重难点22 圆锥曲线定点问题的十大类型 讲义——2026届上海市高考数学一轮复习

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 重难点22 圆锥曲线定点问题的十大类型 知识点一、直线过定点问题的基本解法 方法1：设线法，用两个参数表示直线方程，一般步骤为： ①设直线方程为(或)，联立直线与圆锥曲线方程，得出根与系数的关系； ②结合韦达定理和已知条件，得到或的关系，或者解出的值； ③将②的结果代入(或)，得到定点坐标． 方法2：解点法，用一个参数表示直线方程，一般步骤为： ①引进参数，根据已知条件，求出直线上两个点的坐标(含参)； ②特殊位置入手，找到定点(有时可考虑对称性)； ③证明三点共线，从而直线过定点．(其中一个方法是证明) 知识点二、定点问题的常见类型 1、手电筒模型（由斜率关系求定点） 从圆锥曲线上一点引两条直线，由此可设置相关问题，因形状类似筷子，故称为筷子问题。 从圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线，抛物线)上一点P引两条直线，分别和曲线交于A、B两点。若kPA+kPB=λ或kPAkPB=则AB过定点；反之成立，即若AB过定点，则kPA+kPB=λ或kPAkPB=。 “手电筒” 模型过定点问题的解题核心是 “设线→联立→找关系→定定点”，需结合椭圆方程、直线与椭圆位置关系及定点的 “恒定性” 特征，按以下四步规范解题，适用于斜率之积、斜率之和为定值等常见场景。 2、“相交弦”模型--动点在定直线上 “相交弦” 模型过定点之动点在定直线上问题。在该模型里，从定直线上某一动点出发的直线（或两条直线）与椭圆相交形成相交弦（或两组相交弦），当动点在定直线上运动时，这些相交弦所在直线（或相交弦的交点、中点连线等），不论动点位置如何变化，恒过某一定点。 3、“相交弦”模型--动直线斜率成倍数问题 “相交弦”模型过定点之动直线斜率成倍数问题，深度融合了椭圆的标准方程、直线的点斜式与斜截式方程、直线与椭圆的位置关系（联立方程、判别式判定、韦达定理应用）等核心知识，同时还需灵活运用参数消元、恒成立问题求解、斜率关系转化等数学思想方法。 4、“对称点”模型 过定点的动直线与椭圆的其中一个交点满足 “与另一点关于坐标轴对称”（重要条件），求证对称点与另一交点所在的 “动直线过定点” 或 “求定点坐标” 5、“垂足点”模型 过定点的动直线与椭圆的其中一个交点 “作定直线垂线”（重要条件），求证垂足点与另一交点所在的 “动直线过定点” 或 “求定点坐标”。 6、“垂直弦中点”模型 过定点的两相互垂直的弦 “中点连线过定直线”（重要条件），求证两弦中点所在的 “动直线过定点” 或 “求定点坐标” 7、“夹汤圆”模型 过定点的两直线与动圆相切，求证两切线与椭圆相交的两点所在的 “动直线过定点” 或 “求定点坐标”。 8、切点弦模型 （1）过抛物线外一点作抛物线的切线，切点弦方程为； （2）过椭圆外一点作椭圆的切线，切点弦方程为； （3）过双曲线外一点作双曲线的切线，切点弦方程为； 9、圆过定点 圆过定点问题的一般设问方式 (1)证明以PQ为直径的圆恒过x或y轴上某定点M(m，0)或M(0，n)； (2)证明以PQ为直径的圆恒过定点M(m，n)； (3)证明以PQ为直径的圆恒过定点M(m，n)； (4)以PQ为直径的圆是否恒过定点M？若是，求出该定点M的坐标；若不是，请说明理由． 2．圆过定点问题的一般解法是向量法，根据直径所对的圆周角是直角，即·＝0 知识点三、几个重要的定点结论 1.过椭圆的左焦点作两条相互垂直的弦，，若弦，的中点分别为，，则直线恒过定点.（双曲线与抛物线也有类似结论） 2.动点在直线上，由引椭圆的两条切线，切点分别是，，则直线恒过定点.（双曲线与抛物线也有类似结论） 3.①过椭圆上的一定点作两条斜率之和为的直线，，分别交椭圆于，两点，则直线必过定点； ②过抛物线上的一定点作两条斜率之和为的直线，，分别交抛物线于，两点，则直线必过定点 4.①过椭圆上的一定点作两条斜率之积为的直线，，分别交椭圆于，两点，则直线必过定点 ②过抛物线上的一定点作两条斜率之积为的直线，，分别交抛物线于，两点，则直线必过定点 模型一 “手电筒”模型---斜率之和 【例1】（2024·上海嘉定·二模）如图：已知三点、、都在椭圆上． (1)若点、、都是椭圆的顶点，求的面积； (2)若直线的斜率为1，求弦中点的轨迹方程； (3)若直线的斜率为2，设直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在，说明理由． 【跟踪训练】 1. （2025华东师大三附中高三三模）已知双曲线过点，且离心率为． （1）求的方程； （2）设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； （3）若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 2．（2023•杨浦区校级期末）已知椭圆，四点、、、中恰有三点在椭圆上． （1）求的方程： （2）椭圆上是否存在不同的两点、关于直线对称？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由； （3）设直线不经过点且与相交于、两点，若直线与直线的斜率的和为1，求证：过定 3．（2025上海高三期中）已知双曲线的离心率为为坐标原点，过点的直线交于，两点，其中点在第一象限. (1)求的标准方程. (2)设. ①求直线的方程. ②过点作斜率分别为的两条直线，且直线与交于另一点，直线与交于另一点.若，证明直线过定点，并求该定点坐标. 4．（2022秋•普陀校级月考）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8． （1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）若轨迹与圆相交于、、、四个点，求的取值范围； （3）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，，若轴是的角平分线，证明直线过定点． 题型二： “手电筒”模型---斜率之积 【例2】已知椭圆，分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点（不过点）. (1)若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积； (2)若，求直线的方程； (3)若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线过定点. 【跟踪训练】 1.抛物线（），斜率为1的直线过抛物线的准线与轴的交点. （1）试判断直线与抛物线的位置关系，并加以证明； （2）若，过分别作斜率为，的两条直线，，分别交抛物线于点，两点，且，证明：直线恒过定点，并求出定点的坐标. 2.点在双曲线上，离心率. (1)求双曲线的方程； (2)是双曲线上的两个动点（异于点），分别表示直线的斜率，满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标. 题型三： “相交弦”模型---动点在定直线上 【例3】已知，分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，．为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为． （1）求的方程； （2）证明：直线过定点． 【跟踪训练】 1.（2023华东师大二附中三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为，若椭圆C经过点，离心率为，直线l过点与椭圆C交于A、B两点． （1）求椭圆C的方程； （2）若点N为的内心，求与面积的比值； （3）设点A，F2，B在直线上的射影依次为点D，G， E．连结AE，BD，试问当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点T？若是，请求出定点T的坐标；若不是，请说明理由． 2．（2025七宝中学高三阶段练习）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为，设过点的直线、与此椭圆分别交于点，、，，其中，， （1）设动点满足，求点的轨迹方程； （2）设，，求点的坐标； （3）若点在点的轨迹上运动，问直线是否经过轴上的一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由． 3．（2024松江二中高三阶段练习）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为．设过点的直线、与椭圆分别交于点，、，，其中，，． （1）设动点满足，求点的轨迹； （2）设，，求点的坐标； （3）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）． 4．（24-25高三上·上海·期中）如图，已知双曲线（，）的渐近线方程为，点在双曲线C上，A、B为双曲线C的左、右顶点，P为双曲线C右支上的动点，直线AP和直线交于点N，直线NB交双曲线C的右支于点Q. (1)求双曲线C的方程； (2)若点P在第一象限，且满足，求的面积； (3)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，并说明理由. 题型四： “相交弦”模型---斜率之商 【例4】已知椭圆C：的左右焦点分别为、，离心率，、分别为椭圆C的左、右顶点，且. (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆上另有一点M，使得直线与斜率、满足，请分析直线BM是否恒过定点. 【跟踪训练】 1.已知椭圆C：的左右焦点分别为、，离心率，、分别为椭圆C的左、右顶点，且. (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆上另有一点M，使得直线与斜率、满足，请分析直线BM是否恒过定点.    2.如图所示，抛物线的焦点为． (1)求抛物线的标准方程； (2)过的两条直线分别与抛物线交于点与(点在轴的上方)． ①若，求直线的斜率； ②设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求证：直线过定点． 3.已知双曲线的离心率是，点在双曲线C上． (1)求双曲线C的方程； (2)设，M为C上一点，N为圆上一点（ 均不在x轴上）．直线的斜率分别记为，且，判断：直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 4. （2025届上海市大同中学高三三模）已知是抛物线的焦点，在点处的切线交轴于点，过点的直线与交于两点. （1）求的方程； （2）比较与的大小，并说明理由； （3）过点的直线与交于两点，，线段的延长线分别交于点，，试判断直线是否过定点，如果是，请求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由. 题型五： “对称点”模型 【例5】已知椭圆的离心率为，是椭圆上的一点.    （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线与椭圆交于不同两点、，点关于轴的对称点为，问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【跟踪训练】 1．（24-25上海阶段练习）已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且|OP|2＝λ+μd2，其中λ，μ均为常数，动点P的轨迹称为（λ，μ）曲线． （1）判断（7，2）曲线为何种圆锥曲线． （2）若曲线为焦点在y轴上的椭圆，求μ的取值范围． （3）设曲线Ω为曲线，斜率为k（k≠0）的直线l过Ω的右焦点，且与Ω交于A，B两个不同的点．若点B关于x轴的对称点为点D，证明：直线AD过定点． 2.（2024大同中学三模）阿基米德（公元前287年—公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为.点、分别为轴、轴上的定点. （1）求椭圆的标准方程； （2）点为椭圆上的动点，求三角形面积的最小值，并求此时点坐标； （3）直线与椭圆交于不同的两点A、B，已知关于轴的对称点为M，B点关于原点的对称点为，已知P、M、N三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 题型六： “垂足点”模型 【例6】已知椭圆的焦点在轴上，且经过点，左顶点为，右焦点为． (1)求椭圆的离心率和的面积； (2)已知直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，判断直线是否过定点？若是，求出该定点：若不是，请说明理由． 【跟踪训练】 1.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过 A（0，－2），B（，－1）两点. （1）求E的方程； （2）设过点P（1，－2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点. 2. （2025上海市金山中学高三三模）已知双曲线的右焦点为． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积； （3）过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由． 题型七： “垂直弦中点”模型 【例7】已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)过双曲线的右焦点作互相垂直的两条弦（斜率均存在）、.两条弦的中点分别为、，那么直线是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标. 【跟踪训练】 1.（2024·上海宝山·一模）已知椭圆:，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为.    (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若，求直线的方程； (3)过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为. 若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 2．已知抛物线，过点作两条互相垂直的直线，设分别与抛物线相交于及两点，当点的横坐标为时，抛物线在点处的切线斜率为. (1)求抛物线的方程； (2)设线段的中点分别为，为坐标原点，求证直线过定点. 3.在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积为. (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，是曲线上的点，若直线，均过曲线的右焦点且互相垂直，线段的中点为，线段的中点为. 是否存在点，使直线恒过点，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由. 题型八： “夹汤圆”模型 【例8】（24-25高三下·上海虹口·阶段练习）已知分别为椭圆的左右焦点，分别为上下顶点，为上的点． (1)若点的坐标为，求的面积； (2)求的取值范围； (3)如图，过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点（不同于点），当变化时，试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 【跟踪训练】 1.已知点为椭圆的右顶点，圆，过点作的两条切线分别与椭圆交于两点（不同于点）. (1)当变化时，直线的斜率乘积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (2)给定一个，椭圆上的点到直线的距离的最大值为，当变化时，求的最大值，并求出此时的值. 2. （2025上海高三阶段练习）椭圆的方程为，、为椭圆的左右顶点，、为左右焦点，为椭圆上的动点. （1）求椭圆的离心率； （2）若为直角三角形，求的面积； （3）若、为椭圆上异于的点，直线、均与圆相切，记直线、的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 题型九：切点弦模型 【例】（24-25闵行区高三上开学考试）已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点在椭圆上（点不在坐标轴上），证明：直线与椭圆相切； (3)设点在直线上（点在椭圆外），过点作椭圆的两条切线，切点分别为为坐标原点，若和的面积之和为1，求直线的方程. 【跟踪训练】 1.（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与两个焦点构成的三角形的最大面积为1． (1)求椭圆的方程； (2)若点为直线上的任意一点，过点作椭圆的两条切线（切点分别为），试证明动直线恒过一定点，并求出该定点的坐标． 2.（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合，点是直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为． (1)求抛物线的方程． (2)证明直线过定点，并且求出定点坐标． 3.已知椭圆E：的长轴为双曲线的实轴，且离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)已知椭圆在其上一点处的切线方程为.过直线上任意一点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B.M为椭圆的左顶点. ①证明：直线过定点； ②求面积的最大值. 题型十： 圆过定点问题 【例10】（2022·上海长宁·统考一模）已知抛物线的焦点为F，准线为l； (1)若F为双曲线的一个焦点，求双曲线C的离心率e； (2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程； (3)经过点F且斜率为的直线l'与相交于A，B两点，O为坐标原点，直线分别与l相交于点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由； 【跟踪训练】 1.（虹口2023二模）已知动点到点的距离和它到直线的距离之比等于，动点M的轨迹记为曲线C , 过点F的直线l与曲线相交于P，Q两点. （1）求曲线C的方程； （2）若，求直线l的方程； （3）已知直线AP，AQ分别与直线相交于M，N两点，求证：以MN为直径的圆经过点 2．（2024黄浦区校级月考）已知抛物线关于轴对称，且经过点 （1）求抛物线的标准方程及其准线方程 （2）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点、，抛物线的准线分别交直线、于点和点，求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点 3.（2025华师大三附中高三三模）已知是焦距为的双曲线上一点，过的一条直线与双曲线的两条渐近线分别交于，，且，过作垂直的两条直线和，与轴分别交于，两点，其中与轴交点的横坐标是. (1)求的值； (2)求的最大值，并求此时双曲线的方程； (3)判断以为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点；如果不是，说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 O M x y 图1 N P(x0,y0) O M x y 图2 N P(x0,y0) O M x y 图3 N P(x0,y0) O M x y 图4 N P(x0,y0) $ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 重难点22 圆锥曲线定点问题的十大类型 知识点一、直线过定点问题的基本解法 方法1：设线法，用两个参数表示直线方程，一般步骤为： ①设直线方程为(或)，联立直线与圆锥曲线方程，得出根与系数的关系； ②结合韦达定理和已知条件，得到或的关系，或者解出的值； ③将②的结果代入(或)，得到定点坐标． 方法2：解点法，用一个参数表示直线方程，一般步骤为： ①引进参数，根据已知条件，求出直线上两个点的坐标(含参)； ②特殊位置入手，找到定点(有时可考虑对称性)； ③证明三点共线，从而直线过定点．(其中一个方法是证明) 知识点二、定点问题的常见类型 1、手电筒模型（由斜率关系求定点） 从圆锥曲线上一点引两条直线，由此可设置相关问题，因形状类似筷子，故称为筷子问题。 从圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线，抛物线)上一点P引两条直线，分别和曲线交于A、B两点。若kPA+kPB=λ或kPAkPB=则AB过定点；反之成立，即若AB过定点，则kPA+kPB=λ或kPAkPB=。 “手电筒” 模型过定点问题的解题核心是 “设线→联立→找关系→定定点”，需结合椭圆方程、直线与椭圆位置关系及定点的 “恒定性” 特征，按以下四步规范解题，适用于斜率之积、斜率之和为定值等常见场景。 2、“相交弦”模型--动点在定直线上 “相交弦” 模型过定点之动点在定直线上问题。在该模型里，从定直线上某一动点出发的直线（或两条直线）与椭圆相交形成相交弦（或两组相交弦），当动点在定直线上运动时，这些相交弦所在直线（或相交弦的交点、中点连线等），不论动点位置如何变化，恒过某一定点。 3、“相交弦”模型--动直线斜率成倍数问题 “相交弦”模型过定点之动直线斜率成倍数问题，深度融合了椭圆的标准方程、直线的点斜式与斜截式方程、直线与椭圆的位置关系（联立方程、判别式判定、韦达定理应用）等核心知识，同时还需灵活运用参数消元、恒成立问题求解、斜率关系转化等数学思想方法。 4、“对称点”模型 过定点的动直线与椭圆的其中一个交点满足 “与另一点关于坐标轴对称”（重要条件），求证对称点与另一交点所在的 “动直线过定点” 或 “求定点坐标” 5、“垂足点”模型 过定点的动直线与椭圆的其中一个交点 “作定直线垂线”（重要条件），求证垂足点与另一交点所在的 “动直线过定点” 或 “求定点坐标”。 6、“垂直弦中点”模型 过定点的两相互垂直的弦 “中点连线过定直线”（重要条件），求证两弦中点所在的 “动直线过定点” 或 “求定点坐标” 7、“夹汤圆”模型 过定点的两直线与动圆相切，求证两切线与椭圆相交的两点所在的 “动直线过定点” 或 “求定点坐标”。 8、切点弦模型 （1）过抛物线外一点作抛物线的切线，切点弦方程为； （2）过椭圆外一点作椭圆的切线，切点弦方程为； （3）过双曲线外一点作双曲线的切线，切点弦方程为； 9、圆过定点 圆过定点问题的一般设问方式 (1)证明以PQ为直径的圆恒过x或y轴上某定点M(m，0)或M(0，n)； (2)证明以PQ为直径的圆恒过定点M(m，n)； (3)证明以PQ为直径的圆恒过定点M(m，n)； (4)以PQ为直径的圆是否恒过定点M？若是，求出该定点M的坐标；若不是，请说明理由． 2．圆过定点问题的一般解法是向量法，根据直径所对的圆周角是直角，即·＝0 知识点三、几个重要的定点结论 1.过椭圆的左焦点作两条相互垂直的弦，，若弦，的中点分别为，，则直线恒过定点.（双曲线与抛物线也有类似结论） 2.动点在直线上，由引椭圆的两条切线，切点分别是，，则直线恒过定点.（双曲线与抛物线也有类似结论） 3.①过椭圆上的一定点作两条斜率之和为的直线，，分别交椭圆于，两点，则直线必过定点； ②过抛物线上的一定点作两条斜率之和为的直线，，分别交抛物线于，两点，则直线必过定点 4.①过椭圆上的一定点作两条斜率之积为的直线，，分别交椭圆于，两点，则直线必过定点 ②过抛物线上的一定点作两条斜率之积为的直线，，分别交抛物线于，两点，则直线必过定点 模型一 “手电筒”模型---斜率之和 【例1】（2024·上海嘉定·二模）如图：已知三点、、都在椭圆上． (1)若点、、都是椭圆的顶点，求的面积； (2)若直线的斜率为1，求弦中点的轨迹方程； (3)若直线的斜率为2，设直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）根据点、、都是椭圆的顶点，计算的面积即可得； （2）设，，直线的方程为，与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系得出，根据中点坐标公式，求解即可得； （3）设，，，根据，得出，用与表示直线与椭圆的方程，求解即可得出和的值，从而求出点的坐标． 【详解】（1）因为点、、都是椭圆的顶点， 所以的面积为； （2）设，，因为直线的斜率为， 所以可设直线的方程为， 由，消去，整理得， ，即， ，， 设弦中点，则， ， 消去，得， 所以， 所以点的轨迹方程为，； （3）设，，，则， 因为直线的斜率为，设直线的方程为， 其中，且不过， 椭圆的方程可化为，即， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， ，解得， 代入，解得，所以， 所以存在点或，使得恒成立． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【跟踪训练】 1. （2025华东师大三附中高三三模）已知双曲线过点，且离心率为． （1）求的方程； （2）设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； （3）若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率得，再根据双曲线所过的点求出基本量后可得双曲线方程； （2）设直线的方程为，由已知距离得，联立直线方程和双曲线方程结合韦达定理可求，故可求； （3）法1：设出直线方程，联立直线方程和双曲线方程后消元，再结合韦达定理化简斜率之和得直线参数关系，从而可求定点；法2：平移双曲线图象，使点平移到坐标原点，设平移后的直线的方程为：，齐次化后结合斜率为1可得参数关系，从而可求出原直线所过的定点. 小问1详解】 由，得， 则双曲线的方程为，将点代入的方程中，得． 解得，故，所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，因为点到直线的距离为1， 作出简图如下所示， 所以，即． 设，，由于直线与交于点，所以， 联立整理得． 则，， 且， 故， 所以， 则．故． 【小问3详解】 法一：当直线的斜率为0时，可设其方程为，则，， 则即， 又在双曲线上，所以，联立可得，所以或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 故此时直线的方程为． 当直线的斜率不为0时， 设的方程为，设，， 联立得，其 则，且 而 ， 化简得． 代入（※）式，得， 即，所以或． （ⅰ）当时， 的方程为，此时直线过定点． （ⅱ）当时，的方程为， 此时直线过定点，与是双曲线上异于的两点矛盾，故舍去． 综上，直线过定点． 法二：平移双曲线图象，使点平移到坐标原点， 可得双曲线方程：，化简得． 设平移后的直线的方程为：，，， 所以， 整理得， 即， 所以， 即，对比可得平移后的直线过定点． 所以直线过定点． 2．（2023•杨浦区校级期末）已知椭圆，四点、、、中恰有三点在椭圆上． （1）求的方程： （2）椭圆上是否存在不同的两点、关于直线对称？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由； （3）设直线不经过点且与相交于、两点，若直线与直线的斜率的和为1，求证：过定点． 【解答】解：（1）结合椭圆几何特征，可得、、在椭圆上， 即有、、满足椭圆方程， 即，， 解得，， 可得椭圆方程为； （2）设直线为，线段中点为， 根据椭圆中点弦性质， 即， 联立解得中点，， 代入，可得， ； （3）证明：当直线的斜率不存在时，设，，， 直线与直线的斜率的和为，， 解得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足； 若直线的斜率存在，设，联立椭圆， 可得， 设，，，， 则，， ， 直线，即， 则直线经过定点． 3．（2025上海高三期中）已知双曲线的离心率为为坐标原点，过点的直线交于，两点，其中点在第一象限. (1)求的标准方程. (2)设. ①求直线的方程. ②过点作斜率分别为的两条直线，且直线与交于另一点，直线与交于另一点.若，证明直线过定点，并求该定点坐标. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析， 【分析】（1）根据双曲线的离心率可得结果. （2）①根据条件可知点在以为圆心，5为半径的圆上，联立圆方程与双曲线方程可得结果. ②设直线，与双曲线方程联立，借助韦达定理得到的关系式可得结果. 【详解】（1）因为的离心率为，所以，解得， 所以的标准方程为. （2） ①由，得点在以为圆心，5为半径的圆上. 设，则解得即， 所以直线的斜率为，直线的方程为，即. ②当直线的斜率不存在时，点关于轴对称，设， 由，得，即，解得，不符合题意， 所以直线的斜率存在. 设直线，由得， 则，即. 设，则， 因为，所以，即， 得， 所以，即， 所以或. 当时，直线的方程为，经过定点，不符合题意； 当时，直线的方程为，经过定点. 综上，直线过定点，且定点坐标为. 4．（2022秋•普陀校级月考）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8． （1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）若轨迹与圆相交于、、、四个点，求的取值范围； （3）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，，若轴是的角平分线，证明直线过定点． 【解答】解：（1）设圆心，过点作 轴，垂足为，则， ， ，化为； （2）联立，得． 轨迹与圆相交于、、、四个点， ， 解得； （3）设，，，， 由题意可知，，． 轴是的角平分线，， ，，化为． 直线的方程为， ，化为， 化为， ，令，则， 直线过定点． 题型二： “手电筒”模型---斜率之积 【例2】已知椭圆，分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点（不过点）. (1)若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积； (2)若，求直线的方程； (3)若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线过定点. 【详解】（1）在椭圆 中，左、右顶点分别为， 设点，则 . （2）设，由已知可得，， 由得，化简得 代入可得， 联立解得 由得直线过点，， 所以，所求直线方程为. （3）设，易知直线的斜率不为，设其方程为（）， 联立，可得， 由，得. 由韦达定理，得.，. 可化为， 整理即得， ，由， 进一步得，化简可得，解得， 直线的方程为，恒过定点. 【跟踪训练】 1.抛物线（），斜率为1的直线过抛物线的准线与轴的交点. （1）试判断直线与抛物线的位置关系，并加以证明； （2）若，过分别作斜率为，的两条直线，，分别交抛物线于点，两点，且，证明：直线恒过定点，并求出定点的坐标. 【答案】（1）相切，证明见解析；（2）证明见解析，. 【分析】（1）求出直线的方程，再与抛物线方程联立，利用判别式即可求解； （2）设出直线的方程并与抛物线方程联立，由根与系数的关系，斜率公式与已知条件可求得直线恒过的定点 【详解】（1）直线与抛物线相切.证明如下： 由题意得，抛物线的准线与轴的交点为， 所以直线的方程为， 联立方程，整理得， 因为， 所以直线与抛物线相切； （2）当时，抛物线，点在抛物线上，设，， 设直线的方程为， 联立方程，整理得， 则，，. 因为，， 由得：，即，故， 所以. 令，整理得，即， 所以， 所以直线恒过点. 2.点在双曲线上，离心率. (1)求双曲线的方程； (2)是双曲线上的两个动点（异于点），分别表示直线的斜率，满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标. 【解析】（1）由题意点在双曲线上，离心率 可得； ，解出，， 所以，双曲线的方程是 （2）①当直线的斜率不存在时，则可设， 代入，得， 则， 即，解得或， 当时，，其中一个与点重合，不合题意； 当时，直线的方程为，它与双曲线不相交，故直线的斜率存在； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程代入， 整理得，，设， 则， 由， 所以 所以，， 即, 整理得， 即， 所以或， 若，则，直线化为，过定点； 若，则，直线化为，它过点，舍去 综上，直线恒过定点 另设直线的方程为①， 双曲线的方程可化为， 即②， 由①②可得， 整理可得， 两边同时除以， 整理得③， ， 则是方程③的两个不同的根， 所以，即④， 由①④可得 ，解得， 故直线恒过定点. 题型三： “相交弦”模型---动点在定直线上 【例3】已知，分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，．为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为． （1）求的方程； （2）证明：直线过定点． 【答案】见解析 【解析】 如图所示： （2）由（1）知，，设， 则直线的方程是， 联立， 由韦达定理， 代入直线的方程为得： ，即，， 直线的方程是， 联立方程， 由韦达定理， 代入直线的方程为得， 即，， 则①当即时，有， 此时，即为直线， ②当时，直线的斜率， 直线的方程是，整理得： ，直线过定点，． 综合①②故直线过定点，． 【跟踪训练】 1.（2023华东师大二附中三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为，若椭圆C经过点，离心率为，直线l过点与椭圆C交于A、B两点． （1）求椭圆C的方程； （2）若点N为的内心，求与面积的比值； （3）设点A，F2，B在直线上的射影依次为点D，G， E．连结AE，BD，试问当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点T？若是，请求出定点T的坐标；若不是，请说明理由． （1）；（2）；（3）定点. 【分析】（1）由题意知b＝．由＝，可得＝，解得a即可得出椭圆C的方程． （2）由点N为△F1AF2的内心，可得点N为△F1AF2的内切圆的圆心，设该圆的半径为r，可得＝，整理即可． （3）若直线l的斜率不存在时，四边形ABED是矩形，此时AE与BD交于F2G的中点．下面证明：当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点．设直线l的方程为y＝k（x﹣1），与椭圆方程联立化简得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意，得D（4，y1），E（4，y2），则直线AE的方程为y﹣y2＝（x﹣4）．令，此时y＝y2+（），把根与系数关系代入可得y＝0，因此点在直线AE上．同理可证，点在直线BD上．即可得出结论． 【详解】（1）由题意，，又因为，所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）因为点为的内心， 所以点为的内切圆的圆心，设该圆的半径为. 则. （3）若直线的斜率不存在时，四边形是矩形， 此时与交于的中点， 下面证明：当直线的倾斜角变化时，直线与相交于定点. 设直线的方程为， 化简得， 因为直线经过椭圆内的点，所以， 设，， 则，. 由题意，，， 直线的方程为， 令，此时 ， 所以点在直线上， 同理可证，点在直线上. 所以当直线的倾斜角变化时，直线与相交于定点. 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、直线相交问题、三角形的内切圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 2．（2025七宝中学高三阶段练习）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为，设过点的直线、与此椭圆分别交于点，、，，其中，， （1）设动点满足，求点的轨迹方程； （2）设，，求点的坐标； （3）若点在点的轨迹上运动，问直线是否经过轴上的一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由． 【解答】解：（1）由椭圆可得：，，． ，． 设，则，． 满足， ，，， ， 化简得， 故的轨迹方程为 （2）由及得，则点， 从而直线的方程为； 同理可以求得直线的方程为 联立两方程可解得 点的坐标为． （3）假设直线过定点，由在点的轨迹上， 直线的方程为，直线的方程为 点，满足得， 又，解得，从而得． 同理：，． 直线的方程：， 令，解得． 直线经过定点． 3．（2024松江二中高三阶段练习）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为．设过点的直线、与椭圆分别交于点，、，，其中，，． （1）设动点满足，求点的轨迹； （2）设，，求点的坐标； （3）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）． 【解答】解：（1）设点，则：、、． 由，得，化简得． 故所求点的轨迹为直线． （2）将分别代入椭圆方程，以及，， 得、， 直线方程为：，即， 直线方程为：，即． 联立方程组，解得：， 所以点的坐标为． （3）点的坐标为 直线方程为：，即， 直线方程为：，即． 分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，， 解得：、． （方法一）当时， 直线方程为：， 令，可得， 即为， 令，解得：．此时必过点； 当时，直线方程为：，与轴交点为． 所以直线必过轴上的一定点． （方法二）若，则由及，得， 此时直线的方程为，过点． 若，则，直线的斜率， 直线的斜率，得，所以直线过点． 因此，直线必过轴上的点． 4．（24-25高三上·上海·期中）如图，已知双曲线（，）的渐近线方程为，点在双曲线C上，A、B为双曲线C的左、右顶点，P为双曲线C右支上的动点，直线AP和直线交于点N，直线NB交双曲线C的右支于点Q. (1)求双曲线C的方程； (2)若点P在第一象限，且满足，求的面积； (3)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，并说明理由. 【详解】（1）依题意，可得，解得. 故双曲线C的方程为； （2） 如图，设点，由可得点是的中点， 又，，则， 依题意，点在直线上，则，解得， 将其代入，解得，因点P在第一象限，故. 于是直线的方程为：， 代入，整理得，解得或，故得， 于是的面积为; （3）直线经过点，理由如下： 设直线的方程为：， 代入，整理得：， 由可得. 设，则 故有.（*） 直线的方程为：，令，代入解得，即, 因三点共线，故,又， 则得，即， 将代入，化简得：， 由（*），可得， 代入整理得：， 即得：，也即， 因点是双曲线右支上的动点，故不能恒为0，故. 此时直线的方程为：，故直线必过定点. 题型四： “相交弦”模型---斜率之商 【例4】已知椭圆C：的左右焦点分别为、，离心率，、分别为椭圆C的左、右顶点，且. (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆上另有一点M，使得直线与斜率、满足，请分析直线BM是否恒过定点. 【答案】(1) (2)直线MB恒过定点 【分析】（1）根据离心率，长轴长为4，求得，即可求出椭圆方程. （2）设直线MB的方程为，联立与椭圆方程，结合韦达定理，设、，得到，结合，然后，代入计算即可得到结果. 【详解】（1）由已知可得：， 解得：，，则，则有C：； （2）设直线MB的方程为 ，代入可得 ，可设、 则有，， 因为，所以， 因为在椭圆上，所以，所以， 代入，且， 可得， 即，即 即 由于，化简得，即直线MB恒过定点.    【跟踪训练】 1.已知椭圆C：的左右焦点分别为、，离心率，、分别为椭圆C的左、右顶点，且. (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆上另有一点M，使得直线与斜率、满足，请分析直线BM是否恒过定点. 【答案】(1) (2)直线MB恒过定点 【分析】（1）根据离心率，长轴长为4，求得，即可求出椭圆方程. （2）设直线MB的方程为，联立与椭圆方程，结合韦达定理，设、，得到，结合，然后，代入计算即可得到结果. 【详解】（1）由已知可得：， 解得：，，则，则有C：； （2）设直线MB的方程为 ，代入可得 ，可设、 则有，， 因为，所以， 因为在椭圆上，所以，所以， 代入，且， 可得， 即，即 即 由于，化简得，即直线MB恒过定点.    2.如图所示，抛物线的焦点为． (1)求抛物线的标准方程； (2)过的两条直线分别与抛物线交于点与(点在轴的上方)． ①若，求直线的斜率； ②设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求证：直线过定点． 【答案】(1)；(2)；(3)见解析． 【解析】(1)因为，所以．所以方程为 (2)解法1：设 由，得， 将代入，得=12-8x2，则．． 解法2：由① 由，得，代入①求得，而，得． 解法3： 利用抛物线的定义转化为到准线的距离，得． (3)，得，所以，同理① 所以，代入①得 ．又由，而∴． ①当存在时，设直线，联立得：， ∴得，∴过定点； ②当不存在时，检验得过定点． 综上所述，直线过定点． 3.已知双曲线的离心率是，点在双曲线C上． (1)求双曲线C的方程； (2)设，M为C上一点，N为圆上一点（ 均不在x轴上）．直线的斜率分别记为，且，判断：直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1). (2)直线过定点,定点为. 【分析】（1）根据双曲线离心率以及双曲线经过的点，列出满足的等式，求出其值，即可求得答案； （2）写出直线的方程，分别联立双曲线和圆的方程，求得点的坐标，即可求得直线的斜率，进而可表示出其方程，即可判断直线所过定点. 【详解】（1）由双曲线的离心率是， 可得， 又点在双曲线C上，即，解得， 故双曲线C的方程为. （2）由题意可知，且的方程为 ， 联立，可得，，， 设，由题意可知该方程有一根为， 故，则， 的方程为 ， 联立，可得，， 设，由题意可知该方程有一根为， 故，则， 由于，即，由于，故， 故，， 所以直线的斜率为 ， 故直线的方程为， 即，即， 由于，故， 即直线过定点. 【点睛】难点点睛：解决直线和双曲线位置关系中的直线过定点问题，解答的思路并不难找到，即根据联立直线和曲线方程，求出点的坐标，求出的斜率，表示出其方程，即可求得定点，但困难的是计算十分复杂，计算量大，并且都是关于参数的运算，需要十分细心. 4. （2025届上海市大同中学高三三模）已知是抛物线的焦点，在点处的切线交轴于点，过点的直线与交于两点. （1）求的方程； （2）比较与的大小，并说明理由； （3）过点的直线与交于两点，，线段的延长线分别交于点，，试判断直线是否过定点，如果是，请求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由. 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）是， 【解析】 【分析】（1）利用已知点坐标代入抛物线方程求参数. （2）通过导数求切线方程确定点G，结合抛物线的几何性质或代数计算比较距离平方与乘积. （3）参数化过焦点的直线，利用抛物线的对称性或代数运算判断直线是否过定点. 【小问1详解】 （1）已知点在上， 所以，即，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 抛物线方程可化为，则，当时，切线斜率， 由点斜式可得过点的切线方程为，即， 令，可得，所以. 由，可得，所以. 如图（1），设直线的方程为， 联立得得， 所以. 因为， 所以， 所以. 【小问3详解】 易知.由题意知直线的斜率必存在，故设直线， 联立得消去得，所以. 直线的方程为，将代入，得， 由，所以， 同理可得. 所以直线的斜率， 由直线的点斜式方程可得直线， 将代入， 得， 所以直线过定点. 题型五： “对称点”模型 【例5】已知椭圆的离心率为，是椭圆上的一点.    （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线与椭圆交于不同两点、，点关于轴的对称点为，问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】（1）；（2）是，. 【分析】（1）由离心率为得， 将代入椭圆，联解得椭圆方程； （2）设直线方程，与椭圆联解得，求得.，，设出直线方程化简得解. 【详解】（1）∵，，∴，∴， 将代入椭圆，∴，∴. （2）显然斜率存在，设方程 为：，， ，∴. 设，，，∴，， ∵，∴时 ， ∴直线过定点. 【跟踪训练】 1．（24-25上海阶段练习）已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且|OP|2＝λ+μd2，其中λ，μ均为常数，动点P的轨迹称为（λ，μ）曲线． （1）判断（7，2）曲线为何种圆锥曲线． （2）若曲线为焦点在y轴上的椭圆，求μ的取值范围． （3）设曲线Ω为曲线，斜率为k（k≠0）的直线l过Ω的右焦点，且与Ω交于A，B两个不同的点．若点B关于x轴的对称点为点D，证明：直线AD过定点． 【分析】（1）由题意，可得x2+y2＝λ+μy2，即可代入λ＝7，μ＝2，根据双曲线方程的特征求解； （2）根据焦点在y轴上的椭圆的性质可得，即可求解； （3）联立直线与曲线方程得韦达定理，根据点斜式求解AD方程，即可代入化简求解． 【解答】解：（1）设P（x，y）， 因为|OP|2＝λ+μd2， 所以x2+y2＝λ+μy2． 当λ＝7，μ＝2时，x2+y2＝7+2y2， 即x2﹣y2＝7， 则（7，2）曲线为双曲线； （2）由x2+y2＝λ+μy2和可得， 即， 若曲线为焦点在y轴上的椭圆， 此时1﹣μ＞0且1﹣μ≠1， 整理得， 所以， 则μ＞0， 故μ的取值范围为（0，1）； （3）证明：因为， 所以曲线Ω的方程为， 可得Ω的右焦点为（1，0）， 因为斜率为k（k≠0）的直线l过Ω的右焦点，且与Ω交于A，B两个不同的点， 设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去y并整理得（9k2+8）x2﹣18k2x+9k2﹣72＝0， 由韦达定理得， 因为点B关于x轴的对称点为点D， 所以D（x2，﹣y2）， 则直线AD的方程为， 根据对称性可知，直线AD经过的定点必在x轴上． 令y＝0， 解得 ， 当k≠0时，． 故直线AD过定点（9，0）． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题． 2.（2024大同中学三模）阿基米德（公元前287年—公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为.点、分别为轴、轴上的定点. （1）求椭圆的标准方程； （2）点为椭圆上的动点，求三角形面积的最小值，并求此时点坐标； （3）直线与椭圆交于不同的两点A、B，已知关于轴的对称点为M，B点关于原点的对称点为，已知P、M、N三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2）， （3）直线恒过定点 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦距可求出，由椭圆的面积等于得，求出，即可求出椭圆的标准方程； （2）设（为参数），根据点到直线的距离公式表示出R到直线PQ的距离为，由正弦函数的性质确定d的最小值，即可求解； （3）设直线，，进而写出为两点坐标，将直线与椭圆的方程联立，根据韦达定理求，，由三点共线可知，将，代入并化简，得到的关系式，分析可知经过的定点坐标. 【小问1详解】 由题意知，椭圆的面积知，得， 又，所以，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 由题意得，直线方程为，即，设（为参数）， 则点到直线的距离为， 当即即时，取得最小值，且最小值为， 所以的面积的最小值为， 此时. 【小问3详解】 设直线，，则，， 三点共线，得 ， 直线与椭圆交于两点，， ，， 由，得， ， ，代入中， ，， 当，直线方程为，则重合，不符合题意； 当时，直线，所以直线恒过定点. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 题型六： “垂足点”模型 【例6】已知椭圆的焦点在轴上，且经过点，左顶点为，右焦点为． (1)求椭圆的离心率和的面积； (2)已知直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，判断直线是否过定点？若是，求出该定点：若不是，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在实数，使得直线经过轴上定点. 【分析】（1）由椭圆经过点，代入椭圆方程求得，结合，解得的值，进而求得离心率和的面积； （2）根据题意直线的方程为和，根据直线的方程，结合题意得到，求得，进而证明存在实数，使得直线经过轴上定点，即可得到答案. 【详解】（1）解：由题意，椭圆经过点， 可得，解得，即椭圆， 因为，即，所以椭圆的离心率为， 又由左顶点为，右焦点为，所以， 所以的面积为. （2）解：设过点作直线的垂线的方程为， 由点，，可得直线的方程为， 当时，直线的方程为，交轴于点， 当时，直线的方程为， 此时交轴于点， 若直线经过轴上的定点，则，解得，直线交轴于点， 下面证明存在实数，使得直线经过轴上定点， 联立方程组，整理得， 设，则， 设点，所以的方程为， 令，可得， 因为，所以， 所以直线经过定点， 综上可得，存在实数，使得直线经过轴上定点. 【跟踪训练】 1.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过 A（0，－2），B（，－1）两点. （1）求E的方程； （2）设过点P（1，－2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点. 解析　（1）∵椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0，－2）， ∴可设椭圆E的方程为＋＝1，又椭圆E过B（，－1）， ∴＋＝1，得a2＝3， ∴E的方程为＋＝1. （2）当直线MN的斜率不存在时，lMN：x＝1， 由得y2＝，∴y＝±. 结合题意可知M（1，－），N（1，）， ∴过M且平行于x轴的直线的方程为y＝－. 易知点T的横坐标xT∈[0，]，直线AB的方程为y－（－2）＝×（x－0），即y＝x－2， 由得xT＝3－，∴T（3－，－）. ∵＝，∴H（5－2，－）， lHN：y－＝（x－1），即y＝x－2. 易知直线HN过定点（0，－2）. 当直线MN的斜率存在时，如图，设M（x1，y1），N（x2，y2），lMN：y＝kx＋m（k＋m＝－2）. 由得（3k2＋4）x2＋6kmx＋3m2－12＝0，Δ＞0， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝. 过M且平行于x轴的直线的方程为y＝y1， 与直线AB的方程联立，得得xT＝， ∴T（，y1）. ∵＝，∴H（3y1＋6－x1，y1）， lHN：y－y2＝（x－x2）， 即y＝x＋y2－·x2. 令x＝0，得y＝y2－＝＝. ∵y1y2＝（kx1＋m）（kx2＋m）＝k2x1x2＋mk（x1＋x2）＋m2＝，y1＋y2＝（kx1＋m）＋（kx2＋m）＝k（x1＋x2）＋2m＝，x1y2＋x2y1＝x1（kx2＋m）＋x2（kx1＋m）＝2kx1x2＋m（x1＋x2）＝， ∴－（x1y2＋x2y1）＋3y1y2＝＋＝＝， －（x1＋x2）＋6＋3（y1＋y2）＝＋6＋＝＝， ∴y＝＝－2， ∴直线HN过定点（0，－2）. 综上，直线HN过定点（0，－2）. 2. （2025上海市金山中学高三三模）已知双曲线的右焦点为． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积； （3）过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）直接根据双曲线方程写出渐近线方程即可； （2）分和两种情况讨论即可求解； （3）分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 双曲线的渐近线方程为． 【小问2详解】 ①当时，横坐标代入双曲线方程可得， 则； ②当时，设，∴， 则， 解得，则. 【小问3详解】 ①当斜率不存在时， ，∴； ②当斜率存在时，设为，则直线的方程为， 设，∴， 联立方程，可得， 由题可知①， 同理②， ①②式可得： ， ∴， ∴， ∴， ∴， 则为定点． 题型七： “垂直弦中点”模型 【例7】已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)过双曲线的右焦点作互相垂直的两条弦（斜率均存在）、.两条弦的中点分别为、，那么直线是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标. 【答案】(1) (2)直线过定点 【分析】（1）根据焦点到渐近线距离及渐近线方程列方程组，解方程； （2）设直线、方程，分别联立直线与双曲线，结合根与系数关系得、坐标，写出直线方程，可得直线过定点. 【详解】（1）设双曲线的焦点坐标为， 依题意渐近线方程为，即， 有， 解得， ； （2）由（1）可知右焦点， 设直线：，，， 由联立直线与双曲线， 化简得，， 故，， ， 又，则， 同理可得： ， ， 化简得， 故直线过定点. 【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 【跟踪训练】 1.（2024·上海宝山·一模）已知椭圆:，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为.    (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若，求直线的方程； (3)过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为. 若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)直线经过定点. 【分析】（1）根据椭圆方程确定、，利用解出即可求解； （2）设直线的方程，直曲联立根据韦达定理得：，结合为中点解出坐标，再利用，解出，即可求解； (3)分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，斜率存在时，设出方程，直曲联立，利用韦达定理，结合已知条件，求出直线过定点；斜率不存在时，设出、两点坐标，根据中点坐标公式，求出、坐标，结合已知条件，求出直线过定点，两种情况综合即可求解. 【详解】（1）由得，所以焦距，离心率 . （2）   ，设直线的方程， 与椭圆:，联立得：， 整理得：，， 因为点与点不重合，为中点，所以， 代入方程，解得，所以可得点， 于是由得，直线的方程：. （3）    ①当直线斜率存在时，设方程为：，与椭圆:， 联立，得：， 整理得：， 设，由韦达定理得， 且，化简得， 又，从而，， 由可得，从而， 又因为，， 所以上式化为： 整理得：， 韦达定理代入：， 化简得：. ，所以或 当时，直线为：， 直线经过点，舍去； 当时，直线为：， 此时成立，直线经过定点 ②当直线斜率不存在时，设，， 则，，， 代入，得 与联立得：解得 此时直线也经过点. 综上，直线经过定点. 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于设分斜率存在与不存在两种情况设出直线方程， 利用直曲联立得到方程，结合韦达定理解决问题. 2．已知抛物线，过点作两条互相垂直的直线，设分别与抛物线相交于及两点，当点的横坐标为时，抛物线在点处的切线斜率为. (1)求抛物线的方程； (2)设线段的中点分别为，为坐标原点，求证直线过定点. 【解析】(1)由得：，则，，解得：， 抛物线方程为：； (2)由题意知：直线的斜率都存在且都不为零， 由（1）知：， 设直线，代入得：， 设，，则，， ，中点； ，，同理可得：中点； 的方程为：， 化简整理得：，则当时，， 直线恒过定点. 3.在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积为. (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，是曲线上的点，若直线，均过曲线的右焦点且互相垂直，线段的中点为，线段的中点为. 是否存在点，使直线恒过点，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由. 【解析】(1)设，因为直线相交于点，且它们的斜率之积为， 所以， 整理可得， 所以点的轨迹方程为. (2)因为曲线的方程为， 所以直线的斜率都存在且不为0.   设直线：，则直线：， 设 由可得：， 当时，即，方程为，此时只有一解，不符合题意， 当时，， 由韦达定理可得：，所以点的横坐标为， 代入直线：可得：， 所以线段的中点， 用替换可得，， 所以线段的中点， 当时，， 直线的方程为：， 整理可得： ， 此时直线过定点， 若时， 则， ，或，，直线的方程为， 此时直线也过点， 综上所述：直线过定点 题型八： “夹汤圆”模型 【例8】（24-25高三下·上海虹口·阶段练习）已知分别为椭圆的左右焦点，分别为上下顶点，为上的点． (1)若点的坐标为，求的面积； (2)求的取值范围； (3)如图，过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点（不同于点），当变化时，试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 【详解】（1）由题意知，又， 则的面积为． （2）设，则， 又，则， ∴ ， 则当时，取到最大值，当时，取到最小值2， 则的取值范围为． （3）设 过点切线方程为，则，即， 设两切线的斜率为， 则是上述方程的两根，∴， 由，得：， ∴， 同理可得：， ∴， 于是直线方程为， 令，得， 故直线过定点． 【跟踪训练】 1.已知点为椭圆的右顶点，圆，过点作的两条切线分别与椭圆交于两点（不同于点）. (1)当变化时，直线的斜率乘积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (2)给定一个，椭圆上的点到直线的距离的最大值为，当变化时，求的最大值，并求出此时的值. 【答案】(1)是，定值为 (2)最大值为， 【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得为方程的两个根，即可利用韦达定理求解， （2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可由点斜式与直线过定点的求法求得直线过定点，进而利用据两点距离，结合二次函数的性质求解有最大值根据两直线垂直即可分类讨论即可得解. 【详解】（1）椭圆：的右顶点，设直线的斜率分别为， 则直线的方程为，直线的方程为， 由直线与圆相切知，圆心到直线的距离， 整理得，同理可得， 则为方程的两个根，所以， 即直线的斜率乘积为定值1. （2）设， 联立，得， 则，进一步可求得，同理得， 直线的斜率 ， 则直线的方程为， 令，则， 所以直线过定点， 设椭圆上任意一点，则点到点的距离为 ， 当时，有最大值， 取，则直线的斜率为，要使最大， 则此时由直线和直线垂直， 可得直线的斜率，解得， 取，则直线的斜率为， 此时由直线和直线垂直， 可得直线的斜率，解得，舍去. 所以椭圆上存在点，当时，的最大值为. 2. （2025上海高三阶段练习）椭圆的方程为，、为椭圆的左右顶点，、为左右焦点，为椭圆上的动点. （1）求椭圆的离心率； （2）若为直角三角形，求的面积； （3）若、为椭圆上异于的点，直线、均与圆相切，记直线、的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）由椭圆的方程为，得标准方程为，离心率. （2）设， 当时， 此时；（或者可由） 由对称性，不妨设，且在第一象限，则 此时； 综上，的面积为或. （3）设，则直线， 由已知. 同理：. 因而，是方程的两根，所以. 得 ，由在第一象限得. 题型九：切点弦模型 【例】（24-25闵行区高三上开学考试）已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点在椭圆上（点不在坐标轴上），证明：直线与椭圆相切； (3)设点在直线上（点在椭圆外），过点作椭圆的两条切线，切点分别为为坐标原点，若和的面积之和为1，求直线的方程. 【解题思路】（1）根据已知建立关于的方程组求解即可； （2）联立直线方程和椭圆方程消去，结合点在椭圆上，代入化简即可得证； （3）设，利用（2）中结论表示出两切线方程，结合切线过点可得直线方程，利用点到直线的距离公式和弦长公式表示出面积，结合已知求出，然后可得直线方程. 【解答过程】（1）由题知，，解得， 所以椭圆的标准方程. （2）因为点在椭圆上，所以，即， 联立消去整理得， 即，即，显然方程有唯一解， 所以直线与椭圆相切. （3）设， 将代入，解得， 因为点在椭圆外，所以或，所以， 由（2）可得，切线的方程分别为， 因为点在切线上，所以， 所以点在直线，即直线的方程为， 联立得，， 则， 所以 记点到直线的距离分别为， 则， 因为和的面积之和为1， 所以， 解得，所以的方程为或. 【跟踪训练】 1.（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与两个焦点构成的三角形的最大面积为1． (1)求椭圆的方程； (2)若点为直线上的任意一点，过点作椭圆的两条切线（切点分别为），试证明动直线恒过一定点，并求出该定点的坐标． 【解题思路】（1）根据条件得到关于的方程组，即可求解； （2）首先利用点的坐标表示切线方程，并利用两点确定一条直线，确定直线的方程，再根据含参直线确定定点坐标. 【解答过程】（1）∵椭圆的离心率为， 椭圆上的点与两个焦点构成的三角形的最大面积为1， ∴， 解得， ∴椭圆的方程为． （2）证明：设切点为，则切线方程为， ∵两条切线都过上任意一点， ∴得到， ∴都在直线上， 又， 由，得， 即对任意的，直线始终经过定点． ∴动直线恒过一定点． 2.（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合，点是直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为． (1)求抛物线的方程． (2)证明直线过定点，并且求出定点坐标． 【解题思路】（1）根据椭圆的顶点计算求参得出抛物线方程； （2）根据导数求出切线斜率再分别表示切线应用同构或待定系数法求解即可. 【解答过程】（1）由题意椭圆的上顶点为， ，∴，∴． （2）法一（同构法）． 设点，，． 由，∴直线的斜率为，∴ 即 同理可得 ∵点，代入得 ∵点，代入得 ∴点、都满足关系 ∴① 又点，∴，代入①得 故直线恒过定点． 法二（配极原则）． 设定点为，由题目可知点所在直线是点对应的极线，∴由配极原则可得 即 对比的系数可得 ∴直线恒过定点． 3.已知椭圆E：的长轴为双曲线的实轴，且离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)已知椭圆在其上一点处的切线方程为.过直线上任意一点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B.M为椭圆的左顶点. ①证明：直线过定点； ②求面积的最大值. 【解题思路】（1）利用待定系数法求椭圆方程； （2）①首先设出点的坐标，求直线的切线方程，代入点的坐标，根据两点确定直线方程；②根据①的结果，设直线的方程，与椭圆方程联立，利用坐标表示的面积，再根据双勾函数的性质求最值. 【解答过程】（1）由条件可知， ，则， 则椭圆的标准方程为. （2）①设切点，，，又椭圆E在点A处的切线方程为，在点B处的切线方程， 由条件，将点坐标代入直线PA的方程得，代入直线PB的方程得， 则A、B两点都在直线上， 则切点弦AB直线方程为， 直线AB过定点. ②，设直线过定点为， 显然直线不可能水平，故设直线方程为：， ， ， 因为直线恒过椭圆内点，所以恒成立， ，， ， 令， ， 当，为减函数， 所以当时，最大值为. 题型十： 圆过定点问题 【例10】（2022·上海长宁·统考一模）已知抛物线的焦点为F，准线为l； (1)若F为双曲线的一个焦点，求双曲线C的离心率e； (2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程； (3)经过点F且斜率为的直线l'与相交于A，B两点，O为坐标原点，直线分别与l相交于点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由； 【答案】(1) (2) (3)以线段MN为直径的圆C过定点，理由见详解 【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求双曲线的，即可得离心率；（2）根据抛物线的定义进行转化分析可得，进而可得直线EP的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程；（3）设直线l'的方程及A，B两点的坐标，进而可求M，N两点的坐标，结合韦达定理求圆C的圆心及半径，根据圆C的方程分析判断定点. 【解析】（1）抛物线的焦点为，准线为， 双曲线的方程为双曲线，即，则， 由题意可知：，则， 故双曲线C的离心率. （2）由（1）可知：， 过点P作直线的垂线，垂足为M，则， ∵，且， ∴， 故直线EP的倾斜角，斜率， ∴直线EP的方程为，即. （3）以线段MN为直径的圆C过定点，理由如下： 设直线， 联立方程，消去y可得：， 则可得：， ∵直线，当时，， ∴， 同理可得：， ∵ ， ， 则线段MN为直径的圆C的圆心，半径， 故圆C的方程为，整理得， 令，则，解得或， 故以线段MN为直径的圆C过定点. 【点睛】思路点睛： 过定点问题的两大类型及解法： (1)动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)． (2)动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 【跟踪训练】 1.（虹口2023二模）已知动点到点的距离和它到直线的距离之比等于，动点M的轨迹记为曲线C , 过点F的直线l与曲线相交于P，Q两点. （1）求曲线C的方程； （2）若，求直线l的方程； （3）已知直线AP，AQ分别与直线相交于M，N两点，求证：以MN为直径的圆经过点 解：（1）由条件，得 …… 2分 , 化简，得曲线C的方程:. …… 4分 （2）当直线l为为椭圆C的长轴端点，不满足条件；当直线l不为设其方程为则由得 于是 ① ………6分 由即得 ② ………8分 ②代入①，解得 所以，直线l的方程为（也可写成） ………10分 （3）因点A,故从而直线AP的方程为 由得 同理可得 ………13分 将①代入上式，得 所以 故由“圆的直径所对的圆周角是直角”得：以MN为直径的圆经过点F. 2．（2024黄浦区校级月考）已知抛物线关于轴对称，且经过点 （1）求抛物线的标准方程及其准线方程 （2）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点、，抛物线的准线分别交直线、于点和点，求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点 【解答】解：（1）设抛物线经过点．可得，即， 可得抛物线的方程为，准线方程为； （2）证明：抛物线的焦点为， 设直线方程为，联立抛物线方程，可得， 设，，，， 可得，， 直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 可得，，，， 可得的中点的横坐标为， 即有为直径的圆心为， 半径为， 可得圆的方程为， 化为， 由，可得或3． 则以为直径的圆经过轴上的两个定点，． 3.（2025华师大三附中高三三模）已知是焦距为的双曲线上一点，过的一条直线与双曲线的两条渐近线分别交于，，且，过作垂直的两条直线和，与轴分别交于，两点，其中与轴交点的横坐标是. (1)求的值； (2)求的最大值，并求此时双曲线的方程； (3)判断以为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点；如果不是，说明理由. 【详解】（1），即，即， 故，    双曲线的渐近线方程为，，在渐近线上， 不妨取，则，则， 点在双曲线上，则， 故，， 故， （2）当时，，与轴的交点为， ， ，同号，于是， ，，， 当且仅当时，此时，双曲线方程为； 当时，，，， ，点在双曲线上，则，，， 当时，同样当且仅当时， 综上所述：的最大值为，双曲线方程为. （3），， ，， 点在双曲线上，故，从而， 故，即， 设以为直径的圆上的任意一点为，， 则， 该圆的方程为，不恒为零， 则圆过的定点满足：且，故所求的定点为和. 1 学科网（北京）股份有限公司 O M x y 图1 N P(x0,y0) O M x y 图2 N P(x0,y0) O M x y 图3 N P(x0,y0) O M x y 图4 N P(x0,y0) $