重难点24 圆锥曲线定值问题的八大类型讲义——2026届上海市高考数学一轮复习

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 重难点24 圆锥曲线定值问题的八大类型 圆锥曲线中的定值问题，是指某些几何量(如线段长度、图形面积、直线斜率、角的度数等) 的大小或某些代数表达式的值与题目中的参数无关, 不依参数的变化而变化, 始终是一个确定的数值. 圆锥曲线中的定值问题是解析几何中的重要题型之一，是高考命题的一个热点，也是一个难点，解决这类问题基本思想是明确的，那就是定值必然是在变化中所表现出来的不变量，所以可运用函数的思想方法，选定适当的参数，结合等式的恒成立求解，也就是说与题中的可变量无关。 一、圆锥曲线中的定值问题的常见类型: (1)求代数式为定值。依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值． (2)求点到直线的距离为定值。利用点到直线的距离公式得出距离的关系式，再利用题设条件化简、变形求得． (3)求某线段长度为定值。利用长度公式求得关系式，再依据条件对关系式进行化简、变形即可求得。 二、求定值问题常见的方法有两种: 1、从特殊到一般求定值)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 2、直接消参求定值)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 3.常用消参方法： ①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数． ②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值． ③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉． ④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如： ，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用． 四、.常见的定值结论： 1.若点A,B是椭圆C：上关于原点对称的两点,点P是椭圆C上与A,B不重合的点,则； 2.若点A,B是双曲线C：上关于原点对称的两点,点P是双曲线C上与A,B不重合的点,则. 3.设点是椭圆C：上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若,则直线AB斜率为定值； 4. 设点是双曲线C：一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若,直线AB斜率为定值； 5. 设点是抛物线C：一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若,直线AB斜率为定值. 6.设是椭圆上不同3点,B,C关于x轴对称,直线AC,BC与x轴分别交于点,则. 7.点A,B是椭圆C：上动点,O为坐标原点,若,则=（即点O到直线AB为定值） 8. 经过椭圆（a＞b＞0）的长轴的两端点A1和A2的切线,与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2,则. 9. 过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则. 10. 点为椭圆(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过引轴、轴的平行线,交轴、轴于,交直线于,记 与的面积为,则：. 题型一：斜率定值问题 1、直线斜率定值 【例1】（2024松江二中期中）已知椭圆E：的焦距为2，一条准线方程为x=，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点P，Q在的椭圆上，且点P在第一象限． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若点P，Q关于坐标原点对称，且PQ⊥AB，求四边形ABCD的面积； （3）若AP，BQ的斜率互为相反数，求证：PQ斜率为定值． 【答案】（1）（2）（3）见证明 【详解】 (1)由题意可得：，， ， 解得：，，. 椭圆的标准方程为：. (2) ， 点关于坐标原点对称，且， .可得直线的方程为：. 联立，解得，. . 四边形的面积. (3)证明：设 ， . 设直线的斜率为， ，则直线方程为：， 联立，化为：， ，解得，. 的斜率互为相反数， 直线的斜率为 ，直线方程为：. 联立，化为：， ，. 斜率为定值. 【跟踪训练】 1．（24-25高三上·上海黄浦·期中）双曲线的左、右焦点分别为、（），过点的直线与右支在轴上方交于点． (1)若，点的坐标为，求的值； (2)若，且是等比数列，求证：直线的斜率为定值； (3)设直线与左支的交点为，，当且仅当满足什么条件时，存在直线，使得成立． 【详解】（1）依题意，将，代入中， 解得，则； （2）    依题意知，可设直线，代入中， 整理得：（*）， 如图，因，故点的横坐标为恰是方程（*）的解， 则， 整理得：，即， 因是等比数列，则，代入此式，可得，即得， 因过点的直线与右支在轴上方交于点，故得，即直线的斜率为定值； （3）    如图，因点在双曲线右支上，则，即， 故由可得, 又因点直线与左支的交点,故，则， 在中，设，由余弦定理，， 因为，所以， 所以， 故当且仅当满足时，存在直线，使得成立. 2．（24-25上海高三阶段练习）已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为 2，且点在椭圆M上．过点A作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆M于B，C两点． (1)求椭圆M的方程； (2)证明直线BC的斜率为定值； (3)求面积的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据给定的点求出即得椭圆M的方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理并结合斜率坐标公式化简计算得证. （3）利用（2）的信息，利用弦长公式及点到直线的距离求出三角形面积关系式，再利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）设椭圆M的右焦点，则，而，解得， 所以椭圆M的方程为. （2）设直线的方程为，显然直线不过点，即， 由消去得，， 设，则， 由直线的倾斜角互补，得， 即， 整理得， 则， 整理得，因此， 所以直线BC的斜率为定值.    （3）由（2）知，直线的方程为，， ，即，， ， 点到直线的距离，的面积 ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值是. 2、斜率和差为定值 【例2】（24-25上海高三阶段练习）已知是椭圆的顶点（如图），直线l与椭圆交于异于顶点的两点，且，若椭圆的离心率是，且，    (1)求此椭圆的方程； (2)设直线和直线的斜率分别为，证明为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）由椭圆的离心率及的关系求解即可； （2）求出直线的方程与椭圆方程联立起来，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，然后证明即可. 【详解】（1）由已知可得椭圆的离心率， ， ∴， ∴椭圆方程为； （2）如图，    由（1）可知：，，，且，所以直线的斜率， 设直线的方程为，设， 联立得：， ，∴， 则， 又，，，， ∴， ，为定值. 【跟踪训练】 1.（2025大同中学高三模拟）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，∴双曲线的方程为． （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，舍去； 当直线的斜率不为0时，设， 联立方程组，消得，易得， 设，则，可得， ∵， 则 ， 即，可得与不垂直， ∴不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3）由直线，得， ∴，又， ∴ ， ∵，∴，且， ∴，即为定值．    2.（24-25上海高三阶段练习）已知的两个顶点A，B的坐标分别是且直线PA，PB的斜率之积是，设点P的轨迹为曲线H. (1)求曲线H的方程； (2)经过点且斜率为k的直线与曲线H交于不同的两点E，F（均异于A，B），证明：直线BE与BF的斜率之和为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用斜率公式即可化简求解， （2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，即可结合斜率公式求解. 【详解】（1）设，则由直线PA，PB的斜率之积是可得， 化简可得 （2）设直线方程为：， 则与椭圆方程联立可得：， 则，故或， 设，则，. 故 .   . 3、斜率积商为定值 【例3】（24-25上海高三阶段练习）已知，点满足，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)直线经过点，倾斜角为，与轨迹交于C，D两点（在A，D之间），若，求的值； (3)已知点，过点作直线与轨迹交于M，N两点，记直线TM，TN的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是，定值为 【详解】（1）因为， 所以点的轨迹为以为焦点的双曲线， 设此双曲线方程为， 易知，又由解得， 即轨迹的方程为：； （2）因为直线经过点，倾斜角为， 所以直线的方程为，联立， 解得或，故得点和点， 则， 由得，解得； （3）如图， 法一：由题意得直线不可能与轴重合， 设为：， 联立得到， 而， 由韦达定理得， ， 故是为定值，且该定值为； 法二：①当直线的斜率不存在时，直线方程为， 可得，此时， ②当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，得到， 而， 由韦达定理得， 所以 ， 故是为定值，且该定值为， 综上所述，为定值. 【例4】（24-25上海高三阶段练习）已知点，，点P在以AB为直径的圆C上运动，轴，垂足为D，点M满足，点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E、F. (1)求W的方程； (2)若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长； (3)设直线AE，BF的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，2 【分析】（1）由已知可得圆的方程，设，，，根据，可得，，代入圆的方程即可求解； （2）由已知可得直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理即可求解； （3）根据题意可知直线斜率不为0，设直线的方程为，，，联立直线和椭圆构成的方程组，根据斜率的计算公式结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）    由题意，点在圆上运动，设，，， 由得，， 又，所以，所以的方程为； （2）直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆C截得的弦长为； （3）    由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立得， 所以，， 故， . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知椭圆的离心率为是椭圆上两点，直线与椭圆交于、两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)当时，是否存在使得？说明理由； (3)记直线的斜率依次为，当且线段的中点在直线上时，试问是否为定值？说明理由． 【详解】（1）椭圆的离心率为，且过点． ，解得，， 椭圆的标准方程为． （2）不存在直线与椭圆交于、两点，满足． 当时，设， 由，消去得， ，因此， 则，， 所以， ， 因为，所以，所以，无解， 所以不存在直线与椭圆交于、两点，满足． （3）为定值． 设， 由消去得， ，因此， 则， 所以线段的中点为，线段的中点在直线上时， 所以，所以； 所以 .    2.（24-25上海高三阶段练习）已知椭圆：过点，其离心率为．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线，交点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)若，的斜率存在且分别为，，求证：为定值； (3)过点作，垂足为，求的最大值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）代入点坐标并结合离心率公式即可得到方程； （2）设直线的方程为：，联立椭圆方程得到韦达定理式，化简得到，再计算得，同理，最后代入化简即可； （3）求出直线过定点，再根据两点距离即可得到答案. 【详解】（1）由已知得，即，得， 故， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可得， 由题意知均存在且不等于0， 则设直线的方程为：， 则． 设直线方程为： 与椭圆方程联立得：，， 所以，因为， 故，因此． 同理． 斜率为 ， 故. （3）由（2）知：直线的方程为：， 即 所以直线过定点． 因为，由几何意义知：， 故的最大值为．    4、斜率运算为定值 【例5】（24-25上海高三阶段练习）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，若一条斜率不为0的直线过点与椭圆交于两点，椭圆的左、右顶点分别为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将点代入椭圆方程，结合离心率公式，即可利用待定系数法求椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理表示，即可求解的值. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，且点在椭圆上， 可得，所以， 又点在该椭圆上，所以，所以， 所以椭圆C的标准方程为． （2）证明：设，由于该直线斜率不为0，可设， 联立方程和，得， 恒成立，根据韦达定理可知， ， ， ， ，． 【跟踪训练】 1.已知抛物线的焦点为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为. (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条倾斜角互补的直线，直线交抛物线于两点，直线交抛物线于两点，连接，设的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)是定值0. 【分析】（1）先设点，然后求出切线解析式，根据即可求出结果. （2）设直线的方程,通过和抛物线联立求出韦达定理，同理求出和抛物线联立的韦达定理，然后代入即可. 【详解】（1）设切点，则在点处切线斜率为， 所以以为切点的切线方程为. 因为切线过点，所以，同理， 所以是方程的两个根，则. 又因为， 所以，即. 又因为，所以， 所以抛物线的方程为. （2） 由题意，斜率都存在且不为0，设直线的方程为. 联立直线和抛物线的方程，得，所以. 设，则，同理， 所以 所以， 所以等于定值0. 2. 设点为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与交于两点（为坐标原点）． (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条斜率分别为的直线，它们分别与抛物线交于点和．已知，问：是否存在实数，使得为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在 【分析】（1）写出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合三角形面积，即可求解； （2）联立直线与抛物线的方程，结合弦长公式，求出，由已知建立关系推理，即可说明理由. 【详解】（1）物线的焦点为， 直线的方程， 由，得， 设， 所以， 所以， 所以，且 所以， 所以抛物线的方程为． （2）存在，使得为定值， 由题意可得直线的方程，直线的方程为， 联立，得， 设， 所以， ， 所以， 设， 同理可得， 所以， 由，得， 即，而， 所以， 所以存在，使得为定值0． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用坐标表示弦长，并结合韦达定理，即可求解. 题型二：距离定值问题 【例6】已知椭圆的离心率为，且过点． (1) 求椭圆的标准方程： (2) 已知，为椭圆上异于点的两点，且，，点为垂足，求证：直线过定点；并判断是否存在定点，使得为定值．若存在，求出定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在， 【解析】（1）  ， 　　即椭圆的标准方程为． （2） （法一）由题可知，直线的斜率不为0， 　　设直线的方程为，设， 　　由消去，得． 　　， 　　， 　　， 　　， 　　　　　　化简得，或（舍），即　　直线过定点． 　　（注：此处亦可按如下方法求　　　　　　） 　　设为的中点，即． 　　若与不重合，则是的斜边，； 　　若与重合，则． 　　综上所述，存在定点，使得为定值． 　　（法二）1.当直线斜率不存在时， 　　设， 　　， 　　，解得，不符题意（舍），或，符合题意． 　　直线过点． 　　2.当直线斜率存在时，设直线的方程为， 　　设， 　　由消去，得． 　　． 　　， 　　． 　　， 　　　　　　． 　　化简得：，或． 　　当时，，此时直线过点，不符题意，舍去： 　　当时，，此时直线过定点． 　　综上所述，直线过定点． 　　设为的中点，即． 　　若与不重合，则是的斜边，； 　　若与重合，则． 　　综上所述，存在定点，使得为定值． 　　 【例7】（上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知双曲线. （1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积； （2）设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相切，求证：OP⊥OQ； （3）设椭圆. 若M、N分别是、上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值. 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析. 【详解】（1）双曲线，左顶点，渐近线方程：. 过点A与渐近线平行的直线方程为，即. 解方程组，得. 所以所求三角形的面积1为. （2）设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切， 故，即. 由，得. 设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则. 又，所以 ，故OP⊥OQ. （3）当直线ON垂直于x轴时，|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为. 当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为（显然），则直线OM的方程为. 由，得，所以. 同理. 设O到直线MN的距离为d，因为， 所以，即d=. 综上，O到直线MN的距离是定值. 【跟踪训练】 1．（24-25上海高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记E的轨迹为曲线C. (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)过点的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线x＝3的垂线，垂足为G，过点O作，垂足为M.证明：存在定点N，使得为定值． (1)解：由，，可得，， 由题意得， 化简得， 所以曲线C是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(不含左右顶点)． (2)证明　由(1)知直线与轴不重合，可设，， 联立，得. 因，则，， 故有. 因为，， 所以直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 故直线过定点. 因为，所以为直角三角形， 取的中点，则， 即为定值． 综上，存在定点，使得为定值． 2．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知在平面直角坐标系中，为原点，抛物线的焦点为，、是抛物线上两个不同的点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线斜率为1，且过点，求线段的长度； (3)直线与拋物线交于不同于的、两点，若以为直径的圆经过点，且于，证明：存在定点，使为定值. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 则，即， 所以抛物线为； （2）直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程：， 得，，设， 由韦达定理得， 故； （3）由题意可知直线斜率不为0，设其方程为， 联立方程得：， 整理得：，， 其中，， 因为以为直径的圆经过点，所以， 又因为， ∵， ∴， 所以直线过定点， 又因为，所以为直角三角形， 所以当为斜边中点时，为定值， 此时， 所以定点为，为定值２． 题型三：面积定值问题 1、三角形面积定值 【例8】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知椭圆的图像经过点    (1)若椭圆的焦距为，求椭圆的方程； (2)为椭圆的右焦点，过点作轴的垂线与椭圆在第一象限交于点，点与点关于原点对称，连接，当取得最大值时，求椭圆的离心率； (3)若椭圆经过点，点是椭圆上的动点，直线与椭圆交于两点，为的中点，且满足，则的面积是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)； (3)是，定值. 【详解】（1）由已知条件可知， 从而， 所以椭圆的方程； （2）设，则， 则， 从而. 设直线的倾斜角分别为则 ， 当且仅当，即时取等号， 此时，即， 所以， 从而，解得（舍负）， 所以当取得最大值时，椭圆的离心率为； （3）由已知椭圆经过点可得， 从而椭圆的方程； ①当直线与轴不垂直时，设， 联立方程组， 得. 由题意可知. 设，则，所以 ， 由可知， 设，则有， ， 因为点，在椭圆上， 所以， 整理得， 此时，， 点到直线的距离， 所以的面积 ， ②当直线与轴垂直时，，， ， ， . 综上可和，的面积为定值.    【跟踪训练】 1．（24-25上海高三阶段练习）如图所示，分别是“曲圆”与轴、轴的交点，已知，扇形的面积为． （注：题目中把半椭圆与圆弧合成的曲线称作“曲圆”，其中为半椭圆的右焦点） (1)求的值； (2)过点且倾斜角为的直线交“曲圆”于两点，试将的周长表示为的函数； (3)在（2）的条件下，当的周长取得最大值时，探究的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)的面积不是定值，取值范围是 【分析】（1）由扇形的面积得，由及得； （2）分、、三种情况讨论，利用椭圆的定义表示出的周长； （3）联立直线方程和椭圆方程，由弦长公式、点到直线距离公式、三角形面积公式表示出的面积，根据求出取值范围. 【详解】（1）扇形的面积为，解得， 半椭圆与轴的交点，右焦点， 所以在中，， 又因为，所以. （2）显然直线的斜率不为，所以， 由（1）知半椭圆方程为，圆弧方程为，恰为椭圆的左焦点， ①当时，分别在圆弧和半椭圆上， 因为，所以是腰为的等腰三角形，且，所以， 因为在半椭圆上，所以， 所以的周长； ②当时，在半椭圆上， 因为在半椭圆上，所以， 所以的周长； ③当时，分别在半椭圆和圆弧上， 因为，所以是腰为的等腰三角形，且，所以， 因为在半椭圆上，所以， 所以的周长； 综上，. （3）由（2）知，当时，， 当时，， 所以当时，取得最大值，此时在半椭圆上， 设直线的方程为， 联立得，， ， 点到直线的距离， 所以， 令，因为，所以，， ， 因为在上单调递增，所以即， 所以， 即的面积不是定值，取值范围是. 2、四边形面积定值 【例9】（24-25上海高三阶段练习）在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，点是上任意一点．抛物线的焦点到准线的距离是1． (1)求的方程； (2)过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形的面积为定值； (3)是的两条切线，是切点，求面积的最小值． 【答案】(1)的方程为；的方程为 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由离心率结合，可求出，即可求出双曲线的方程，再由抛物线焦点到准线的距离为1，求出，即可抛物线的方程； （2），求得坐标，进而得到再结合面积公式求解即可； （3）设，，，通过导数求得切线方程，结合韦达定理求得弦长，点到线的距离公式求得高，代入面积公式，进而可求解； 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则， 又因为离心率为，所以，代入得，解得， 所以双曲线的方程为． 因为抛物线焦点到准线的距离为1，所以， 所以抛物线的方程为． （2）证明：设，不妨设为渐近线为渐近线， 直线的方程为， 联立方程，解得， 所以 同理可得，所以 由于直线的斜率，因此，所以， 所以平行四边形的面积为， 因为点在双曲线上，所以，即， 所以平行四边形的面积为; （3）设， 因为函数的导数为，所以直线的方程为， 由于在直线上，则， 同理，所以均满足方程， 所以直线的方程为， 联立方程，得，所以， 则， 又因为到直线的距离， 所以面积， 又因为， 所以，当为时取最小值， 所以面积最小值为． 【跟踪训练】 1. 已知椭圆 与圆 在第一、第四象限分别交于 Q、P 两点，且满足 (1)求椭圆γ的标准方程； (2)A 是椭圆上的一点，若存在椭圆的弦 BC 使得 ，求证:四边形OABC 的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆和圆的对称性可得，，再代入椭圆和圆的方程中，解方程组求出和的值即可； （2）设，，易知四边形是平行四边形，设直线的方程为，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理，弦长公式以及椭圆的方程，推出，再利用点到直线的距离公式，表示出四边形的面积，然后化简即可得定值． 【详解】（1）由对称性知，， 因为，，所以△是边长为1的等边三角形， 因为位于第一象限，所以,， 代入椭圆的方程有， 代入圆的方程有， 联立解得，， 所以椭圆的标准方程为． （2）证明：设，，则直线的斜率为，且，即， 因为，所以四边形是平行四边形，， 设直线的方程为，,，,， 联立，得， 所以，， 所以， 因为， 所以， 整理得，即， 而点到直线的距离为， 所以四边形的面积，为定值． 3、两三角形面积关系式定值 【例10】（24-25高二下·上海青浦·期末）已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为的等边三角形. (1)写出椭圆的标准方程和离心率； (2)当直线的一个法向量是时，求以为直径的圆的标准方程； (3)设点满足:，求证:为定值. 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）因为是边长为的等边三角形，所以，， 又，所以，， 故椭圆的标准方程为，离心率为； （2）因为的一个法向量是且直线过点， 所以直线方程为， 联立直线方程与椭圆方程，得，解得， 所以线段中点为，线段长度为， 故以为直径的圆的标准方程为； （3）由题意，点为直线过点的垂线与直线过点的垂线的交点， 设点，所以直线为:，直线为， 则直线为，直线为， 联立直线方程与直线方程，消去，得， 整理得，即，解得， 因为， 所以，得证. 【跟踪训练】 1．（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率为，点是椭圆上任意一点，且的最大值为3. (1)求椭圆C的方程； (2)若点P在第一象限且轴，求的角平分线所在直线的方程； (3)过右焦点的直线交椭圆C于A，B两点，点A关于x轴对称的点为D（异于点B），直线交x轴于点E，记与的面积分别为，.求证：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】(1)由题可得，解方程即可求解. (2)求出点坐标，设的角平分线所在直线与轴的交点为，根据角平分线性质可知点到直线和的距离相等即可求解； (3)设直线的方程为：,,联立,由韦达定理可得,由直线的方程为：, 令，可得点,由三角形面积公式即可证明. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，点是椭圆上任意一点，且的最大值为3， 所以，解得：, 则, 所以椭圆C的方程为:, （2）由题可得，，因为点P在第一象限且轴， 所以,解得：或(舍去)， 则点 所以，则直线的方程为：，即 设的角平分线所在直线与轴的交点为，显然 则，解得:或(舍去)； 所以, 则， 所以的角平分线所在直线的方程为，即, 故的角平分线所在直线的方程为； （3）由题可得直线的斜率不为，设直线的方程为：,, 则, 联立,得, 所以,, 直线的方程为：, 令，则, 所以, 即点, 则,, 所以，则为定值 2．（24-25上海高三阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点和，点是椭圆上不在轴上的任意一点，射线，分别与椭圆交于点，． (1)求椭圆的方程； (2)求内切圆面积的最大值； (3)设，，的面积分别为，，．求证：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）    将点和代入椭圆方程得解得 则椭圆的标准方程为； （2）周长为， 设内切圆半径为，内切圆面积为， 则，又， 设所在直线方程为，与椭圆方程联立得： ，所以 令，（时取最大值）， 所以，，所以， 即内切圆面积的最大值为. （3）设，，， 因为点在椭圆上，所以，即． 由（1）得，， 设直线的方程为，， 联立，消去并整理得， 此时，由韦达定理得， 同理得：， 所以 . 故为定值． 题型四：角度定值问题 【例11】（2023格致中学期中）已知离心率为2的双曲线的左右顶点分别为，，顶点到渐近线的距离为.过双曲线右焦点的直线与双曲线交于，（异于点，）两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)记，，的面积分别为，，，当时，求直线的方程； (3)若直线，分别与直线交于，两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)定值，. 【分析】（1）根据题意列出方程组，解之即可求解； （2）根据题意设直线，联立方程组将面积的表达式表示出来，根据面积的值进而求解； （3）根据题意设出直线的方程，求出点，的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，取一条渐近线为，又， 则由题意可得， 故双曲线的标准方程为； （2）由题意可得直线的斜率不为0，设直线， ，. 联立，消去整理得， 当时，， 则，. 当与双曲线交于两支时， ，，，不合题意； 当与双曲线交于一支时， ，， 则，得， 故； （3）直线的方程为， 令，得，则. 直线的方程为，令，得，则. 因为，所以，， ， 故，即， 故为定值. 【跟踪训练】 1. 如图，已知椭圆：与椭圆：有相同的离心率，点在椭圆上．过点的两条不重合直线与椭圆相交于两点，与椭圆相交于和四点． 求椭圆的标准方程； 求证：； 若，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值． 【答案】； 见解析； 【解析】解：由题意知，，，， 又在椭圆上，，，， 椭圆的标准方程为 要证，设到直线距离为， 即证，即证 当直线斜率不存在时，由椭圆对称性可知，故 当直线斜率存在时，设，则方程：， 设， 联立得， ，， 联立，得， ，， ，， ，， ， 综上所述： 由第二问可知，，，， 设直线的斜率为，直线方程为，设，， 联立得， ，， ， ， ， 即， 化简得，， 由题意，，． 2. 已知双曲线的两条渐近线分别为，，若点，分别在，上不同于原点，且直线是的切线，则称是的“渐切三角形”已知在点处的切线方程为． 写出的一个“渐切三角形”的顶点，的坐标及切线的方程，并求出其面积 已知点，分别在，上，的面积为，试问是否是的“渐切三角形”并说明理由 若是的“渐切三角形”，与相切的切点的横坐标大于，为的左焦点，证明：为定值． 【答案】见解析； 是的“渐切三角形”，详解见解析； 【解析】解：由题意，得，所以的方程为， ，，直线是的切线，是的渐切三角形， 则． 设，，这里， 则，，所以， ， 由题意，，所以，又，所以， 若直线的斜率不存在，则，或，直线与切于点， 或直线与切于点，的面积为，满足题意 若的斜率存在，则，， 即，即， 由，消去并整理得， 该方程的判别式， 所以直线与有且仅有一个公共点，所以直线是的切线， 所以是的“渐切三角形”． 证明：设，由题意，直线，即， 由解得，， 故A，同理可得， 又，故，， 所以， 又，可得， 直线与轴的交点为，所以， ， 又， ， 则，得，所以， 又，所以，为定值．   3. 已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，求证：； (3)若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为， 所以设双曲线方程为，又双曲线过点， 则， 所以双曲线的方程为，即. （2）由(1)可知，的斜率存在且不为0，所以设的方程为， 联立，消去得， 设，由题意得， 所以，且， 所以 ， 所以，即得证. （3）由(2)可知恒成立，， 所以圆心到的距离， 半径， 设所对圆心角为， 则， 因为为劣弧，所以， 所以，所以，即所对圆心角的大小为定值. 题型五：数量积定值问题 【例13】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且． (1)求椭圆的标准方程． (2)点P、Q在椭圆上，O为坐标原点，且直线OP、OQ的斜率之积为，求证：为定值； (3)直线l过点且与椭圆交于A、B两点，问在x轴上是否存在定点M，使得为常数？若存在，求出点M坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【详解】（1）因为点T在椭圆上且，所以，； 将点代入椭圆得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）设直线：，联立方程组，得， 所以， 又直线：，类似的可得， 故而，为定值． （3）当直线l与x轴不垂直时，设l：，设，，， 由得， ， 又， ， 令得，此时， 当l与x轴垂直时，l：，，， 又，有， 综上，，． 【跟踪训练】 1．（25-26七宝中学高三·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，且．过的直线与交于两点． (1)求的方程； (2)若均在的右支上，且的周长为，求的方程； (3)是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点，使得为定值. 【分析】（1）根据双曲线中的意义和关系，可求的值，得到双曲线的方程. （2）先根据双曲线的定义，求出弦的长度；设直线：，与双曲线方程联立，利用弦长公式，可求的值，即得直线方程. （3）假设存在轴上的定点，使得为定值.结合（2）中的结论，根据为定值，可求的值. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以. 所以双曲线的方程为：. （2）因为均在的右支上，且的周长为， 所以. 如图：    因为，设直线：，代入得： ， 整理得：. 设，， 因为均在的右支上，所以，且，所以， . 所以. 所以. 所以. 所以直线的方程为：，即. （3）假设存在轴上的定点，使得为定值. 因为，， 所以 . 因为为常数，所以. 此时. 所以存在点，使得为定值. 2. （2022虹口区一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点,交轴于点. （1）若，求的值； （2）若点在第一象限，满足，求的值； （3）在平面内是否存在定点，使得是一个确定的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 解：（1）由已知的坐标为，,. 由，得，，，.…………3分 （2）设,则，因为，, 又点在椭圆上，所以.由得,，.…………………………6分 又,由,,,得.………8分 （3）设存在定点，使得是一个确定的常数.设,，直线, 将代入，整理得 …………………………10分 ………………14分 ,, 所以存在点,.……………………16分 3.（2022松江区一模）已知双曲线的焦距为，渐近线方程为． （1）求双曲线的方程； （2）若对任意的，直线与双曲线总有公共点，求实数的取值范围； （3）若过点的直线与双曲线交于、两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及此常数的值，若不存在，请说明理由． 解：（1），， 又因为渐近线方程为．， ，，， ． （2）将代入，得． 当即时，方程在时无解．． 方程对恒有解，△， 即恒成立， 即恒成立，． 又，，． （3）假设存在，设定点为，设直线的方程为， 联立方程组，消可得， 则，且△，解得且， 设，，，， 可得，， 所以， ， 所以，， 要使为常数，即与无关． ∴，解得， 此时． 故存在，使得． 题型六：参数定值问题 【例14】（24-25高二下·上海金山·期中）已知双曲线的离心率为2，实轴长为4，过点的直线l与C相交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)是否存在l，使得P恰好是线段AB的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由； (3)l与直线交于点Q，设，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)为定值，定值为0 【详解】（1）因为的实轴长为4，所以，解得，又因为C的离心率为2，所以，所以，所以的方程为． （2）由题意直线l的斜率存在，假设存在直线l满足条件，设，， 则，，所以， 即， 因为P为线段AB的中点，所以，， 所以，所以，即直线l的斜率为3， 所以直线l的方程为y=3x－2． 联立，消去y并整理得， ， 所以直线l与C无公共点，这与直线l与C交于A，B两点矛盾， 故不存在直线l，使得P恰好是线段AB的中点． （3）由题可知直线l的斜率存在，    设直线的方程为，即， 联立得， ，且， 解得，且， 由韦达定理得，①， 设，由在直线上，得，即②， 由在直线l上，得③， 由，得， 即，解得， 同理，由，得， 结合①②③，得 ，故为定值0． 【跟踪训练】 1. （24-25上海高三阶段练习）已知双曲线的离心率为2，过点的直线与相交于两点，且当的斜率为0时，． (1)求的方程； (2)是否存在，使得两点关于直线对称？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由； (3)与直线交于点，设，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)为定值0 【分析】（1）由双曲线的离心率为2，得到，再由直线的方程为，代入双曲线的方程，求得，结合，进而得到竖曲线的方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，由，且，求得的范围，以及和，假设存在，使得两点关于直线对称，得到，进而得到线段的中点坐标为，结合中点不在直线上，得出结论； （3）解：设，求得和，根据题意，求得和，化简得到，即可得到答案. 【详解】（1）解：设双曲线的焦距为， 因为的离心率为2，所以，即，所以， 当直线的斜率为0时，直线的方程为，代入，得， 所以，解得，所以的方程为． （2）解：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 联立方程组，整理得， 设， 可得，且， 解得，且， 又由，，① 假设存在，使得两点关于直线对称，则与直线垂直，所以， 所以，且，则， 因此线段的中点坐标为， 又因为，即点不在直线上， 所以不存在，使得两点关于直线对称． （3）解：设， 由在直线上，可得，即；② 又由在直线上，可得，③ 因为，可得， 即，解得， 同理：由，可得， 结合①②③，得 ， 所以为定值0． 2.（24-25高三上·上海·期中）已知抛物线经过点，直线过点且与抛物线有两个不同的交点，. (1)求抛物线的准线方程； (2)求直线的斜率的取值范围； (3)若直线交轴于，直线交轴于，设为原点，，，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3)2. 【分析】（1）将点代入求参数，即可得准线方程； （2）设且，联立抛物线结合判别式求参数范围； （3）根据题意，设直线，和，由向量的线性关系求得、，应用韦达定理化简求值即可. 【详解】（1）由在抛物线上，可得，故，则准线为； （2）由题意，直线的斜率存在且不为0， 设且，联立抛物线得， 所以，则，故直线的斜率范围是. （3）由题意，根据（2）易知，当直线与抛物线相切，即时过， 令，，且，且，， 若，得，所以， 同理得，而，故，， 由题意，同理可得， 所以 ，而，， 所以. 题型七：运算关系定值 【例15】（24-25上海高三阶段练习）设椭圆C：1（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线C：x2＝4y的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点． （1）求椭圆C的方程； （2）是否存在直线l，使得2．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． （3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值． 【答案】（1）（2）或（3）定值 【分析】 （1）根据抛物线的焦点确定椭圆的顶点，结合离心率，即可求出椭圆的标准方程．（2）由题可知，椭圆的右焦点为（1，0），直线l与椭圆必相交．分两种情况讨论：①当直线斜率不存在时，经检验不合题意；②设存在直线l为y＝k（x﹣1）（k≠0），与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合向量条件，即可求得直线l的方程；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4），求出|MN|与|AB|的长，从而可证结论． 【详解】 （1）抛物线的焦点为 ∵椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合 ∴椭圆的一个顶点为，即 ∵，∴a＝2， ∴椭圆的标准方程为 （2）由题可知，椭圆的右焦点为（1，0），直线l与椭圆必相交． ①当直线斜率不存在时，M（1，），N（1，），∴，不合题意． ②设存在直线l为y＝k（x﹣1）（k≠0），且M（x1，y1），N（x2，y2）． 由得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0， ，， 所以， 故直线l的方程为或 （3）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4） 由（2）可得：|MN| ． 由消去y，并整理得：， |AB|， ∴为定值 【点睛】 本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查向量知识的运用，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化． 【跟踪训练】 1．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．过点的直线与及圆依次相交于点，如图． (1)求抛物线的标准方程； (2)证明：为定值； (3)过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求与的面积之积的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1 【详解】（1）由题意得，因为点在抛物线上，所以.∴， 所以抛物线的标准方程为. （2）由（1）知：，显然直线/的斜率存在，所以设直线方程为：， 由， 设，则 由抛物线的定义得：， 所以：， 即为定值1． （3）由 设直线，联立得： ∴，直线，即 同理求得直线， ，则， ∴到的距离， ∴与的面积之积， 当时，与的面积之积的最小值1. 2.已知椭圆的短轴长为，且离心率为. (1)求C的方程. (2)过点作斜率不为0的直线与椭圆C交于S，T不同的两点，再过点作直线ST的平行线与椭圆C交于G，H不同的两点. ①证明：为定值. ②求面积的取值范围. 【答案】(1)； (2)①证明见解析； ②. 【详解】（1）由已知得， 因为，又由， 可解得， 所以椭圆方程为：. （2） ①设斜率不为0的直线的方程为， 联立直线和椭圆方程可得，化简得， 由于椭圆与直线交于两点，， 因此，所以或， 根据韦达定理可得，， 又因为，， 因此， 令的方程为，椭圆与直线交于两点， 联立直线和椭圆方程，化简得， 同理：，， ， 因此（为定值）． ②由于，又由于， 因此， 化简可得，设，由于，因此， 因此， 又由于当时，，因此， 因此， 所以面积的取值范围为． 3．在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，以M为圆心的一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P、Q. (1)若直线的斜率都存在，且分别记为.求证：为定值； (2)探究是否为定值，若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)是，最大值为． 【详解】（1）因为直线，与圆M相切， 将直线与圆联立， 可得， 由解得，， 同理， 所以是方程的两个不相等的实数根， ∴，因为点在椭圆C上，所以， 所以. （2）（i）当直线不落在坐标轴上时，设， 因为，所以， 因为在椭圆C上，所以， 整理得，所以，所以.          （ii）当直线落在坐标轴上时，圆方程为，易求得， 综上：，所以|， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为． 题型八：坐标相关定值 【例16】（24-25上海高三阶段练习）如图，已知椭圆：的离心率为，点为其左顶点．过A的直线交抛物线于B、C两点，C是AB的中点．    (1)求椭圆的方程； (2)求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值； (3)若直线m过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，且交椭圆于M，N两点，求p的值，使得的面积最大． 【详解】（1）令椭圆的半焦距为c，依题意，，，解得，则， 所以椭圆的方程为. （2）显然直线不垂直于坐标轴，设的方程为，设， 由消去x得：，， 则，而C是AB的中点，即有，于是， 满足，因此， 所以点C的横坐标是定值，该定值为1. （3）由直线过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，得直线和直线l的斜率互为相反数， 则由（1）得直线的方程为，即， 由消去x得：，， 设，则， ，点到直线：的距离， 由C是AB的中点得的面积， 令，则，当且仅当，即时取等号， 所以当时，的面积取得最大值，此时. 【跟踪训练】 1.（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点. (1)求椭圆的方程； (2)设圆.若直线与圆相切，求点的坐标； (3)若点是椭圆上不与椭圆顶点重合且异于点的任意一点，点关于轴的对称点是点，直线分别交轴与点､点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)定值为，理由见解析 【分析】（1）根据离心率得到，从而得到椭圆方程. （2）确定圆心和半径，设出直线，根据圆心到直线的距离等于半径得到斜率，解得答案. （3）设出点坐标，根据三点共线得到，，代入计算得到答案. 【详解】（1）椭圆的离心率是，解得. 故椭圆方程为：. （2）圆，即， 故圆心，半径，， 设直线的方程为，即， 直线与圆相切，则，解得， 当时，，解得或（舍），故， 当时，，解得或（舍），故， 故或 （3）设，，， 三点共线，则，即， 解得，同理可得， . 【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，直线和圆的位置关系，定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用三点共线确定，是解题的关键. 2．过抛物线上的点的直线，分别交抛物线T于点B，C．设直线，的斜率分别为，，，当且点B，C关于x轴对称时，△ABC的面积为2． (1)求抛物线T的方程； (2)当时，证明：直线BC过定点． (3)设△ABC的外心E的坐标为，BC的中点M的坐标为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)BC过定点，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）先根据已知条件设出点坐标，由、对称及斜率关系，用斜率公式求出、坐标，再根据三角形面积公式求出，进而得到抛物线方程. （2）设出、、坐标，求出、，根据的值得到与的关系，再求，最后得出直线经过的定点 （3）与垂直得到斜率，利用、中点在上得出方程，设直线方程, 与之联立，通过变形相减求出，结合的值及已知条件得出的值. 【详解】（1）已知当时，，、关于轴对称且， 设（），因为，不妨设. 由斜率公式，即，解得，所以，. 面积，解得，抛物线方程为. （2）设，，， 则，. 因为，则，所以,则. ，所以直线BC方程，整理得. 把代入直线BC方程,得，所以直线过定点. （3）设，中点坐标是, 因为与垂直，则, 已知斜率是，所以斜率为. 根据直线点斜式，得出方程，展开整理成. 同理可得直线方程，与方程联立. 变形两式为和， 相减得，化简得. 已知，则. 又，代入得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 重难点24 圆锥曲线定值问题的八大类型 圆锥曲线中的定值问题，是指某些几何量(如线段长度、图形面积、直线斜率、角的度数等) 的大小或某些代数表达式的值与题目中的参数无关, 不依参数的变化而变化, 始终是一个确定的数值. 圆锥曲线中的定值问题是解析几何中的重要题型之一，是高考命题的一个热点，也是一个难点，解决这类问题基本思想是明确的，那就是定值必然是在变化中所表现出来的不变量，所以可运用函数的思想方法，选定适当的参数，结合等式的恒成立求解，也就是说与题中的可变量无关。 一、圆锥曲线中的定值问题的常见类型: (1)求代数式为定值。依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值． (2)求点到直线的距离为定值。利用点到直线的距离公式得出距离的关系式，再利用题设条件化简、变形求得． (3)求某线段长度为定值。利用长度公式求得关系式，再依据条件对关系式进行化简、变形即可求得。 二、求定值问题常见的方法有两种: 1、从特殊到一般求定值)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 2、直接消参求定值)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 3.常用消参方法： ①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数． ②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值． ③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉． ④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如： ，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用． 四、.常见的定值结论： 1.若点A,B是椭圆C：上关于原点对称的两点,点P是椭圆C上与A,B不重合的点,则； 2.若点A,B是双曲线C：上关于原点对称的两点,点P是双曲线C上与A,B不重合的点,则. 3.设点是椭圆C：上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若,则直线AB斜率为定值； 4. 设点是双曲线C：一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若,直线AB斜率为定值； 5. 设点是抛物线C：一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若,直线AB斜率为定值. 6.设是椭圆上不同3点,B,C关于x轴对称,直线AC,BC与x轴分别交于点,则. 7.点A,B是椭圆C：上动点,O为坐标原点,若,则=（即点O到直线AB为定值） 8. 经过椭圆（a＞b＞0）的长轴的两端点A1和A2的切线,与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2,则. 9. 过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则. 10. 点为椭圆(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过引轴、轴的平行线,交轴、轴于,交直线于,记 与的面积为,则：. 题型一：斜率定值问题 1、直线斜率定值 【例1】（2024松江二中期中）已知椭圆E：的焦距为2，一条准线方程为x=，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点P，Q在的椭圆上，且点P在第一象限． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若点P，Q关于坐标原点对称，且PQ⊥AB，求四边形ABCD的面积； （3）若AP，BQ的斜率互为相反数，求证：PQ斜率为定值． 【跟踪训练】 1．（24-25高三上·上海黄浦·期中）双曲线的左、右焦点分别为、（），过点的直线与右支在轴上方交于点． (1)若，点的坐标为，求的值； (2)若，且是等比数列，求证：直线的斜率为定值； (3)设直线与左支的交点为，，当且仅当满足什么条件时，存在直线，使得成立． 2．（24-25上海高三阶段练习）已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为 2，且点在椭圆M上．过点A作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆M于B，C两点． (1)求椭圆M的方程； (2)证明直线BC的斜率为定值； (3)求面积的最大值． 2、斜率和差为定值 【例2】（24-25上海高三阶段练习）已知是椭圆的顶点（如图），直线l与椭圆交于异于顶点的两点，且，若椭圆的离心率是，且，    (1)求此椭圆的方程； (2)设直线和直线的斜率分别为，证明为定值. 【跟踪训练】 1.（2025大同中学高三模拟）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 2.（24-25上海高三阶段练习）已知的两个顶点A，B的坐标分别是且直线PA，PB的斜率之积是，设点P的轨迹为曲线H. (1)求曲线H的方程； (2)经过点且斜率为k的直线与曲线H交于不同的两点E，F（均异于A，B），证明：直线BE与BF的斜率之和为定值. 3、斜率积商为定值 【例3】（24-25上海高三阶段练习）已知，点满足，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)直线经过点，倾斜角为，与轨迹交于C，D两点（在A，D之间），若，求的值； (3)已知点，过点作直线与轨迹交于M，N两点，记直线TM，TN的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【例4】（24-25上海高三阶段练习）已知点，，点P在以AB为直径的圆C上运动，轴，垂足为D，点M满足，点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E、F. (1)求W的方程； (2)若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长； (3)设直线AE，BF的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值. 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知椭圆的离心率为是椭圆上两点，直线与椭圆交于、两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)当时，是否存在使得？说明理由； (3)记直线的斜率依次为，当且线段的中点在直线上时，试问是否为定值？说明理由． 2.（24-25上海高三阶段练习）已知椭圆：过点，其离心率为．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线，交点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)若，的斜率存在且分别为，，求证：为定值； (3)过点作，垂足为，求的最大值． 4、斜率运算为定值 【例5】（24-25上海高三阶段练习）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，若一条斜率不为0的直线过点与椭圆交于两点，椭圆的左、右顶点分别为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值． 【跟踪训练】 1.已知抛物线的焦点为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为. (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条倾斜角互补的直线，直线交抛物线于两点，直线交抛物线于两点，连接，设的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由. 2. 设点为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与交于两点（为坐标原点）． (1)求抛物线的方程； (2)过点作两条斜率分别为的直线，它们分别与抛物线交于点和．已知，问：是否存在实数，使得为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 题型二：距离定值问题 【例6】已知椭圆的离心率为，且过点． (1) 求椭圆的标准方程： (2) 已知，为椭圆上异于点的两点，且，，点为垂足，求证：直线过定点；并判断是否存在定点，使得为定值．若存在，求出定值；若不存在，请说明理由． 【例7】（上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知双曲线. （1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积； （2）设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相切，求证：OP⊥OQ； （3）设椭圆. 若M、N分别是、上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值. 【跟踪训练】 1．（24-25上海高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记E的轨迹为曲线C. (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)过点的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线x＝3的垂线，垂足为G，过点O作，垂足为M.证明：存在定点N，使得为定值． 2．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知在平面直角坐标系中，为原点，抛物线的焦点为，、是抛物线上两个不同的点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线斜率为1，且过点，求线段的长度； (3)直线与拋物线交于不同于的、两点，若以为直径的圆经过点，且于，证明：存在定点，使为定值. 题型三：面积定值问题 1、三角形面积定值 【例8】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知椭圆的图像经过点    (1)若椭圆的焦距为，求椭圆的方程； (2)为椭圆的右焦点，过点作轴的垂线与椭圆在第一象限交于点，点与点关于原点对称，连接，当取得最大值时，求椭圆的离心率； (3)若椭圆经过点，点是椭圆上的动点，直线与椭圆交于两点，为的中点，且满足，则的面积是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由. 【跟踪训练】 1．（24-25上海高三阶段练习）如图所示，分别是“曲圆”与轴、轴的交点，已知，扇形的面积为． （注：题目中把半椭圆与圆弧合成的曲线称作“曲圆”，其中为半椭圆的右焦点） (1)求的值； (2)过点且倾斜角为的直线交“曲圆”于两点，试将的周长表示为的函数； (3)在（2）的条件下，当的周长取得最大值时，探究的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围． 2、四边形面积定值 【例9】（24-25上海高三阶段练习）在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，点是上任意一点．抛物线的焦点到准线的距离是1． (1)求的方程； (2)过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形的面积为定值； (3)是的两条切线，是切点，求面积的最小值． 【跟踪训练】 1. 已知椭圆 与圆 在第一、第四象限分别交于 Q、P 两点，且满足 (1)求椭圆γ的标准方程； (2)A 是椭圆上的一点，若存在椭圆的弦 BC 使得 ，求证:四边形OABC 的面积为定值. 3、两三角形面积关系式定值 【例10】（24-25高二下·上海青浦·期末）已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为的等边三角形. (1)写出椭圆的标准方程和离心率； (2)当直线的一个法向量是时，求以为直径的圆的标准方程； (3)设点满足:，求证:为定值. 【跟踪训练】 1．（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率为，点是椭圆上任意一点，且的最大值为3. (1)求椭圆C的方程； (2)若点P在第一象限且轴，求的角平分线所在直线的方程； (3)过右焦点的直线交椭圆C于A，B两点，点A关于x轴对称的点为D（异于点B），直线交x轴于点E，记与的面积分别为，.求证：为定值. 2．（24-25上海高三阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点和，点是椭圆上不在轴上的任意一点，射线，分别与椭圆交于点，． (1)求椭圆的方程； (2)求内切圆面积的最大值； (3)设，，的面积分别为，，．求证：为定值． 题型四：角度定值问题 【例11】（2023格致中学期中）已知离心率为2的双曲线的左右顶点分别为，，顶点到渐近线的距离为.过双曲线右焦点的直线与双曲线交于，（异于点，）两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)记，，的面积分别为，，，当时，求直线的方程； (3)若直线，分别与直线交于，两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【跟踪训练】 1. 如图，已知椭圆：与椭圆：有相同的离心率，点在椭圆上．过点的两条不重合直线与椭圆相交于两点，与椭圆相交于和四点． 求椭圆的标准方程；求证：； 若，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值． 2. 已知双曲线的两条渐近线分别为，，若点，分别在，上不同于原点，且直线是的切线，则称是的“渐切三角形”已知在点处的切线方程为． 写出的一个“渐切三角形”的顶点，的坐标及切线的方程，并求出其面积 已知点，分别在，上，的面积为，试问是否是的“渐切三角形”并说明理由 若是的“渐切三角形”，与相切的切点的横坐标大于，为的左焦点，证明：为定值． 3. 已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，求证：； (3)若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 题型五：数量积定值问题 【例13】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且． (1)求椭圆的标准方程． (2)点P、Q在椭圆上，O为坐标原点，且直线OP、OQ的斜率之积为，求证：为定值； (3)直线l过点且与椭圆交于A、B两点，问在x轴上是否存在定点M，使得为常数？若存在，求出点M坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由． 【跟踪训练】 1．（25-26七宝中学高三·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，且．过的直线与交于两点． (1)求的方程； (2)若均在的右支上，且的周长为，求的方程； (3)是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2. （2022虹口区一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点,交轴于点. （1）若，求的值； （2）若点在第一象限，满足，求的值； （3）在平面内是否存在定点，使得是一个确定的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 3.（2022松江区一模）已知双曲线的焦距为，渐近线方程为． （1）求双曲线的方程； （2）若对任意的，直线与双曲线总有公共点，求实数的取值范围； （3）若过点的直线与双曲线交于、两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及此常数的值，若不存在，请说明理由． 题型六：参数定值问题 【例14】（24-25高二下·上海金山·期中）已知双曲线的离心率为2，实轴长为4，过点的直线l与C相交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)是否存在l，使得P恰好是线段AB的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由； (3)l与直线交于点Q，设，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【跟踪训练】 1. （24-25上海高三阶段练习）已知双曲线的离心率为2，过点的直线与相交于两点，且当的斜率为0时，． (1)求的方程； (2)是否存在，使得两点关于直线对称？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由； (3)与直线交于点，设，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 2.（24-25高三上·上海·期中）已知抛物线经过点，直线过点且与抛物线有两个不同的交点，. (1)求抛物线的准线方程； (2)求直线的斜率的取值范围； (3)若直线交轴于，直线交轴于，设为原点，，，求的值. 题型七：运算关系定值 【例15】（24-25上海高三阶段练习）设椭圆C：1（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线C：x2＝4y的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点． （1）求椭圆C的方程； （2）是否存在直线l，使得2．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． （3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值． 【跟踪训练】 1．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．过点的直线与及圆依次相交于点，如图． (1)求抛物线的标准方程； (2)证明：为定值； (3)过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求与的面积之积的最小值． 2.已知椭圆的短轴长为，且离心率为. (1)求C的方程. (2)过点作斜率不为0的直线与椭圆C交于S，T不同的两点，再过点作直线ST的平行线与椭圆C交于G，H不同的两点. ①证明：为定值. ②求面积的取值范围. 3．在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，以M为圆心的一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P、Q. (1)若直线的斜率都存在，且分别记为.求证：为定值； (2)探究是否为定值，若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由. 题型八：坐标相关定值 【例16】（24-25上海高三阶段练习）如图，已知椭圆：的离心率为，点为其左顶点．过A的直线交抛物线于B、C两点，C是AB的中点．    (1)求椭圆的方程； (2)求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值； (3)若直线m过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，且交椭圆于M，N两点，求p的值，使得的面积最大． 【跟踪训练】 1.（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点. (1)求椭圆的方程； (2)设圆.若直线与圆相切，求点的坐标； (3)若点是椭圆上不与椭圆顶点重合且异于点的任意一点，点关于轴的对称点是点，直线分别交轴与点､点，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由. 2．过抛物线上的点的直线，分别交抛物线T于点B，C．设直线，的斜率分别为，，，当且点B，C关于x轴对称时，△ABC的面积为2． (1)求抛物线T的方程； (2)当时，证明：直线BC过定点． (3)设△ABC的外心E的坐标为，BC的中点M的坐标为，证明：为定值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $