重难点23 圆锥曲线定直线问题的七大类型讲义——2026届上海市高考数学一轮复习

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 重难点23 圆锥曲线定直线问题的七大类型 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法. 知识点一、解决定直线问题的核心在于确定定点的轨迹.主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程. (2)待定系数法：设出含参数的直线方程，待定系数法求解出系数. (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 知识点二、定直线问题处理思路 动直线与圆锥曲线相交于、两点，、为圆锥曲线上两定点，求动直线与得交点所在定直线.求解思路如下： （1）联立：联立直线与圆锥曲线的方程； （2）整理：整理得二次方程，写韦达定理； （3）翻译：表示动直线与方程； （4）二次联立：联立动直线与方程，求交点坐标； （5）消参：消参，得定直线. 知识点三、圆锥曲线定直线常见模型 1、“弦中点”模型---平行弦中点过定直线 A B N x y 若直线AB斜率一定且与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于A和B，AB中点为N，证明点N过定直线。 2、“相交弦”模型---交点过定直线（外） 若过定点P的直线与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于C,D两点，若过定点的直线AB与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于A,B两点，证明直线AC,BD的交点Q 3、“相交弦”模型——交点过定直线（内） 若过定点M的直线与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于P,Q两点，若过定点的直线AB与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于A,B两点，证明直线AQ,BP的交点N在定直线上。（该定点M处于圆锥曲线外部，定直线在圆锥曲线内部） 4、“斜率等差”模型---交点在定直线上 过轴上右焦点的直线交椭圆于A，B两点，则在直线上任一点对弦端点及定点的连线的斜率成等差数列，即. 如果点刚好在轴，可得模型。 另外，也经常取某个特殊的点，来设置问题，这样计算会简化些。 5、“糖葫芦”模型---分点过定直线（距离“乘积型”或“比值型”） 过椭圆外一定点P的直线AB交圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）于A、B两点，在弦AB之间存在一点Q使得（或），则Q在定直线上。 5、“夹汤圆”模型----三角形内心（外心、重心、垂心）过定直线 过一定点E（或者斜率为定值）的直线与圆锥曲线交于M,N两点，且平面内存在一定点F，证明三角形MNF内接圆的圆心在定直线上（此类型题目主要是证明直线NF，MF的斜率之和为0，从而确定定直线）。 7、“切点弦”模型---切线交点过定直线 若定点M的直线与圆锥曲线交于A、B两点，过A、B引出两条直线分别与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）于相切，切点为A、B，则N过在定直线上。 知识点四、圆锥曲线定直线问题常用结论 （1）已知椭圆外一点，当过点的动直线与椭圆相交于不同的两点时，在线段上取一点，满足则点必在定直线上； （2）已知椭圆外一点，当过点的动直线与椭圆相交于不同的两点时，在线段上取一点，满足则点必在定直线上； （3）已知抛物线 ，定点不在抛物线上，过点的动直线交抛物线于两点，在直线上取点，满足则点在定直线上． 题型01： “弦中点”模型---平行弦中点过定直线 【例1】（25-26奉贤高三阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，其离心率为，焦距为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线：与椭圆交于，两点，为弦的中点，证明：点在定直线上； (3)求椭圆的内接菱形边长的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】(1)由椭圆的基础知识即可求出，，的值可写出椭圆的标准方程. (2)先设出，两点坐标，再把直线方程与椭圆方程联立方程组，消元，写出根与系数的关系然后写出的坐标即可证明在定直线上. (3)先分析出菱形中心在坐标原点再用斜截式设出菱形一条边所在直线方程，联立方程组，消元写出根与系数的关系继续根据菱形的对角线相互垂直写出两参数的关系式，继续用两参数写出弦长公式结合基本不等式求出最值. 【详解】（1）因为焦距为，所以，所以，又因为所以 所以，又因为所以 又因为椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆的标准方程为． （2）证明：设，， 联立直线与椭圆方程 整理得， ， 解得：， ，，则，所以． 显然点在直线上，得证． （3）解：由（2）知，菱形的中心在坐标原点，且有， 菱形不论怎样运动，直线和总有一条斜率存在，不妨设直线的斜率存在且直线方程为，，， 联立得，，， ， 由于，于是， 即，， 化简整理得：， 从而，． 即， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时取等号． 综上，，因此，菱形边长的最大值为． 【跟踪训练】 1.（25-26七宝中学阶段练习）已知双曲线的实轴长为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线，与双曲线交于，两点，求； (3)若，是双曲线上不同的两点，且直线的斜率为2，线段的中点为，证明：点在直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得，将点的坐标代入得，即可求解. （2）由（1）得，进而得直线的方程为，设，联立双曲线方程，利用韦达定理即可求解. （3）利用点差法即可证明. 【详解】（1）根据题意可得，则， 将点的坐标代入，得，解得， 故双曲线的方程为； （2）由（1）得，则， 则直线的方程为，设， 由，得， ，， 所以； （3）设， 则，两式相减得， 设，则，所以， 即，所以，即， 所以在直线上. 题型02： “相交弦”模型---交点过定直线（外） 【例2】（25-26进才中学高三阶段练习）已知椭圆过点，直线与交于两点. (1)求的方程； (2)若，求的值； (3)已知的上，下顶点分别为，记直线交于点，证明：点在定直线上，并求出该直线方程. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【详解】（1）依题意， 解得故的方程为. （2）设， 由得， 所以，解得， 所以， 所以， 解得（负值舍去），故. （3）证明：设，因为，且在同一条直线上， 所以， 又在同一条直线上， 所以， 所以， 所以，即点在直线上. 【跟踪训练】 1．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．记的左、右顶点分别为、. (1)求双曲线的方程； (2)双曲线上任意一点（不与、重合），求证：为定值； (3)过点的直线与的左支交于、两点，直线与交于点．证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）设双曲线的方程为， 由题意可得，解得，所以，双曲线的方程为． （2）由（1）可得、，设，则，可得， 因为，，所以，为定值. （3）设点、， 若直线与轴重合，此时，直线与双曲线的交点为双曲线的左、右顶点，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立可得， 由于直线与双曲线的左支有两个不同的交点， 则，解得， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即，据此可得点在定直线上运动． 2．（25-26复兴高级中学高二阶段练习）已知点，，直线MA和MB的斜率的乘积为1，点M的轨迹为C． (1)求轨迹C的方程； (2)过点的直线与轨迹C相交于P，Q两点，记直线BP，BQ的斜率分别为，，求的值； (3)在（2）的条件下，证明：直线AP与BQ的交点T在定直线上． 【答案】(1) (2)－3 (3)证明见解析 【详解】（1）设点M的坐标为， 由直线MA和MB的斜率的乘积为1，有， 可得．又由，可得轨迹C的方程为； （2）由（1）知，∴直线PQ的斜率不为0，故设直线PQ的方程为， 点P，Q的坐标分别为， 联立方程，消去x后整理为， 有，， 又由 ，故； （3）由直线PA和PB的斜率的乘积为1，可得直线PA的斜率为， 可得直线PA的方程为， 又由，有，可得直线BQ的方程为， 将直线PA和BQ的方程联立消去y，有， 解得，可得点T的坐标为， 所以直线AP与BQ的交点T在定直线上． 3.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点．如图所示，斜率为且过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，若在射线上，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：点在定直线上． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）过点，可得，再结合离心率即可求出椭圆方程； （2）设直线的方程为，与椭圆联立用表示两点，即可算出点的横坐标为定值，从而获解. 【详解】（1）已知椭圆的离心率为，且过点， 所以， 又，则，所以， 故椭圆的标准方程为． （2）设直线的方程为，，， 联立得， 由题意知恒成立， 由韦达定理得，所以， 由于为线段的中点，因此，， 此时． 所以所在直线方程为， 将其代入椭圆的方程，并由， 解得， 又， 由得， 因此，点在定直线上． 4.已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由． 【答案】(1)(2)在定直线方程上 【分析】（1）联立直线方程与双曲线方程，可得点，进而根据三角形面积公式即可求出的值；（2）分直线斜率 和不存在两种情况讨论，求出两直线交点，代入化简即可求解. 【详解】（1）设直线的方程为，联立，得， 又，，代入上式得，即， ∴，解得，∴，，∴双曲线的方程为． （2）当直线点的斜率不存在时，，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得的， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立得，∴，， ∴直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ，两边平方得， 又，满足， ∴ ， ∴，∴，或，（舍去） 综上，在定直线上，且定直线方程为． 题型03： “相交弦”模型——定直线在圆锥曲线内 【例3】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为． (1)求椭圆的离心率和标准方程； (2)求点的坐标； (3)过点作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上； 【详解】（1）由题意可知，椭圆的长轴长为，短轴长为， 由题意可得，则， 因此，椭圆的离心率为，其标准方程为. （2）设是椭圆上一点，则， 因为 若时，则，，解得（舍去）， 若时，则，则，解得（舍去）或， 所以点的坐标为. （3）设直线的方程为，、， 由，得，所以，， 所以，① 由，得或， 易知直线的方程为，② 直线的方程为，③ 联立②③，消去，得，④ 联立①④，消去，则， 解得，即点在直线上. 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·上海杨浦·阶段练习）已知双曲线：，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上，且与端点、不重合. (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； (3)设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1)焦距4，离心率2 (2) (3)证明见解析，在定直线上 【详解】（1）由双曲线方程得，，， 所以焦距，离心率； （2）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意， 故直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立得. 设，， 由题意，得， 解得， 因为为中点，所以， 由，得， 又，解得， 所以直线的斜率为； （3）直线的方程为，令，得， 同理可得，，， 由为中点，可得， 即， 所以， 即， 所以在定直线上. 2．已知抛物线的焦点为，直线：与直线与抛物线分别交于点和点. (1)若，求的面积； (2)若直线与交于点，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）联立抛物线与直线，消去得，设，由韦达定理得出，即可根据抛物线弦长公式得出，再由点到直线的距离公式得出点到直线的距离，即可根据三角形面积公式得出答案； （2）设，，分别联立抛物线与直线和抛物线与直线，消去根据韦达定理得出，，根据直线的点斜式化简得出直线与的方程，即可联立两直线方程消去，再代入，，化解得出定直线. 【详解】（1）   依题意，， 联立，得. 设， 故， 故， ， 点到直线的距离， 故. （2）     设，， 联立得， 则. 同理可得，. 则直线， 化简得，， 同理可得，直线， 联立①②消去可得， 故点在直线上. 题型04： “斜率等差”模型---交点在定直线上 【例4】（25-26上师大附属中学高三阶段练习）已知且，曲线. (1)若曲线是焦点在轴上的等轴双曲线，求曲线的离心率； (2)设，点，曲线上有A、B两点（其中在第一象限）.若且，求点的坐标； (3)设为给定常数，且，过点的直线与曲线交于D、E两点，为坐标平面上的动点.若直线ND、NT、NE的斜率的倒数成等差数列，试探究点是否在某定直线上？若存在，求该定直线的方程；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）若曲线是等轴双曲线，则， 所以，，其离心率为：. （2）当时，曲线：表示焦点在轴上的椭圆. 因为，且，根据平面向量数量积的几何意义可得：. 所以点在圆：上. 由，且点在第一象限，得点坐标为. （3）如图： 由得：， 整理得：. 因为，所以上述方程必定有两个不同的实根. 设，，则，. 设，因为直线ND、NT、NE的斜率的倒数成等差数列， 所以. 又，，所以， 所以， ， 所以或. 由 所以点N在直线或上. 即点N在直线时，不存在定直线，使点在定直线上； 当点不在直线上时，点在定直线上. 【跟踪训练】 1.（2023·上海金山·统考一模）已知椭圆的左､右焦点分别为. (1)以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点，求椭圆的离心率； (2)已知，设点是椭圆上一点，且位于轴的上方，若是等腰三角形，求点的坐标； (3)已知，过点且倾斜角为的直线与椭圆在轴上方的交点记作，若动直线也过点且与椭圆交于两点（均不同于），是否存在定直线，使得动直线与的交点满足直线的斜率总是成等差数列？若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)存在，，理由见解析 【分析】（1）由题意知，即可知离心率； （2）分，和三种讨论即可； （3）设直线，联立椭圆方程得到韦达定理式，计算，将韦达定理式整体代入，再计算，得到方程即可. 【详解】（1）由题意得即，所以离心率. （2）由题意得椭圆 ①当时，由对称性得. ②当时，，故，设， 由得， 两式作差得， 代入椭圆方程，得（负舍），故 ③当时，根据椭圆对称性可知. （3）由题意得椭圆. 设直线， 由得. 设，则， ， ， 由，得. 【点睛】关键点睛：对于第三问，我们通常选择设线法，设直线，从而将其与椭圆方程联立得到两根之和与之积式，然后再计算出的值，再将韦达定理式整体代入，当然本题也可引入，设直线. 题型05： “糖葫芦”模型---分点过定直线（距离“乘积型”或“比值型”） 【例5】（2025·闵行区高三三模）已知点F是椭圆C： (a>b>0)的右焦点，过点F的直线l交椭圆于M，N两点．当直线l过C的下顶点时，l的斜率为；当直线l垂直于C的长轴时，△OMN的面积为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)当|MF|＝2|FN|时，求直线l的方程； (3)若直线l上存在点P满足|PM|，|PF|，|PN|成等比数列，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析﹒ 【分析】(1)根据题意得：，，及，解得，，进而可得椭圆得方程． (2)分两种情况：当直线与轴重合时，，不合题意．当直线与轴不重合时，设直线的方程为，，，，，联立直线与椭圆得方程，结合根与系数关系得，，由，得，组成方程组解得，进而可得直线得方程． (3)设，，分两种情况讨论，当直线与轴重合时，当直线与轴不重合时，由，解得，∴点在定直线上． 【详解】（1）由题设：，，解得，， ∴椭圆的方程为． （2）当直线与轴重合时，，不合题意． 当直线与轴不重合时，设直线的方程为，，，，， 联立，消去整理得， 有①， ②， 由，得③， 联立①②③得，解得． ∴直线的方程为． （3）设，， 当直线与轴重合时，∵点在椭圆外，∴，同号， 由，得，解得， 当直线与轴不重合时，由(2)知，， ∵，，， ∵点在椭圆外，∴，同号， 由，得， 整理得，即， 解得，代入直线方程，得， ∴点在定直线上． 【跟踪训练】 1.（25-26徐汇中学高二阶段练习）已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为线段中点． （i）求证：点轨迹方程为； （ii）为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上． 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，解得. 因为，，. 在中，由余弦定理得， 解得，则，故椭圆的方程为； （2）（i） 当直线的斜率存在且不为0时，不妨设直线的方程为， 联立得. 因在椭圆内，所以直线必与椭圆相交. 设，由韦达定理得， 所以. 因为为线段中点， 所以，此时，则. 要证，只需证明， 而， 所以点轨迹方程为； （ii）联立得，则. 不妨设，所以，. 不妨设，由得 ， 即. 因为，， 所以. ∵，所以，即， 则点在定直线上. 当直线斜率为0时，轴，此时,. 因为，所以，则， 故点在定直线上； 当直线无斜率时，此时直线方程为，易知轴， 所以点在轴上，则. ∵，所以，即，则点在定直线上. 综上可得：点在定直线上. 2．双曲线的左右焦点为，实轴长为6，点P在双曲线的右支上，直线交双曲线于另一点Q，满足，且的周长为32． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点作直线l与双曲线的右支相交于M、N两点，在线段MN上取点H，满足，点H是否恒在一条定直线上？若是，求出这条直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)点H在定直线上 【分析】（1）由，，结合双曲线定义表示，结合的周长为32求出，即可求出双曲线的标准方程； （2）设，则，设，则有及，所以，即可得出结论． 【详解】（1）由，， 则， 所以，解得，， 所以双曲线的标准方程为．    （2）因为，设，则， 设，则有， 由，得， 即，可化为， 由，得， 即，可化为， 所以， 所以， 即， 所以点H在定直线上．    3.（25-26复旦附中高三阶段练习）已知椭圆的焦点在轴，离心率，点在直线上． (1)求实数的值； (2)设是椭圆的右焦点，若是椭圆上一点，且满足，设直线和直线（为坐标原点）的斜率分别为，证明：； (3)若点的纵坐标为，过作直线交椭圆于不同的两点和，在线段上取点（异于两点）满是，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据离心率及椭圆的关系即可求出实数的值. （2）由（1）可设点，根据得出，再由点Q在椭圆上得出，用斜率公式即可求出的值； （3）设出的坐标，根据向量共线用坐标表示，解方程组即可得到点的横纵坐标所满足的线性关系. 【详解】（1）设椭圆E的半焦距为c， 由题意可得，解得， 故实数的值为. （2） 设 已知，所以 由在椭圆上有： 所以. （3） 设， 由题意知， 令，则有， 所以，， 则有，即， ①③得：⑤ ②④得：⑥， ⑤⑥： 又在椭圆上， 则有，， 所以的轨迹方程为：， 即点在定直线上． 4.平面直角坐标系xOy中，面积为9的正方形的顶点分别在x轴和y轴上滑动，且，记动点P的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)过点的动直线l与曲线交于不同的两点时，在线段上取点Q，满足．试探究点Q是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)点Q在定直线上，定直线方程为 【分析】（1）设点的坐标，利用平面向量的坐标表示消参得，结合正方形面积得的方程； （2）设，的坐标，与椭圆联立并根据韦达定理得横坐标关系，再根据线段乘积关系化为比值关系得，化简得，代入直线方程即可，从而求出定直线方程. 【详解】（1）设， 由，得， 所以， 因为正方形ABCD的面积为，即， 所以，整理可得， 因此C的轨迹方程为． （2）依题意，直线l存在斜率，设l：，即， 设点，，， 由，消y得， 即， 由 ， 可以得到， 所以， 可得，， 由，得， 所以， 可得 ， 所以， 因为， 所以点Q在定直线上，定直线方程为．        5.在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点坐标为(1，0)，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点T(2，0)作直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，在线段AB上取一点E满足|AE|·|TB|＝|EB|·|AT|，证明：点E在一条定直线上. (1)解　根据题意，设双曲线C的标准方程为＝1(a>0，b>0)， 由题知a＝1，＝tan，可得b＝， 所以双曲线C的标准方程为x2－＝1. (2)证明　易知T(2，0)为双曲线的右焦点，如图所示， 由题知直线l的斜率存在， 设斜率为k，则－<k<， 故直线l的方程为y＝k(x－2)， 代入双曲线方程得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0，Δ>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根与系数的关系得x1＋x2＝， x1x2＝－， 且x1≤－1，1≤x2<2， 设E(x0，y0)，点E在线段AB上， 所以x1<x0<x2， 由|AE|·|TB|＝|EB|·|AT|可得 (x0－x1)·(2－x2) ＝(x2－x0)·(2－x1)， 化简得4x0－(2＋x0)(x1＋x2)＋2x1x2＝0， 代入x1＋x2和x1x2并化简可得x0＝， 即存在点E满足条件，并且点E在定直线x＝上. 题型06：“夹汤圆”模型----三角形内心（外心、重心、垂心）过定直线 【例6】已知R是圆M：(x＋)2＋y2＝8上的动点，点N(，0)，直线NR与圆M的另一个交点为S，点L在直线MR上，MS∥NL，动点L的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若过点P(－2，0)的直线l与曲线C相交于A，B两点，且A，B都在x轴上方，问：在x轴上是否存在定点Q，使得△QAB的内心在一条定直线上？请你给出结论并证明. 解　(1)圆M的圆心坐标为M(－，0)，半径r＝2， 因为MS∥NL， 所以△MSR∽△LNR， 又因为|MR|＝|MS|， 所以|LR|＝|LN|， 所以||LM|－|LN||＝||LM|－|LR||＝|MR|＝r＝2<2＝|MN|， 所以点L在以M，N为焦点，2为实轴长的双曲线上， 设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)， 则2a＝2，2c＝2. 所以a＝，c＝，b＝1， 又L不可能在x轴上，所以曲线C的方程为－y2＝1(y≠0). (2)在x轴上存在定点Q(－1，0)，使得△QAB的内心在一条定直线上. 证明如下： 由条件可设l：x＝my－2.代入－y2＝1， 得(m2－2)y2－4my＋2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|x1|>，|x2|>， 则得m2≠2， 所以y1＋y2＝>0，y1y2＝>0， 所以y1＋y2＝2my1y2， 取Q(－1，0)， 则kAQ＋kBQ＝＝0， 又A，B都在x轴上方，所以∠AQB的平分线为定直线x＝－1， 所以在x轴上存在定点Q(－1，0)，使得△QAB的内心在定直线x＝－1上. 【跟踪训练】 1.已知曲线，直线与曲线交于轴右侧不同的两点． (1)求的取值范围； (2)已知点的坐标为，试问：的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)的内心恒在一条定直线上，该直线为 【分析】（1）联立方程，根据题意结合韦达定理列式求解； （2）根据（1）中的韦达定理证明，即可得结果. 【详解】（1）设， 联立方程，消去y得：， 由题意可得，解得， 故的取值范围为. （2）内心恒在一条定直线上，该直线为， ∵，即点在椭圆上， 若直线过点，则，解得， 即直线不过点，故直线的斜率存在， 由（1）可得：， 设直线的斜率分别为，则， ∵ ， 即，则的角平分线为， 故的内心恒在直线上. 2.　(2025·衡水模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M(1，1)是椭圆C上一点，且点M到点F1，F2的距离之和为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，则△MAB的外心是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由. 解　(1)由题意，得解得 故椭圆C的标准方程为＝1. (2)△MAB的外心在定直线2x－y－1＝0上.理由如下： 由题意设直线l的方程为y＝x＋t， 因为直线l不能过点M(1，1)，所以t≠， 联立 得3x2＋4tx＋4t2－6＝0， 所以Δ＝16t2－12(4t2－6)>0， 即－<t<，且t≠. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝， 若直线MA⊥x轴，则A(1，－1)， 代入直线l：y＝x＋t， 得t＝－，不符合题意，故x1≠1； 同理可得x2≠1， 所以直线MA，MB的斜率一定存在， 则kMA＋kMB＝ ＝ ＝ ＝＝0， 即直线MA与MB的斜率互为相反数. 设直线MA的方程为y－1＝k(x－1)， 即y＝kx＋1－k. 若k＝0，则直线MA：y＝1， 此时A(－1，1)，代入直线l：y＝x＋t， 则t＝，不符合题意，故k≠0， 联立 得(2k2＋1)x2＋4k(1－k)x＋2(1－k)2－3＝0， 由Δ＝4(2k＋1)2>0得k≠－， 则k≠－且k≠0， 则x1＋1＝－， 设线段MA的中点为N(x0，y0)， 所以x0＝＝－， 所以y0＝kx0＋1－k ＝k·＋1－k＝， 即N， 所以线段MA的垂直平分线的方程为 y－＝－， 即y＝－x＋， ① 直线MB的方程为y－1＝－k(x－1)，k≠0，且k≠， 同理可得线段MB的垂直平分线的方程为 y＝x－， ② 联立①②，得 即2x－y－1＝0， 故△MAB的外心在定直线2x－y－1＝0上. 题型07：“切点弦”模型---切线交点过定直线 【例7】已知抛物线：. (1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求； (2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知直线：，联立抛物线方程，结合韦达定理、焦点弦公式即可得解. （2）设，，首先将过点的两条切线方程求出来（分别用它们的坐标表示），然后联立两条切线方程可得的横坐标表达式为，由三点共线可得为定值，由此即可得证. 【详解】（1） 设，，由题意可得抛物线焦点，准线，直线：， 联立，得，所以， 所以. （2） 设，， 由题意，过点且与抛物线相切的直线斜率存在且不为0，不妨设为， 则过点且与抛物线相切的直线方程为，① 联立，得， 所以，代入，得， 解得，带入①式即得， 即过点且与抛物线相切的直线方程为， 同理可得过点且与抛物线相切的直线方程为， 联立，可得， 由题意，直线斜率可能不存在但是一定不为0，设直线方程为， 联立，得，所以，即得， 所以点在定直线上. 【跟踪训练】 1.已知抛物线的焦点为F，过点的直线l与交于A、B两点．设在点A、B处的切线分别为，，与x轴交于点M，与x轴交于点N，设与的交点为P． (1)设点A横坐标为a，求切线的斜率，并证明； (2)证明：点P必在直线上； (3)若P、M、N、T四点共圆，求点P的坐标． 【详解】（1）点A横坐标为a，则， 因为，，所以点A处的切线斜率为a 所以切线的方程为， 切线与x轴的交点为， 因为，所以， 所以，所以， 当时，亦有； 结论得证. （2）证明：设，，由，得， 所以， 所以直线，直线， 由，得，即两直线的交点， 因为点，，三点共线， 所以，，得， 所以，所以 所以点P在直线上 （3）因为直线，直线， 所以，，由（2）可知， 设的外接圆方程为， 则， 解得，， 所以外接圆方程为 将代入方程，得 又，解得，， 所以点P坐标为 解法二:抛物线的焦点， 由（1）可知，同理可证得， 所以F，M，N，P四点共圆， 所以PF是的外接圆的直径， 因为P、M、N、T四点共圆，所以点在的外接圆上， 所以， 所以，即，得， 所以直线TP方程为，即 又点P在直线上， 则由，得， 所以点P坐标为 2.已知椭圆E：的长轴为双曲线的实轴，且离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)已知椭圆在其上一点处的切线方程为.过直线上任意一点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B.M为椭圆的左顶点. ①证明：直线过定点； ②求面积的最大值. 【解题思路】（1）利用待定系数法求椭圆方程； （2）①首先设出点的坐标，求直线的切线方程，代入点的坐标，根据两点确定直线方程；②根据①的结果，设直线的方程，与椭圆方程联立，利用坐标表示的面积，再根据双勾函数的性质求最值. 【解答过程】（1）由条件可知， ，则， 则椭圆的标准方程为. （2）①设切点，，，又椭圆E在点A处的切线方程为，在点B处的切线方程， 由条件，将点坐标代入直线PA的方程得，代入直线PB的方程得， 则A、B两点都在直线上， 则切点弦AB直线方程为， 直线AB过定点. ②，设直线过定点为， 显然直线不可能水平，故设直线方程为：， ， ， 因为直线恒过椭圆内点，所以恒成立， ，， ， 令， ， 当，为减函数， 所以当时，最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 重难点23 圆锥曲线定直线问题的七大类型 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法. 知识点一、解决定直线问题的核心在于确定定点的轨迹.主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程. (2)待定系数法：设出含参数的直线方程，待定系数法求解出系数. (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 知识点二、定直线问题处理思路 动直线与圆锥曲线相交于、两点，、为圆锥曲线上两定点，求动直线与得交点所在定直线.求解思路如下： （1）联立：联立直线与圆锥曲线的方程； （2）整理：整理得二次方程，写韦达定理； （3）翻译：表示动直线与方程； （4）二次联立：联立动直线与方程，求交点坐标； （5）消参：消参，得定直线. 知识点三、圆锥曲线定直线常见模型 1、“弦中点”模型---平行弦中点过定直线 A B N x y 若直线AB斜率一定且与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于A和B，AB中点为N，证明点N过定直线。 2、“相交弦”模型---交点过定直线（外） 若过定点P的直线与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于C,D两点，若过定点的直线AB与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于A,B两点，证明直线AC,BD的交点Q 3、“相交弦”模型——交点过定直线（内） 若过定点M的直线与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于P,Q两点，若过定点的直线AB与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于A,B两点，证明直线AQ,BP的交点N在定直线上。（该定点M处于圆锥曲线外部，定直线在圆锥曲线内部） 4、“斜率等差”模型---交点在定直线上 过轴上右焦点的直线交椭圆于A，B两点，则在直线上任一点对弦端点及定点的连线的斜率成等差数列，即. 如果点刚好在轴，可得模型。 另外，也经常取某个特殊的点，来设置问题，这样计算会简化些。 5、“糖葫芦”模型---分点过定直线（距离“乘积型”或“比值型”） 过椭圆外一定点P的直线AB交圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）于A、B两点，在弦AB之间存在一点Q使得（或），则Q在定直线上。 5、“夹汤圆”模型----三角形内心（外心、重心、垂心）过定直线 过一定点E（或者斜率为定值）的直线与圆锥曲线交于M,N两点，且平面内存在一定点F，证明三角形MNF内接圆的圆心在定直线上（此类型题目主要是证明直线NF，MF的斜率之和为0，从而确定定直线）。 7、“切点弦”模型---切线交点过定直线 若定点M的直线与圆锥曲线交于A、B两点，过A、B引出两条直线分别与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）于相切，切点为A、B，则N过在定直线上。 知识点四、圆锥曲线定直线问题常用结论 （1）已知椭圆外一点，当过点的动直线与椭圆相交于不同的两点时，在线段上取一点，满足则点必在定直线上； （2）已知椭圆外一点，当过点的动直线与椭圆相交于不同的两点时，在线段上取一点，满足则点必在定直线上； （3）已知抛物线 ，定点不在抛物线上，过点的动直线交抛物线于两点，在直线上取点，满足则点在定直线上． 题型01： “弦中点”模型---平行弦中点过定直线 【例1】（25-26奉贤高三阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，其离心率为，焦距为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线：与椭圆交于，两点，为弦的中点，证明：点在定直线上； (3)求椭圆的内接菱形边长的最大值． 【跟踪训练】 1.（25-26七宝中学阶段练习）已知双曲线的实轴长为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线，与双曲线交于，两点，求； (3)若，是双曲线上不同的两点，且直线的斜率为2，线段的中点为，证明：点在直线上. 题型02： “相交弦”模型---交点过定直线（外） 【例2】（25-26进才中学高三阶段练习）已知椭圆过点，直线与交于两点. (1)求的方程； (2)若，求的值； (3)已知的上，下顶点分别为，记直线交于点，证明：点在定直线上，并求出该直线方程. 【跟踪训练】 1．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．记的左、右顶点分别为、. (1)求双曲线的方程； (2)双曲线上任意一点（不与、重合），求证：为定值； (3)过点的直线与的左支交于、两点，直线与交于点．证明：点在定直线上． 2．（25-26复兴高级中学高二阶段练习）已知点，，直线MA和MB的斜率的乘积为1，点M的轨迹为C． (1)求轨迹C的方程； (2)过点的直线与轨迹C相交于P，Q两点，记直线BP，BQ的斜率分别为，，求的值； (3)在（2）的条件下，证明：直线AP与BQ的交点T在定直线上． 3.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点．如图所示，斜率为且过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，若在射线上，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：点在定直线上． 4.已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由． 题型03： “相交弦”模型——定直线在圆锥曲线内 【例3】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知、是椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长是短轴长的倍，点与椭圆上的点的距离的最小值为． (1)求椭圆的离心率和标准方程； (2)求点的坐标； (3)过点作直线交椭圆于、两点（与、不重合），连接、交于点．证明：点在定直线上； 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·上海杨浦·阶段练习）已知双曲线：，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上，且与端点、不重合. (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； (3)设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程. 2．已知抛物线的焦点为，直线：与直线与抛物线分别交于点和点. (1)若，求的面积； (2)若直线与交于点，证明：点在定直线上. 题型04： “斜率等差”模型---交点在定直线上 【例4】（25-26上师大附属中学高三阶段练习）已知且，曲线. (1)若曲线是焦点在轴上的等轴双曲线，求曲线的离心率； (2)设，点，曲线上有A、B两点（其中在第一象限）.若且，求点的坐标； (3)设为给定常数，且，过点的直线与曲线交于D、E两点，为坐标平面上的动点.若直线ND、NT、NE的斜率的倒数成等差数列，试探究点是否在某定直线上？若存在，求该定直线的方程；若不存在，请说明理由. 【跟踪训练】 1.（2023·上海金山·统考一模）已知椭圆的左､右焦点分别为. (1)以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点，求椭圆的离心率； (2)已知，设点是椭圆上一点，且位于轴的上方，若是等腰三角形，求点的坐标； (3)已知，过点且倾斜角为的直线与椭圆在轴上方的交点记作，若动直线也过点且与椭圆交于两点（均不同于），是否存在定直线，使得动直线与的交点满足直线的斜率总是成等差数列？若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由. 题型05： “糖葫芦”模型---分点过定直线（距离“乘积型”或“比值型”） 【例5】（2025·闵行区高三三模）已知点F是椭圆C： (a>b>0)的右焦点，过点F的直线l交椭圆于M，N两点．当直线l过C的下顶点时，l的斜率为；当直线l垂直于C的长轴时，△OMN的面积为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)当|MF|＝2|FN|时，求直线l的方程； (3)若直线l上存在点P满足|PM|，|PF|，|PN|成等比数列，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上． 【跟踪训练】 1.（25-26徐汇中学高二阶段练习）已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为线段中点． （i）求证：点轨迹方程为； （ii）为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上． 2．双曲线的左右焦点为，实轴长为6，点P在双曲线的右支上，直线交双曲线于另一点Q，满足，且的周长为32． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点作直线l与双曲线的右支相交于M、N两点，在线段MN上取点H，满足，点H是否恒在一条定直线上？若是，求出这条直线的方程；若不是，请说明理由． 3.（25-26复旦附中高三阶段练习）已知椭圆的焦点在轴，离心率，点在直线上． (1)求实数的值； (2)设是椭圆的右焦点，若是椭圆上一点，且满足，设直线和直线（为坐标原点）的斜率分别为，证明：； (3)若点的纵坐标为，过作直线交椭圆于不同的两点和，在线段上取点（异于两点）满是，证明：点在定直线上． 4.平面直角坐标系xOy中，面积为9的正方形的顶点分别在x轴和y轴上滑动，且，记动点P的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)过点的动直线l与曲线交于不同的两点时，在线段上取点Q，满足．试探究点Q是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由． 5.在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点坐标为(1，0)，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点T(2，0)作直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，在线段AB上取一点E满足|AE|·|TB|＝|EB|·|AT|，证明：点E在一条定直线上. 题型06：“夹汤圆”模型----三角形内心（外心、重心、垂心）过定直线 【例6】已知R是圆M：(x＋)2＋y2＝8上的动点，点N(，0)，直线NR与圆M的另一个交点为S，点L在直线MR上，MS∥NL，动点L的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若过点P(－2，0)的直线l与曲线C相交于A，B两点，且A，B都在x轴上方，问：在x轴上是否存在定点Q，使得△QAB的内心在一条定直线上？请你给出结论并证明. 【跟踪训练】 1.已知曲线，直线与曲线交于轴右侧不同的两点． (1)求的取值范围； (2)已知点的坐标为，试问：的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由． 2.　(2025·衡水模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M(1，1)是椭圆C上一点，且点M到点F1，F2的距离之和为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，则△MAB的外心是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由. 题型07：“切点弦”模型---切线交点过定直线 【例7】已知抛物线：. (1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求； (2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上. 【跟踪训练】 1.已知抛物线的焦点为F，过点的直线l与交于A、B两点．设在点A、B处的切线分别为，，与x轴交于点M，与x轴交于点N，设与的交点为P． (1)设点A横坐标为a，求切线的斜率，并证明； (2)证明：点P必在直线上； (3)若P、M、N、T四点共圆，求点P的坐标． 2.已知椭圆E：的长轴为双曲线的实轴，且离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)已知椭圆在其上一点处的切线方程为.过直线上任意一点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B.M为椭圆的左顶点. ①证明：直线过定点； ②求面积的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $