重难点27 圆锥曲线面积问题的十大类型讲义——2026届上海市高考数学一轮复习

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 重难点27 圆锥曲线面积问题的十大类型 一、三角形面积的四种常用形式 ，适合一切题型，属于通法，但计算量会大些， 如图， (其中底为弦长，高为点到直线的距离) ，适合边角已知的题型； 拆补法，水平底铅垂高，适合三角形某一顶点在坐标轴上的题型； 情况1如图，点在轴上，直线交轴于点， 当是在轴异侧时， 当是在轴同侧时， 注:不管在轴同侧还是异侧，公式依然成立. 若点在轴类似可得. 情况2 如图，点在轴上，直线的倾斜角为， 当是在轴异侧时，. 当是在轴同侧时，. 注:不管在轴同侧还是异侧，公式依然成立.(点在轴类似) (4)设 , 则 （三角形的坐标面积公式) 证明: 二、三角形面积比处理方法： “等角”“共角”“对顶角” 蝴蝶模型： 蝉模型： 三、四边形面积处理方法 1、对角线垂直 2、一般四边形 3、分割两个三角形 四、圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 五、圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 题型一 三角形面积：底高法 【名师点拨】若动直线与圆锥曲线交于点A,B,点P为定点或满足一定条件的动点,要表示△PAB的面积,一般是先利用弦长公式求出,再利用点到直线距离公式求出点P到直线AB的距离,则. 【例1】（2026届高三普陀一模）设是不全为零的实数,椭圆分别为的左、右两个焦点,直线与交于、两点，为坐标原点. （1）若，，且四边形为矩形，求的离心率； （2）若，且的周长的最大值为12，求的方程； （3）若，直线与的斜率之积为为上的一点，且，直线与椭圆交于点，且，求的值以及的面积的值. 【跟踪训练】 1．（2025上海高二课时练习）已知椭圆C：（a＞b＞0）过点，且它的焦距是短轴长的倍. （1）求椭圆C的方程. （2）若A，B是椭圆C上的两个动点（A，B两点不关于x轴对称），O为坐标原点，OA，OB的斜率分别为k1，k2，问是否存在非零常数λ，使k1k2＝λ时，的面积S为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由. 题型二 三角形面积：水平宽x铅锤高法 【名师点拨】若过定点Q的直线圆锥曲线交于点A,B,点P为定点或满足一定条件的动点,要表示△PAB的面积,可先求出点A,B到直线PQ的距离之和d,则,特别的,若与y轴垂足,,利用这种方法求面积,可以避免使用弦长公式,减少运算量. 【例2】（2023届高三普陀三模）已知椭圆分别为左右焦点，短轴长为2，点为椭圆在第一象限的动点，的周长为. (1)求的标准方程； (2)若，求点的坐标； (3)若，直线交椭圆于E，F两点，且的面积为，求的值. 【跟踪训练】 1．（2025上海高三阶段练习）已知双曲线C的离心率为，实轴长为4． （1）求双曲线C的方程； （2）若直线l：y＝kx﹣2（k＞0）与C的右支交于A，B两点，O为坐标原点．求k的取值范围； （3）若直线l与y轴交于点P，且|PA|•|PB|，求△OAB的面积． 题型三 三角形面积和差问题 【例3】（2022·上海金山·统考二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，设是第一象限内椭圆上一点，的延长线分别交椭圆于点，直线与交于点. (1)求的周长； (2)当垂直于轴时，求直线的方程； (3)记与的面积分别为，求的最大值. 【跟踪训练】 1．（24-25大同中学高三阶段练习）已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为． (1)求双曲线的方程； (2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方．求实数的取值范围． （3）在（2）条件下，设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 2.已知椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于两点，若，当时，. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的下顶点为，的面积为，的面积为，求的最大值. 3.已知直线与抛物线：()交于、两点，且点、在轴两侧，其准线与轴的交点为点，当直线的斜率为且过抛物线的焦点时，. （1）求抛物线的标准方程； （2）若抛物线的焦点为，，且与的面积分别为、，求的最小值. 4．（2025七宝中学高三阶段练习）已知椭圆的离心率为，椭圆上一动点与左､右焦点构成的三角形面积最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.求证：直线恒过定点； （3）在（2）条件下，设和的面积分别为，求的最大值. 5.设椭圆：，，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点在椭圆外，且． (1)求椭圆的方程； (2)若，点为椭圆上横坐标大于1的一点，过点的直线与椭圆有且仅有一个交点，并与直线，交于M，N两点，为坐标原点，记，的面积分别为，，求的最小值． 题型四 三角形面积比值问题：等角模型 【例4】（2024·上海·二模）如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设、的面积分别为、． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的取值范围. 【跟踪训练】 1．已知抛物线的焦点为为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别与交于两点. （i）证明：直线过定点； （ii）若直线分别与轴交于两点，记的面积分别为，当时，求的取值范围. 2．已知椭圆的左焦点为，椭圆上任意一点到的距离最大值为3； (1)求椭圆的方程； (2)过原点且斜率为的直线与椭圆交于两点； （ⅰ）当时，设直线的斜率分别是，求证：为定值； （ⅱ）过点作垂直于的直线交于，交圆于两点，记的面积分别为，求的取值范围． 题型五 三角形面积比值问题：共角模型 【例5】已知点是椭圆：（）上一点，的焦距为2. (1)求的方程； (2)过的右焦点作斜率不为0的直线，交于，两点，，是的左、右顶点，记直线，的斜率分别为，. （ⅰ）求的值； （ⅱ）设为直线与直线的交点，记的面积为，的面积为，求的最小值. 【跟踪训练】 1.已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. (1)求双曲线的方程； (2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围. 2．已知椭圆：，以椭圆的右焦点为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线，的斜率分别为，. （1）求抛物线的方程及的值； （2）求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标； （3）若直线交椭圆于、两点，分别是、的面积，求的最小值. 3．（2024·上海杨浦·二模）已知椭圆：的上顶点为，离心率，过点的直线与椭圆交于，两点，直线、分别与轴交于点、. (1)求椭圆的方程； (2)已知命题“对任意直线，线段的中点为定点”为真命题，求的重心坐标； (3)是否存在直线，使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.（其中、分别表示、的面积） 4．已知双曲线E：（，）的虚轴长为2，离心率为. (1)求双曲线E的标准方程： (2)过点的直线l与E的左、右两支分别交于A，B两点，点，直线BC与直线交于点N. （ⅰ）证明：直线AN的斜率为定值： （ⅱ）记，分别为，的面积，求的取值范围. 题型六 三角形面积比值问题：补角与等高模型 【例6】（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知双曲线的离心率为，右顶点为为双曲线右支上两点，且点在第一象限，与不重合，以为直径的圆经过点． (1)求的方程； (2)证明：直线恒过定点； (3)若直线与轴分别交于点，且为中点，求的值． 【跟踪训练】 1.已知等轴双曲线，过作斜率为的直线，与双曲线分别交于两点，当时，. (1)求双曲线的方程； (2)若与双曲线的上、下两支相交，点，直线分别与双曲线的上支交于两点. （i）求直线的斜率的取值范围； （ii）设和的面积分别为，且，求直线的方程. 2.已知抛物线.过抛物线焦点F作直线分别在第一、四象限交于两点，过原点O作直线与抛物线的准线交于E点，设两直线交点为S.若当点P的纵坐标为时，. (1)求抛物线的方程. (2)若平行于x轴，证明：S在抛物线C上. (3)在（2）的条件下，记的重心为R，延长交于Q，直线交抛物线于（T在右侧），设中点为G，求与面积之比n的取值范围. 3.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，过点的直线交抛物线于、两点，且. (1)求证：为定值，并求出该定值； (2)如图，点、在轴的同侧，，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围. 4.已知椭圆过点，且离心率为． (1)求E的方程； (2)过作斜率之积为1的两条直线与，设交E于A，B两点，交E于C，D两点，的中点分别为M，N．探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 题型七 四边形面积：对角线垂直型 对角线互相垂直的四边形的面积为两对角线长度乘积的. 【例7】（24-25高三上·上海金山·期末）已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F．过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点A、B，直线与交于点C、D． (1)求椭圆的离心率及抛物线的方程； (2)若直线l的倾斜角为，求AB中点M的坐标； (3)四边形ACBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【跟踪训练】 1.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，已知平行四边形两条对角线的长度之和等于． （1）求动点的轨迹方程； （2过作互相垂直的两条直线、，与动点的轨迹交于、，与动点的轨迹交于点、，、的中点分别为、； ①证明：直线恒过定点，并求出定点坐标． ②求四边形面积的最小值． 题型八 四边形面积：分割法 【例8】（2025建平中高三下学期三模）已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线的斜率分别为． （1）求直线在y轴上的截距之和； （2）若四边形为菱形，证明：直线之间的距离为定值； （3）若成等比数列，射线分别交椭圆于两点，求四边形面积的取值范围． 【跟踪训练】 1.（2025·上海松江·二模）已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为、是面积为的正三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. (1)求椭圆的离心率； (2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； (3)求四边形面积的取值范围. 2.（2026届高三静安一模）在平面直角坐标系中,已知双曲线的焦距为4,点在上. (1)求双曲线的方程； (2)设直线的斜率为交双曲线于、两点，且与圆相切，切点位于轴上方部分，求的值； (3)如图，设过双曲线的左焦点的直线交的左支于点、，过的右焦点的直线交的右支于点,若直线,且四边形的面积为，求直线的方程. 3.已知椭圆的离心率为，，是C的左、右焦点，P是C上在第一象限内的一点，关于直线对称的点为M，关于直线对称的点为N． （1）证明：； （2）设A，B分别为C的右顶点和上顶点，直线与椭圆C相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的取值范围． 题型九 面积定值问题 【例9】（2024·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆是其左､右焦点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点. (1)若，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)设直线与椭圆交于两点，为线段的中点.当时，的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 【跟踪训练】 1.（24-25高三下·内蒙古呼和浩特·月考）已知椭圆的离心率为的面积为1. (1)求椭圆的方程； (2)设为第三象限内一点且在椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.求证：四边形的面积为定值. 2.已知椭圆经过点，且其离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与轴交于点，与椭圆交于两点，直线分别与直线交于两点．是否存在定点，使得与的面积之比为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 3..已知双曲线E的中心在原点，焦点在x轴上，且焦点到渐近线的距离为，其离心率为，记直线从下到上与x轴、双曲线的右支、两条渐近线、双曲线的左支依次交于点P，A，B，C，D，如图所示： (1)求双曲线E的方程； (2)求证：； (3)若，，成等差数列，问，的面积之和是否为定值?并说明理由. 题型十 面积最值与范围问题 【例10】（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线交椭圆于A、两点，点A在第一象限． (1)若，求点A的坐标； (2)求的取值范围； (3)若轴，垂足为，连结并延长交椭圆于点，求面积的最大值． 【例11】已知椭圆过点，离心率． （1）求椭圆E的标准方程； （2）过椭圆E的右焦点F作两条相互垂直的直线AB，CD与E分别交于A，B，C，D四点，设线段AB，CD的中点分别为M，N． ①证明：直线MN过定点； ②求四边形ACBD面积的最小值． 【跟踪训练】 1.（2026届高三金山区一模）已知椭圆，点为坐标原点，点为椭圆上一点. (1)求椭圆的离心率； (2)已知点为椭圆的右焦点，直线，证明:点到点的距离与到直线的距离之比为定值； (3)过线段中点的直线交椭圆于、两点，求的最大值. 2．如图双曲线C：的左右顶点分别为A，B且|AB|＝2，已知双曲线的离心率为2． （1）求双曲线C的方程． （2）直线l与双曲线交于P，Q两点且以线段PQ为直径的圆恰好经过点A． （i）证明：直线PQ过x轴上一定点M．请求出点M的坐标； （ii）若P，Q都在双曲线的右支，求△APQ的面积的最小值． 3. 已知双曲线的渐近线方程为，过右焦点且斜率为的直线与相交于、两点. 点关于轴的对称点为点. (1)求双曲线的方程： (2)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标； (3)当时，求面积的最大值. 4．已知双曲线E：的渐近线上一点到左焦点F1（﹣2，0）的最短距离为． （1）求E的方程； （2）O为坐标原点，直线l：x＝ty﹣2与E的左支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方． （i）若，在E上恰有三个点P1，P2，P3到直线l的距离均为d，求d的值． （ii）设S1、S2分别为△AOC的面积和△BOD的面积，求S1+S2的取值范围． 5.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上运动，是的重心，且点到点与到点的距离之和为． (1)求的方程； (2)设分别为的左、右顶点，动点在直线上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为． （ⅰ）证明：直线过定点，并求出该定点坐标； （ⅱ）求四边形面积的最大值． 6.（2026届高三松江区一模）已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点.的最大值是的最小值是,满足. (1)求该椭圆的离心率； (2)若，点在椭圆上，且在轴上方，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上,求直线的斜率; (3)设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点.记的面积为的面积为,求的取值范围. 7.．（2025·上海闵行·二模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点，且，求点的坐标； (3)若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 重难点27 圆锥曲线面积问题的十大类型 一、三角形面积的四种常用形式 ，适合一切题型，属于通法，但计算量会大些， 如图， (其中底为弦长，高为点到直线的距离) ，适合边角已知的题型； 拆补法，水平底铅垂高，适合三角形某一顶点在坐标轴上的题型； 情况1如图，点在轴上，直线交轴于点， 当是在轴异侧时， 当是在轴同侧时， 注:不管在轴同侧还是异侧，公式依然成立. 若点在轴类似可得. 情况2 如图，点在轴上，直线的倾斜角为， 当是在轴异侧时，. 当是在轴同侧时，. 注:不管在轴同侧还是异侧，公式依然成立.(点在轴类似) (4)设 , 则 （三角形的坐标面积公式) 证明: 二、三角形面积比处理方法： “等角”“共角”“对顶角” 蝴蝶模型： 蝉模型： 三、四边形面积处理方法 1、对角线垂直 2、一般四边形 3、分割两个三角形 四、圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 五、圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 题型一 三角形面积：底高法 【名师点拨】若动直线与圆锥曲线交于点A,B,点P为定点或满足一定条件的动点,要表示△PAB的面积,一般是先利用弦长公式求出,再利用点到直线距离公式求出点P到直线AB的距离,则. 【例1】（2026届高三普陀一模）设是不全为零的实数,椭圆分别为的左、右两个焦点,直线与交于、两点，为坐标原点. （1）若，，且四边形为矩形，求的离心率； （2）若，且的周长的最大值为12，求的方程； （3）若，直线与的斜率之积为为上的一点，且，直线与椭圆交于点，且，求的值以及的面积的值. 【解析】（1）由得,, 由,解得, 又四边形是矩形,则,即离心率. （2） 由得,，即轴， 则， 当且等号当且仅当过右焦点时取得,即的周长的最大值为, 即,即,则所求的. （3）设， 由得,点, 又,则, 因为点在上，所以 则， 又点、均在上，则，， 由得,,即, 则,又,即. 由得,, 又,即直线, 由得,, 则, 则 由得,, 即, 即, 化简整理得,,则, 又原点到直线的距离为, 则. 则. 【跟踪训练】 1．（2025上海高二课时练习）已知椭圆C：（a＞b＞0）过点，且它的焦距是短轴长的倍. （1）求椭圆C的方程. （2）若A，B是椭圆C上的两个动点（A，B两点不关于x轴对称），O为坐标原点，OA，OB的斜率分别为k1，k2，问是否存在非零常数λ，使k1k2＝λ时，的面积S为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，. 【分析】 （1）由椭圆过的点及焦距是短轴长的倍和之间的关系即可求出椭圆的方程； （2）设的直线方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长，及O到直线的距离，由直线OA，OB的斜率之积的值, 得参数之间的关系，求出面积的表达式，由的面积S为定值，可得对应比成比例，即可求出的值. 【详解】 （1）因为椭圆过点所以 又因为该椭圆的焦距是短轴长的倍，所以 从而 联立方程组 解得 所以 （2）设存在这样的常数使 的面积为定值. 因为A，B两点不关于x轴对称，故斜率存在，设直线的方程为 点点 则由知即 即 所以 ① 联立方程组 消去得 由韦达定理有 代入①得 化简得 ② 点到直线的距离 的面积 将②代入上式，再平方得 要使上式为定值, 只需 即需 从而 此时 所以存在这样的常数 此时为定值. 【点睛】 本题的结论是： 若A，B是椭圆上的两个动点，O为坐标原点，OA，OB的斜率分别为k1，k2，若，则的面积S为定值. 题型二 三角形面积：水平宽x铅锤高法 【名师点拨】若过定点Q的直线圆锥曲线交于点A,B,点P为定点或满足一定条件的动点,要表示△PAB的面积,可先求出点A,B到直线PQ的距离之和d,则,特别的,若与y轴垂足,,利用这种方法求面积,可以避免使用弦长公式,减少运算量. 【例2】（2023届高三普陀三模）已知椭圆分别为左右焦点，短轴长为2，点为椭圆在第一象限的动点，的周长为. (1)求的标准方程； (2)若，求点的坐标； (3)若，直线交椭圆于E，F两点，且的面积为，求的值. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据题意列式求，即可得方程； （2）利用余弦定理可得，设，利用面积和方程运算求解即可； （3）联立方程，利用韦达定理可得，结合面积关系分析求解即可. 【详解】（1）设，则，且， 由题意可知：，解得， 所以椭圆的标准方程. （2）由（1）可知：，且， 由余弦定理可得， 即，解得， 设， 由的面积可得， 即，解得， 且，则，可得， 所以点的坐标为. （3）因为直线过定点，且点在椭圆C内， 则直线与椭圆C必相交，设， 联立方程，消去x可得， 则， 可得， 则的面积为，解得（负值舍去）， 所以的值为. 【跟踪训练】 1．（2025上海高三阶段练习）已知双曲线C的离心率为，实轴长为4． （1）求双曲线C的方程； （2）若直线l：y＝kx﹣2（k＞0）与C的右支交于A，B两点，O为坐标原点．求k的取值范围； （3）若直线l与y轴交于点P，且|PA|•|PB|，求△OAB的面积． 【答案】（1）；（2）（）；（3）． 【解答】解：（1）由双曲线C的实轴长为4，得a＝2， 由双曲线C的离心率为，得，得b＝1， 所以双曲线C的方程为． （2）设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由，消去y得（1﹣4k2）x2+16kx﹣20＝0， 由A，B都在双曲线C的右支上，得， 解得， 所以k的取值范围是（． （3）依题意，P（0，﹣2）， ， 则，解得k＝±1， 而，则k＝1，， 所以△OAB的面积． 题型三 三角形面积和差问题 【例3】（2022·上海金山·统考二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，设是第一象限内椭圆上一点，的延长线分别交椭圆于点，直线与交于点. (1)求的周长； (2)当垂直于轴时，求直线的方程； (3)记与的面积分别为，求的最大值. 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】（1）利用椭圆的定义求解； （2）根据，得到，然后由直线的方程与椭圆方程联立，求得的坐标即可； （3）设，直线的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理得到，同理得到，然后由求解.另解令求解. （1） 解：由椭圆的定义知，， 所以的周长为8. （2） 因为，故， 直线的方程为. 联立解得或 即 从而，直线的方程为， 即. （3） 设. 设直线的方程为，其中. 联立消去得 则. 又，即， 故. 同理，. 于是， ， 又， 故， 当且仅当，即时等号成立. 故的最大值为. 另解：令， 则. 当且仅当， 即. 故的最大值为. 【跟踪训练】 1．（24-25大同中学高三阶段练习）已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为． (1)求双曲线的方程； (2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方．求实数的取值范围． （3）在（2）条件下，设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【答案】(1)(2)；（3） 【解题思路】（1）根据焦点到渐近线距离求出，再求出即可得解； （2）直线与双曲线方程联立消元后由根与系数关系及直线与右支相交可得； （3）根据弦长公式及点到直线的距离分别求出三角形面积，根据面积表达式换元后利用不等式性质求最值即可. 【解答过程】（1）设双曲线的焦距为，且， 因为到直线的距离为，故， 则，故双曲线的方程为：． （2）如图， 设，，联立直线与双曲线的方程， 消元得，则， 因为直线与双曲线右支交于两点，故，则，故的取值范围为． （3）由（2）知，， 原点到直线的距离， 设，，联立，则， ，，， 则， 而， 令，则， 当即时取到等号． 综上所述，的最大值为． 2.已知椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于两点，若，当时，. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的下顶点为，的面积为，的面积为，求的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知有、，结合椭圆参数关系求得、，即可得椭圆方程； （2）讨论直线斜率是否为0，设且，，联立椭圆并应用韦达定理、三角形面积公式得且，进而求其范围，即可得最大值. 【详解】（1）由右焦点，则，故，即， 若，当时，为的中点，即椭圆的通径， 所以，即，可得（负值舍），故， 所以. （2）当直线斜率为0时，要使最大，则，， 所以，此时最大； 当直线斜率不为0或斜率不存在时，令且，， 联立，得，显然， 所以，， 所以， 直线，且， 则到直线的距离分别为，， 所以，，则， 要使最大，则，此时且， 由 当时，，结合对勾函数的性质， 当时，当且仅当时取等号， 当时，当且仅当时取等号， 所以或且， 当时，， 综上，的最大值为. 3.已知直线与抛物线：()交于、两点，且点、在轴两侧，其准线与轴的交点为点，当直线的斜率为且过抛物线的焦点时，. （1）求抛物线的标准方程； （2）若抛物线的焦点为，，且与的面积分别为、，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）设出直线的方程，与抛物线联立，利用韦达定理及弦长公式列方程求解； （2）直线的方程，与抛物线联立，利用韦达定理及可求出，再表示出，利用基本不等式求其最值． 【详解】（1）当直线的斜率为且过抛物线的焦点时，直线的方程为， 联立得：，恒成立， 设、，则，， ∴，解得， ∴此抛物线的标准方程为； （2）由（1）知抛物线的方程为，设直线：， ∵直线与抛物线相交，∴， 联立得，则，， 则，解得或(舍)， ∴直线：，恒过定点， 设，从而、， 则， 当且仅当时不等式取等号，故的最小值为. 【点睛】方法点睛：直线与抛物线联立问题 第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程． 第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程． 第三步：求解判别式Δ：计算一元二次方程根的判别式Δ＞0. 第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出． 第五步：根据题设条件求解问题中的结论． 4．（2025七宝中学高三阶段练习）已知椭圆的离心率为，椭圆上一动点与左､右焦点构成的三角形面积最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.求证：直线恒过定点； （3）在（2）条件下，设和的面积分别为，求的最大值. 【答案】(1)；(2证明见解析；（3）. 【分析】（1）由离心率、焦点三角形最大面积及椭圆参数关系列方程组求椭圆参数，即可得方程； （2）①设为，与椭圆方程联立，根据已知条件，应用韦达定理、两点斜率公式化简求得，即可证结论；②由面积公式与韦达定理化简后转化为函数求最值. 【解析】（1）由题意，解得，所以椭圆C的方程为． （2）依题意，设， 若直线的斜率为0则P，Q关于y轴对称，必有，不合题意． 所以直线斜率必不为0，设其方程为， 与椭圆C联立，整理得：， 所以，且 因为是椭圆上一点，即， 所以，则，即 因为 ， 所以，此时， 故直线恒过x轴上一定点． （3）由（2）得：， 所以 ， 而，当时的最大值为． 5.设椭圆：，，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点在椭圆外，且． (1)求椭圆的方程； (2)若，点为椭圆上横坐标大于1的一点，过点的直线与椭圆有且仅有一个交点，并与直线，交于M，N两点，为坐标原点，记，的面积分别为，，求的最小值． 【解析】（1）因为点在椭圆上，所以，① 因为点在椭圆外，且，所以，即，② 由①②解得，， 故椭圆的方程为． （2）设点，，设直线：， 由椭圆性质以及点的横坐标大于1可知，， 将直线代入方程并化简可得，， 即， 因为直线与椭圆有且仅有一个交点， 所以，即． 直线的方程为：；直线的方程为：， 联立方程得，同理得， 所以， 所以，， 所以 ， 令，则， 当且仅当，即时，不等式取等号， 故当时，取得最小值． 题型四 三角形面积比值问题：等角模型 【例4】（2024·上海·二模）如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设、的面积分别为、． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由抛物线的焦点坐标求的值； （2）设直线的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理求的值； （3）设直线、的方程，与椭圆联立方程组表示出，由，化简并结合基本不等式求取值范围. 【详解】（1）椭圆的上顶点坐标为， 则抛物线的焦点为，故. （2）若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个公共点，不符合题意， 所以直线的斜率存在，设直线的方程为，点、， 联立可得，恒成立，则， . （3）设直线、的斜率分别为、，其中，， 联立可得，解得， 点在第三象限，则， 点在第四象限，同理可得， 且    ， 当且仅当时，等号成立. 的取值范围为. 【跟踪训练】 1．已知抛物线的焦点为为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别与交于两点. （i）证明：直线过定点； （ii）若直线分别与轴交于两点，记的面积分别为，当时，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由点在抛物线上及焦半径公式列出等式求解即可； （2）（i）法一：设直线的方程为，联立抛物线方程，由韦达定理，结合，求得或即可；法二：设，由，结合直线BD的方程为，代入化简得到即可求证；（ii）设，设直线的方程为，直线的方程为，结合弦长公式及三角形面积公式，进而可求解； 【详解】（1）解：因为点在C上， 所以. 因为，所以， 则，解得， 所以的方程为. （2） （i）证明：法一：由题意知直线的斜率存在，. 设直线的方程为， 联立）得， 则， ， ， 所以， 解得或. 当时，直线的方程为，过点，不符合题意，舍去； 当时，直线的方程为，恒过点. 综上，直线BD过定点. 法二：由题意知，设， 则， 同理可得. 由，得， 整理得①. 直线BD的方程为， ， 两式相加得， 即， 即. 由①得，故直线BD过点. （ii）解：设，易知直线和的斜率均存在且不为0，设直线的方程为，直线的方程为， 此时， 则. 由，得. 联立得， 由，得， 同理，所以， 则， 同理可得， 所以， ， 由题意得 . 因为在和上均单调递增， 所以， 又， 即16， 所以. 2．已知椭圆的左焦点为，椭圆上任意一点到的距离最大值为3； (1)求椭圆的方程； (2)过原点且斜率为的直线与椭圆交于两点； （ⅰ）当时，设直线的斜率分别是，求证：为定值； （ⅱ）过点作垂直于的直线交于，交圆于两点，记的面积分别为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）. 【分析】（1）根据焦点及椭圆的性质得，结合椭圆参数关系得，即可得方程； （2）（ⅰ）不妨设，联立直线与椭圆，应用韦达定理、斜率两点式得，整理化简即可证； （ⅱ）根据已知及圆、椭圆的对称性得，讨论、求右侧范围，即可得. 【详解】（1）由题知，又，可得，则椭圆方程为； （2）（ⅰ）不妨设，由化简为， 显然，则， 又 ，即证. （ⅱ）由于均为直角三角形，， 由圆的性质知，故 由于，则， 当时，， 当时：直线PQ方程为，则 又， 所以，令，那么， 即，则， 综上：. 题型五 三角形面积比值问题：共角模型 【例5】已知点是椭圆：（）上一点，的焦距为2. (1)求的方程； (2)过的右焦点作斜率不为0的直线，交于，两点，，是的左、右顶点，记直线，的斜率分别为，. （ⅰ）求的值； （ⅱ）设为直线与直线的交点，记的面积为，的面积为，求的最小值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【解题思路】（1）依题意列式即可求解； （2）（ⅰ）设直线的方程为，，，直曲联立，利用韦达定理，代入斜率公式，化简可得答案； （ⅱ）设直线的直线方程为，则由（ⅰ）中结论可得直线的方程为，联立解得的横坐标为4，利用三角形的面积公式及（ⅰ）中韦达定理化简可得，当时，可得的最小值. 【解答过程】（1）由题意知，解得， 所以椭圆的方程为. （2）    （ⅰ）设直线的方程为，，， 由得，， 所以，， 所以， 由（1）得，， 则 . （ⅱ）设直线的直线方程为， 由（ⅰ）可知， 则直线的方程为，联立解得的横坐标为4. 所以 由（ⅰ）知，， ， 所以 ， 所以当时，的最小值为. 【跟踪训练】 1.已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. (1)求双曲线的方程； (2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由双曲线的性质得到焦点和渐近线方程，再由点到直线的距离公式解得，再由离心率和求出双曲线方程即可； （2）设直线的方程为：，直曲联立，表示出韦达定理，再由三角形的面积公式结合韦达定理化简即可； 【详解】（1）由题意可知，的一条渐近线方程为，右焦点为， 右焦点到渐近线的距离，解得， 由离心率，又，解得， 双曲线的方程为. （2）设直线的方程为：， 联立， 恒成立，， 直线与双曲线的右支交于两点，，解得. ， .    2．已知椭圆：，以椭圆的右焦点为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线，的斜率分别为，. （1）求抛物线的方程及的值； （2）求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标； （3）若直线交椭圆于、两点，分别是、的面积，求的最小值. 解析：（1）依题意椭圆：的右焦点为，可得抛物线的焦点坐标为， 所以抛物线的方程为.. （2）直线恒过定点. （3）设点到直线的距离为，则， 因为直线恒过定点，且斜率不为零，故设直线的方程为. 联立,得，，则， 则； 联立，得， ， 设，，则 ， 则， ，故当时，有最小值. 3．（2024·上海杨浦·二模）已知椭圆：的上顶点为，离心率，过点的直线与椭圆交于，两点，直线、分别与轴交于点、. (1)求椭圆的方程； (2)已知命题“对任意直线，线段的中点为定点”为真命题，求的重心坐标； (3)是否存在直线，使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.（其中、分别表示、的面积） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意可得，，再由，即可求出，从而得到椭圆方程； （2）依题意不妨取直线为，联立直线与椭圆方程，求出、点的坐标，从而求出、的坐标，再求出的重心坐标； （3）设直线，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由直线的方程得，同理得到，由面积的关系得到，从而求出. 【详解】（1）依题意，，又， 解得，所以椭圆的方程为； （2）因为命题“对任意直线，线段的中点为定点”为真命题， 可以取直线为，由，解得或， 所以，， 则，所以，，所以， 设的重心为，则，， 所以，即的重心坐标为. （3）依题意可得直线的斜率存在、不为且斜率为负数， 设直线，，， 则直线：，令，得，同理可得：； 所以 设直线与轴交于点，则，所以，，， 因为，故得①， 由， 则，， 代入①得，解得， 所以，故直线的方程为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 4．已知双曲线E：（，）的虚轴长为2，离心率为. (1)求双曲线E的标准方程： (2)过点的直线l与E的左、右两支分别交于A，B两点，点，直线BC与直线交于点N. （ⅰ）证明：直线AN的斜率为定值： （ⅱ）记，分别为，的面积，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据双曲线的虚轴长和离心率公式求出、的值，进而得到双曲线的标准方程； （2）（i）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出相关点的坐标关系，进而证明直线AN的斜率为定值； （ii）根据三角形面积公式求出的表达式，再根据条件确定其取值范围. 【详解】（1）已知双曲线的虚轴长为，则，解得. 又因为离心率，且，把代入可得. 由可得，将其代入中，得到. 解得，所以双曲线的标准方程为. （2）（ⅰ）当斜率为0时： 已知，BC方程. 令，则，解得，所以. . 当斜率不为0时： 设AB方程，与联立： 把代入得. 由韦达定理得，. 因为直线交左右两支，有，解得. BC方程，令，得，即. 则，经化简得， 把，代入. 先看分子： 再看分母：    此时. 因为，，约分后可得. （ⅱ）当斜率为0时，因为，两三角形相似，. 当斜率不为0时，不妨设，，，所以. . ，代入与的值得. 因为，所以，结合，解得. 所以. 综上，取值范围是. 题型六 三角形面积比值问题：补角与等高模型 【例6】（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知双曲线的离心率为，右顶点为为双曲线右支上两点，且点在第一象限，与不重合，以为直径的圆经过点． (1)求的方程； (2)证明：直线恒过定点； (3)若直线与轴分别交于点，且为中点，求的值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）根据离心率以及顶点即可求的方程. （2）联立直线与双曲线方程，由向量垂直的坐标表示列式，结合韦达定理，化简求解. （3）根据中点坐标可得，即可根据三角形面积之比求解. 【解答过程】（1）由双曲线右顶点，得， 由离心率为，得双曲线半焦距，则双曲线虚半轴长， 所以双曲线的方程为. （2）显然直线不垂直于，设其方程为，， 由消去，得， 则，即，， 由以为直径的圆经过点，得，即， 则，， ，化简得， 当时，直线经过点，不符条件，因此， 所以直线必过定点. （3）由（2）知，， 由为中点，得，于是，解得， 由，得， 因此，所以. 【跟踪训练】 1.已知等轴双曲线，过作斜率为的直线，与双曲线分别交于两点，当时，. (1)求双曲线的方程； (2)若与双曲线的上、下两支相交，点，直线分别与双曲线的上支交于两点. （i）求直线的斜率的取值范围； （ii）设和的面积分别为，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）或. 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由题意知直线为，再由列式计算即可； （2）（i）设，直线，直线与曲线联立方程结合韦达定理求解即可；（ii）设直线，其中，直线与曲线联立方程结合韦达定理表示出，结合（i）及化简求解即可. 【详解】（1）当时，此时直线为，代入双曲线可得，，从而， 因此，解得，故双曲线方程为. （2）（i）依题意，直线的斜率存在，设，不妨与上支交于点，直线， 联立得，则， ， 注意到直线与上，下两支交于两点，故，即. 注意到与双曲线上支交于两点，因此，即，即， 即，因此， 故，即斜率的取值范围是. （ii）设直线，其中， 联立得， 则， 则，同理， 则， 由（i）可知，， 则， 即， 得，故，解得 从而的方程为或. 2.已知抛物线.过抛物线焦点F作直线分别在第一、四象限交于两点，过原点O作直线与抛物线的准线交于E点，设两直线交点为S.若当点P的纵坐标为时，. (1)求抛物线的方程. (2)若平行于x轴，证明：S在抛物线C上. (3)在（2）的条件下，记的重心为R，延长交于Q，直线交抛物线于（T在右侧），设中点为G，求与面积之比n的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用两点距离公式可计算P坐标，代入抛物线方程即可； （2）设方程及坐标，利用E坐标表示方程，联立方程得出S坐标，结合点在抛物线与直线上消元转化即可证明； （3）设坐标及直线方程，利用坐标表示，结合焦点弦的性质消元转化表示，并根据几何性质把面积比化为线段比，再化为坐标比，构造函数计算其范围即可. 【详解】（1）因为若当点P的纵坐标为时，, 不妨设，则，即， 代入抛物线方程有，所以； （2）由（1）知，C的准线， 不妨设，， 若平行于x轴，则， 所以，整理得， 联立方程有， 又在抛物线C和直线上，即， 则有，此时，即， 则S在抛物线C上，证毕； （3）在（2）的条件下可知两点重合，由重心的性质不难知Q为线段的中点， 同（2），仍设，， 则， 联立， 所以， 且， 则， 可知，整理得， 设， 与C联立有， 所以，即， 由于Q为线段的中点，所以到直线的距离相等， 则， 设， 若，则，显然，所以； 若，则； 若，则，所以； 综上.    【点睛】思路点睛：第二问是教材例题的变式，设点坐标表示相应直线方程，求出S坐标，验证其横纵坐标是否满足抛物线方程即可；第三问，仍是利用点坐标来表示直线方程，利用韦达定理表示，并根据几何性质把面积比化为线段比，再化为坐标比，构造函数计算其范围即可. 3.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，过点的直线交抛物线于、两点，且. (1)求证：为定值，并求出该定值； (2)如图，点、在轴的同侧，，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，定值为： (2) 【分析】（1）设的方程为，则的斜率为，设与相交于，，与抛物线联立方程组，利用根与系数的关系可得，进而可得，，进而计算可求的值； （2）设，，，，求得直线的方程，可求得，设直线的方程为：，，，与抛物线方程联立，由，可得，进而可得，求其范围即可. 【详解】（1）由已知可知直线，的斜率均存在且不等于0， 因，过点，可设的方程为，则的斜率为， 设与相交于，， 由，得，则，， ， 同理可得， 所以； （2）设，，，， 因为， 所以直线，即. 同理：直线. 联立，解得. 设直线的方程为：，由对称性不妨设，，， 联立. 因为，解得，，，所以， 因为， 所以 ，化简得：. 所以. 因为， ， 所以 . ， 因，故，可得，则， 故的取值范围为. 4.已知椭圆过点，且离心率为． (1)求E的方程； (2)过作斜率之积为1的两条直线与，设交E于A，B两点，交E于C，D两点，的中点分别为M，N．探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值，定值为2，理由见解析 【分析】（1）由题意可得写出关于的等式，即可求出E的方程； （2）设直线与椭圆进行联立可得，同理可得可得到直线过定点，然后利用面积公式即可 【详解】（1）由题意可得，解得， 则E的方程 （2）与面积之比为定值，定值为2，理由如下： 设直线（）， 联立可得，， 则 所以 所以， 设，同理可得 所以， 所以直线即 所以恒过定点， 设点到直线的距离分别是 则 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 题型七 四边形面积：对角线垂直型 对角线互相垂直的四边形的面积为两对角线长度乘积的. 【例7】（24-25高三上·上海金山·期末）已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F．过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点A、B，直线与交于点C、D． (1)求椭圆的离心率及抛物线的方程； (2)若直线l的倾斜角为，求AB中点M的坐标； (3)四边形ACBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)椭圆的离心率，抛物线； (2)； (3)存在，最小面积为8. 【分析】（1）根据椭圆方程写出离心率和右焦点坐标，依题意得，可得抛物线方程； （2）由题设，联立椭圆并应用韦达定理得，进而有，即可得中点坐标； （3）讨论直线的斜率，斜率存在时，设直线为，则直线为，分别联立椭圆、抛物线，应用韦达定理及弦长公式、三角形面积公式得到关于的表达式，即可得结论. 【详解】（1）由题设的离心率为，且右焦点，即为的焦点， 所以，所以， 综上，椭圆的离心率，抛物线； （2）由题设，知，联立，则， 所以，显然，则，则， 所以AB中点M的坐标为. （3）    依题意，若直线斜率为0，则，此时； 若直线斜率不为0，设直线为，则直线为，且， 联立与，得，且， 则，，所以， 联立与，得，且， 则，，所以， 所以 ，而，即等号不成立， 结合对勾函数性质知：在上递增，即； 综上，，且直线斜率为0，面积取得最小值为8. 【跟踪训练】 1.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，已知平行四边形两条对角线的长度之和等于． （1）求动点的轨迹方程； （2过作互相垂直的两条直线、，与动点的轨迹交于、，与动点的轨迹交于点、，、的中点分别为、； ①证明：直线恒过定点，并求出定点坐标． ②求四边形面积的最小值． 【答案】（1）；（2）①证明见解析，定点坐标为；②. 【分析】 （1）设点的坐标为，根据已知条件得出，结合椭圆的定义可知点的轨迹是椭圆，求出、、的值，结合椭圆的焦点位置可得出点的轨迹方程，并求出的取值范围； （2）①分析出直线的斜率存在且不为零，可设直线的方程为，可得出直线的方程为，设点、，将直线的方程与点的轨迹方程联立，求出点的坐标，同理求出点的坐标，求出直线的方程，进而可得出直线所过定点的坐标； ②求得、，利用基本不等式可求得四边形面积的最小值． 【详解】 （1）设点，依题意， ， 所以动点的轨迹为椭圆（左、右顶点除外），则，，， 动点的轨迹方程是； （2）①若与轴重合，则直线与动点的轨迹没有交点，不合乎题意； 若与轴重合，则直线与动点的轨迹没有交点，不合乎题意； 设直线的方程为，则直线的方程为， 直线、均过椭圆的焦点（椭圆内一点），、与椭圆必有交点． 设、，由， 由韦达定理可得，则， 所以点的坐标为，同理可得点， 直线的斜率为， 直线的方程是， 即， 当时，直线的方程为，直线过定点． 综上，直线过定点； ②由①可得，， ， 同理可得， 所以，四边形的面积为， 当且仅当取等号． 因此，四边形的面积的最小值为. 【点睛】 方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 题型八 四边形面积：分割法 【例8】（2025建平中高三下学期三模）已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线的斜率分别为． （1）求直线在y轴上的截距之和； （2）若四边形为菱形，证明：直线之间的距离为定值； （3）若成等比数列，射线分别交椭圆于两点，求四边形面积的取值范围． 【答案】（1）0； （2）证明见解析； （3）. 【分析】（1）设两条平行线的方程分别为，，联立椭圆并应用韦达定理及弦长公式得，进而可得，即得结果； （2）根据已知有，由（1）知点A与点C、点B与点D关于原点对称，结合韦达公式得，进而有，再应用平行线的距离公式证明结论； （3）由等比中项的性质得，设直线的方程为并联立得到、，再根据四边形的面积、求面积的范围. 【小问1详解】 设两条平行线的方程分别为，， 由，得， 所以，即， 又． 所以 ， 同理，． 由平行四边形得，所以， 因为，所以，即， 所以两条平行线在y轴上的截距之和为0． 【小问2详解】 由四边形为菱形得，所以， 由（1）知关于原点对称， 由椭圆的对称性知点A与点C，点B与点D均关于原点对称， 所以 ． 整理得，所以直线之间的距离， 所以直线之间的距离为定值． 【小问3详解】 由（2）知，则，因为，所以． 设直线的方程为， 由，得，由，得， 所以，同理， 所以，四边形的面积， 因为，且，故， 因为点O到直线的距离为， 所以， 所以四边形的面积. 【点睛】关键点点睛：第三问，利用相关三角形的面积比例与相关线段的等比例关系得到得到四边形的面积为关键. 【跟踪训练】 1.（2025·上海松江·二模）已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为、是面积为的正三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. (1)求椭圆的离心率； (2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； (3)求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据题意利用为正三角形得到，再求解离心率即可. （2）利用的面积求出基本量，进而得到椭圆方程设，利用两点间距离公式表示，转化为二次函数分类讨论求解最值即可. （3）设直线的方程为，与椭圆联立方程组可得，根据点分别在第一、四象限，得，解得，四边形的面积可表示为，可得，令，得到，再利用对勾函数单调性求得范围即可. 【详解】（1）如图，设椭圆的焦距为，则， 因为，所以中， 又因为为正三角形，所以，即， 所以椭圆的离心率. （2）由于正三角形的面积为，得到， 解得，，又，得到，故椭圆方程为， 设，且，即， ， 其对称轴为，而，当，即时， 在时取得最大值，； 当，即时， 在时取得最大值，. 综上，当时，最大距离为；当时，最大距离为. （3）设直线的方程为， 联立，消去整理得， 则，. 因为点分别在第一、四象限， 所以，即， 故，解得， 得到四边形的面积为， ， 因为，， 所以， 令，，则， 因为，所以在上单调递增， 故，即四边形面积的取值范围为. 2.（2026届高三静安一模）在平面直角坐标系中,已知双曲线的焦距为4,点在上. (1)求双曲线的方程； (2)设直线的斜率为交双曲线于、两点，且与圆相切，切点位于轴上方部分，求的值； (3)如图，设过双曲线的左焦点的直线交的左支于点、，过的右焦点的直线交的右支于点,若直线,且四边形的面积为，求直线的方程. 【解析】(1)由双曲线的焦距为点在上, 可得，所以，且， 又因为，即， 联立方程组， 所以的方程为； (2)设直线表达式为 因为直线与圆相切 所以 因为切点位于轴上方部分 所以 (3)由题意知，四边形为平行四边形，可得直线与平行， 当直线斜率不存在时，令，代入双曲线方程，可得， 此时四边形为矩形，面积为，不合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为， 则直线方程为， 直线和的距离， 设， 联立方程组， 整理可得， 则,且,, 又由双曲线的渐近线的方程为， 要使得过的左焦点的直线交的左支于点,可得， 则 , 所以, 化简可得， 解得，或， 因为，所以，解得， 故直线的方程为， 即或. 3.已知椭圆的离心率为，，是C的左、右焦点，P是C上在第一象限内的一点，关于直线对称的点为M，关于直线对称的点为N． （1）证明：； （2）设A，B分别为C的右顶点和上顶点，直线与椭圆C相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的取值范围． 【解析】（1）C的离心率为，即，解得． 由题意知，， （2）直线AB，EF的方程分别为，， 设，，其中， 由得，， 所以点E，F到AB的距离分别为 又 所以四边形AEBF的面积为 当时，，则，所以， 即四边形AEBF面积的取值范围为 题型九 面积定值问题 【例9】（2024·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆是其左､右焦点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点. (1)若，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)设直线与椭圆交于两点，为线段的中点.当时，的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 【答案】(1)或； (2)或； (3)的面积为定值，该定值为. 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示计算可得或； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程根据韦达定理计算可得，可得直线的方程； （3）利用点差法计算可得，设直线的方程为，联立椭圆方程并根据韦达定理可得，再根据弦长公式以及点到直线距离可得. 【详解】（1）易知，设点， 可得，可得， 则， 所以，解得， 可得， 即或 （2）设直线的方程为，， 联立并整理可得， 所以， 易知的面积为 ， 解得，即； 所以直线的方程为或. （3）根据题意可知直线的斜率存在， 设直线的方程为，，则，如下图所示： 易知，两式相减可得； 由，所以可得， 即，又，可得； 即， 联立整理可得， ，可得； 可得； 所以， 整理可得，即； 易知 ； 原点到直线的距离为， 所以的面积为； 所以的面积为定值，该定值为. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据弦中点问题利用点差法表示出斜率关系，再根据弦长公式和韦达定理表示出面积公式，化简即可得出结论. 【跟踪训练】 1.（24-25高三下·内蒙古呼和浩特·月考）已知椭圆的离心率为的面积为1. (1)求椭圆的方程； (2)设为第三象限内一点且在椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.求证：四边形的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）由离心率可得，又由面积为1，可得，据此可得答案； （2）设，结合（1）可得直线PA，PB 方程，据此可表示M，N坐标，可得四边形的面积关于的表达式，最后结合在椭圆上可完成证明. 【详解】（1）因离心率为，又， 则，又， 则，所以椭圆C 方程为：； （2）设，由（1），， 则，， 直线PA：，直线PB：. 对于直线PA，令，可得， 对于直线PB，令，可得. 注意到，则 ， 注意到在椭圆上，则， 则. 【点睛】关键点睛：对于四边形的面积，常可将其分为几个三角形面积之和，也可利用对角线乘积乘以对角线夹角正弦乘以二分之一. 2.已知椭圆经过点，且其离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与轴交于点，与椭圆交于两点，直线分别与直线交于两点．是否存在定点，使得与的面积之比为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由题意建立，求解方程组可得； （2）设直线，联立椭圆方程，由韦达定理得坐标关系，进而表示坐标及与的面积，由面积比为定值求的值，再分析是否过定点即可. 【详解】（1）由题意，解得， 故椭圆方程为：． （2）设直线与轴交点为，则由题意斜率存在， 设，与椭圆方程联立得， 由得．设， 由韦达定理得， 直线为，令， 则点横坐标为，同理． 设， 则 所以 . 若存在定值，即不随变化而改变， 则，解得， 但此时过点，不合题意．所以定点不存在． 3..已知双曲线E的中心在原点，焦点在x轴上，且焦点到渐近线的距离为，其离心率为，记直线从下到上与x轴、双曲线的右支、两条渐近线、双曲线的左支依次交于点P，A，B，C，D，如图所示： (1)求双曲线E的方程； (2)求证：； (3)若，，成等差数列，问，的面积之和是否为定值?并说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是定值，理由见解析 【分析】（1）由焦点到渐近线的距离为，离心率为，可得，据此可得双曲线方程； （2）设直线的方程为，，，，，将直线与双曲线方程联立，由韦达定理结合两点间距离公式可完成证明； （3）由题可得，结合（2）可得，然后由（2）可知， 最后由可得面积. 【详解】（1）设所求的双曲线的方程为. 由题设知，双曲线的焦点到渐近线的距离， 由离心率为知，，又，联立解得，， 故所求的双曲线E的方程为. （2）如图可知直线的斜率存在且为负数， 设直线的方程为， ，，，，. 由，得.① 则有，， 由韦达定理：，. 结合，，可得. 直线与渐近线相交得， 直线与渐近线相交得， 所以，所以. 而，同理 所以； （3），的面积之和是为定值. 因为，，成等差数列，所以， 即，得，化简得. 由（2）知，所以，等底等高，所以， 所以，的面积之和 . 【点睛】关键点睛：对于定值问题，常见思路为用恰当参数表示所求量，随后由题目信息得到等量关系，从而消去参数，可得定值；对于面积问题，常结合两点间距离公式结合点到直线距离公式，求得三角形底边及高，从而求得面积，也可利用转化法，将所求三角形面积转化为易求三角形的面积. 题型十 面积最值与范围问题 【例10】（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线交椭圆于A、两点，点A在第一象限． (1)若，求点A的坐标； (2)求的取值范围； (3)若轴，垂足为，连结并延长交椭圆于点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设直线，结合椭圆方程整理可得，代入运算求解即可； （2）根据向量的坐标运算结合椭圆方程可得，结合二次函数求范围即可； （3）利用点差法可得，利用夹角公式可得，结合（1）中结论求得，并构建函数，利用导数求最值. 【详解】（1）由椭圆方程可知：，则， 设直线，， 可得，解得， 则，解得， 则，即，所以. （2）因为， 可得， 则， 因为，则， 可得， 所以的取值范围为. （3）设， 由题意可知：， 则，且， 因为点均在椭圆上，则，两式相减得， 整理可得，即， 则，即，可知， 又因为，则， 可得面积 ， 设，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 所以面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法 1．数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解； 2．构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)． 【例11】已知椭圆过点，离心率． （1）求椭圆E的标准方程； （2）过椭圆E的右焦点F作两条相互垂直的直线AB，CD与E分别交于A，B，C，D四点，设线段AB，CD的中点分别为M，N． ①证明：直线MN过定点； ②求四边形ACBD面积的最小值． 【答案】（1）； （2）①证明：当直线AB的斜率存在且不等于零时， 设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去y并整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0， 此时Δ＝（﹣8k2）2﹣4（3+4k2）（4k2﹣12）＝144（k2+1）＞0， 由韦达定理得，， 所以线段AB的中点M的坐标，， 即． 又直线CD的方程为， 同理得线段CD的中点N的坐标，， 即， 所以（k2≠1）， 直线MN的方程为， 即， 当k2≠1，直线MN过定点， 当k＝1时，， 此时直线MN与x轴垂直且过定点； 当k＝﹣1时，， 此时直线MN仍与x轴垂直且过定点； 当直线AB的斜率不存在时，AB与x轴垂直且过焦点F（1，0）， 由椭圆的对称性可知M（1，0）， 此时CD为椭圆的长轴， 所以N（0，0）， 所以直线MN为x轴，过定点； 当直线AB的斜率为0时，CD与x轴垂直且过焦点F（1，0）， 由椭圆的对称性可知N（1，0）， 此时AB为椭圆的长轴， 所以M（0，0）， 所以直线MN为x轴，过定点； 综上可知，直线MN过定点； ②． 【解答】解：（1）因为椭圆E过点，离心率， 所以，， 又c2＝a2﹣b2， 解得a2＝4，b2＝3， 则椭圆E的标准方程为； （2）①证明：当直线AB的斜率存在且不等于零时， 设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去y并整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0， 此时Δ＝（﹣8k2）2﹣4（3+4k2）（4k2﹣12）＝144（k2+1）＞0， 由韦达定理得，， 所以线段AB的中点M的坐标，， 即． 又直线CD的方程为， 同理得线段CD的中点N的坐标，， 即， 所以（k2≠1）， 直线MN的方程为， 即， 当k2≠1，直线MN过定点， 当k＝1时，， 此时直线MN与x轴垂直且过定点； 当k＝﹣1时，， 此时直线MN仍与x轴垂直且过定点； 当直线AB的斜率不存在时，AB与x轴垂直且过焦点F（1，0）， 由椭圆的对称性可知M（1，0）， 此时CD为椭圆的长轴， 所以N（0，0）， 所以直线MN为x轴，过定点； 当直线AB的斜率为0时，CD与x轴垂直且过焦点F（1，0）， 由椭圆的对称性可知N（1，0）， 此时AB为椭圆的长轴， 所以M（0，0）， 所以直线MN为x轴，过定点； 综上可知，直线MN过定点； ②当直线AB的斜率存在且不等于零时， 由①知 ， 同理得， 因为AB⊥CD， 所以 ， 当且仅当，即k＝±1时，等号成立， 此时四边形ACBD面积有最小值； 当直线AB的斜率不存在时，或者斜率等于零时AB与CD位置互换， 此时，|CD|＝2a＝4或|AB|＝4，|CD|＝3， 所以， 显然． 综上可知，四边形ACBD面积的最小值为． 【跟踪训练】 1.（2026届高三金山区一模）已知椭圆，点为坐标原点，点为椭圆上一点. (1)求椭圆的离心率； (2)已知点为椭圆的右焦点，直线，证明:点到点的距离与到直线的距离之比为定值； (3)过线段中点的直线交椭圆于、两点，求的最大值. 【解析】（1）因为，， ............................1分 所以，得． .............................2分 所以椭圆的离心率为． ............................4分 （2）设 所以． ............................6分 ． ............................8分 所以． ............................10分 （3）因为点为线段的中点，所以． 设，所以 因为在椭圆上，所以 ..........................11分 当不存在时， ，所以， 所以 ． ..........................12分 所以当时，有最大值为． ..........................13分 当存在时，设 ..........................14分 此时，，得：． 所以 .....................16分 又因为点落在直线上， 所以 此时，，得：． ..........................17分 令，所以． 当，即时，有最大值为． ..........................18分 综上，有最大值为． 2．如图双曲线C：的左右顶点分别为A，B且|AB|＝2，已知双曲线的离心率为2． （1）求双曲线C的方程． （2）直线l与双曲线交于P，Q两点且以线段PQ为直径的圆恰好经过点A． （i）证明：直线PQ过x轴上一定点M．请求出点M的坐标； （ii）若P，Q都在双曲线的右支，求△APQ的面积的最小值． 【答案】（1）； （2）（i）证明：∵直线l与双曲线交于P，Q两点且以线段PQ为直径的圆恰好经过双曲线左顶点A（﹣1，0）， ∴∠PAQ＝90°，， 设直线PQ的方程为x＝my+t，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立双曲线C得，， ，， ∵，，， ∴y1y2， ， ∴t2﹣t﹣2＝0， 解得t＝2或t＝﹣1， 若t＝﹣1，则直线过A（﹣1，0），与题意矛盾舍去， 故t＝2， ∴直线过M（2，0）； （ii）9． 【解答】解：（1）∵双曲线C：的左右顶点分别为A，B且|AB|＝2， ∴2a＝2，a＝1， ∵，∴c＝2， ∴b2＝c2﹣a2＝4﹣1＝3， ∴双曲线C：； （2）（i）证明：∵直线l与双曲线交于P，Q两点且以线段PQ为直径的圆恰好经过双曲线左顶点A（﹣1，0）， ∴∠PAQ＝90°，， 设直线PQ的方程为x＝my+t，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立双曲线C得，， ，， ∵，，， ∴y1y2， ， ∴t2﹣t﹣2＝0， 解得t＝2或t＝﹣1， 若t＝﹣1，则直线过A（﹣1，0），与题意矛盾舍去， 故t＝2， ∴直线过M（2，0）； （ii）∵A（﹣1，0），M（2，0），∴|AM|＝3， ∴， 由（i）知，直线PQ：x＝my+2， 联立双曲线方程得， ∴，， ∵P，Q都在双曲线的右支上， ∴y1y2＜0，∴， ∴， ∴， 令，则m2＝n2﹣1， 代入得， 令，4﹣3n2＞0， 解得， ∴， 求导得， ∴f'（n）＞0在时恒成立， ∴f（n）在单调递增，在n＝1时取最小值，f（1）＝9， ∴S△APQ的最小值为9． 3. 已知双曲线的渐近线方程为，过右焦点且斜率为的直线与相交于、两点. 点关于轴的对称点为点. (1)求双曲线的方程： (2)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标； (3)当时，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为 (3) 【分析】（1）设双曲线的标准方程为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出双曲线的标准方程； （2）分析可知，，设，可得出直线的方程为，点、，则点，分析可知，直线过轴上的定点，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出定点的坐标； （3）利用三角形的面积结合韦达定理可得出，其中，结合函数的单调性可得出面积的最大值. 【详解】（1）根据题意，设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，故双曲线的方程为. （2）当时，此时，点、为双曲线的顶点，不合乎题意； 当时，设，则直线的方程为， 设点、，则点， 由对称性可知，直线过轴上的定点， 联立可得， 由题意可得，解得， 由韦达定理可得，， 则的斜率为，直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得， 可得 ， 此时，直线过定点. 综上所述，直线过定点. （3）因为，则，且， ， 因为函数在上单调递减， 故当时，取最大值，且最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 4．已知双曲线E：的渐近线上一点到左焦点F1（﹣2，0）的最短距离为． （1）求E的方程； （2）O为坐标原点，直线l：x＝ty﹣2与E的左支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方． （i）若，在E上恰有三个点P1，P2，P3到直线l的距离均为d，求d的值． （ii）设S1、S2分别为△AOC的面积和△BOD的面积，求S1+S2的取值范围． 【答案】（1）； （2）（i）或； （ii）． 【解答】解：（1）设双曲线的焦距为2c，且c＝2， 则F1（﹣2，0）到直线bx﹣ay＝0的距离为， 解得；，所以双曲线的方程为； （2）（i）若，在双曲线E上恰有三个点P1，P2，P3到直线l的距离均为d， 则与直线l平行且距离相等的两条平行直线l1，l2， 一条与双曲线E相切，一条与双曲线E交于两点． 设与直线l平行且与双曲线相切的直线方程为y＝3x+m，m≠6， 联立方程组，整理得8x2+6mx+m2+2＝0， 令Δ＝36m2﹣32（m2+2）＝0，解得m＝±4， 当m＝4时，直线y＝3x+4与y＝3x+6的距离为， 当m＝﹣4时，直线y＝3x﹣4与y＝3x+6的距离为， 所以或； （ii）设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由，消去x得（t2﹣1）y2﹣4ty+2＝0， 则t2﹣1≠0，Δ＝8t2+8＞0，，， 由直线AB与双曲线左支交于两点，得，解得﹣1＜t＜1， 故|， 原点O到直线AB的距离， 设C（x3，y3），D（x4，y4），由，消去x得（t2﹣1）y2﹣4ty+4＝0， 则，， 则， 于是， 令m， 则， 所以S1+S2的取值范围为（． 5.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上运动，是的重心，且点到点与到点的距离之和为． (1)求的方程； (2)设分别为的左、右顶点，动点在直线上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为． （ⅰ）证明：直线过定点，并求出该定点坐标； （ⅱ）求四边形面积的最大值． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析，；（ⅱ）. 【分析】（1）根据题意，设，可得点的轨迹是长轴长为，焦距为的椭圆，又，得代入点的轨迹方程可得解； （2）（ⅰ）由对称性可知直线经过的定点必在轴上且异于原点，设定点为，设直线的方程与椭圆的方程联立，求出直线，的方程，根据它们的交点在直线上，求得，对于直线的斜率不存在时，也满足；（ⅱ）由（ⅰ）结合韦达定理可得，得，换元令，求得，从而四边形面积的最大值为，得解. 【详解】（1）由题意设，设， 因为点到点与到点的距离之和为， 所以． 则点的轨迹是长轴长为，焦距为的椭圆，其方程为． 因为点是的重心，为的中点， 所以，则， 代入点的轨迹方程得. 所以椭圆的方程为. （2）（ⅰ）由对称性可知直线经过的定点必在轴上且异于原点， 设定点为， 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为 联立，得， ， 则． 由（1）可得， 则直线的方程为， 直线的方程为， 由题意知直线与交于点，且点在直线上． 所以，即， 所以． 所以， 所以．① 当，即直线的斜率存在且不为0时， 由， 得， 代入①，得． 当时，上式恒成立，所以；   当，即直线的斜率不存在时， 若，则直线的方程为， 取，满足①式． 当直线的斜率为0时，直线，过点． 综上，直线过定点，且该定点的坐标为． （ⅱ）由题可知直线的斜率不为0， 由（ⅰ）可知直线过定点， 则， 所以 ， 令， 则，   因为函数在上单调递增， 所以． 则，所以， 所以四边形面积的最大值为. 6.（2026届高三松江区一模）已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点.的最大值是的最小值是,满足. (1)求该椭圆的离心率； (2)若，点在椭圆上，且在轴上方，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上,求直线的斜率; (3)设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点.记的面积为的面积为,求的取值范围. 【解析】(1)设， 则根据椭圆性质得： 而 所以有 即 因此椭圆的离心率为. (2)由(1)可知 椭圆的方程为 所以 圆的方程为： 设 所以 所以 解得： 所以 所以 (3)由(1)可知 椭圆的方程为 根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线AB的方程为 设则 由 所以 所以 因为,所以 由与相似,所以 令,则,从而 即的取值范围是. 7.．（2025·上海闵行·二模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点，且，求点的坐标； (3)若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)的最小值为 【分析】（1）根据双曲线方程即可得其渐近线方程； （2）由点可得，从而可利用三角形外角关系从而可得直线的斜率，将直线方程代入双曲线方程求解即可得点的坐标； （3）设直线，代入双曲线方程得交点坐标关系，由重心可得，根据点线关系即可得的范围，再结合三角形面积关系得与的关系，由基本不等式可得最值. 【详解】（1）已知双曲线，则，所以双曲线方程为； （2）双曲线的右焦点， 又，所以，则， 因为，所以， 则直线，即， 所以，解得，即， 则，所以点的坐标为； （3）设直线， ， 则， 因为直线过点且与双曲线右支交于、两点，所以， 又因为的重心在轴上，所以， 由点在点的右侧，可得，所以，解得，所以， 而，代入可得， 所以， 代入化简可得：， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $