重难点25 圆锥曲线的最值与范围问题讲义——2026届上海市高考数学一轮复习

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 重难点25 圆锥曲线的最值与范围问题 圆锥曲线中的参数范围及最值问题是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，此类问题考查频率较高，此类问题一般有长度、距离、面积、数量积、离心率等几何量的范围或最值问题，考查方式灵活多变，各类题型都有考查，在解答题中考查时难度较高；复习时要加强此类问题的训练，灵活求解. 知识点一、圆锥曲线中最值或范围问题类型： 1、距离型最值或范围： (1)两点间距离：可利用两点间距离公式，结合圆锥曲线方程，通过化简、配方等方法求最值或范围。 (2)点到直线距离：根据点到直线距离公式，结合圆锥曲线的性质来求解。 2、面积型最值或范围： （1）三角形面积：对于三角形面积的最值或范围问题，常利用三角形面积公式，结合圆锥曲线的方程和性质，通过转化为函数问题来求解。 （2）四边形面积：一般需将四边形分割为三角形进行求解，同样结合圆锥曲线的方程和性质，转化为函数求最值或范围。 3、角度型最值或范围： （1）直线夹角：通过正切公式等方法将角度问题转化为代数问题求解。 （2）向量夹角：利用向量的数量积公式和圆锥曲线方程来求解夹角的最值或范围。 4、斜率型最值或范围 直线斜率：设出直线方程，与圆锥曲线方程联立，利用判别式、韦达定理等求解斜率的最值或范围。 5、数量积型最值或范围 （1）向量数量积的最值或范围：已知圆锥曲线上两点对应的向量，求它们数量积的最值或范围。 （2）点到直线距离与向量数量积结合的最值或范围：涉及圆锥曲线上一点到某直线的距离，以及该点与另一点对应的向量数量积，求其最值或范围。 6、参数的最值或范围 知识点二、圆锥曲线中最值或范围问题的求解方法： 1. 几何法： 利用圆锥曲线的定义和几何性质，如椭圆的定义、抛物线的焦点准线性质等，将问题转化为几何图形中的最值问题来求解。 2. 代数法： ①建立目标函数：根据问题的条件，设出相关的变量，将所求的最值或范围问题转化为函数的最值或范围问题。 常见的函数有二次函数、三角函数、均值不等式等。例如，求某线段长度的最值，可以建立该线段长度关于某个变量的函数表达式，然后利用函数的性质求解。 ②判别式法：对于直线与圆锥曲线相交的问题，可以联立方程，利用判别式来确定参数的取值范围，进而求解最值或范围。 ③均值不等式法：当表达式具有特定形式时，可以利用均值不等式来求最值。但要注意等号成立的条件。 3. 参数方程法： 对于椭圆、双曲线、抛物线，可以分别利用参数方程来表示曲线上的点，将问题转化为参数的函数求最值或范围。 4. 转化法： 将所求问题转化为已知的最值或范围问题。例如，通过对称点转化问题，或者利用三角形两边之和大于第三边等性质进行转化。 题型1：长度或距离的最值与范围 【名师点拨】与距离或线段长度有关的最值与范围问题通常是把相关距离或线段长度表示成一个变量的函数，利用函数性质求最值与范围。 【例1】（2025上海市育才中学高三三模）设椭圆，的离心率是短轴长的倍，直线交于、两点，是上异于、的一点，是坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线过的右焦点，且，，求的值； （3）设直线的方程为，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及，，之间的关系列出等式，进而可得椭圆的方程； （2）设的左焦点为，连接，利用向量的运算以及椭圆的定义和对称性推出，再代入三角形面积公式中即可求解； （3）设出，，三点的坐标，利用向量的运算得到，，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，将点的坐标代入椭圆方程中得到，此时满足，再结合弦长公式和换元法进行求解即可． 【小问1详解】 由的离心率是短轴的长的倍，得 ，即， 又，则， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 设的左焦点为，连接， 因为，所以点、关于点对称， 又，则， 由椭圆的对称性可得， ，且三角形与三角形全等， 则， 又，化简整理得， ，则. 【小问3详解】 设，，， 又 ，则，， 由得，， ， 由韦达定理得，，， 又， 则，， 因为点在椭圆上，所以， 化简整理得，， 此时，， 则 ， 令，即， 则， 则的取值范围是. 【点睛】关键点点睛:本题考查直线与椭圆得位置关系及弦长范围问题，关键是向量坐标化得C坐标并代入椭圆方程得m,k的等量关系. 【例2】（2024上海普陀三模）已知点P为圆 上任意一点， 线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M 的轨迹为曲线H. (1)求曲线H的方程; (2)若过点M 的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M 为线段ST的中点. (i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点； (ii)求 的取值范围. 【解析】（1）M为的垂直平分线上一点, 则 ， 则 ∴点M的轨迹为以为焦点的双曲线, 且，   故点M的轨迹方程为 （2）( i ) 设，双曲线的渐近线方程为：， 如图所示： 则①，②， ①+②得， ， ①-②得， ， 则，得 由题可知，则， 得，即， ∴直线的方程为，即， 又∵点M在曲线H上，则 ，得， 将方程联立，得， 得， 由，可知方程有且仅有一个解， 得直线l与曲线H有且仅有一个交点. （ii）由（i）联立 ，可得，同理可得， ， 则 ， 故， 当且仅当，即时取等号. 故的取值范围为． 【跟踪训练】 1.（2025七宝中学高三三模）已知曲线：. (1)若曲线为双曲线，且渐近线方程为，求曲线的离心率； (2)若曲线为椭圆，且在曲线上.过原点且斜率存在的直线和直线（与不重合）与椭圆分别交于，两点和，两点，且点满足到直线和的距离都等于，求直线和的斜率之积； (3)若，过点的直线与直线交于点，与椭圆交于，点关于原点的对称点为，直线交直线交于点，求的最小值. 【解析】（1）因为曲线：为双曲线， 若焦点在轴，则，又渐近线方程为， 则，即，解得或（舍去）， 此时曲线的离心率； 若焦点在轴，则，又渐近线方程为， 则，即，解得（舍去）或， 此时曲线的离心率， 综上可得曲线的离心率为或. （2）依题意，解得或， 当时曲线：，符合题意； 当时曲线：，符合题意； 设直线的方程为，直线的方程为，为不失一般性设， 则根据点到直线的距离公式可得， 化简得， 同理可得， 所以，是一元二次方程的两实数根，， 则有， 又点，所以． （3）当时曲线：， 不妨设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 解得，则， 即， 因为点关于原点的对称点为，所以， 此时， 所以直线的方程为， 当时，解得，即， 所以， 则， 因为， 所以，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最小值，最小值为． 故的最小值为． 2. （2025复兴高级中学高三阶段练习）设有椭圆和直线．椭圆的左、右焦点分别为、．是上位于第一象限内的一点． （1）当时，求椭圆的离心率； （2）若且点在直线上，求的值； （3）设点满足，其中是点到的距离．当变化时，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出和，求出即可求解； （2）设，求出，求出和，求出和，根据椭圆的定义即可求解； （3）求出，设，对于每一个固定的设点到的距离为，利用点到直线距离公式求出，利用辅助角公式求出，证明是第一象限的角，据此即可求解. 【小问1详解】 由题可知，， ， 所以椭圆的离心率为； 【小问2详解】 如图，设， ， 又， 是第一象限上的点， ，即解得， ， 由椭圆的定义知，. 【小问3详解】 由椭圆的定义知． ，设， 对于每一个固定的设点到的距离为， 利用点到直线距离公式有， 由辅助角公式得， 是第一象限内的一点， ，注意到， 是第一象限的角， 设， 当时为在固定下的最小值， 由题意知对于有解， ， 两边平方可得， 要求的最小值，即求的最大值， ，当时取到． 3.（2025七宝中学高三三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，是椭圆的左焦点，若与椭圆上任一点距离的最大值为. （1）求椭圆的离心率； （2）若为椭圆的上顶点，为椭圆上的点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的的个数，并说明理由. （3）若斜率为的直线交椭圆于､两点，为以线段为直径的圆上一点，求的最大值. 【答案】（1）； （2）3个，理由见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）由已知可得，可求离心率； （2）不妨设直线方程为，与椭圆方程联立可得，进而可得，求得，从而有，求解可得结论. （3）设直线与椭圆方程联立，由韦达定理求得的中点为，利用弦长公式求得，进而得到以为直径的圆的半径，由，三角换元利用三角函数性质求出最大值. 【小问1详解】 依题意有，解得. 所以离心率. 【小问2详解】 不妨设直线方程为，代入， 整理得，可得，所以， 将带入得， 由得， 所以， 解得 所以满足条件的的个数是3个. 【小问3详解】 设直线，设， 联立，得， 所以，所以. 所以，所以的中点为， 所以 又的轨迹是以为圆心，半径的圆， 所以. 令， 记， 又，所以时，. 4.（2025上海高三阶段练习）已知椭圆 的左右顶点为A₁，A₂， 左右焦点为F₁，F₂，过F₁，F₂分别作两条互相平行的直线l₁，l₂，其中l₁交E于A，B两点， l₂交E于C，D两点， 且点A，C位于x轴同侧， 直线A₁C与A₂A交于点P. 当l₁与x轴垂直时，△PF₁F₂是面积为1的等腰直角三角形. (1)求椭圆E的方程; (2)若直线A₁C与直线A₂A的斜率之和为1， 求直线l₁，l₂的方程; (3)求 的取值范围. 【解析】（1） 设, 故直线的方程为 由,得, 所以 不妨设， 由△PF₁F₂是等腰直角三角形可得 所以直线方程为：，同理可得方程为：， 所以交点， 由△PF₁F₂是等腰直角三角形面积为1可得 解得， 又在直线上， 所以, 所以，又， 所以 所以椭圆方程. （2） 由图形对称性可得：， 所以， 设, 将 和椭圆得方程联立得 所以 , 故直线直线 （3） 易得点关于原点对称， 由(2)知, 则直线，直线 , 将两式相乘得 ， 其中 ， 故点P的轨迹方程为：，即 设 则 当时， , 当时，, , , 综上， , 故. 5．（25-26高三上·上海·月考）已知曲线C：. (1)若曲线C为双曲线，且渐近线方程为，求曲线C的离心率； (2)若，过点的直线与直线交于点M，与椭圆交于B，点B关于原点的对称点为C，直线AC交直线于点N，求线段MN的长的最小值； (3)若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，且在曲线C上．点A、B在曲线C上（P、A、B互不重合），若直线PA与PB的斜率存在且互为相反数，求线段AB的长的最大值． 【答案】(1)或；(2)；(3) 【详解】（1）因为曲线：为双曲线， 若焦点在轴上，则，且，解得， 又渐近线方程为，则，即， 解得或（舍去）， 此时曲线的离心率； 若焦点在轴上，则，且，解得， 又渐近线方程为， 则，即，解得（舍去）或， 此时曲线的离心率， 综上可得曲线的离心率为或. （2）当时曲线：， 依题意，直线的斜率必存在（否则点重合，不合题意），可设其方程为， 联立，消去并整理得， 解得，则，即， 因为点关于原点的对称点为，所以， 此时，故直线的方程为， 当时，解得，即，又易得，则 ， 则，因为，，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最小值为，故的最小值为． （3）依题意，解得或， 当时曲线：，为焦点在x轴上的椭圆，符合题意； 当时曲线：，为焦点在y轴上的椭圆，不符合题意； 依题意，可设直线的方程为， 联立得， 可得， ，则，解得， 因直线PA与PB的斜率存在且互为相反数，故直线的斜率为，同理可得， 则，， 则， 当且仅当，即时等号成立，经检验符合， 所以线段AB的长的最大值为. 题型2：斜率与角度的最值与范围 【例3】（2025上海高三阶段练习）已知双曲线的左顶点，渐近线方程为，直线经过点，与C交于不与A重合的两点P，Q， (1)求双曲线C的方程； (2)求直线AP，AQ的斜率之和； (3)设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由双曲线顶点以及渐近线方程，建立方程，可得答案； （2）设出直线方程，联立方程写出韦达定理，利用两点斜率公式，可得答案； （3）设出直线方程，联立表示每个点的坐标，根据距离公式以及圆的性质，可得答案. 【解答过程】（1）由双曲线的左顶点，则， 由双曲线的渐近线，则，即， 所以双曲线. （2）设，由，已知直线斜率存在， 则直线方程可设为， 设直线的斜率为，直线的斜率为， 联立，消去可得， 由，则，， 又因为，，所以 ，代入，， 可得， 所以直线的斜率之和为. （3）设，，， 联立，解得，同理可得， 联立，解得，同理可得， 所以，， 因为，所以为外接圆的切线，且， 所以，由，， 则化简可得，当时取等号， 所以直线的斜率的最大值为. 【例4】（2025上海高三阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，，四边形的面积为为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)求的角平分线所在的直线的方程； (3)过点A且斜率分别为直线分别与椭圆交于不同的两点，若点到直线的距离相等，当时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据四边形的面积求得即，将点A的坐标代入椭圆方程即可求得. （2）设的角平分线所在的直线的斜率为，利用到角公式求出直线斜率，代入点斜式直线方程即可求解. （3）根据角平分线的性质知直线AB为角平分线，根据到角公式并化简可得，然后利用基本不等式求解范围即可. 【解答过程】（1）因为四边形的面积为，解得， 可得，即，又为椭圆上一点， 所以，得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）由（1），， 设的角平分线所在的直线的斜率为，则， 根据到角公式可得，化简得，所以（正值舍去）， 此时直线的方程为，即； （3）因为，点到直线的距离相等， 则直线AB为角平分线，根据到角公式可得， 即，化简得， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 【例5】双曲线第二定义：设动点到定点的距离与点到定直线的距离的比是，当时，该动点的轨迹为双曲线．定点为双曲线焦点，定直线为双曲线准线，比值为双曲线离心率．已知动点满足到定点的距离与到定直线的距离的比是2，点坐标为． (1)求点的轨迹方程及的最小值； (2)直线与轨迹的右支交于两点，． （i）若直线过点且与两渐近线分别交于点，，求的取值范围； （ii）若，两点关于直线对称，并且过点．求的取值范围． 【答案】(1)，5 (2)（i）；（ii） 【难度】0.4 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、求双曲线中的弦长、双曲线中的参数及范围、根据韦达定理求参数 【分析】（1）设，根据题意列方程化简即可求解点的轨迹方程，根据双曲线的第二定得，然后利用三点共线求得最小距离； （2）（i）设直线方程，与双曲线方程联立韦达定理，利用弦长公式求出，分别求出点，的坐标，进而求出的表达式，然后利用二次函数性质求解范围即可； （ii）设直线方程，与双曲线方程联立韦达定理，利用弦长公式求出，分别求出点，的坐标，进而求出，，从而，根据正切函数单调性得，再由求解范围即可. 【详解】（1）设，由题意，所以， 平方化简得，即点的轨迹方程为． 由双曲线的第二定义可知， 又的最小值为到准线的水平距离， 所以的最小值为． （2）（i）如图： 双曲线的渐近线为，显然直线过焦点的直线斜率不为0， 故可设其方程为：． 由， 整理得：． 设，则， 所以． 于是． 又由，即； 同理：， 所以． 所以， 因为直线与轨迹的右支交于两点，，所以， 所以，所以． （ii）设，， 联立，则， 所以，即， 且，， 则， 则的中点为，即， 因为线段的中垂线过点， 则，整理得． 则，，， 由，，则，， 则，解得， 又 ， 则， 又，则，即， 又，则的取值范围为. 【跟踪训练】 1.（2023·上海黄浦·统考一模）已知椭圆的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于.动直线、都过点，斜率分别为k、，与椭圆C交于点A、P，与椭圆C交于点B、Q，点P、Q分别在第一、四象限且轴. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与x轴交于点N，求证：； (3)求直线AB的斜率的最小值，并求直线AB的斜率取最小值时的直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）根据已知条件，分别求出a、b、c的值即可. （2）根据两个斜率的关系式求得，由两点间距离公式求得、即可. （3）联立直线与椭圆方程解得、，代入直线AB的斜率公式再应用基本不等式可求得结果. 【解析】（1）设椭圆C的焦距为2c，则由，且， 可得，，所以椭圆C的方程为. （2）设，，则，， 可得，解得， 又，，所以. （3）设，，直线，的方程分别为，， 由（2）知，所以，又m，均大于0，可知， 由可得， 所以，即，同理可得， 直线AB的斜率为 （当且仅当时取等号）. 当时，，此时在椭圆C上， 所以，又，可得， 所以直线AB的斜率的最小值为，且当直线AB的斜率取最小值时的直线的方程为. 2. 已知抛物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求抛物线的标准方程． (2)已知过点且互相垂直的直线与分别交于点与点，线段与的中点分别为．若直线的斜率分别为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意结合抛物线的定义分析可得，进而可得； （2）设直线的方程为，直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理整理得，利用基本不等式运算求解. 【解答过程】（1）抛物线的准线方程为， 设点到准线的距离为． 由抛物线的定义，得，解得， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以抛物线的标准方程为． （2）设， 由题意可知，的斜率存在且均不为0， 设直线的方程为， 将其代入，得，则有． 同理可得：设直线的方程为，则． 所以， 所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又易知， 所以的取值范围为． 3.已知椭圆的右焦点为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的上、下顶点，四边形的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率不为的直线与椭圆相交于两点，直线与的交点为． ①若直线的倾斜角为，求线段的长度； ②试问是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果没有，说明理由． 【解析】（1）由题知，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设， ①当直线的倾斜角为时，直线的方程为， 由，消得到， 所以， 所以. ②由（1）知，易知， 设直线，由，消得到， 所以， 设直线的斜率分别为，且， 所以， 得到，又， 当且仅当，即时，的最大值为， 又，所以的最大值为. 4.（2025上海高三阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为F，点，过F的直线交C于M、N两点．当直线的斜率为1时，． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线、与抛物线C的另一个交点分别为A、B，，求的值； (3)若记直线、的倾斜角分别为、，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的参数范围问题、抛物线中存在定点满足某条件问题、由弦长求参数 【分析】（1）由题意可得，联立直线与抛物线C的方程，结合韦达定理及弦长公式求解即可； （2）分别设出直线，的方程与抛物线C的方程联立，结合韦达定理表示出，进而解方程求解即可； （3）由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意，， 当直线的斜率为1时，直线的方程为，设， 联立，得, 则，, 所以，即， 所以抛物线C的方程为. （2）由（1）知，， 设，直线， 联立，可得， 则， 设直线， 联立，得， 则，，即， 同理可得，即， 又，且， 所以， 将，，代入得， 又，则，又，则. （3）因为直线、的倾斜角分别为、， 所以，， 由，，， 则， 则， 若要使最大，则，设， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 题型3：参数的最值与范围 【名师点拨】该类问题求解的基本思路一是把该参数用另一个量（如点的横坐标、纵坐标，直线的斜率等），把求参数最值与转化为求函数值域，二是由题中条件整理出关于该参数的不等式，求过解不等式求最值与范围 【例6】（2025上海市崇明中学高三三模）在平面直角坐标系中，已知椭圆:的右顶点为，点、分别是轴负半轴、轴正半轴上的动点. （1）若是的左焦点，且，求的值； （2）设，上存在轴上方一点.若，求的坐标； （3）设，过的直线与交于、两点(、两点不重合)，与轴交于且的纵坐标，记与到直线的距离分别为、.若存在直线，满足成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据计算求参； （2）设点的坐标结合两角和正切，应用点在椭圆上计算； （3）设直线方程再联立得出韦达定理，再结合点到直线距离分类讨论计算求出参数范围. 【小问1详解】 因为与的左焦点重合，故，因此. 又因为，而， 所以，解得：(负舍). 【小问2详解】 因为，又因为， 而， 代入解得. 若在第一象限，则，故在第二象限. 设，而， 整理可得. 代入椭圆方程，可得：. 所以解得(增根舍去)，所以. 因此. 【小问3详解】 由题意可知：直线的解析式为， 设直线的解析式为()，且、. 联立， 可得，. 根据韦达定理，，. 因为、两点均在直线的左侧，故. 又因为，，因此， 代入化简可得方程. 设，又因为，故. ① 若 ，此时直线与存在两个交点. 若存在，使得， 而，故， 可得，故，因此. ② 若，而此时在的外部，，故. 若存在，使得， 而， 故，可得，故. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：设直线方程再联立方程组，得出故，最后分类讨论分 和两种情况计算求参. 【跟踪训练】 1. （2025上海外国语大学附属大境中学高三三模）已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为. （1）若到抛物线准线的距离为3，求的值； （2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离； （3）直线，是第一象限内上异于的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为.若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点的横坐标，代入抛物线方程即可求解； （2）先通过中点在抛物线上求出点的坐标，进一步求出直线方程，利用点到直线距离公式求解即可； （3）设，联立方程求出点Q的坐标，根据恒成立，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 抛物线的准线为，由于到抛物线准线的距离为3， 则点横坐标为2，则，解得； 【小问2详解】 当时，点的横坐标为，则， 设，则的中点为，由题意可得，解得， 所以，则， 由点斜式可得，直线的方程为，即， 所以原点到直线的距离为； 【小问3详解】 如图， 设，则， 故直线的方程为， 令，可得，即， 则，依题意，恒成立， 又， 则最小值为，即，即， 则，解得， 又当时，，当且仅当时等号成立， 而，即当时，也符合题意. 故实数的取值范围为. 2. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点 （1）设直线的方程为，求线段的长 （2）设直线经过点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程 （3）设，若存在经过点的直线，使得在抛物线上存在一点，满足，求的取值范围 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）直线方程与抛物线方程联立，结合抛物线焦点弦长公式可求得结果； （2）设，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，根据可构造方程求得结果； （3）设，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，根据可建立等量关系，得到，由此可得的范围. 【小问1详解】 由抛物线方程知：，则直线过焦点， 设， 由得：，， . 【小问2详解】 由题意知：直线斜率不为零，可设，， 由得：，则，解得：； ，， ，，， ， 解得：（满足）， 直线得方程为：或. 【小问3详解】 由题意知：直线斜率不为零，可设，，，， ，； 由得：，则，即， ，，， 由得：， 即，，， ，，即的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，本题求解参数范围的关键是能够将已知条件中的向量运算转化为坐标运算的形式，从而将所求变量表示为另一变量的函数的形式，利用函数值域来求得参数范围. 3. （2025上海市崇明区高三三模）已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. （1）若椭圆上点满足，求的值； （2）点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； （3）已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设点，然后代入椭圆方程，即可求出，再根据椭圆定义求； （2）设，求出，根据二次函数在给定区间上的最值要求列不等式求解； （3）设直线的方程为，与椭圆联立，写出韦达定理，再根据求出的坐标，代入椭圆方程，利用韦达定理计算，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 因为，所以设点， 则，所以，即， 所以； ； 【小问2详解】 设，则，， 则， 所以，， 要时取最小值，则必有， 所以； 【小问3详解】 设过点且法向量为的直线的方程为，， 联立，消去得， 则， 则， ， 又， 又点在椭圆上，则， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， 即的最大值为. 4. （2025上海市格致中学高三三模）在平面直角坐标系中，椭圆，左右焦点分别是，，点A是椭圆上的任意一点，A到原点O的距离最大为． （1）若面积的最大值为1，求椭圆的表达式； （2）若，过点A（异于顶点）作长轴的垂线，垂足为M，连接AO并延长交椭圆于另一点B，连接BM交椭圆于另一点C，证明：； （3）在（2）的条件下，过点A作不经过的直线l，其斜率为k，交椭圆于另一点D，到直线l的距离为d．如果直线、l、的斜率依次成等差数列，求d的取值范围． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）利用点差法，结合斜率的坐标公式推理得证. （3）设出直线的方程，与椭圆方程联立，结合已知求出斜率的范围，再将表示为的函数，借助对勾函数单调性求出范围. 【小问1详解】 依题意，，解得， 所以椭圆的方程为 【小问2详解】 设，则， 由，得，直线的斜率分别为， 则，， 因此，即，所以. 【小问3详解】 当直线的方程为，由，得， ，即， 椭圆左、右焦点，设, 由直线的斜率依次成等差数列，得， 又，则， 化简并整理得:，若，则直线：过点，不符合题意， 则，即，此时，整理得， 因此，解得，记点到直线的距离为， 则， 令，在上单调递减，则， 所以d的取值范围是. 5．（2025上海高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆E：的离心率为，右焦点F到椭圆E上任意一点的最小距离为1． (1)求椭圆E的方程； (2)设A，B为椭圆E的左，右顶点，过点F作直线l交椭圆E于C，D两点，C与A，B不重合），连接，交于点Q． ①求证：点Q在定直线上： ②设，，求的最大值． 【解析】（1）由题意得，， 所以椭圆E的方程为. （2）①由（1），，，故可设直线， 联立， 则，设， 则，，， 由题意可知直线与直线斜率存在， 则，， 联立 ， 所以，故点Q在定直线上. ②由上以及，得： ，， 故，， 即，， 所以， 因为，故，所以最大值为，即的最大值为. 题型4：向量数量积的最值与范围 【例7】（2025上海高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点. （1）若且点在第一象限，求点的坐标； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示计算可得； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理计算可得，可得直线的方程； （3）分别讨论直线斜率是否存在的情况，若直线斜率存在，设直线，与椭圆联立方程组，可得，同理与联立可得，利用向量数量积的坐标公式结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 ，，设，且， 则且，解得，， 因此的坐标为. 【小问2详解】 直线为水平直线时，不存在， 设直线方程为，联立， 得，， 设，，则. 由于在线段上，，其中， 因此，整理得， 所以，解得（负值舍）， 因此直线方程为，即或. 【小问3详解】 由题设，直线斜率不可能为0，而直线斜率不存在时，、重合，； 若直线斜率存在，设直线，与联立得， 因此；而联立直线与可得； 所以，即取值范围是. 综上，的取值范围为. 【例8】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－． (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，过点M(0，2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求·＋·的取值范围． [规范解答]　(1)设T(x，y)，由题意知A(－4，0)，B(4，0)， 设直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2，则k1＝，k2＝， 由k1k2＝－，得·＝－，整理得＋＝1． 故椭圆C的方程为＋＝1． (2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 联立方程消去y，得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0． 所以x1＋x2＝－，x1x2＝－． 从而，·＋·＝x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－2)(y2－2)]＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4 ＝＝－20＋，所以－20＜·＋· ≤－． 当直线PQ的斜率不存在时，·＋·的值为－20． 综上，·＋·的取值范围为． 【跟踪训练】 1.（25-26高三上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点. (1)若且点在第一象限，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）利用向量数量积的坐标表示计算可得； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理计算可得，可得直线的方程； （3）分别讨论直线斜率是否存在的情况，若直线斜率存在，设直线，与椭圆联立方程组，可得，同理与联立可得，利用向量数量积的坐标公式结合基本不等式即可求解. 【解答过程】（1），，设，且， 则且，解得，， 因此的坐标为. （2）直线为水平直线时，不存在， 设直线方程为，联立， 得，， 设，，则. 由于在线段上，，其中， 因此，整理得， 所以，解得（负值舍）， 因此直线方程为，即或. （3）由题设，直线斜率不可能为0，而直线斜率不存在时，、重合，； 若直线斜率存在，设直线，与联立得， 因此；而联立直线与可得； 所以，即取值范围是. 综上，的取值范围为. 2.已知椭圆上右顶点到左焦点的距离为，上顶点的坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点； (3)在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于、两点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据椭圆的性质列方程确定的值，即可得椭圆方程； （2）由题意，可设直线的方程为，，根据直线与椭圆交点坐标关系，确定直线的方程，从而可得直线与轴交点坐标，即可证得结论； （3）根据直线与椭圆交点坐标关系，结合数量积的坐标运算与函数求最值即可得结论. 【详解】（1）由题意可得 ：且， 解得：， 所以椭圆的方程为； （2）如图所示： 由题意，可设直线的方程为 ，， 联立方程组消去得方程：， ，所以， 所以直线的方程为：， 令，则 ， 故直线过定点； （3）①当直线与轴重合时，， ②当直线与轴不重合时，设直线的方程为， 联立，消去得方程， 可知，则， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以的取值范围是， 综上可知，的取值范围是． 题型5：三角形面积的最值与范围 【名师点拨】求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键 (1)公式意识，把求三角形的面积转化为求距离、求角等； (2)方程思想，即引入参数，寻找关于参数的方程； (3)不等式意识，寻找关于参数的不等式，利用基本不等式等求最值. 1.三角形面积的最值与范围 【例9】已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点M在C上且在第一象限，，的面积为2. (1)求C的方程. (2)A，B是C上异于M的两个动点，直线MA与MB的斜率之积为1，证明：直线AB过定点. (3)点M关于x轴的对称点为N，分别过M，N作C的两条切线，这两条切线的交点G恰好在x轴上，，过S作C的切线，切点为R（异于点M），且与线段GN交于点T，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)8 【难度】0.4 【知识点】根据定义求抛物线的标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的直线过定点问题 【分析】（1）设，根据的面积列式求得的面积，根据焦半径公式得，代入抛物线方程求得，即可得解； （2）设直线AB的方程为，与抛物线方程联立，韦达定理，利用两点式斜率公式结合列式化简得，即可求解直线AB过定点； （3）利用判别式法求出直线GM的方程为，直线，且，设直线，与抛物线方程联立韦达定理求得，即可得直线，与直线联立求得，从而利用两点距离公式求得，利用点到直线距离公式求得点到直线的距离为，进而求得，最后利用二次函数性质求得最值即可. 【详解】（1）设，则的面积为，所以， 根据抛物线的定义，得，所以， 所以，解得，即C的方程为. （2）由（1）知，设，，直线AB的方程为， 则且，联立可得，， 由韦达定理可得，， ，同理， 又因为，所以， 整理得，所以，即， 所以，即直线AB过定点； （3）因为，所以， 设直线GM的方程为， 由可得， 则，解得， 所以直线GM的方程为，且，同理可得直线， 设，因为，所以即， 由得，设直线， 由可得， 由，可得或， 当时，直线，与直线GM的方程一样，舍去，故，所以直线，即，与直线联立求得， 点到直线的距离为， 又， 所以的面积为， 因为，所以当时，面积取到最大值为8. 【跟踪训练】 1.（2025·甘肃白银·二模）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若线段的长是的中点到轴的距离是2. (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线和，分别交曲线于点和.设线段的中点分别为，求证：直线过定点； (3)若点是抛物线上一点（不同于坐标原点），是的内心，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）结合弦长，利用焦半径公式列方程求出，即可求解抛物线方程； （2）设，直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理求出点的坐标，同理求出点的坐标，进而求出直线的方程，即可求出定点； （3）设点则，设的内切圆半径为，则，进而得，构造函数，利用导数法求解值域即可得解. 【解答过程】（1）设点的横坐标分别为，，由的中点到轴的距离是2，得，即， 由抛物线的弦过其焦点，得，解得， 所以抛物线的方程是. （2）设，则，设直线的方程为， 由得， 则，， . 将替换，得.当时，， 则直线的方程为，即， 当时，，当时，.过定点， 故直线过定点. （3）设点，已知点，所以的面积， 设的内切圆半径为，则有 所以， 所以. 因为点是抛物线上一点（不同于坐标原点），所以， 所以， 整理得：. 构造函数，得， 显然单调递增，令，解得， 所以当时，单调递减； 当时，单调递増； 所以，所以. 2.已知椭圆 的左右焦点分别为、 ，离心率 ，点、分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆上顶点的直线交椭圆于点，且，求直线的方程; (3)直线、过右焦点，且它们的斜率乘积为，设、分别与椭圆交于点、和、.若、分别是线段和的中点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【难度】0.4 【知识点】求直线与椭圆的交点坐标、求椭圆中的最值问题、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）求出直线的方程，将该直线方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，即可求得直线的方程； （3）设直线的方程为，其中，将该直线方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，同理可得出点的坐标，分析可知，线段的中点为，然后利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得面积的最大值. 【详解】（1）由题意，因为、，为直角三角形，所以， 又 因为，，解得，， 所以椭圆的标准方程为. （2）易知点，，且，则， 所以，直线的方程为， 联立，解得或，即点或， 当点的坐标为时，直线的方程为； 当点的坐标为时，， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （3）由题意，，    设直线的方程为，其中，、， 则直线的方程为 ，、， 联立可得， 由韦达定理可得，， 所以，，，所以， 同理可得，， 所以，点，即的中点为， 所以， 当且仅当时，即当时取等号，所以的面积最大值为. 2.四边形面积的最值与范围 【例10】（2025建平中高三下学期三模）已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线的斜率分别为． （1）求直线在y轴上的截距之和； （2）若四边形为菱形，证明：直线之间的距离为定值； （3）若成等比数列，射线分别交椭圆于两点，求四边形面积的取值范围． 【答案】（1）0； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）设两条平行线的方程分别为，，联立椭圆并应用韦达定理及弦长公式得，进而可得，即得结果； （2）根据已知有，由（1）知点A与点C、点B与点D关于原点对称，结合韦达公式得，进而有，再应用平行线的距离公式证明结论； （3）由等比中项的性质得，设直线的方程为并联立得到、，再根据四边形的面积、求面积的范围. 【小问1详解】 设两条平行线的方程分别为，， 由，得， 所以，即， 又． 所以 ， 同理，． 由平行四边形得，所以， 因为，所以，即， 所以两条平行线在y轴上的截距之和为0． 【小问2详解】 由四边形为菱形得，所以， 由（1）知关于原点对称， 由椭圆的对称性知点A与点C，点B与点D均关于原点对称， 所以 ． 整理得，所以直线之间的距离， 所以直线之间的距离为定值． 【小问3详解】 由（2）知，则，因为，所以． 设直线的方程为， 由，得，由，得， 所以，同理， 所以，四边形的面积， 因为，且，故， 因为点O到直线的距离为， 所以， 所以四边形的面积. 【点睛】关键点点睛：第三问，利用相关三角形的面积比例与相关线段的等比例关系得到得到四边形的面积为关键. 【跟踪训练】 1.（2025杨浦区高三5月质量检测）已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为，，是面积为1的直角三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. （1）求椭圆的离心率； （2）已知点，，求椭圆上动点到点的最大距离； （3）求四边形面积的取值范围. 【答案】（1） （2）答案详见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意:利用为为面积为1的直角三角形，可得到，再求解离心率即可. （2）设，利用两点间距离公式表示，转化为二次函数分类讨论求解最值即可. （3）设直线的方程为，利用圆锥曲线“设而不求”的方法可以把四边形的面积可表示为关于的函数，再利用函数单调性求得范围即可. 【小问1详解】 如图，设椭圆的焦距为， 易得，，， 又因为为面积为1直角三角形，， 所以椭圆的离心率. 【小问2详解】 有第一问知，故椭圆方程为， 设，且，即， ， 其对称轴为，而，当，即时， 在时取得最大值，； 当，即时， 在时取得最大值，. 综上，当时，最大距离为；当时，最大距离为. 【小问3详解】 设直线的方程为， 联立，消去整理得， 则，. 因为点分别在第一、四象限， 所以，即， 故，解得， 得到四边形的面积为， ， 因为，， 所以， 令，，则， 因为，所以在上单调递增， 故，即四边形面积的取值范围为. 2.（2025·上海杨浦·三模）已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为，，是面积为1的直角三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. (1)求椭圆的离心率； (2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； (3)求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2)答案详见解析 (3) 【解题思路】（1）根据题意:利用为为面积为1的直角三角形，可得到，再求解离心率即可. （2）设，利用两点间距离公式表示，转化为二次函数分类讨论求解最值即可. （3）设直线的方程为，利用圆锥曲线“设而不求”的方法可以把四边形的面积可表示为关于的函数，再利用函数单调性求得范围即可. 【解答过程】（1）如图，设椭圆的焦距为， 易得，，， 又因为为面积为1直角三角形，， 所以椭圆的离心率. （2）有第一问知，故椭圆方程为， 设，且，即， ， 其对称轴为，而，当，即时， 在时取得最大值，； 当，即时， 在时取得最大值，. 综上，当时，最大距离为；当时，最大距离为. （3）设直线的方程为， 联立，消去整理得， 则，. 因为点分别在第一、四象限， 所以，即， 故，解得， 得到四边形的面积为， ， 因为，， 所以， 令，，则， 因为，所以在上单调递增， 故，即四边形面积的取值范围为. 3.三角形面积关系式的最值与范围 【例11】（2025行知中学高三6月模拟）已知双曲线E：（，）的虚轴长为2，离心率为. （1）求双曲线E的标准方程： （2）过点的直线l与E的左、右两支分别交于A，B两点，点，直线BC与直线交于点N. （ⅰ）证明：直线AN的斜率为定值： （ⅱ）记，分别为，的面积，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的虚轴长和离心率公式求出、的值，进而得到双曲线的标准方程； （2）（i）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出相关点的坐标关系，进而证明直线AN的斜率为定值； （ii）根据三角形面积公式求出的表达式，再根据条件确定其取值范围. 【小问1详解】 已知双曲线的虚轴长为，则，解得. 又因离心率，且，把代入可得. 由可得，将其代入中，得到. 解得，所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）当斜率为0时： 已知，BC方程. 令，则，解得，所以. . 当斜率不为0时： 设AB方程，与联立： 把代入得. 由韦达定理得，. 因为直线交左右两支，有，解得. BC方程，令，得，即. 则，经化简得， 把，代入. 先看分子： 再看分母： 此时. 因为，，约分后可得. （ⅱ）当斜率为0时，因为，两三角形相似，. 当斜率不为0时，不妨设，，，所以. . ，代入与的值得. 因为，所以，结合，解得. 所以. 综上，取值范围是. 【例12】（2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）已知双曲线的右焦点为F，右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为. （1）求双曲线的离心率； （2）求证：为定值； （3）求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意求出，即可求得答案； （2）设直线PQ的方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系式，结合的表达式，即可证明结论； （3）利用直线方程求出相关点坐标，可得的表达式，即可求出的表达式，结合不等式性质，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意得，，∴. 【小问2详解】 证明：由题意知，， 设直线的方程为，， 联立方程组，得， 因为过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，故，. 则，， 则； 当直线斜率不存在时，，，， 故为定值. 【小问3详解】 由题意可得， 直线的方程为，则， 直线的方程为，则， 则. 所以， 由于.即，，故， 当直线斜率不存在时，，，直线方程为， 直线方程为，可得，，， 综上的取值范围为. 【例13】动点M到定点的距离与它到直线的距离之比为，记点M的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)设A，B为的左右顶点，点，点M关于x轴的对称点为，经过点M的直线与直线相交于点N，直线BM与BN的斜率之积为．记和的面积分别为，，求的最大值． 【解析】（1）设，由题意， 化简得线的轨迹方程为． （2）解法1： ，，设，则， 所以直线AM与BM的斜率之积为． 因为直线BM与BN的斜率之积为， 所以直线BN斜率为AM斜率的3倍． 因为，设， 由得，． 由对称性知MN经过x轴上的定点，因为， 由，得，所以MN经过定点． 所以 设，因为，所以．设，， 因为当时，， 当时，，所以． 因此， 当且仅当取等号，取等号时，，． 于是当，时，取最大值． 解法2： ，，设，则， 所以直线AM与BM的斜率之积为． 因为直线BM与BN的斜率之积为，所以直线BN斜率为AM斜率的3倍． 因为，设， 由得，． 由， 知， 故点N在上． 由对称性知MN经过x轴上的定点， 因为， 由，得，所以MN经过定点． 可知MN不垂直于y轴，设， 联立得， 因为，所以， 因此 由，得， 当，时等号成立， 于是取最大值． 解法3： 可知BM不垂直于x轴，设BM的斜率为k，则， 联立得． 由得，从而． 所以的斜率为， 故． 因为直线BM与BN的斜率之积为， 所以． 由得，从而． 所以， 当时，，所以MN经过定点． 因此． 因为，当且仅当时取等号， 所以． 于是当，时，取最大值． 【跟踪训练】 1．（24-25高二上·云南保山·期末）已知抛物线的焦点为，横坐标为2的点在抛物线上，且，过点的直线交抛物线于，两点． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，直线分别交抛物线于两点． （ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）求与面积和的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）10 【解题思路】（1）利用抛物线定义由焦半径公式计算可得抛物线的方程； （2）（ⅰ）设直线的方程为，并于抛物线联立求出直线的方程即可知其过定点； （ⅱ）分别求出与的面积表达式，再由韦达定理计算可得面积最小值. 【解答过程】（1）由得， 因此抛物线的方程为． （2）（i）由题意，可设直线的方程为， 联立，得， 所以， 设直线的方程为，如下图所示： 联立得，， 同理可得，． 又， ∴直线的方程为， 化简，得，即， 令，则， 故直线过定点； （ii）由（i）知， ， ， 当且仅当时等号成立， 故与面积和的最小值为10． 2.已知抛物线为第一象限内上任意一点，以为切点作的切线与轴交于点，与轴交于点，过点作垂直于的直线交于两点，其中点在第一象限，设与轴交于点. (1)若点的坐标为，求切线的方程； (2)若，求的值； (3)当时，连接，记的面积分别为，求的最小值. 【解题思路】（1）代入方程求出，即可求出抛物线方程，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）设点，利用导数的几何意义表示出切线方程，从而得到、的坐标，即可得到为的中点，从而得到点在的中垂线上，即可得解； （3）首先得到的方程，设，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可得到，再由距离公式得到，最后利用基本不等式计算可得. 【解答过程】（1）因为点的坐标为，则，解得，所以， 则，所以点处切线的斜率， 所以切线的方程为，即. （2）设点，由，所以，则， 所以切线，即，令，则， 所以，又，所以， 令，可得，则， 所以为的中点， 因为垂直于，所以点在的中垂线上， 所以，所以. （3）解法一：设点，由，所以，则， 则切线，所以， 则，所以：，即， 联立，消去整理得， 设，显然，则，且， 则. 因为， 所以 ， 又到的距离， 到的距离， 所以， 则， 当且仅当时取得等号， 所以的最小值为. 解法二：由解法一知联立得， 则， 所以，又， 所以， 当且仅当时取得等号，所以的最小值为8. 题型6：坐标或截距最值与范围 【例14】已知椭圆的上顶点为，过点且与轴垂直的直线被截得的线段长为. （1）求椭圆的标准方程﹔ （2）设直线交椭圆于异于点的两点，以为直径的圆经过点线段的中垂线与轴的交点为，求的取值范围. 【解析】（1）由已知条件得：，令，得， 由题意知：，解得， ∴椭圆的标准方程为， （2）①当直线的斜率不存在时，显然不合题意； ②当直线斜率存在时，设， 当时，此时关于y轴对称，令， ∴且，则，又， ∴，解得或(舍)，则符合题设. ∴此时有； 当时，则，得，， 设，则，得，， 且， 由，即， ∴，整理得，解得（舍去）， 代入得：， ∴为，得：， 则线段的中垂线为， ∴在轴上截距，而， ∴且， 综合①②:线段的中垂线在轴上的截距的取值范围是. 【跟踪训练】 1．（2022届上海市青浦区高三一模）已知抛物线. （1）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，求的值（其中为坐标原点）； （2）过抛物线上一点，分别作两条直线交抛物线于另外两点､，交直线于两点，求证：为常数 （3）已知点，在抛物线上是否存在异于点的两个不同点，使得若存在，求点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题知，直线斜率不为0，故可设过焦点的直线为，联立得 ，，设， 则； （2）由题可设过点的一条直线交抛物线于，交直线于，另一条直线交抛物线于，交直线于，则，，直线方程可表示为：，直线方程可表示为：，联立直线与抛物线方程可得 ，故，即，同理联立直线和抛物线方程化简可得，故，，即 （3） 假设存在点满足， 设，， 则，易知， 化简得，即， 当时，，当且仅当时取到等号，故； 当时，，当且仅当时取到等号，因为，故，令，则，但能取到，此时，故； 故。 2.已知椭圆的左､右焦点分别为，且在抛物线的准线上，点是上的一个动点，面积的最大值为. (1)求的方程； (2)设经过右焦点且斜率不为0的直线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围. 【解析】（1）焦点在抛物线的准线上，则椭圆半焦距， 当点为短轴顶点时，面积最大，此时， 则， 所以椭圆方程为. （2）当轴时，显然， 当与轴不垂直时，设直线的方程为， 由消去得，， 设，线段的中点， 则， 线段的垂直平分线方程为， 令，得，显然，当且仅当时取等号， 当时，；当时，，于是或， 所以的取值范围是. 题型7：代数式的最值与范围问题 【例15】已知椭圆的左、右焦点分别是为上一点，且在中，． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点（点在点的上方），线段上存在点，使得，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【难度】0.15 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定直线、求椭圆中的最值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）设椭圆的焦点为，由，求得，进而得，由椭圆定义求得，得解； （2）设，当直线的斜率存在时，设直线，由，可得，联立直线与椭圆的方程得到根与系数关系，求得，进而得点在直线上，当直线的斜率不存在时，易得点也满足在直线上，由平面几何知识求解得到答案. 【详解】（1）设， 依题意，，解得，从而， 因此，由勾股定理可得． 所以，可得． 所以求椭圆的方程为. （2）设， 当直线的斜率存在时，， 由，可得，解得．（*） 设直线， 联立整理可得， 由， 整理可得：，解得或， 且， 代入（*）整理可得， 代入直线的方程，得， 可得． 当直线的斜率不存在时，，则， 由，得，也满足方程， 所以点在直线（在椭圆内部）上． 设点关于直线的对称点为， 则解得， 所以， 此时点在椭圆内，符合题意， 所以的最小值为.    【跟踪训练】 1.已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为． (1)求的方程； (2)若的面积为，求的方程； (3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值． 【解析】（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，所以， 的周长为，所以， 所以， 故的方程为． （2）易知的斜率不为0，设， 联立，得， 所以． 所以， 由， 解得， 所以的方程为或． （3）由（2）可知， 因为的斜率是的斜率的2倍，所以， 得． 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为． 2.已知椭圆：的离心率为，右顶点为． (1)求的方程； (2)过点的直线交于M，N两点（B不在上），过N作直线的垂线，垂足为Q． ①求的最小值； ②求的最大值． 【答案】(1)； (2)①；②. 【难度】0.15 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的最值问题、图形的性质 【分析】（1）由离心率可得，结合可得椭圆方程； （2）①设过点的直线方程为：，将直线与椭圆方程联立，由韦达定理及两点间距离公式可得，然后令，结合函数知识可得答案；②由题可得Q在以为直径的圆T上，过B作圆T切线，切点为J，由几何知识可得，然后由两点间距离公式结合①可得最值. 【详解】（1）因的离心率为，则， 从而，又右顶点为，则，， 则椭圆方程为：； （2）①因过点的直线不过点B，则直线斜率不为0， 设：.将直线与椭圆联立，则，消去得：. 因，设， 则. 则 ，令，则. 设,则， 因函数在上单调递减， 故,即, 故得,即的最小值为； ②由题，，则Q在以为直径的圆T上，B在圆T外， 如图，过B作圆T切线，切点为J，连接JQ，JM，由弦切角定理可得， 又，则，从而. 又连接，则，. 由（1），即， 则， 又由①得：， 则 ，因，则，此时. 则的最大值为. 3已知点为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线． 求曲线的方程； 若过点的直线与曲线相切，且与直线分别交于点． 证明：点为线段的中点； 求的取值范围． 【答案】解：为的垂直平分线上一点，则， ， 点的轨迹为以为焦点的双曲线，且，， 故点的轨迹方程为； 设，，． 双曲线的渐近线方程为，， 当直线的斜率存在时，设过点且与相切的直线的方程为， 与双曲线联立 由，且，故可得， 由 ，， 点为线段的中点， 当直线的斜率不存在时，直线的方程是，根据双曲线的对称性可知， 此时直线即是双曲线的切线，同时满足点为线段的中点， 综上，点为线段的中点； 由知，，， ， ， 当且仅当，即时取等号， ， 的取值范围为：． 4.已知抛物线的焦点是，如图，过点作抛物线的两条切线，切点分别是和，线段的中点为． （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：直线轴； （3）以线段为直径作圆，交直线于，求 的取值范围． 【分析】（1）设抛物线的方程为，由题意可得求得抛物线方程； （2），设，求出直线、的方程，求出点坐标和点坐标，由可得答案： （3）根据已知条件求出、圆心坐标、直线方程，且与椭圆方程联立，利用韦达定理求出，圆心到直线的距离为，半径，得到，令，代入利用单调性可得答案． 【解析】（1）设抛物线的方程为， 由题意可得，所以，所以抛物线方程. （2）由（1），因为，设， 直线的方程为，直线的方程为， 联立上述两直线方程，得点坐标， 又因为点为线段的中点，所以点坐标， 因为，所以直线轴： （3）因为点，所以，则，圆心， 直线的斜率为，直线方程为， ，得，，， 圆心到直线的距离为，半径， ，令， 在时单调递减，． 1 学科网（北京）股份有限公司 Q O x y P M $ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 重难点25 圆锥曲线的最值与范围问题 圆锥曲线中的参数范围及最值问题是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，此类问题考查频率较高，此类问题一般有长度、距离、面积、数量积、离心率等几何量的范围或最值问题，考查方式灵活多变，各类题型都有考查，在解答题中考查时难度较高；复习时要加强此类问题的训练，灵活求解. 知识点一、圆锥曲线中最值或范围问题类型： 1、距离型最值或范围： (1)两点间距离：可利用两点间距离公式，结合圆锥曲线方程，通过化简、配方等方法求最值或范围。 (2)点到直线距离：根据点到直线距离公式，结合圆锥曲线的性质来求解。 2、面积型最值或范围： （1）三角形面积：对于三角形面积的最值或范围问题，常利用三角形面积公式，结合圆锥曲线的方程和性质，通过转化为函数问题来求解。 （2）四边形面积：一般需将四边形分割为三角形进行求解，同样结合圆锥曲线的方程和性质，转化为函数求最值或范围。 3、角度型最值或范围： （1）直线夹角：通过正切公式等方法将角度问题转化为代数问题求解。 （2）向量夹角：利用向量的数量积公式和圆锥曲线方程来求解夹角的最值或范围。 4、斜率型最值或范围 直线斜率：设出直线方程，与圆锥曲线方程联立，利用判别式、韦达定理等求解斜率的最值或范围。 5、数量积型最值或范围 （1）向量数量积的最值或范围：已知圆锥曲线上两点对应的向量，求它们数量积的最值或范围。 （2）点到直线距离与向量数量积结合的最值或范围：涉及圆锥曲线上一点到某直线的距离，以及该点与另一点对应的向量数量积，求其最值或范围。 6、参数的最值或范围 知识点二、圆锥曲线中最值或范围问题的求解方法： 1. 几何法： 利用圆锥曲线的定义和几何性质，如椭圆的定义、抛物线的焦点准线性质等，将问题转化为几何图形中的最值问题来求解。 2. 代数法： ①建立目标函数：根据问题的条件，设出相关的变量，将所求的最值或范围问题转化为函数的最值或范围问题。 常见的函数有二次函数、三角函数、均值不等式等。例如，求某线段长度的最值，可以建立该线段长度关于某个变量的函数表达式，然后利用函数的性质求解。 ②判别式法：对于直线与圆锥曲线相交的问题，可以联立方程，利用判别式来确定参数的取值范围，进而求解最值或范围。 ③均值不等式法：当表达式具有特定形式时，可以利用均值不等式来求最值。但要注意等号成立的条件。 3. 参数方程法： 对于椭圆、双曲线、抛物线，可以分别利用参数方程来表示曲线上的点，将问题转化为参数的函数求最值或范围。 4. 转化法： 将所求问题转化为已知的最值或范围问题。例如，通过对称点转化问题，或者利用三角形两边之和大于第三边等性质进行转化。 题型1：长度或距离的最值与范围 【名师点拨】与距离或线段长度有关的最值与范围问题通常是把相关距离或线段长度表示成一个变量的函数，利用函数性质求最值与范围。 【例1】（2025上海市育才中学高三三模）设椭圆，的离心率是短轴长的倍，直线交于、两点，是上异于、的一点，是坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线过的右焦点，且，，求的值； （3）设直线的方程为，且，求的取值范围. 【例2】（2024上海普陀三模）已知点P为圆 上任意一点， 线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M 的轨迹为曲线H. (1)求曲线H的方程; (2)若过点M 的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M 为线段ST的中点. (i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点； (ii)求 的取值范围. 【跟踪训练】 1.（2025七宝中学高三三模）已知曲线：. (1)若曲线为双曲线，且渐近线方程为，求曲线的离心率； (2)若曲线为椭圆，且在曲线上.过原点且斜率存在的直线和直线（与不重合）与椭圆分别交于，两点和，两点，且点满足到直线和的距离都等于，求直线和的斜率之积； (3)若，过点的直线与直线交于点，与椭圆交于，点关于原点的对称点为，直线交直线交于点，求的最小值. 2. （2025复兴高级中学高三阶段练习）设有椭圆和直线．椭圆的左、右焦点分别为、．是上位于第一象限内的一点． （1）当时，求椭圆的离心率； （2）若且点在直线上，求的值； （3）设点满足，其中是点到的距离．当变化时，求的最小值． 3.（2025七宝中学高三三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，是椭圆的左焦点，若与椭圆上任一点距离的最大值为. （1）求椭圆的离心率； （2）若为椭圆的上顶点，为椭圆上的点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的的个数，并说明理由. （3）若斜率为的直线交椭圆于､两点，为以线段为直径的圆上一点，求的最大值. 4.（2025上海高三阶段练习）已知椭圆 的左右顶点为A₁，A₂， 左右焦点为F₁，F₂，过F₁，F₂分别作两条互相平行的直线l₁，l₂，其中l₁交E于A，B两点， l₂交E于C，D两点， 且点A，C位于x轴同侧， 直线A₁C与A₂A交于点P. 当l₁与x轴垂直时，△PF₁F₂是面积为1的等腰直角三角形. (1)求椭圆E的方程; (2)若直线A₁C与直线A₂A的斜率之和为1， 求直线l₁，l₂的方程; (3)求 的取值范围. 5．（25-26高三上·上海·月考）已知曲线C：. (1)若曲线C为双曲线，且渐近线方程为，求曲线C的离心率； (2)若，过点的直线与直线交于点M，与椭圆交于B，点B关于原点的对称点为C，直线AC交直线于点N，求线段MN的长的最小值； (3)若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，且在曲线C上．点A、B在曲线C上（P、A、B互不重合），若直线PA与PB的斜率存在且互为相反数，求线段AB的长的最大值． 题型2：斜率与角度的最值与范围 【例3】（2025上海高三阶段练习）已知双曲线的左顶点，渐近线方程为，直线经过点，与C交于不与A重合的两点P，Q， (1)求双曲线C的方程； (2)求直线AP，AQ的斜率之和； (3)设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值. 【例4】（2025上海高三阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，，四边形的面积为为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)求的角平分线所在的直线的方程； (3)过点A且斜率分别为直线分别与椭圆交于不同的两点，若点到直线的距离相等，当时，求的取值范围. 【例5】双曲线第二定义：设动点到定点的距离与点到定直线的距离的比是，当时，该动点的轨迹为双曲线．定点为双曲线焦点，定直线为双曲线准线，比值为双曲线离心率．已知动点满足到定点的距离与到定直线的距离的比是2，点坐标为． (1)求点的轨迹方程及的最小值； (2)直线与轨迹的右支交于两点，． （i）若直线过点且与两渐近线分别交于点，，求的取值范围； （ii）若，两点关于直线对称，并且过点．求的取值范围． 【跟踪训练】 1.（2023·上海黄浦·统考一模）已知椭圆的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于.动直线、都过点，斜率分别为k、，与椭圆C交于点A、P，与椭圆C交于点B、Q，点P、Q分别在第一、四象限且轴. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与x轴交于点N，求证：； (3)求直线AB的斜率的最小值，并求直线AB的斜率取最小值时的直线的方程. 2．（2025·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求抛物线的标准方程． (2)已知过点且互相垂直的直线与分别交于点与点，线段与的中点分别为．若直线的斜率分别为，求的取值范围． 3. 已知椭圆的右焦点为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的上、下顶点，四边形的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率不为的直线与椭圆相交于两点，直线与的交点为． ①若直线的倾斜角为，求线段的长度； ②试问是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果没有，说明理由． 4.（2025上海高三阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为F，点，过F的直线交C于M、N两点．当直线的斜率为1时，． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线、与抛物线C的另一个交点分别为A、B，，求的值； (3)若记直线、的倾斜角分别为、，求的最大值． 题型3：参数的最值与范围 【名师点拨】该类问题求解的基本思路一是把该参数用另一个量（如点的横坐标、纵坐标，直线的斜率等），把求参数最值与转化为求函数值域，二是由题中条件整理出关于该参数的不等式，求过解不等式求最值与范围 【例6】（2025上海市崇明中学高三三模）在平面直角坐标系中，已知椭圆:的右顶点为，点、分别是轴负半轴、轴正半轴上的动点. （1）若是的左焦点，且，求的值； （2）设，上存在轴上方一点.若，求的坐标； （3）设，过的直线与交于、两点(、两点不重合)，与轴交于且的纵坐标，记与到直线的距离分别为、.若存在直线，满足成立，求的取值范围. 【跟踪训练】 1. （2025上海外国语大学附属大境中学高三三模）已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为. （1）若到抛物线准线的距离为3，求的值； （2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离； （3）直线，是第一象限内上异于的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为.若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围. 2. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点 （1）设直线的方程为，求线段的长 （2）设直线经过点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程 （3）设，若存在经过点的直线，使得在抛物线上存在一点，满足，求的取值范围 3. （2025上海市崇明区高三三模）已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. （1）若椭圆上点满足，求的值； （2）点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； （3）已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值. 4. （2025上海市格致中学高三三模）在平面直角坐标系中，椭圆，左右焦点分别是，，点A是椭圆上的任意一点，A到原点O的距离最大为． （1）若面积的最大值为1，求椭圆的表达式； （2）若，过点A（异于顶点）作长轴的垂线，垂足为M，连接AO并延长交椭圆于另一点B，连接BM交椭圆于另一点C，证明：； （3）在（2）的条件下，过点A作不经过的直线l，其斜率为k，交椭圆于另一点D，到直线l的距离为d．如果直线、l、的斜率依次成等差数列，求d的取值范围． 5．（2025上海高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆E：的离心率为，右焦点F到椭圆E上任意一点的最小距离为1． (1)求椭圆E的方程； (2)设A，B为椭圆E的左，右顶点，过点F作直线l交椭圆E于C，D两点，C与A，B不重合），连接，交于点Q． ①求证：点Q在定直线上： ②设，，求的最大值． 题型4：向量数量积的最值与范围 【例7】（2025上海高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点. （1）若且点在第一象限，求点的坐标； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围. 【例8】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－． (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，过点M(0，2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求·＋·的取值范围． 【跟踪训练】 1.（25-26高三上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点. (1)若且点在第一象限，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围. 2.已知椭圆上右顶点到左焦点的距离为，上顶点的坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点； (3)在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于、两点，求的取值范围. 题型5：三角形面积的最值与范围 【名师点拨】求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键 (1)公式意识，把求三角形的面积转化为求距离、求角等； (2)方程思想，即引入参数，寻找关于参数的方程； (3)不等式意识，寻找关于参数的不等式，利用基本不等式等求最值. 1.三角形面积的最值与范围 【例9】已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点M在C上且在第一象限，，的面积为2. (1)求C的方程. (2)A，B是C上异于M的两个动点，直线MA与MB的斜率之积为1，证明：直线AB过定点. (3)点M关于x轴的对称点为N，分别过M，N作C的两条切线，这两条切线的交点G恰好在x轴上，，过S作C的切线，切点为R（异于点M），且与线段GN交于点T，求面积的最大值. 【跟踪训练】 1.（2025·甘肃白银·二模）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若线段的长是的中点到轴的距离是2. (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线和，分别交曲线于点和.设线段的中点分别为，求证：直线过定点； (3)若点是抛物线上一点（不同于坐标原点），是的内心，求面积的取值范围. 2.已知椭圆 的左右焦点分别为、 ，离心率 ，点、分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆上顶点的直线交椭圆于点，且，求直线的方程; (3)直线、过右焦点，且它们的斜率乘积为，设、分别与椭圆交于点、和、.若、分别是线段和的中点，求面积的最大值. 2.四边形面积的最值与范围 【例10】（2025建平中高三下学期三模）已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线的斜率分别为． （1）求直线在y轴上的截距之和； （2）若四边形为菱形，证明：直线之间的距离为定值； （3）若成等比数列，射线分别交椭圆于两点，求四边形面积的取值范围． 【跟踪训练】 1.（2025杨浦区高三5月质量检测）已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为，，是面积为1的直角三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. （1）求椭圆的离心率； （2）已知点，，求椭圆上动点到点的最大距离； （3）求四边形面积的取值范围. 2.（2025·上海杨浦·三模）已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为，，是面积为1的直角三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. (1)求椭圆的离心率； (2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； (3)求四边形面积的取值范围. 3.三角形面积关系式的最值与范围 【例11】（2025行知中学高三6月模拟）已知双曲线E：（，）的虚轴长为2，离心率为. （1）求双曲线E的标准方程： （2）过点的直线l与E的左、右两支分别交于A，B两点，点，直线BC与直线交于点N. （ⅰ）证明：直线AN的斜率为定值： （ⅱ）记，分别为，的面积，求的取值范围. 【例12】（2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）已知双曲线的右焦点为F，右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为. （1）求双曲线的离心率； （2）求证：为定值； （3）求的取值范围. 【例13】动点M到定点的距离与它到直线的距离之比为，记点M的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)设A，B为的左右顶点，点，点M关于x轴的对称点为，经过点M的直线与直线相交于点N，直线BM与BN的斜率之积为．记和的面积分别为，，求的最大值． 【跟踪训练】 1．已知抛物线的焦点为，横坐标为2的点在抛物线上，且，过点的直线交抛物线于，两点． (1)求抛物线的方程； (2)已知点，直线分别交抛物线于两点． （ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）求与面积和的最小值． 2.已知抛物线为第一象限内上任意一点，以为切点作的切线与轴交于点，与轴交于点，过点作垂直于的直线交于两点，其中点在第一象限，设与轴交于点. (1)若点的坐标为，求切线的方程； (2)若，求的值； (3)当时，连接，记的面积分别为，求的最小值. 题型6：坐标或截距最值与范围 【例14】已知椭圆的上顶点为，过点且与轴垂直的直线被截得的线段长为. （1）求椭圆的标准方程﹔ （2）设直线交椭圆于异于点的两点，以为直径的圆经过点线段的中垂线与轴的交点为，求的取值范围. 【跟踪训练】 1．（2022届上海市青浦区高三一模）已知抛物线. （1）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，求的值（其中为坐标原点）； （2）过抛物线上一点，分别作两条直线交抛物线于另外两点､，交直线于两点，求证：为常数 （3）已知点，在抛物线上是否存在异于点的两个不同点，使得若存在，求点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由. 2.（2024·陕西榆林·三模）已知椭圆的左､右焦点分别为，且在抛物线的准线上，点是上的一个动点，面积的最大值为. (1)求的方程； (2)设经过右焦点且斜率不为0的直线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围. 题型7：代数式的最值与范围问题 【例15】已知椭圆的左、右焦点分别是为上一点，且在中，． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点（点在点的上方），线段上存在点，使得，求的最小值． 【跟踪训练】 1.已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为． (1)求的方程； (2)若的面积为，求的方程； (3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值． 2.已知椭圆：的离心率为，右顶点为． (1)求的方程； (2)过点的直线交于M，N两点（B不在上），过N作直线的垂线，垂足为Q． ①求的最小值； ②求的最大值． 3.已知点为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线． 求曲线的方程； 若过点的直线与曲线相切，且与直线分别交于点． 证明：点为线段的中点； 求的取值范围． 4.已知抛物线的焦点是，如图，过点作抛物线的两条切线，切点分别是和，线段的中点为． （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：直线轴； （3）以线段为直径作圆，交直线于，求 的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $