的顶点式，再将点代入可得答案； 对于（2），设点，再代入关系式求出x，比较可得答案； 对于（3），先求出直线的关系式，再求出点C，D的纵坐标，即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意，抛物线顶点为， 设y与x的函数关系式为， ∴抛物线的函数关系式为. ∵点A的坐标为， ∴， 解得， 所以抛物线的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意，设点，得 ， 解得， ∴， 所以这辆新能源客车不可以完全停进遮阳棚正下方； 【小问3详解】 解：设直线的关系式为， 将点、代入关系式，得 解得：， ∴直线的关系式为， ∵点D是的中点， ∴点D的横坐标为3， ∴点D的纵坐标为． 当时，， 所以（米）． 23. 综合与探究 问题情境：已知：如图1，在矩形中，E为的中点，作于点F． 猜想证明： （1）判断与是否相似？相似请证明，不相似请说明理由； 深入探究： （2）若，求的值； 拓展延伸： （3）如图2，连接交于点G，若，请直接写出的值． 【答案】（1），理由见详解； （2）的值为； （3）的值为． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质．掌握矩形的相关性质及相似三角形的判定与性质是解题关键，注意两三角形相似中对应边成比例的灵活转换． （1）首先，根据矩形的性质得出，，进而得到，再由，得到，从而证得； （2）根据矩形的性质及已知条件可得，再由，得出，最后，代入数据计算即可； （3）首先，根据题意做辅助线，可证得，进而可得，，， ， 然后，根据，易证，从而得出，最后，通过转换代入得出，进而可得出． 【小问1详解】 解：． 理由：在矩形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∴； 【小问2详解】 解：在矩形中，， ∵为的中点， ∴． 由（1）得， ∴． ∴； 【小问3详解】 解：的值为． 解：如图，过点作于点， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∴，， ． 由（1）得， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴； 在矩形中，，， ∴，即． ∴． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $