8.3 多项式乘多项式（教学课件）数学新教材苏科版七年级下册

8.3 多项式乘多项式 第八章 整式乘法 学 习 目 标 1 理解多项式乘多项式法则，并熟练运用于计算 新知探究 如图， 现有一块长为a、宽为d的长方形绿地，将其长和宽分别加长b，c，请计算扩大后的长方形绿地的面积。 问 题 如果把图中看成1个大长方形，那么它的面积为( a + b ) · ( c + d )。 如果把图中看成是由4个小长方形组成的，那么它的面积为ac + ad + bc + bd。 由此得到( a + b ) · ( c + d ) = ac + ad + bc + bd。 新知探究 一般地，对于任意的a，b，c，d，可以得到 ( a + b ) ( c + d ) = a ( c + d ) + b ( c + d ) = ac + ad + bc + bd 把c + d看成 一个整体。 乘法分配律 单项式乘多项式法则 ( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd 新知探究 知识要点 在乘法分配律和单项式乘多项式法则的基础上， 我们可以得到多项式乘多项式的法则： 多项式与多项式相乘， 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项， 再把所得的积相加。 注意：相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏。 典例分析 解：( 1 ) ( x + 2 ) ( x - 3 ) = x ( x - 3 ) + 2 ( x - 3 ) = x · x + x · ( -3 ) + 2 · x + 2 × ( -3 ) = x2 - 3x + 2x - 6 = x2 - x - 6； 典例1 计算： ( 1 ) ( x + 2 ) ( x - 3 )； ( 2 ) ( -3x + 1 ) ( x - 2 )。 注意：合并同类项 典例分析 ( 2 ) ( -3x + 1 ) ( x - 2 ) = -3x · x + ( -3x ) · ( - 2 ) + 1 · x + 1 × ( - 2 ) = -3x2 + 6x + x - 2 = -3x2 + 7x - 2。 典例1 计算： ( 1 ) ( x + 2 ) ( x - 3 )； ( 2 ) ( -3x + 1 ) ( x - 2 )。 方法技巧 解题关键： 牢记多项式乘多项式的运算法则，且注意合并同类项。 新知探究 知识要点 注意： ( 1 ) 相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； ( 2 ) 最后的结果要合并同类项。 典例分析 解：( 1 ) ( 3m + n ) ( m - 2n ) = 3m2 - 6mn + mn - 2n2 = 3m2 - 5mn - 2n2； 典例2 计算： ( 1 ) ( 3m + n ) ( m - 2n )； ( 2 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 )。 ( 2 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 ) = ( n2 + n ) ( n + 2 ) = n3 + 2n2 + n2 + 2n = n3 + 3n2 + 2n。 新知探究 计算： ( 1 ) ( a + b ) ( c + d +e)； ( 2 ) ( a + b + c) ( d + e + f )。 尝 试 解：( 1 ) 原式 = ac + ad + ae + bc + bd + be； ( 2 ) 原式 = ad + ae + af + bd + be + bf + cd + ce + cf。 题型探究 【例1】计算： ( 1 ) ( x - 1 ) ( 2x + 1 ) - ( x - 5 ) ( x + 2 )； ( 2 ) ( 2x + 1 ) ( 4x2 - 2x + 1 ) - x ( 8x2 - 1 )。 多项式乘多项式 题型一 解：( 1 ) 原式 = 2x2 + x - 2x - 1 - ( x2 + 2x - 5x - 10 ) = 2x2 - x - 1 - ( x2 - 3x - 10 ) = 2x2 - x - 1 - x2 + 3x + 10 = x2 + 2x + 9； ( 2 ) 原式 = 8x3 - 4x2 + 2x + 4x2 - 2x + 1 - ( 8x3 - x ) = 8x3 + 1 - 8x3 + x = 1 + x。 题型探究 【例2-1】已知m + n = 5，mn = 3，则( m - 1 ) ( n - 1 )的值等于（　　） A．-1 B．2 C．8 D．7 根据多项式乘多项式求值 题型二 解：( m - 1 ) ( n - 1 ) = mn - m - n + 1 = mn - ( m + n ) + 1， ∵m + n = 5，mn = 3， ∴( m - 1 ) ( n - 1 ) = 3 - 5 + 1 = -1。 A 题型探究 【例2-2】先化简，再求值：( a2 + 3 ) ( a - 2 ) - a ( a2 - 2a - 2 )，其中a = -2。 根据多项式乘多项式求值 题型二 解：原式 = a3 - 2a2 + 3a - 6 - ( a3 - 2a2 - 2a ) = a3 - 2a2 + 3a - 6 - a3 + 2a2 + 2a = 5a - 6， 当a = -2时，原式 = 5 × ( -2 ) - 6 = -16。 题型探究 【例3-1】若( x - m ) ( x + 2 ) = x2 + nx - 6，则m + n的值是（　　） A．2 B．-2 C．4 D．-4 根据多项式乘多项式求参 题型三 解：( x - m ) ( x + 2 ) = x2 + 2x - mx - 2m = x2 + ( 2 - m ) x - 2m， ∵( x - m ) ( x + 2 ) = x2 + nx - 6， ∴，解得：， ∴m + n = 3 + ( -1 ) = 2。 A 题型探究 【例3-2】若( x - 2a ) ( x2 + x - 1 )的展开式中不含x2项，则实数a的值为________。 根据多项式乘多项式求参 题型三 解：( x - 2a ) ( x2 + x - 1 ) = x3 + x2 - x - 2ax2 - 2ax + 2a = x3 + ( 1 - 2a ) x2 - ( 1 + 2a ) x + 2a， ∵( x - 2a ) ( x2 + x - 1 )的展开式中不含x2项， ∴1 - 2a = 0，解得：a = 。 题型探究 【例4】若M = ( x - 2 ) ( x - 3 )，N = ( x - 1 ) ( x - 4 )，则M与N的大小关系是（　　） A．由x的取值而定 B．M = N C．M < N D．M > N 根据多项式乘多项式比较大小 题型四 解：∵M = ( x - 2 ) ( x - 3 ) = x2 - 3x - 2x + 6 = x2 - 5x + 6， N = ( x - 1 ) ( x - 4 ) = x2 - 4x - x + 4 = x2 - 5x + 4， ∴M - N = 2， ∴M > N。 D 题型探究 【例5】某公园有一块长为( x + 5 )米，宽为( x + 3 )米的长方形草坪，经统一规划后，长增加1米，宽减少1米，改造后得到一块新的长方形草坪，该草坪面积与原来的相比，面积（　　） A．不变 B．减少 C．增大 D．无法确定 多项式乘多项式的应用 题型五 解：新面积 - 原面积 = ( x + 5 + 1 ) ( x + 3 - 1 ) - ( x + 5 ) ( x + 3 ) = ( x + 6) ( x + 2 ) - ( x2 + 3x + 5x + 15 ) = x2 + 2x + 6x +12 - ( x2 + 8x + 15 ) = x2 + 8x + 12 - x2 - 8x - 15 = -3 < 0， ∴面积减少。 B 课堂小结 在乘法分配律和单项式乘多项式法则的基础上，我们可以得到多项式乘多项式的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项， 再把所得的积相加。 注意： ( 1 ) 相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； ( 2 ) 最后的结果要合并同类项。 感谢聆听! $