2026年湖北省黄冈市英山县长冲初级中学自主招生数学试题

九年级培优水平能力测试数学试题 一．选择题（每题3分，共30分） 1．若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k且k≠0 B．k且k≠0 C．k且k≠0 D．k 2．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转80°，得到△AB'C'，若点B′在线段BC的延长线上，则∠BB'C'的大小为（　　） A．95° B．98° C．100° D．102° 3．AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，I为△ABC内心，AI与⊙O交于点D，OI⊥AD与点I，CD＝4，则AC＝（　　） A． B． C． D．5 4．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y＝kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB＝30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 5．当时，多项式（4x3﹣2022x﹣2020）2001的值为（　　） A．22001 B．1 C．﹣22001 D．﹣1 6．若函数y＝（m﹣1）x2﹣6xm的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（　　） A．﹣2或3 B．﹣2或﹣3 C．1或﹣2或3 D．1或﹣2或﹣3 7．已知a＝2002x+2003，b＝2002x+2004，c＝2002x+2005，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 8．若（2x+1）4＝ax4+bx3+cx2+dx+e，则a+c+e＝（　　） A．41 B．25 C．80 D．82 9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）顶点坐标为（﹣2，﹣a），对于下列结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③c＝3a；④若方程ax2+bx+c﹣2＝0没有实数根，则﹣2＜a＜0．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动，运动路径为：G→C→D→E→F→H，相应的△ABP的面积y（cm2）关于运动时间t（s）的函数图象如图2，若AB＝6cm，则下列四个结论中正确的个数有（　　） ①图1中的BC长是8cm，②图2中的M点表示第4秒时y的值为24cm2， ③图1中的CD长是4cm，④图2中的N点表示第12秒时y的值为18cm2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（每题3分，共18分） 11．若α、β是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式α2+2β2﹣3β的值是　 　 ． 12．一个圆锥的底面半径为8cm，其侧面展开图的圆心角为240°，则此圆锥的侧面积为 　 　 ． 13．如图，Rt△OAB的直角边OA在y轴上，点B在第一象限内，OA＝2，AB＝1，若将△OAB绕点O按顺时针方向旋转90°，则点B的对应点B′的坐标是　 　 ． 14．若关于x的方程的解为正数，则实数a的取值范围是 　 　 ． 15．若2x+5y﹣3＝0，则4x•32y的值为　 　 ． 16．若记y＝f（x），其中f（1）表示当x＝1时y的值，即f（1）；f（）表示当x时y的值，即；…；则f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（2011）+f（）＝　 　 ． 三．解答题（共8小题） 17．（满分8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足x1x2+x1+x2＝m2+6，求m的值． 18．（满分9分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），O是对角线AC的中点，过点O的直线EF⊥AC交AD边于E，交BC边于F． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若AE＝10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长． 19．（满分8分）为了加强中华优秀传统文化教育，培育和践行社会主义核心价值观，学校决定开设特色活动课，包括A（经典诵读），B（我爱戏曲），C（中华功夫），D（民族乐器）四门课程．校学生会、团委随机抽取了部分学生进行调查，以了解学生最喜欢哪一门课程，并将调查结果绘制成如下统计图． 请结合图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了　 　 名学生，图中扇形“C”的圆心角度是　 　 ； （2）请将条形统计图补充完整； （3）在这次调查中，甲、乙、丙、丁四名学生都选择“经典诵读”课程，现准备从这四人中随机抽取两人参加市级经典诵读比赛，试用列表或树状图的方法求抽取的两人刚好是甲和乙的概率． 20．（满分9分）某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当该品种的蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由． 21．（满分9分）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：我们知道，n个相同的因数a相乘记为an，如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）． 一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n），如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）． （1）计算以下各对数的值：log24＝　 　 ；log216＝　 　 ；log264＝　 　 ． （2）通过观察（2）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式？ （3）由（2）题猜想，你能归纳出一个一般性的结论吗？ logaM+logaN＝　 　 （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）， （4）根据幂的运算法则：am•an＝am+n以及对数的定义证明（3）中的结论． 22．（满分9分）如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA＝PB，延长BO分别与⊙O、切线PA相交于C、Q两点． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）QD为PB边上的中线，若AQ＝4，CQ＝2，求QD的值． 23．（满分10分）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行． 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线yx+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km， ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 24．（满分10分）定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β＝180°时，我们称是△A′B′C′，△ABC的“旋补三角形”，边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知：（1）在图2，图3中，是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系AD＝ 　 　 BC； ②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为 　 　 ． 猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明． 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $