重难点29：圆锥曲线证明问题的十种考法讲义-2026届上海市高考数学一轮复习

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 重难点29 圆锥曲线探究证明问题的十种考法 圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法． 类型一 数量关系的证明 题型01：证明斜率关系 【例1】（23-24松江高二下期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点在上，且. (1)求的方程； (2)若过点作两条直线与，与相交于，两点，与相交于，两点，线段和中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，，证明：，且为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知，根据点坐标，借助可表示出点坐标，然后带入抛物线方程，即可完成方程的求解； （2）由已知，分别设出四点坐标，然后利用坐标分别表示出直线，，，的斜率,即可证得，设和的中点分别为，，分别联立与抛物线方程，求得，的坐标，利用斜率公式表示，化简计算即可得出结果. 【详解】（1）设点，则，因为，， 所以，，所以点， 代入方程中，得，所以的方程为. （2）设点，，，， 则直线的斜率， 同理得直线的斜率， 直线的斜率， 直线的斜率， 所以， ， 从而得. 由消去得， 所以， 由，得或. 设和的中点分别为，， 则，， 同理，， 所以，即， 所以得. 【跟踪训练】 1．（山东·高考真题）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和. （1）求椭圆和双曲线的标准方程； （2）设直线、的斜率分别为、，证明； （3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）椭圆的标准方程为；双曲线的标准方程为 （Ⅱ）=1．（Ⅲ）存在常数使得恒成立， 【详解】试题分析：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知：， 2a＋2c＝4(＋1)，所以a＝2，c＝2. 又a2＝b2＋c2，因此b＝2.故椭圆的标准方程为＝1. 由题意设等轴双曲线的标准方程为＝1(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m＝2，因此双曲线的标准方程为＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则k1＝，k2＝. 因为点P在双曲线x2－y2＝4上，所以x－y＝4. 因此k1·k2＝·＝＝1，即k1·k2＝1. (3)由于PF1的方程为y＝k1(x＋2)，将其代入椭圆方程得(2k＋1)x2－8kx＋8k－8＝0， 显然2k＋1≠0，显然Δ＞0.由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝. 所以|AB|＝ ＝. 同理可得|CD|＝. 则， 又k1·k2＝1， 所以. 故|AB|＋|CD|＝|AB|·|CD|. 因此存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立． 2.（2026届高三崇明区一模）已知椭圆分别是的左右焦点.点均在上,且点是第一象限点.直线经过点，直线均经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)若，直线的方程； (3)求证:为定值. 【解析】(1)由椭圆，可得，则， 所以，所以椭圆的离心率为. (2)由（1）知，椭圆的左焦点，设，其中，则， 则向量，可得， 将代入得，解得，则，即， 可得，又由过点，所以的方程为， 即. (3)证明：设直线的斜率为，则方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 由直线过，设其直线方程为，联立方程组，整理得，设，可得， 因为在直线上，可得，化简得，则， 同理可得：设，可得，则，又因为， 又由， 即，所以. 3．设抛物线的焦点为，是上一点且，直线经过点． (1)求抛物线的方程； (2)①若与相切，且切点在第一象限，求切点的坐标； ②若与在第一象限内的两个不同交点为，且关于原点的对称点为，证明：直线的倾斜角之和为． 【解】（1）因为， 所以， 所以， 所以， 又P是C上一点， 所以， 所以，解得， 所以抛物线C的方程为． （2）①设切点坐标为， 因为，所以，切线的斜率为， 所以切线方程为， 将代入上式，得， 所以， 所以切点坐标为．     ②由①得，直线的斜率都存在， 要证：直线的倾斜角之和为， 只要证明：直线的斜率之和为．     设直线的方程为，，，, 则，，     由得， 所以，，，即，     所以， 即直线的倾斜角之和为．    题型02：证明角相等或倍分关系 【例2】（25-26上海高三阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为A，P为直线上一点.当时，，. （1）求椭圆E的方程. （2）过点P作椭圆E的切线，切点为B（异于点A），若，求； （3）在（2）条件下，证明：. 【答案】(1)(2)；（3）证明见解析 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）解：根据对称性，不妨设点在第一象限，且. ，. 因为，所以， ， 所以，解得（舍去），所以. （3）证明：根据对称性，不妨设点在第一象限，且，直线. 由，得. 由题意可得， 展开后整理得，. 直线的斜率，， 所以，所以. 【跟踪训练】 1. （2024-25长宁区高三监测练习试卷）已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，求证：； （3）若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）是，定值为 【分析】(1)利用双曲线的渐近线方程可设出双曲线的方程，再将点的坐标代入即可求解； (2)要证，只需证即可； (3)构造直角三角形，利用锐角三角函数即可求出定值. 【小问1详解】 因为双曲线的渐近线方程为， 所以设双曲线方程为，又双曲线过点， 则， 所以双曲线的方程为，即. 【小问2详解】 由(1)可知，的斜率存在且不为0，所以设的方程为， 联立，消去得， 设，由题意得， 所以，且， 所以 ， 所以，即得证. 【小问3详解】 由(2)可知恒成立，， 所以圆心到的距离， 半径， 设所对圆心角为， 则， 因为为劣弧，所以， 所以，所以，即所对圆心角的大小为定值. 2. （2025上海市徐汇中学高三三模）双曲线左顶点为A，右焦点为F，点B是双曲线C上一点． （1）当时，求双曲线两条渐近线的夹角； （2）若直线BF的倾斜角为，与双曲线C的另一交点为D，且，求b的值； （3）若，且，点E是双曲线C上位于第一象限的动点，求证：． 【答案】（1）；（2）或；（3）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）当时，求得双曲线的渐近线方程，结合两直线的夹角公式，即可求解； （2）设，得到直线的方程为，代入双曲线的方程，结合弦长公式列出方程，即可求解； （3）得到点的纵坐标，求得双曲线的方程，设，求得，，进而得到所以，即可得证. 【详解】（1）当时，双曲线的渐近线方程为， 设两条渐近线的夹角为，则， 所以两条渐近线的夹角为. （2）设，其中，则直线的方程为， 代入双曲线，整理得， 由题意，可得， 设，， 则， 又由，即，解得或. （3）由题意，故点的纵坐标满足， 由，所以，所以，，所以双曲线的方程是， 设，则，， 所以， 所以， 又因为，所以. 【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略： 对于直线与圆锥曲线位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力． 题型03：证明结论是定值或常数 【例3】（2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）已知双曲线的右焦点为F，右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为. （1）求双曲线的离心率； （2）求证：为定值； （3）求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）由题意求出，即可求得答案； （2）设直线PQ的方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系式，结合的表达式，即可证明结论； （3）利用直线方程求出相关点坐标，可得的表达式，即可求出的表达式，结合不等式性质，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意得，，∴. 【小问2详解】 证明：由题意知，， 设直线的方程为，， 联立方程组，得， 因为过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，故，. 则，， 则； 当直线斜率不存在时，，，， 故为定值. 【小问3详解】 由题意可得， 直线的方程为，则， 直线的方程为，则， 则. 所以， 由于.即，，故， 当直线斜率不存在时，，，直线方程为， 直线方程为，可得，，， 综上的取值范围为. 【跟踪训练】 1.（2025上海市进才中学高三5月模拟）在平面直角坐标系中，点，，，动点满足，记点的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点且斜率不为0的直线与相交于两点E，F（在的左侧）.设直线，的斜率分别为，. ①求证：为定值； ②设直线，相交于点，求证：为定值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义可知点在以，为焦点，为长轴长的椭圆上，即可求出轨迹方程； （2）①设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，即可得到再由斜率公式计算可得；②作关于轴的对称点，则，，三点共线，设，表示出直线、的方程，即可得到，，代入椭圆方程得到轨迹方程，结合双曲线的定义即可证明. 小问1详解】 由，， 所以点在以，为焦点，为长轴长的椭圆上， 设椭圆方程为，焦距为， 则，，所以， 所以的方程为. 【小问2详解】 ①由，直线的斜率存在且不为． 设直线的方程为，，，， 联立，得， 则，，， 所以． 又，所以，， 所以 . ②由①知，所以． 作关于轴的对称点，则，，三点共线． 又，，设. 则直线方程即为直线方程. 又直线方程为， 作差，得， 所以， 所以，， 由，得． 又因为，所以， 即，即， 所以点在以，为焦点，为实轴长的双曲线的左支（椭圆内部）上运动， 所以． 2.（2026届高三宝山区一模）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切,求的最小值; （3）如图，、是双曲线上两点，直线、与轴分别交于点、，点在直线上.若关于原点对称，且，证明:存在点，使得为定值. 【解析】（1）由得, 化简得 点在双曲线上,则 计算得 所以双曲线的标准方程为. （2）由题意可知 设,则,所以 当时,取得最小值2. （3）设点、 易知直线的斜率存在,设直线的方程为 联立得 由韦达定理:, 且 直线的方程为,令可得 同理可得 因为关于原点对称,所以 所以 整理得 代入韦达定理得 化简得 即 当时,直线的方程为此时直线过点, 不合题意，舍； 当时,直线的方程为,此时直线过定点 则为定值 又, 所以当为中点时,也为定值,此时. 3．已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)已知，点P为椭圆C上一点． （ⅰ）若点P在第一象限内，延长线交y轴于点Q，与的面积之比为1∶2，求点P坐标； （ⅱ）设直线与椭圆C的另一个交点为点B，直线与椭圆C的另一个交点为点D．设，求证：当点P在椭圆C上运动时，为定值． 【解】（1）由题意知，，则①， 又因点在上， 所以②，联立①、②式可得， 解之可得，，所以椭圆方程为. （2）(i)由题意知，直线的斜率一定存在， 设其方程为，根据题意可知，如图所示， 令，则，即点坐标为， 设点到直线的距离为， 又因是的中点，所以点到直线为， 又因与的面积之比为1∶2， 所以，所以， 即点是的中点，所以可得点坐标为， 又因点在椭圆上，所以， 解之可得，所以点坐标为； (ii)设，，直线的方程为， 其中，则， 联立，可得， 根据韦达定理可知，因为， 所以，所以， ， 设直线的方程为，其中， 同理可得， 所以 ， 所以为定值. 4. （2025行知中学高三6月模拟）已知双曲线E：（，）的虚轴长为2，离心率为. （1）求双曲线E的标准方程： （2）过点的直线l与E的左、右两支分别交于A，B两点，点，直线BC与直线交于点N. （ⅰ）证明：直线AN的斜率为定值： （ⅱ）记，分别为，的面积，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的虚轴长和离心率公式求出、的值，进而得到双曲线的标准方程； （2）（i）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出相关点的坐标关系，进而证明直线AN的斜率为定值； （ii）根据三角形面积公式求出的表达式，再根据条件确定其取值范围. 【小问1详解】 已知双曲线的虚轴长为，则，解得. 又因离心率，且，把代入可得. 由可得，将其代入中，得到. 解得，所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）当斜率为0时： 已知，BC方程. 令，则，解得，所以. . 当斜率不为0时： 设AB方程，与联立： 把代入得. 由韦达定理得，. 因为直线交左右两支，有，解得. BC方程，令，得，即. 则，经化简得， 把，代入. 先看分子： 再看分母： 此时. 因为，，约分后可得. （ⅱ）当斜率为0时，因为，两三角形相似，. 当斜率不为0时，不妨设，，，所以. . ，代入与的值得. 因为，所以，结合，解得. 所以. 综上，取值范围是. 题型04：线段相等或比例关系 【例4】(2025闵行区高二阶段练习)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1，l2，C上一点A(4，)到l1，l2的距离之积为. (1)求双曲线C的方程； (2)设双曲线C的左、右两个顶点分别为A1，A2，T为直线l：x＝1上的动点，且T不在x轴上，直线TA1与C的另一个交点为M，直线TA2与C的另一个交点为N，直线MN与x轴的交点为P，直线l与MN的交点为Q，证明＝. 解(1)　因为A(4,)在=1上, 则=1, ① 因为l1,l2的方程分别为 bx-ay=0,bx+ay=0. A(4,)到l1,l2的距离之积为, 则, ② 由①②解得a2=4,b2=1, 所以双曲线C的方程为-y2=1. ③ (2)证明　因为A1(-2,0),A2(2,0), 设T(1,s),M(x1,y1),N(x2,y2), 则, , 所以, ④ 因为, 且M在双曲线上,则-1,代入上式得, 把④代入上式得:. ⑤ 设直线MN:x=my+t,代入③得(m2-4)y2+2mty+t2-4=0, 则y1+y2=, ⑥ y1y2=, ⑦ 由⑤得:, 即(3m2+4)y1y2+3m(t-2)(y1+y2)+3(t-2)2=0, 把⑥⑦代入上式得:(3m2+4)×+3m(t-2)×+3(t-2)2=0, 因为t≠2,所以[3(t+2)-6t+3(t-2)]m2-8t+32=0, 则8t=32,t=4. 则lMN:x=my+4,所以P点坐标为(4,0). 不妨设y1,y2>0, 因|PM|=y1, 同理|PN|=y2, 令x=my+4=1, 则yQ=-, 同理:|QM|=, |QN|=, 要证明,只需证明, 即证明2y1y2+(y1+y2)=0, 将t=4和⑥⑦代入上式显然成立, 所以. 【跟踪训练】 1.已知抛物线的焦点为，过点且斜率为2的直线与交于A，B两点，且． (1)求的方程； (2)过点作轴的平行线是动点，且异于点，过点作AP的平行线交于，两点，证明：． 【解】（1）设． 因为点的坐标为，所以， 由得， 则， 从而 得，所以的方程为． （2）证明：因为点的坐标为，直线MN的斜率不为0，所以设直线MN的方程为． 设，由可得， 则 所以． 由（1）可知， 因为点A，P的纵坐标分别为，且，所以 可得，即． 2．（2025上海实验学校高三阶段练习）已知椭圆的长轴是短轴的倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为是椭圆左右顶点，过做椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点（在的左侧），并过两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于. (1)求椭圆的标准方程. (2)若，直线与的斜率分别为与，求的值. (3)求证： 【解】（1）由题意：. 所以椭圆的标准方程为：. （2）设过点的切线方程为：，即， 由，消去，整理得：， 由， 整理得：， 所以. （3）设（），的延长线交轴于点，如图： 、两点处切线斜率分别为，则. 设点的椭圆的切线方程为：，即， 由消去， 化简整理得：， 由得： 化简整理得：， 由韦达定理，得：，， 所以，， 所以要证明，只需证明：， 即 ， 因为，所以上式成立， 即成立. 题型05：证明坐标间的关系 【例5】（全国·高考真题）如图，椭圆的长轴与x轴平行，短轴在y轴上，中心为． (1)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率； (2)直线交椭圆于两点；直线交椭圆于两点，．求证：； (3)对于（2）中的中的在，，，，设交轴于点，交轴于点，求证：（证明过程不考虑或垂直于轴的情形） 【答案】(1)椭圆方程为；焦点坐标为，；离心率 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的长轴与轴平行，短轴在轴上，中心，即可得椭圆方程，从而可得焦点坐标与离心率； （2）将直线的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，可得；将直线的方程代入椭圆方程，同理可得，由此可得结论； （3）设点，点，由、、共线，得；由、、共线，可得，由此可得结论． 【详解】（1）解：椭圆的长轴与轴平行，短轴在轴上，中心， 椭圆方程为 焦点坐标为， 离心率 （2）证明：将直线的方程代入椭圆方程，得 整理得 根据韦达定理，得，， 所以① 将直线的方程代入椭圆方程，同理可得② 由 ①、②得 所以结论成立. （3）证明：设点，点 由、、共线，得 解得 由、、共线，同理可得 由变形得 所以 即 【跟踪训练】 1.（上海市曹杨第二中学2023届高三三模）已知椭圆：，、是轴上不重合的两点，过点作不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，直线、分别与直线交于、两点.    (1)若点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； (2)设为线段的中点，且，求证：； (3)是否存在实数，使得为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【详解】（1）由， 知直线的方程为， 直线的方程为， 在中，令，则，即， 联立，解得或， 所以点， 所以直线的方程为， 令，则， 故点的坐标为. （2）因为为线段的中点， 所以， 所以， ， 因为，所以， 即， 所以， 所以， 故.    （3）设直线的方程为， 联立得， 易得，所以，， 由， 知直线方程为， 令，则，即， 同理可得，点， 所以， 而， ， 所以， 故当，即时，是定值. 题型06：证明不等关系 【例6】（2025·上海普陀·二模）设，点分别是椭圆的上顶点与右焦点，且，直线经过点与交于两点，是坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若，点是轴上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)若点在直线上，向量在直线上的投影为向量，证明. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据焦点坐标和的长度求出基本量后可得椭圆的标准方程； （2）求出直线与椭圆的交点后可得关于横坐标的方程，从而可求其坐标. （3）利用两角和的正切结合韦达定理可证. 【详解】（1）， 直线l过所以右焦点，即， 所以，椭圆方程为. （2）当，直线，， 解得， ， 设，到直线距离， 由面积，得或， 即或 . （3）    设， 因为向量在直线上的投影为向量，故， 故直线的斜率为，故直线的方程为，故， 而， 故， 联立， ，， 故， 设，设， 由双勾函数的性质可得在为增函数， 故，故， . 【跟踪训练】 1.（2025上海高二阶段练习）已知为椭圆上一点，过动点作的两条切线，切点分别为，点在直线上，且（为坐标原点）． (1)求的方程； (2)证明点在定圆上，并求该圆的方程； (3)若点都在第一象限，直线交于两点，记的面积为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)证明见解析 【分析】（1）将已知点代入椭圆方程即可得解； （2）设直线的方程为，与椭圆的方程联立，利用，进而得到直线的方程，再设，根据，利用向量内积为0，解出定圆，即可得证； （3）设直线的方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理求出，再结合直线与圆相切的条件以及点的位置关系求出三角形面积，即可得证. 【详解】（1）将代入，得， 解得，所以的方程为； （2）根据题意作图如下： 设直线的方程为，与椭圆的方程联立得，消去， 得， 又，化简得， 代入， 得，即，所以， 则， 所以直线的方程为； 设，则， 由，得， 即，所以点在定圆上； （3）根据题意作图如下： 设直线的方程为， 因为，所以，所以点不在轴上， 则直线的斜率，且， 令，有，故， 设，直线与椭圆的方程联立得，消去， 得， 所以， 则， 由（2）知点在圆上，又， 所以直线与圆相切， 所以圆心到直线（即）的距离为， 所以，则； 因为点在椭圆上，点在圆上，且都在第一象限， 所以， 则， 设点到直线的距离为， 所以， 由式有，故. 2.在平面直角坐标系xOy中，动点P(x，y)与定点F(1，0)的距离和P到定直线l：x＝4的距离的比是常数，记动点P的轨迹为W. (1)求W的方程； (2)过动点T(0，t)(t<0)的直线交x轴于点H，交W于点A，M(点M在第一象限)，且＝2.作点A关于x轴的对称点B，连接BT并延长交W于点N.证明：直线MN斜率不小于. 解　(1)结合题意,设点P到定直线l:x=4的距离为d, 则, 所以, 化简得=1. 故W的方程为=1. (2)证明　由题意可知,直线AM的斜率存在,故可设直线AM的方程为y=kx+t(k>0), 设A(x1,y1), M(x2,y2), 所以B(x1,-y1),H, 因为,所以(-x1,t-y1)=2,且T(0,t)在椭圆内部. 所以A,B, 联立 消y得(3+4k2)x2+8ktx+4t2-12=0, 所以x1+x2=, 所以x2=,y2=, 即点M, 因为B,T(0,t), 所以kBT==-2k, 所以直线BT的方程可设为y=-2kx+t, 设N(x3,y3),联立 (3+16k2)x2-16ktx+4t2-12=0, 所以x1+x3=, x3=, y3=-2kx3+t=-2k+t =, 故N, 所以直线MN斜率为kMN= = =×k =k, 结合题意可知k>0, 即kMN=k =2k+, 当且仅当2k=,即k=时,直线MN的斜率取得最小值. 故直线MN斜率不小于. 类型二 位置关系的证明 题型07：证明平行垂直关系 【例7】已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）结合题意得到，，再结合，解之即可； （2）依题意求得直线、与的方程，从而求得点的坐标，进而求得，再根据题意求得，得到，由此得解. 【详解】（1）依题意，得，则， 又分别为椭圆上下顶点，，所以，即， 所以，即，则， 所以椭圆的方程为. （2）因为椭圆的方程为，所以， 因为为第一象限上的动点，设，则，        易得，则直线的方程为， ，则直线的方程为， 联立，解得，即， 而，则直线的方程为， 令，则，解得，即， 又，则，， 所以 ， 又，即， 显然，与不重合，所以. 【跟踪训练】 1.（全国甲理2024）设椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 【解】（1）设，由题设有且，故，故，故， 故椭圆方程为. （2）直线的斜率必定存在，设，，， 由可得， 故，故， 又， 而，故直线，故， 所以 ， 故，即轴. 2. （2025建平中学高三阶段练习）已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且，圆O的方程是． （1）求双曲线C的方程； （2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求证：为定值； （3）若过圆O上点作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【分析】（1）设，的坐标，利用点在双曲线上，，可得，利用双曲线的定义，可得双曲线的方程； （3）确定两条渐近线方程，设双曲线上的点，，求出点到两条渐近线的距离，利用，在双曲线上，及向量的数量积公式，即可求得结论． （3）设，，，，切线的方程为：代入双曲线中，利用韦达定理，结合向量的数量积，可得结论． 【详解】解：（1）设，的坐标分别为 因为点在双曲线上，所以，即，所以 在△中，，，所以 由双曲线的定义可知： 故双曲线的方程为： （3）解：由条件可知：两条渐近线分别为， 设双曲线上的点，，则点到两条渐近线的距离分别为， 所以 因为，在双曲线上，所以 故 设和的夹角为，则由，可得 所以 （3）设，，，，切线的方程为： ①当时，切线的方程代入双曲线中，化简得： 所以： 又 所以 ②当时，易知上述结论也成立． 所以 所以 3．（2024·上海奉贤·二模）已知曲线 ，是坐标原点， 过点的直线与曲线交于，两点. (1)当与轴垂直时，求的面积； (2)过圆上任意一点作直线，，分别与曲线切于，两 点，求证：；    (3)过点的直线与双曲线交于，两点（，不与轴重合）.记直线的斜率为，直线斜率为， 当时，求证：与都是定值.    【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）将代入椭圆方程，求出，再计算三角形面积； （2）设，当时求出，从而确定、、（一组）的坐标，说明，当时，设，的斜率分别为，直线，得到联立直线与椭圆的方程，由得到化为关于的一元二次方程为，利用韦达定理得到，即可得证； （3）设、、、，直线、的斜率分别为、，设直线，联立直线与曲线的方程，消元、列出韦达定理，由得，即可求出，设直线，与双曲线联立，消元、列出韦达定理，由斜率公式计算可得. 【详解】（1）由题可知，直线为，                        代入椭圆方程，解得，                                所以. （2）设， 当时， ，不妨取，，， 则，，所以，即成立；       当时，设，的斜率分别为，直线， 由， 因为直线与椭圆相切，所以， 即，                       化简可得， 化为关于的一元二次方程为，             所以.                                               因为在圆上，所以， 代入上式可得， 综上可得.          （3）设、、、， 直线、的斜率分别为、， 设直线，与椭圆联立得， 则，，，                            由得，                          即，                     计算分子部分： ，所以，           设直线，与双曲线联立得， 则，，，， 所以， 计算分子部分 ， 所以，                                    综上可得、均为定值.    【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 题型08：证明三点共线 【例8】（2024·上海杨浦·一模）如图所示，已知抛物线，点是抛物线上的四个点，其中在第一象限，在第四象限，满足，线段与交于点.记线段与的中点分别为. (1)求拋物线的焦点坐标； (2)求证：点三点共线； (3)若，求四边形的面积. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）由抛物线方程可直接得焦点坐标； （2）当直线AB，CD斜率不存在时，由对称性可证明结论；当直线AB，CD斜率存在时，设直线MN与线段AC，BD交点为P，Q，证明P，Q重合即P，Q为H时可证明结论； （3）由（2）结合，可得，后由，可得与四边形面积组成部分的比例关系，即可得答案. 【详解】（1）因抛物线方程为，则焦点坐标为； （2）证明：设. 若，则直线AB，CD斜率不存在， 由对称性，可知M，N，H均在x轴上，则三点共线； 若，则直线斜率存在， 直线方程为：，结合， 则， 同理可得方程：，方程：， BD方程：.设， 因，则. 则直线MN与x轴平行，设直线MN与线段AC，BD交点为. 将代入直线AC方程， 则； 将代入直线BD方程， 则. 注意到 ，又，则P，Q两点重合， 即P，Q为线段与交点H，且点三点共线； （3）由（2），直线MN与x轴平行， 则. 又，同理可得， 又由（2）， 则， 由，则， 即. 则 . 如图，过B作MN平行线，交CD为E，则四边形MBEN为平行四边形， 结合，则，. 因，则，结合， 则，又M为AB中点，则N为DE中点. 则， 则四边形的面积. 【点睛】关键点睛：对于所涉点较多的圆锥曲线综合问题，常不设直线，而改为设点，并用点的坐标结合曲线方程化简直线方程；对于不规则图形面积，常分割为多个三角形求面积. 【跟踪训练】 1.（25-26格致中学高三阶段练习）已知椭圆：（）的右焦点为，且点到长轴两个端点的距离分别为和，为坐标原点. (1)求的方程. (2)过点且不与轴重合的直线与交于两点，若的面积为，求的方程； （3）在（2）条件下，线段的中点为，在点处分别作的切线，两切线相交于点，求证：，，三点共线. 【答案】(1)； (2)或或或； （3）证明见解析. 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组，解得，从而可得，即可得椭圆方程； （2）设直线，联立方程组，根据韦达定理计算的面积，可解得或，即可得直线方程； （3）利用中点坐标公式计算出点的坐标，即可得；设出以点为切点的切线方程，与椭圆方程联立，利用根的判别式可求出切线斜率，即可得出切线方程，同理可得点为切点的切线方程，联立两切线方程可求得点的坐标，即可得，由可证得三点共线. 【详解】（1）由题意可得，解得，则， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，，设直线， 联立，可得， 则， 设，则. ， 则， 整理可得即，解得或，则或， 所以，直线的方程为或或或. （3）设点，则，，所以. 设以点为切点的切线方程为即， 联立，可得， 则， 整理得， 则， 因为点是椭圆上的点，所以，即， 则， 所以以点为切点的切线方程为. 同理可得，以点为切点的切线方程为. 联立两切线方程，消去，可得，整理得, 结合化简可得， 由题意，，故，代入直线方程，可得， 所以，则,其中， 故，，三点共线. 题型09：证明过定点、在定直线定圆上 【例9】（2024·上海徐汇·二模）已知椭圆，分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点（不过点）. (1)若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积； (2)若，求直线的方程； (3)若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设点，直接计算，结合点在椭圆上化简即得； （2）设，由向量线性运算的坐标表示得出，再利用在椭圆上，可求出（或）的坐标，然后可得直线方程； （3）设，易知直线的斜率不为，设其方程为（），直线方程椭圆方程整理后应用韦达定理得，把它代入可求得的确定值，从而得定点坐标． 【详解】（1）在椭圆 中，左、右顶点分别为， 设点，则 . （2）设，由已知可得，， 由得，化简得 代入可得， 联立解得 由得直线过点，， 所以，所求直线方程为. （3）设，易知直线的斜率不为，设其方程为（）， 联立，可得， 由，得. 由韦达定理，得.，. 可化为， 整理即得， ，由， 进一步得，化简可得，解得， 直线的方程为，恒过定点. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的直线过定点问题，一般可设直线与圆锥曲线的交点为，设出直线方程为或，直线方程代入圆锥曲线方程后化简整理后应用韦达定理得（或），代入题中关于交点的其他条件化简可得出（或）的关系，从而得出定点坐标． 【跟踪训练】 1. （2025华东师大三附中高三三模）已知双曲线过点，且离心率为． （1）求的方程； （2）设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； （3）若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率得，再根据双曲线所过的点求出基本量后可得双曲线方程； （2）设直线的方程为，由已知距离得，联立直线方程和双曲线方程结合韦达定理可求，故可求； （3）法1：设出直线方程，联立直线方程和双曲线方程后消元，再结合韦达定理化简斜率之和得直线参数关系，从而可求定点；法2：平移双曲线图象，使点平移到坐标原点，设平移后的直线的方程为：，齐次化后结合斜率为1可得参数关系，从而可求出原直线所过的定点. 小问1详解】 由，得， 则双曲线的方程为，将点代入的方程中，得． 解得，故，所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，因为点到直线的距离为1， 作出简图如下所示， 所以，即． 设，，由于直线与交于点，所以， 联立整理得． 则，， 且， 故， 所以， 则．故． 【小问3详解】 法一：当直线的斜率为0时，可设其方程为，则，， 则即， 又在双曲线上，所以，联立可得，所以或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 故此时直线的方程为． 当直线的斜率不为0时， 设的方程为，设，， 联立得，其 则，且 而 ， 化简得． 代入（※）式，得， 即，所以或． （ⅰ）当时， 的方程为，此时直线过定点． （ⅱ）当时，的方程为， 此时直线过定点，与是双曲线上异于的两点矛盾，故舍去． 综上，直线过定点． 2.（2026届嘉定区高三一模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为,点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)若是上的任意一点，求的最小值； (3)过点的动直线与抛物线交于两点，过点分别作的切线，两条切线相交于点,求证:点的轨迹是一条直线. 【解析】 (1)设点的坐标是,则. 解,得. 因此,点的坐标是或. (2)设点到准线的距离为,则. 因此抛物线的准线方程为 (求出焦点坐标一样给分) 根据抛物线定义,抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离.过作准线于, 过作准线于,则 等号当垂直于准线时取到，而到准线的距离为，故所求的最小值为 (3)直线的斜率存在，设为，则直线的方程为 与联立,得 设,则 由,抛物线在处的切线方程为,化简得. 同理,抛物线在处的切线方程为 联立切线方程,解得的坐标为. 设消去(的取值范围为一切实数),得即为的轨迹方 程,因此的轨迹是一条直线 3．（2024·上海静安·一模）如图的封闭图形的边缘由抛物线和垂直于拋物线对称轴的线段组成.已知，拋物线的顶点到线段所在直线的距离为. (1)请用数学符号语言表达这个封闭图形的边缘； (2)在该封闭图形上截取一个矩形，其中点在线段上，点抛物线上.求以矩形为侧面，为母线的圆柱的体积最大值； (3)求证：抛物线的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上. 【答案】(1)详见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）建立坐标系，求抛物线的方程及的方程即可； （2）结合圆柱的性质及体积公式求出圆柱的体积表达式，再求其最值； （3）结合导数的几何意义求切线方程，再求两切线交点，由此证明结论. 【详解】（1）如图建立平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 则曲线过点，所以，故， 所以，曲线的方程为， 线段的方程为， （2）设，则 . 以为母线的圆柱的底面半径满足， 所以， 所以圆柱的体积 . 所以， 所以，当时，其体积取得最大值； （3）证明： 因为函数的导函数， 所以，抛物线上任意一点的切线斜率为， 设是抛物线上两条相互垂直的切线，切点分别为， 则其方程分别为 ， 且， 消去，解得， 因为，得. 故抛物线的任何两条相互垂直的切线的交点都在直线上. 题型10：证明切线及其它 【例10】（2025上海宝山区高三三模）如图，是抛物线上一点，过点的直线与轴分别交于两点，且是线段的中点，是抛物线上异于点的动点. （1）证明：直线是抛物线的切线； （2）已知，且的重心是的焦点，求所在的直线方程； （3）若分别在线段上，且交于点，求证：点是的重心. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先设出点坐标，根据中点关系得点坐标，求直线PA斜率，进而得直线方程，再联立直线与抛物线方程，通过判别式证直线是抛物线切线. （2）设、坐标及其中点，由已知条件求出坐标.假设直线PQ斜率不存在推出矛盾，所以斜率存在.设直线PQ方程，联立抛物线方程，根据韦达定理及已知的值求出斜率，从而得直线PQ方程. （3）利用E、、三点共线得到向量关系，结合已知线段比例关系设参数，通过向量运算及是中点的条件，得出与、的关系，进而判断是重心. 【小问1详解】 设，因为是线段的中点，所以. 则，所以直线的方程为， 即. 联立，整理得，所以， 因此，直线是抛物线的切线. 【小问2详解】 设中点为， 由已知得， 解得，从而 若直线斜率不存在，则，与重心矛盾，故斜率存在； 设 联立得：， 因为，所以 所以所在直线方程是 【小问3详解】 因为三点共线，所以. 又因为，设，则， 所以， 所以， 因为是线段的中点，所以，即，所以， 所以是的重心. 【跟踪训练】 1．已知抛物线C：上一点到其准线距离为1． (1)求抛物线C的方程； (2)①如图1所示，点O为坐标原点，过点作直线与抛物线C切于点M，N，直线MN与y轴交于点G，求点G的坐标； ②在①的条件下，如图2所示，若点A在地物线E：上，直线AM、AN与抛物线E分别交于B，P两点，求证：BP与抛物线C相切． 【解】（1）由题意知抛物线C准线方程为， 所以抛物线C方程为, （2）①设切点,, 抛物线C方程可转化为，所以 因此可设直线AM方程为 设直线AN方程为 带入得： 所以直线MN方程为 令，得， 所以点G的坐标为． ②设直线AM方程为 设直线AN方程为 考虑直线与相切， 消去y得 得， 即 所以，（*） 再联立直线与， 消去x得 设交点，， 则 所以，同理 又因为： 也即：，联立，消去y 得 所以 ， 代入（*）式，得 代入 得 所以直线BP与抛物线C相切． 2．（24-25高三下·上海·月考）设为坐标原点，点，、为椭圆上的点，直线经过的重心. (1)求椭圆的离心率； (2)若点的坐标为 求点的坐标； (3)的边、与椭圆分别交于、两点，点在四边形内，求证：和的面积相等. 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【详解】（1）在椭圆中，，，则，故. （2）设点、，则的重心为， 易知直线的方程为，且点在直线上， 所以，，即， 因为，两式作差可得， 即， 即，所以，， 因为点，所以，直线的方程为，即， 联立可得， 由韦达定理可得，可得，则， 故点的坐标为. （3）由（2）可知，直线的斜率为，设直线的方程为， 由于原点在四边形内，由图可知，， 联立可得， 则，又因为，解得， 由韦达定理可得，， 设直线、的斜率分别为、， ，同理， 所以， ， 设点、， 当的斜率不存在时，则，，其中， 所以，，，此时，， 若，则，，不妨取点、， 此时，直线的方程为， 联立解得，即点， 由题意可知，，矛盾，故直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立可得， ，整理可得， 由韦达定理可得，， ， 整理可得， 代入韦达定理并整理可得对满足的实数恒成立， 所以，，解得，故， 设直线分别交线段、于点、，则为的中点， 所以，， 因为，故， 所以，，，，， 所以，， 即和的面积相等. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 重难点29 圆锥曲线证明问题的十种考法 圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法． 类型一 数量关系的证明 题型01：证明斜率关系 【例1】（23-24松江高二下期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点在上，且. (1)求的方程； (2)若过点作两条直线与，与相交于，两点，与相交于，两点，线段和中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，，证明：，且为定值. 【跟踪训练】 1．（山东·高考真题）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和. （1）求椭圆和双曲线的标准方程； （2）设直线、的斜率分别为、，证明； （3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 2.（2026届高三崇明区一模）已知椭圆分别是的左右焦点.点均在上,且点是第一象限点.直线经过点，直线均经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)若，直线的方程； (3)求证:为定值. 3．设抛物线的焦点为，是上一点且，直线经过点． (1)求抛物线的方程； (2)①若与相切，且切点在第一象限，求切点的坐标； ②若与在第一象限内的两个不同交点为，且关于原点的对称点为，证明：直线的倾斜角之和为． 题型02：证明角相等或倍分关系 【例2】（25-26上海高三阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为A，P为直线上一点.当时，，. （1）求椭圆E的方程. （2）过点P作椭圆E的切线，切点为B（异于点A），若，求； （3）在（2）条件下，证明：. 【跟踪训练】 1. （2024-25长宁区高三监测练习试卷）已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，求证：； （3）若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 2. （2025上海市徐汇中学高三三模）双曲线左顶点为A，右焦点为F，点B是双曲线C上一点． （1）当时，求双曲线两条渐近线的夹角； （2）若直线BF的倾斜角为，与双曲线C的另一交点为D，且，求b的值； （3）若，且，点E是双曲线C上位于第一象限的动点，求证：． 题型03：证明结论是定值或常数 【例3】（2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）已知双曲线的右焦点为F，右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为. （1）求双曲线的离心率； （2）求证：为定值； （3）求的取值范围. 【跟踪训练】 1.（2025上海市进才中学高三5月模拟）在平面直角坐标系中，点，，，动点满足，记点的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点且斜率不为0的直线与相交于两点E，F（在的左侧）.设直线，的斜率分别为，.①求证：为定值； ②设直线，相交于点，求证：为定值. 2.（2026届高三宝山区一模）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切,求的最小值; （3）如图，、是双曲线上两点，直线、与轴分别交于点、，点在直线上.若关于原点对称，且，证明:存在点，使得为定值. 3．已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)已知，点P为椭圆C上一点． （ⅰ）若点P在第一象限内，延长线交y轴于点Q，与的面积之比为1∶2，求点P坐标； （ⅱ）设直线与椭圆C的另一个交点为点B，直线与椭圆C的另一个交点为点D．设，求证：当点P在椭圆C上运动时，为定值． 4. （2025行知中学高三6月模拟）已知双曲线E：（，）的虚轴长为2，离心率为. （1）求双曲线E的标准方程： （2）过点的直线l与E的左、右两支分别交于A，B两点，点，直线BC与直线交于点N. （ⅰ）证明：直线AN的斜率为定值： （ⅱ）记，分别为，的面积，求的取值范围. 题型04：线段相等或比例关系 【例4】(2025闵行区高二阶段练习)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1，l2，C上一点A(4，)到l1，l2的距离之积为. (1)求双曲线C的方程； (2)设双曲线C的左、右两个顶点分别为A1，A2，T为直线l：x＝1上的动点，且T不在x轴上，直线TA1与C的另一个交点为M，直线TA2与C的另一个交点为N，直线MN与x轴的交点为P，直线l与MN的交点为Q，证明＝. 【跟踪训练】 1.已知抛物线的焦点为，过点且斜率为2的直线与交于A，B两点，且． (1)求的方程； (2)过点作轴的平行线是动点，且异于点，过点作AP的平行线交于，两点，证明：． 2．（2025上海实验学校高三阶段练习）已知椭圆的长轴是短轴的倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为是椭圆左右顶点，过做椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点（在的左侧），并过两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于. (1)求椭圆的标准方程. (2)若，直线与的斜率分别为与，求的值. (3)求证： 题型05：证明坐标间的关系 【例5】（全国·高考真题）如图，椭圆的长轴与x轴平行，短轴在y轴上，中心为． (1)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率； (2)直线交椭圆于两点；直线交椭圆于两点，．求证：； (3)对于（2）中的中的在，，，，设交轴于点，交轴于点，求证：（证明过程不考虑或垂直于轴的情形） 【跟踪训练】 1.（上海市曹杨第二中学2023届高三三模）已知椭圆：，、是轴上不重合的两点，过点作不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，直线、分别与直线交于、两点.    (1)若点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； (2)设为线段的中点，且，求证：； (3)是否存在实数，使得为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型06：证明不等关系 【例6】（2025·上海普陀·二模）设，点分别是椭圆的上顶点与右焦点，且，直线经过点与交于两点，是坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若，点是轴上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)若点在直线上，向量在直线上的投影为向量，证明. 【跟踪训练】 1.（2025上海高二阶段练习）已知为椭圆上一点，过动点作的两条切线，切点分别为，点在直线上，且（为坐标原点）． (1)求的方程； (2)证明点在定圆上，并求该圆的方程； (3)若点都在第一象限，直线交于两点，记的面积为，证明：． 2.在平面直角坐标系xOy中，动点P(x，y)与定点F(1，0)的距离和P到定直线l：x＝4的距离的比是常数，记动点P的轨迹为W. (1)求W的方程； (2)过动点T(0，t)(t<0)的直线交x轴于点H，交W于点A，M(点M在第一象限)，且＝2.作点A关于x轴的对称点B，连接BT并延长交W于点N.证明：直线MN斜率不小于. 类型二 位置关系的证明 题型07：证明平行垂直关系 【例7】已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 【跟踪训练】 1.（全国甲理2024）设椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 2. （2025建平中学高三阶段练习）已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且，圆O的方程是． （1）求双曲线C的方程； （2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求证：为定值； （3）若过圆O上点作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，求证：． 3．（2024·上海奉贤·二模）已知曲线 ，是坐标原点， 过点的直线与曲线交于，两点. (1)当与轴垂直时，求的面积； (2)过圆上任意一点作直线，，分别与曲线切于，两 点，求证：；    (3)过点的直线与双曲线交于，两点（，不与轴重合）.记直线的斜率为，直线斜率为， 当时，求证：与都是定值.    题型08：证明三点共线 【例8】（2024·上海杨浦·一模）如图所示，已知抛物线，点是抛物线上的四个点，其中在第一象限，在第四象限，满足，线段与交于点.记线段与的中点分别为. (1)求拋物线的焦点坐标； (2)求证：点三点共线； (3)若，求四边形的面积. 【跟踪训练】 1.（25-26格致中学高三阶段练习）已知椭圆：（）的右焦点为，且点到长轴两个端点的距离分别为和，为坐标原点. (1)求的方程. (2)过点且不与轴重合的直线与交于两点，若的面积为，求的方程； （3）在（2）条件下，线段的中点为，在点处分别作的切线，两切线相交于点，求证：，，三点共线. 题型09：证明过定点、在定直线定圆上 【例9】（2024·上海徐汇·二模）已知椭圆，分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点（不过点）. (1)若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积； (2)若，求直线的方程； (3)若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线过定点. 【跟踪训练】 1. （2025华东师大三附中高三三模）已知双曲线过点，且离心率为． （1）求的方程； （2）设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； （3）若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 2.（2026届嘉定区高三一模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为,点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)若是上的任意一点，求的最小值； (3)过点的动直线与抛物线交于两点，过点分别作的切线，两条切线相交于点,求证:点的轨迹是一条直线. 3．（2024·上海静安·一模）如图的封闭图形的边缘由抛物线和垂直于拋物线对称轴的线段组成.已知，拋物线的顶点到线段所在直线的距离为. (1)请用数学符号语言表达这个封闭图形的边缘； (2)在该封闭图形上截取一个矩形，其中点在线段上，点抛物线上.求以矩形为侧面，为母线的圆柱的体积最大值； (3)求证：抛物线的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上. 题型10：证明切线及其它 【例10】（2025上海宝山区高三三模）如图，是抛物线上一点，过点的直线与轴分别交于两点，且是线段的中点，是抛物线上异于点的动点. （1）证明：直线是抛物线的切线； （2）已知，且的重心是的焦点，求所在的直线方程； （3）若分别在线段上，且交于点，求证：点是的重心. 【跟踪训练】 1．已知抛物线C：上一点到其准线距离为1． (1)求抛物线C的方程； (2)①如图1所示，点O为坐标原点，过点作直线与抛物线C切于点M，N，直线MN与y轴交于点G，求点G的坐标； ②在①的条件下，如图2所示，若点A在地物线E：上，直线AM、AN与抛物线E分别交于B，P两点，求证：BP与抛物线C相切． 2．（24-25高三下·上海·月考）设为坐标原点，点，、为椭圆上的点，直线经过的重心. (1)求椭圆的离心率； (2)若点的坐标为 求点的坐标； (3)的边、与椭圆分别交于、两点，点在四边形内，求证：和的面积相等. 1 学科网（北京）股份有限公司 $