山东省泰安市岱岳区满庄镇第二中学2025-2026学年八年级上学期数学期末模拟卷

泰安市岱岳区满庄镇第二中学八年级上学期期末模拟卷 一、单选题（共64分） 1．（本题4分）将分解因式后有一个因式是，则的值是（   ） A．6 B． C．4 D． 2．（本题4分）如图，小红家楼梯长3m，高2m，宽1m，若想铺上地毯，则所需地毯的面积（　　）    A． B． C． D． 3．（本题4分）下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题4分）如图，将绕直角顶点C顺时针旋转得到，连接．若，则的度数（    ） A． B． C． D． 5．（本题4分）求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是5 B．该组数据的平均数是7 C．该组数据的众数是6 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 6．（本题4分）若分式□运算结果为x，则在“□”中添加的运算符号为（    ） A． B． C．或 D．或 7．（本题4分）下列说法正确的是（    ） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 8．（本题4分）下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 9．（本题4分）利用提取公因式法计算，结果是（     ） A． B． C． D． 10．（本题4分）在四边形中，对角线与交于点，下列各组条件，其中不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 11．（本题4分）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．（本题4分）如图，在平行四边形中，是边的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，则下列命题：①四边形是平行四边形，②，③，④若，，则，其中正确的是（    ） A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 13．（本题4分）如图，在平行四边形中，已知，，平分交边于点，则等于（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 14．（本题4分）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍；求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 15．（本题4分）下列各式：①；②；③；④，最简分式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 16．（本题4分）如图，平行四边形的对角线相交于点，是的中点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的序号有（    ）    A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④ 二、填空题（共24分） 17．（本题4分）已知数据的平均数为3，方差为2，则数据，的平均数为 ，方差为 ． 18．（本题4分）已知有一组正整数，，，，，如果这组数据的中位数和平均数相等，那么的值是 ． 19．（本题4分）已知，则的值为 ． 20．（本题4分）如图，在四边形中，，，，E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为 ． 21．（本题4分）若关于x的方程无解，则a的值为 ． 22．（本题4分）如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，，，，…，那么的直角顶点的坐标为 ． 三、解答题（共62分） 23．（本题8分）因式分解： (1)； (2)； (3)． 24．（本题8分）化简求值：，其中． 25．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 26．（本题9分）2015年7月1日，全国人大常委会通过的《中华人民共和国国家安全法》第十四条规定，每年4月15日为全民国家安全教育日．2024年4月15日是第9个全民国家安全教育日，为普及国家安全知识，某学校开展了“树立防范意识，维护国家安全”的国安知识学习活动．测试完成后从八九年级中随机抽取部分学生成绩进行分组分析．学生得分均为整数，满分10分，成绩达到9分为优秀，成绩如下统计图： (1)小明认为抽取的八九年级学生共20人的成绩进行分析，小明的判断是否正确______（填“是”或“否”）． (2)在九年级学生成绩统计图中，8分所在的扇形的圆心角为______度； (3)请补充完整下面的成绩统计分析表： 平均数 方差 众数 中位数 优秀率 八年级 7 1.8 ______ ______ 九年级 ______ 1.36 ______ ______ (4)你认为哪组成绩较好？说明理由． 27．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)画出关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． (3)点P为x轴上一点，直接写出当最大时，点P的坐标． 28．（本题10分）如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点，． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)当时，，，求的长． 29．（本题10分）如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，点、、分别为、、的中点，若，求证：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，能得出关于m的方程是解此题的关键．由分解因式后有一个因式是，得出时多项式的值为零，由此得出关于m的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵分解因式后有一个因式是， ∴ 当时，多项式的值为零，即， ∴ ， ∴， 故选：B． 2．C 【分析】由平移的性质可知地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，宽为楼梯的宽，再结合长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意可知所需地毯的长度为，宽为1m， ∴所需地毯的面积为． 故选C． 【点睛】本题考查平移的实际应用．理解地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，宽为楼梯的宽是解题关键． 3．B 【分析】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解定义，找准对称轴和对称中心是解答的关键．轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 根据旋转的性质可得，然后判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，即可求出，即可得结果． 【详解】解：∵绕直角顶点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ， ， ∴， 故选：C． 5．C 【分析】本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，根据方差公式及数据特征，逐一分析选项的正误． 【详解】解：选项A、算式中平方差项数为5，对应数据个数，正确． 选项B、平均数，正确． 选项C、数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8，而非仅6，错误． 选项D、加入两个7后，数据更集中，方差由减小为，正确． 综上，错误的说法是C． 故选C 6．D 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；由题意可根据分式的运算进行排除选项． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不全面，故不符合题意； C、，，不符合题意； D、或，符合题意； 故选D． 7．C 【分析】本题考查分式的定义、分式的基本性质、分式值为0的条件和最简分式的概念．根据分式的定义判断A；根据分式的基本性质判断B；根据分式值为0的条件判断C；根据最简分式的定义判断D． 【详解】解：A． ∵ 分母π是常数，不是字母， ∴ 是整式，不是分式，故A错误． B． ∵ x，y都扩大3倍后，分式变为，值扩大3倍，故B错误． C． ∵ 分式值为0， ∴ 分子且分母． 由得，由得， ∴ ，故C正确． D． ∵ （），可约分， ∴ 不是最简分式，故D错误． 因此，正确的是C． 故选：C． 8．D 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟知是解题的关键． 【详解】解：A、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； B、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； C、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； D、能用完全平方公式分解因式，符合题意； 故选：D． 9．A 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解， 通过提取公因式 ，将原式化简为 ，再结合负数的偶次幂为正的性质，得到结果． 【详解】解：． 故选：A． 10．C 【分析】此题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； 、∵，， ∴四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； 、由，，不能判定这个四边形是平行四边形； 、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故能判定这个四边形是平行四边形， 故选：． 11．D 【分析】本题考查多边形的内角与外角、平行线的性质．熟练掌握多边形的外角和是是解题的关键．求出正五边形的一个内角和一个外角的度数，得到，，平行线的性质，得到，三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数． 【详解】解：如图： 正五边形的一个外角的度数为：， 正五边形的一个内角的度数为：， 即：，， 一束太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形上，， ， ， ； 故选：D． 12．B 【分析】根据平行四边形的性质可得，从而可得到，再证明≌，根据全等三角形的对应边相等可证得，进而得出四边形是平行四边形，即可判断命题①正确；利用全等三角形的性质得出，证出，利用等腰三角形三线合一的性质得出，即可判断命题②正确；根据三角形的中线将三角形的面积平分即可判断命题③正确；利用勾股定理求出，即可判断命题④错误． 【详解】解：①四边形是平行四边形， ∴，，， 点F为的延长线上的一点， ∴， ，， 为BC中点， ， 在和中， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形，故此命题正确，符合题意； ②由①知，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ，故此命题正确，符合题意； ③由②知，， ，故此命题正确，符合题意； ④∵， ∴， ∵，， ∴， ， ，故此命题错误，不符合题意； 综上分析可知，正确的是①②③． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握平行四边形、勾股定理以及全等三角形的有关知识是解题的关键． 13．B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定即性质，熟悉掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质，角和角平分线的定义得到得到，得到后即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 14．A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，首先设规定时间为天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，由题意得等量关系：慢马速度快马速度，根据等量关系，可得方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 【详解】解：设规定时间为天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，由题意得： ， 故选：A． 15．A 【分析】本题考查最简分式的判断，需熟练掌握因式分解和相反数性质，注意常数因子的处理． 判断分式是否最简，需检查分子与分母是否有公因式． 【详解】解：最简分式指分子与分母无公因式的分式， ①分母，分子，无公因式，是最简分式； ②，原式化为，有公因式，不是最简分式； ③分子，分母，无公因式，是最简分式； ④分子，分母（π为常数），不是分数； ∴最简分式有①、③，共2个． 故选：A． 16．C 【分析】根据，点E是的中点，，可知是等边三角形，得出，，进而得出，根据平行四边形得性质可判断①，再根据平行四边形的性质得，即可说明是否平分，然后说明是的中位线，可判断和的关系，再根据点O是的中点，得，由点E是的中点，得，进而得，然后根据平行四边形的性质得，即可判断④，得出答案． 【详解】∵，点E是的中点， ∴. ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴是平分． 则①②正确； ∵点E是的中点，点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 则③正确； ∵点O是的中点， ∴． ∵点E是的中点， ∴， ∴． 由平行四边形的性质得， ∴， 即． 则④不正确． 所以正确的有①②③. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，中位线的性质，求三角形的面积等，弄清各三角形的面积之间的关系是解题的关键． 17． 9 8 【分析】此题考查了方差和平均数，当数据都乘上一个数时，平均数也乘上这个数，方差变为这个数的平方倍，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减上这个数，方差不变，即数据的波动情况不变．根据平均数和方差的计算公式或者根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案． 【详解】解：∵数据的平均数是3， 即， ∴ ， 即数，的平均数是； ∵数据的方差是2， 即， ∴ ， ∴数，的方差是； 故答案为：9，8． 18．或/8或3 【分析】此题考查了中位数和平均数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，关键是根据中位数和平均数相等列出方程．根据这组数据的中位数和平均数相等，分和两种情况列方程求解即可． 【详解】解：这组数据的中位数和平均数相等， 当时，， 解得：． 当时，， 解得：． 故答案为：或． 19． 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握基本性质的运用是解答的关键．先将化为，再代入所求分式中求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即，， ∴ ， 故答案为：． 20．2秒或秒 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定方法、进行分类讨论是解题的关键． 由，则时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况讨论：①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则得：，解方程即可；②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则得：，解方程即可． 【详解】解：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， ①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t， 则，， ∴，， ∵， ∴，解得； ②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t， 则，， ∴，， ∵， ∴，解得； 综上，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：2秒或秒． 21．3或4 【分析】本题考查分式方程的解，掌握分式方程无解情况下字母的取值是解题的关键，将分式方程转化为整式方程，然后根据整式方程中含x的系数为零时方程无解及分式方程的分母为零时方程无解两种情况确定a的值． 【详解】解：原方程去分母，得：， 当，即时，原分式方程无解， 解得：， 当时，原分式方程无解， 综上，的值为3或4， 故答案为：3或4． 22． 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系及图形的旋转变换、勾股定理，通过分析几次旋转得到旋转规律是解题的关键． 过点作轴于点，根据勾股定理列式求出，利用等积法求出，根据勾股定理列式求出，得出，可得坐标，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用除以，根据商为，余数为，可知第个三角形的直角顶点为第个循环组后第二个三角形的直角顶点，求出即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵，， ∴，， ∴， 由旋转得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵第一次旋转变换后直角顶点坐标为， ∴第二次旋转变换后直角顶点坐标为， 第三次旋转变换后直角顶点坐标为， 第四次旋转变换后直角顶点坐标为， 第五次旋转变换后直角顶点坐标为， ∴由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环， ∵， ∴的直角顶点是第个循环组后第二个三角形的直角顶点， ∵一个循环组横坐标前进的长度为：， ∴， ∴的直角顶点的坐标为． 故答案为：． 23．(1) (2) (3) 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）原式变形后，提取公因式即可； （2）原式利用完全平方公式，以及利用平方差公式分解即可； （3）原式利用十字相乘法进行分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式， ， ， ； （3）解：， 24．；0 【分析】本题考查了分式的化简求值和平方差公式，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 先根据分式的混合运算化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 25．(1)无解 (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． （1）将分式方程转化成整式方程进行求解，并检验即可； （2）将分式方程转化成整式方程进行求解，并检验即可． 【详解】（1）解： ， 检验：当时，，故不是该方程的解，为方程的增根， ∴该方程无解； （2）解： ， 检验：当时，，故是该方程的解， ∴该方程的解为． 26．(1)否 (2)144 (3)7.2，7，8，7，7 (4)九年级的成绩较好，理由见解析 【分析】（1）根据抽取九年级的人数不能确定，可得出答案； （2）用360度乘以九年级成绩得分为8分的人数占的百分比即可得到答案； （3）根据平均数的定义、众数的定义、中位数的定义求解； （4）根据（1）的计算结果，比较平均数、众数、中位数，即可得出结论． 【详解】（1）解：抽取八年级的人数为：（人）， 抽取九年级的人数不能确定，故小明的判断不正确， 故答案为：否； （2）解： 8分所在的扇形的圆心角为， 故答案为：144； （3）解：因为八年级得7分人数最多，所以众数是7， 把八年级的得分从低到高排列处在第5名和第6名的得分都是7分，所以中位数为7， 九年级的平均分是：（分， 因为九年级得分为8分的人数最多，所以九年级的众数为8分， 把九年级的得分从低到高排列，得分低于7分的占，得分高于7分即为8分的占， 九年级的中位数为7分， 填表如下： 平均数 方差 众数 中位数 优秀率 八年级 7 1.8 7 7 九年级 7.2 1.36 8 7 故答案为：7.2；7；8；7； （4）解：九年级的成绩较好，理由如下： 九年级的平均数、众数都高于八年级，方差低于八年级， 九年级的成绩较好． 【点睛】本题考查长形统计图，扇形统计图，统计表，平均数，众数，中位数，方差．掌握平均数、众数、中位数的计算方法是解题的关键． 27．(1)图见解析，的坐标为 (2)图见解析，的坐标为 (3) 【分析】本题考查了中心对称、旋转作图、三角形的三边关系、一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据中心对称的定义作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）先根据三角形的三边关系推出当、、三点共线时，有最大值，然后利用一次函数的解析式求解即可． 【详解】（1）解：如图：的坐标为； （2）如图：的坐标为； （3）如图： 点为轴上一点，由三角形的三边关系可知， 当、、三点共线时，有， 即，当且仅当、、三点共线时，有最大值； 延长交轴于，此时即为所求； 设， 则， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， 即当最大时，点的坐标为． 28．(1)证明见解析 (2)的长为． 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质以及勾股定理， （1）连接交于点，由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由勾股定理求得的长，得出的长，再由勾股定理求出的长，即可得出结论； 熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， ∴， 由（1）可知，，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 29．见解析 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据等腰三角形的判定得到，得到，根据三角形中位线定理得到，，等量代换即可证明． 【详解】证明：， ， ， ，即， 点、分别为、的中点， 是的中位线， ， 同理可得：， ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $