山东省潍坊市2025-2026学年八年级上学期期末自编数学模拟卷（青岛版）

2025-2026学年山东省潍坊市上学期期末自编模拟卷 八年级数学参考答案 一．选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D A B A D C C 二．填空题（本小题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．两个角是等角的余角；这两个角相等 12． 13．（﹣3，﹣2） 14． x＞1 15． 三．解答题（共8个小题，共75分。写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8分）解：（1）原式＝ …………………………2分 ＝． …………………………3分 （2）原式＝ ＝ ＝ ＝ …………………………6分 ∵在化简过程中出现在分母中的因式有x+1、x、x﹣1， ∴x+1≠0，x≠0，x﹣1≠0， ∴x≠﹣1，x≠0，x≠1， ∴当x＝2时，原式＝ …………………………8分 17．（8分）解：（1）解不等式3x﹣2≤x+6，得：x≤4， 解不等式+1＞x，得：x＞0， 则不等式组的解集为0＜x≤4， …………………………3分 将不等式组的解集表示在数轴上如下： …………………………4分 （2）解方程 x（x+1）﹣（x2﹣1）＝1， 解得：x＝0； …………………………7分 经检验，x＝0是原方程的解， ∴原方程的解为x＝0． …………………………8分 18．（8分）（1）证明：由线段垂直平分线可知，∠BDE＝90°，, ∵AF⊥AB， ∴∠EAF＝90°， 在△EAF和△EDB中， ∴△EAF≌△EDB（AAS）， …………………………3分 ∴AF＝BD， ∴BC＝2BD＝2AF． …………………………4分 （2）解：如图，连接CE， 由线段垂直平分线可知，BE＝CE， ∴∠ECB＝∠B＝20°， ∴∠CED＝90°﹣∠DCE＝70°， …………………………6分 ∵BE＝CE＝FE， ∵∠DFC＝∠ECF， ∴∠CED＝∠DFC+∠ECF， ∴. …………………………8分 19．（8分）（1）解：由条件可知∠FAE＝90°﹣50°＝40°， ∵∠BAD＝100°， ∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°； …………………………2分 （2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H， ∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD， ∴EF＝EG， ∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC， ∴EF＝EH， ∴EG＝EH， ∵EG⊥AD，EH⊥BC ∴DE平分∠ADC； …………………………5分 （3）解：由条件可知×AD×EG+×CD×EH＝12， 即×4×EG+×8×EG＝12， 解得EG＝EH＝2， ∴EF＝EH＝2， ∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×6×2＝6．…………………………8分 20．（10分）解：（1）设A型机器人的单价为x万元，则B型机器人的单价为（x﹣3）万元， 根据题意得：， …………………………2分 解得：x＝9， 经检验，x＝9是所列方程的解，且符合题意， …………………………4分 ∴x﹣3＝9﹣3＝6（万元）． 答：A型机器人的单价为9万元，B型机器人的单价为6万元；…………………………5分 （2）设配备A型机器人y台，则配备B型机器人（10﹣y）台， 根据题意得：9y+6（10﹣y）≤70， …………………………7分 解得：y≤， 又∵y为正整数， ∴y可以为1，2，3， ∴共有3种配备方案， 方案1：配备A型机器人1台，B型机器人9台； 方案2：配备A型机器人2台，B型机器人8台； 方案3：配备A型机器人3台，B型机器人7台． …………………………10分 21．（9分）解：（1）三个三角形面积和：，梯形面积：， …………………………1分 ∵梯形面积＝三个三角形面积和， ∴， …………………………2分 ∴（a+b）2＝2ab+c2， ∴a2+2ab+b2＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2； …………………………3分 （2）设AC＝AB＝x，则AH＝x﹣0.4， ∵CH⊥AB， ∴CH2+AH2＝AC2， 即0.82+（x﹣0.4）2＝x2， …………………………5分 解得x＝1， ∴AC﹣CH＝1﹣0.8＝0.2千米， …………………………6分 （3）设AH＝x，则BH＝21﹣x， ∵CH⊥AB， ∴CH2＝BC2﹣BH2＝172﹣（21﹣x）2，CH2＝AC2﹣AH2＝102﹣x2， ∴100﹣x2＝289﹣（441﹣42x+x2）， 解得x＝6， …………………………8分 ∴， …………………………9分 22．（12分）（1）证明：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°， ∴∠DAB+∠DBA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠DAB+∠EAC＝90°， ∴∠DBA＝∠EAC， 在△ABD和△CAE中， △ABD≌△CAE（AAS）； …………………………3分 （2）解：DE，BD，CE的数量关系是：DE＝BD+CE， …………………………4分 证明：∵∠EAB是△ABD的外角， ∴∠EAB＝∠ADB+∠DBA， ∴∠EAC+∠BAC＝∠ADB+∠DBA， ∵∠ADB＝∠BAC， ∴∠EAC＝∠DBA， 在△EAC和△DBA中， ∴△EAC≌△DBA（AAS）， …………………………6分 ∴CE＝AD，AE＝BD， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； …………………………7分 （3）S1，S2大小关系是：S1＝S2，理由如下： …………………………8分 过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M，过点E作EN⊥AH于点N，如图所示： ∵AG⊥BC， ∴∠AGB＝∠M＝90°， ∴∠ABG+∠BAG＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAG+∠DAM＝90°， ∴∠ABG＝∠DAM， 在△ABG和△DAM中， ∴△ABG≌△DAM（AAS）， …………………………10分 ∴DM＝AG， 同理可证明：△AGC≌△ENA， ∴EN＝AG， ∴DM＝EN， ∵S1＝AH•DM，S2＝AH•EN， ∴S1＝S2． …………………………12分 23．（12分）解：（1）依题意得：AP＝tcm，BQ＝3tcm， ∵△ABC是等边三角形，且边长为6cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（6﹣t）cm，∠A＝∠B＝60°， 故答案为：（6﹣t）；3t； …………………………2分 （2）在△BPQ中，∠B＝60°， ∴当△BPQ为直角三角形时，有以下两种情况： ①当∠BQP＝90°时，如图1①所示： ∴∠BPQ＝90°﹣∠B＝30°， ∴BQ＝BP， ∴3t＝（6﹣t）， 解得：t＝； …………………………4分 ②当∠BPQ＝90°时，如图1②所示： ∴∠BQP＝90°﹣∠B＝30°， ∴BP＝BQ， ∴6﹣t＝×3t， 解得：t＝， …………………………6分 综上所述：当t为秒或秒时，△BPQ为直角三角形； …………………………7分 （3）存在． …………………………8分 过点P作PN∥BC交AC于点N，如图2所示： ∴∠APN＝∠B＝60°，∠PNM＝∠QCM， 在△APN中，∠A＝∠APN＝60°， ∴△APN是等边三角形， ∴PN＝AP＝AN＝tcm， ∵点M为线段PQ中点， ∴PM＝QM， 在△PNM和△QCM中， ∴△PNM≌△QCM（AAS）， ∴PN＝CQ＝tcm，MN＝MC， ∴BQ＝BC+CQ＝（6+t）cm， ∴3t＝6+t， 解得：t＝3， ∴当t＝3秒时，点M为线段PQ中点， …………………………10分 此时AN＝3cm， ∴CN＝AC﹣AN＝6﹣3＝3（cm）， ∵MN＝MC， ∴MN＝2MC＝3， ∴MC＝1.5（cm）． …………………………12分 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年山东省潍坊市上学期期末自编模拟卷 八年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：青岛2024版八年级上册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求） 1．下面有四幅交通警告图标，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A．选项中的图形是轴对称图形，故此选项符合题意； B．选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．在…（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C． 【解析】解：＝4， 无理数有、、﹣1.121121112...（每两个2之间依次多一个1），共3个． 故选：C． 3．下列命题中，真命题是（　　） A．同旁内角互补 B．如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2 C．若a2＝b2，则a＝b D．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数 【答案】B 【解析】解：A、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，故不符合题意； B、如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2，是真命题，故符合题意； C、若a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，原命题是假命题，故不符合题意； D、如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是非负数，原命题是假命题，故不符合题意； 故选：B． 4．在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图①）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC．小宏同学先画出了∠MB′N＝90°，后续画图的主要过程如图②所示，这种画图方法的依据是（　　） A．SSS B．AAS C．ASA D．HL 【答案】D 【解析】解：由图示知，小宏第一步为截取线段B′C′＝BC，第二步为作线段A′C′＝AC， 在Rt△A′B′C′与Rt△ABC中， ∴Rt△A′B′C′≌Rt△ABC（HL）， 即这种画图方法的依据是HL， 故选：D． 5．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明图解．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中直角三角形的面积为3，中间小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（　　） A．a+b＝5 B．ab＝8 C．a2+b2＝12 D．a﹣b＝2 【答案】A 【解析】解：由题意得，ab＝3，（b﹣a）2＝1， ∴ab＝6，a2+b2＝（b﹣a）2+2ab＝1+12＝13， ∵a（b+a）2＝（b﹣a）2+4ab＝1+24＝25， ∴b+a＝5（负值已舍）， 故选：A． 6．如图，点A表示的实数是（　　） A．﹣ B．﹣ C．1﹣ D．1﹣ 【答案】B 【解析】解：∵OA＝＝， ∴点A表示的实数是﹣， 故选：B． 7．已知点A（3，a）与B（b，1）关于y轴对称，则a+b的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 【答案】A 【解析】解：∵点A（3，a）与B（b，1）关于y轴对称， ∴b＝﹣3，a＝1， ∴a+b＝﹣2． 故选：A． 8．若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（　　） A．a＜6 B．a＞6 C．a＞﹣6 D．a＜6且a≠2 【答案】D 【解析】解：原方程去分母得：2﹣a＝4x﹣4， 解得：x＝， ∵该方程的解为正数， ∴x＞0且x﹣1≠0， ∴＞0且﹣1≠0， 解得：a＜6且a≠2， 故选：D． 9．某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKJ的面积分别记为S1，S2，S3．S1+S2+S3＝150，则EF的长是（　　） A． B．5 C． D． 【答案】C 【解析】解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则：c2＝a2+b2， 由题意，得：S1＝（a+b）2，S2＝c2，S3＝（a﹣b）2， ∴S1+S2+S3＝（a+b）2+c2+（a﹣b）2， ＝a2+2ab+b2+c2+a2﹣2ab+b2 ＝c2+c2+c2 ＝3c2＝150， ∴c2＝50， 即EF2＝50， ∴EF＝5， 故选：C． 10．如图，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，下列结论中①DF＝BE，②△ADF≌△ABE，③FA平分∠DFE，④EF平分∠AEC，⑤BE+DF＝EF．其中正确的结论是（　　） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 【答案】C 【解析】解：∵E、F分别是CB、CD上的任意点， ∴DF与BE不一定相等，故①错误； ∵AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D， ∴∠D＝∠ABE＝90°， ∵AB＝AD， ∴△ADF≌△ABE的另一个条件是DF＝BE， ∵DF与BE不一定相等， ∴△ADF与△ABE不一定全等，故②错误； 延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG，则∠ABG＝180°﹣∠ABE＝90°， ∴∠ABG＝∠D， 在△ABG和△ADF中， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∠G＝∠AFD， ∵∠BAD＝140°，∠EAF＝70°， ∴∠EAG＝∠BAE+∠BAG＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝70°， ∴∠EAG＝∠EAF， 在△EAG和△EAF中， ∴△EAG≌△EAF（SAS）， ∴∠G＝∠AFE，∠AEB＝∠AEF，EG＝EF， ∴∠AFD＝∠AFE，BE+DF＝BE+BG＝EG＝EF， ∴FA平分∠DFE，故③⑤正确； 若EF平分∠AEC，而∠AEF＝∠AEG， ∴∠CEF＝∠AEF＝∠AEG＝60°，与题干信息矛盾，故④错误； 故选：C． 二．填空题（本小题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．把命题“等角的余角相等”改写成：“如果 　____________　 ，那么 　_________　 ”． 【答案】两个角是等角的余角；这两个角相等． 【解析】解：命题：等角的余角相等，可以写作：如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等． 故答案为：两个角是等角的余角；这两个角相等． 12．化简＝　__________________　 ． 【答案】 【解析】解：原式＝ ＝ ＝ 故答案为：． 13．若+（b+2）2＝0，则点M（a，b）关于y轴的对称点的坐标为　__________　 ． 【答案】（﹣3，﹣2） 【解析】解：∵+（b+2）2＝0， ∴a＝3，b＝﹣2； ∴点M（a，b）关于y轴的对称点的坐标为（﹣3，﹣2）． 14．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如：，如果，则x的取值范围为　______　 ． 【答案】x＞1 【解析】解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为， 由题意得：， ∴2x﹣3+x＞0， ∴3x＞3， 解得：x＞1， 故答案为：x＞1． 15．如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S1﹣S2＝22，则中阴影部分的面积为 　_________________　 ． 【答案】 【解析】解：依题意，由勾股定理得：BC2﹣AC2＝AB2， 即S3﹣S1＝S2.， ∵S3+S1﹣S2＝22， ∴2S1＝22，解得S1＝11， 由图形可知，阴影部分的面积为S1， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 三．解答题（共8个小题，共75分。写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8分）（1）计算： （2）先化简，再求值：，从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为x的值代入求值． 【答案】（1）．（2）当x＝2时，原式＝ 【解析】解：（1）原式＝＝． （2）原式＝ ＝ ＝ ＝ ∵在化简过程中出现在分母中的因式有x+1、x、x﹣1， ∴x+1≠0，x≠0，x﹣1≠0， ∴x≠﹣1，x≠0，x≠1， ∴当x＝2时，原式＝ 17．（8分）（1）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． （2）解下列方程:． 【答案】（1）不等式组的解集为0＜x≤4，数轴见解析 （2）原方程的解为x＝0 【解析】解：（1）解不等式3x﹣2≤x+6，得：x≤4， 解不等式+1＞x，得：x＞0， 则不等式组的解集为0＜x≤4， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： （2）解方程 x（x+1）﹣（x2﹣1）＝1， 解得：x＝0； 经检验，x＝0是原方程的解， ∴原方程的解为x＝0． 18．（8分）如图，△ABC中，DE是BC边的垂直平分线交AB边于点E，过点A作AF⊥AB于点A，交DE延长线于点F，且BE＝EF，连结CF． （1）求证：BC＝2AF； （2）若∠B＝20°，求∠DFC的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】（1）证明：由线段垂直平分线可知，∠BDE＝90°，, ∵AF⊥AB， ∴∠EAF＝90°， 在△EAF和△EDB中， ∴△EAF≌△EDB（AAS）， ∴AF＝BD， ∴BC＝2BD＝2AF． （2）如图，连接CE， 由线段垂直平分线可知，BE＝CE， ∴∠ECB＝∠B＝20°， ∴∠CED＝90°﹣∠DCE＝70°， ∵BE＝CE＝FE， ∵∠DFC＝∠ECF， ∴∠CED＝∠DFC+∠ECF， ∴. 19．（8分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求∠CAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝6，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝12，求△ABE的面积． 【答案】（1）∠CAD＝40°（2）证明见解析（3）△ABE的面积为6． 【解析】（1）解：由条件可知∠FAE＝90°﹣50°＝40°， ∵∠BAD＝100°， ∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°； （2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H， ∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD， ∴EF＝EG， ∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC， ∴EF＝EH， ∴EG＝EH， ∵EG⊥AD，EH⊥BC ∴DE平分∠ADC； （3）解：由条件可知×AD×EG+×CD×EH＝12， 即×4×EG+×8×EG＝12， 解得EG＝EH＝2， ∴EF＝EH＝2， ∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×6×2＝6． 20．（10分）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单价低3万元． （1）求A型、B型两种机器人的单价； （2）该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求A、B两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【答案】（1）A型机器人的单价为9万元，B型机器人的单价为6万元； （2）共有3种配备方案， 方案1：配备A型机器人1台，B型机器人9台； 方案2：配备A型机器人2台，B型机器人8台； 方案3：配备A型机器人3台，B型机器人7台． 【解析】解：（1）设A型机器人的单价为x万元，则B型机器人的单价为（x﹣3）万元， 根据题意得：， 解得：x＝9， 经检验，x＝9是所列方程的解，且符合题意， ∴x﹣3＝9﹣3＝6（万元）． 答：A型机器人的单价为9万元，B型机器人的单价为6万元； （2）设配备A型机器人y台，则配备B型机器人（10﹣y）台， 根据题意得：9y+6（10﹣y）≤70， 解得：y≤， 又∵y为正整数， ∴y可以为1，2，3， ∴共有3种配备方案， 方案1：配备A型机器人1台，B型机器人9台； 方案2：配备A型机器人2台，B型机器人8台； 方案3：配备A型机器人3台，B型机器人7台． 21．（9分）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，则a2+b2＝c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； 【方法运用】 （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.4千米，则新路CH比原路CA短　______　 千米； 【应用拓展】 （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边长，可求高的一种方法，他是这样思考的，在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，求CH的长．可以列方程求解，设AH＝x，则可求出CH＝　___　 ． 【答案】（1）答案见解析 （2）0.2 （3）8 【解析】解：（1）三个三角形面积和：，梯形面积：， ∵梯形面积＝三个三角形面积和， ∴， ∴（a+b）2＝2ab+c2， ∴a2+2ab+b2＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2； （2）设AC＝AB＝x，则AH＝x﹣0.4， ∵CH⊥AB， ∴CH2+AH2＝AC2， 即0.82+（x﹣0.4）2＝x2， 解得x＝1， ∴AC﹣CH＝1﹣0.8＝0.2千米， 故答案为：0.2； （3）设AH＝x，则BH＝21﹣x， ∵CH⊥AB， ∴CH2＝BC2﹣BH2＝172﹣（21﹣x）2，CH2＝AC2﹣AH2＝102﹣x2， ∴100﹣x2＝289﹣（441﹣42x+x2）， 解得x＝6， ∴， 故答案为：8. 22．（12分）【基础回顾】 （1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：△ABD≌△CAE； 【变式探究】 （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，猜想DE，BD，CE有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边AB，AC为一边向外作△BAD和△CAE，其中∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，AG是边BC上的高．延长GA交DE于点H，设△ADH的面积为S1，△AEH的面积为S2，猜猜想S1，S2大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）DE＝BD+CE，证明见解析 （3）S1=S2，理由见解析 【解析】（1）证明：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°， ∴∠DAB+∠DBA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠DAB+∠EAC＝90°， ∴∠DBA＝∠EAC， 在△ABD和△CAE中， △ABD≌△CAE（AAS）； （2）解：DE，BD，CE的数量关系是：DE＝BD+CE， 证明：∵∠EAB是△ABD的外角， ∴∠EAB＝∠ADB+∠DBA， ∴∠EAC+∠BAC＝∠ADB+∠DBA， ∵∠ADB＝∠BAC， ∴∠EAC＝∠DBA， 在△EAC和△DBA中， ∴△EAC≌△DBA（AAS）， ∴CE＝AD，AE＝BD， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）S1，S2大小关系是：S1＝S2，理由如下： 过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M，过点E作EN⊥AH于点N，如图所示： ∵AG⊥BC， ∴∠AGB＝∠M＝90°， ∴∠ABG+∠BAG＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAG+∠DAM＝90°， ∴∠ABG＝∠DAM， 在△ABG和△DAM中， ∴△ABG≌△DAM（AAS）， ∴DM＝AG， 同理可证明：△AGC≌△ENA， ∴EN＝AG， ∴DM＝EN， ∵S1＝AH•DM，S2＝AH•EN， ∴S1＝S2． 23．（12分）如图，等边△ABC的边长为6cm，点P在边AB上以每秒1cm的速度从A向B运动，到点B停止；点Q在射线BC上以每秒3cm的速度从B向C运动，随着点P的停止而停止；设运动时间为t秒． （1）用含t的式子表示线段长度：BP＝ 　________　 cm，BQ＝ 　_____　 cm； （2）求t为何值时，△BPQ为直角三角形； （3）若运动过程中，线段PQ与边AC交于点M，请问是否存在点M为线段PQ中点的情况？若存在，请求出此时的t值和MC的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（6﹣t）；3t；（2）当t为秒或秒时，△BPQ为直角三角形； （3）存在．当t＝3秒时，点M为线段PQ中点; MC＝1.5cm 【解析】解：（1）依题意得：AP＝tcm，BQ＝3tcm， ∵△ABC是等边三角形，且边长为6cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（6﹣t）cm，∠A＝∠B＝60°， 故答案为：（6﹣t）；3t； （2）在△BPQ中，∠B＝60°， ∴当△BPQ为直角三角形时，有以下两种情况： ①当∠BQP＝90°时，如图1①所示： ∴∠BPQ＝90°﹣∠B＝30°， ∴BQ＝BP， ∴3t＝（6﹣t）， 解得：t＝； ②当∠BPQ＝90°时，如图1②所示： ∴∠BQP＝90°﹣∠B＝30°， ∴BP＝BQ， ∴6﹣t＝×3t， 解得：t＝， 综上所述：当t为秒或秒时，△BPQ为直角三角形； （3）存在． 过点P作PN∥BC交AC于点N，如图2所示： ∴∠APN＝∠B＝60°，∠PNM＝∠QCM， 在△APN中，∠A＝∠APN＝60°， ∴△APN是等边三角形， ∴PN＝AP＝AN＝tcm， ∵点M为线段PQ中点， ∴PM＝QM， 在△PNM和△QCM中， ∴△PNM≌△QCM（AAS）， ∴PN＝CQ＝tcm，MN＝MC， ∴BQ＝BC+CQ＝（6+t）cm， ∴3t＝6+t， 解得：t＝3， ∴当t＝3秒时，点M为线段PQ中点， 此时AN＝3cm， ∴CN＝AC﹣AN＝6﹣3＝3（cm）， ∵MN＝MC， ∴MN＝2MC＝3， ∴MC＝1.5（cm）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年山东省潍坊市上学期期末自编模拟卷 八年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：青岛2024版八年级上册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求） 1．下面有四幅交通警告图标，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．在…（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列命题中，真命题是（　　） A．同旁内角互补 B．如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2 C．若a2＝b2，则a＝b D．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数 4．在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图①）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC．小宏同学先画出了∠MB′N＝90°，后续画图的主要过程如图②所示，这种画图方法的依据是（　　） A．SSS B．AAS C．ASA D．HL 5．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明图解．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中直角三角形的面积为3，中间小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（　　） A．a+b＝5 B．ab＝8 C．a2+b2＝12 D．a﹣b＝2 6．如图，点A表示的实数是（　　） A．﹣ B．﹣ C．1﹣ D．1﹣ 7．已知点A（3，a）与B（b，1）关于y轴对称，则a+b的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 8．若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（　　） A．a＜6 B．a＞6 C．a＞﹣6 D．a＜6且a≠2 9．某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKJ的面积分别记为S1，S2，S3．S1+S2+S3＝150，则EF的长是（　　） A． B．5 C． D． 10．如图，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，下列结论中①DF＝BE，②△ADF≌△ABE，③FA平分∠DFE，④EF平分∠AEC，⑤BE+DF＝EF．其中正确的结论是（　　） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 二．填空题（本小题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．把命题“等角的余角相等”改写成：“如果 　____________　 ，那么 　_________　 ”． 12．化简＝　__________________　 ． 13．若+（b+2）2＝0，则点M（a，b）关于y轴的对称点的坐标为　__________　 ． 14．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如：，如果，则x的取值范围为　______　 ． 15．如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S1﹣S2＝22，则图中阴影部分的面积为 　_________________　 ． 三．解答题（共8个小题，共75分。写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8分）（1）计算： （2）先化简，再求值：，从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为x的值代入求值． 17．（8分）（1）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． （2）解下列方程:． 18．（8分）如图，△ABC中，DE是BC边的垂直平分线交AB边于点E，过点A作AF⊥AB于点A，交DE延长线于点F，且BE＝EF，连结CF． （1）求证：BC＝2AF； （2）若∠B＝20°，求∠DFC的度数． 19．（8分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求∠CAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝6，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝12，求△ABE的面积． 20．（10分）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单价低3万元． （1）求A型、B型两种机器人的单价； （2）该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求A、B两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 21．（9分）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，则a2+b2＝c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； 【方法运用】 （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.4千米，则新路CH比原路CA短　______　 千米； 【应用拓展】 （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边长，可求高的一种方法，他是这样思考的，在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，求CH的长．可以列方程求解，设AH＝x，则可求出CH＝　___　 ． 22．（12分）【基础回顾】 （1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：△ABD≌△CAE； 【变式探究】 （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，猜想DE，BD，CE有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边AB，AC为一边向外作△BAD和△CAE，其中∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，AG是边BC上的高．延长GA交DE于点H，设△ADH的面积为S1，△AEH的面积为S2，猜猜想S1，S2大小关系，并说明理由． 23．（12分）如图，等边△ABC的边长为6cm，点P在边AB上以每秒1cm的速度从A向B运动，到点B停止；点Q在射线BC上以每秒3cm的速度从B向C运动，随着点P的停止而停止；设运动时间为t秒． （1）用含t的式子表示线段长度：BP＝ 　________　 cm，BQ＝ 　_____　 cm； （2）求t为何值时，△BPQ为直角三角形； （3）若运动过程中，线段PQ与边AC交于点M，请问是否存在点M为线段PQ中点的情况？若存在，请求出此时的t值和MC的长度；若不存在，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $