北京市延庆区2025-2026学年高一上学期期末数学试卷

2026北京延庆高一（上)期末 数 学 2026.01 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考 试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 (1)已知集合A={xx2<x},B={0,1},则集合AUB= (A){x0<x<1} (B){0,1} (C){x0≤x≤1 (D)O} (2)下列函数在其定义域内是增函数的是 (B)y=-log2x (C)y=-1 (D)y=x3 (3)己知函数f(x)=2+2x,在下列区间中，一定包含f(x)零点的区间是 (A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2) (4)已知向量，b在平面直角坐标系中的位置如图所 示， 则a-的值为 (A)√2 (B)2 43-201234x (C)42 (D)5√2 (5)已知a=log,4,b=log,3,c=2o5,则实数a,b,c的大小关系是 2 (A)bza>c (B)b>c>a (C)c>b>a (D)c>a>b 第1页/共10页 (6)如图，四边形ABCD是平行四边形，则上cA+上DB= (A)AB (B)CD (C)CB (D)AD (7)右图的茎叶图记录了甲、乙两名学生六次数学测验的成绩（百分制） 给出下列四个结论： 甲 Z ①甲同学成绩的极差比乙同学成绩的极差大： ②甲同学成绩的中位数比乙同学成绩的中位数小： 6 2 > > ③甲同学成绩的60%分位数比乙同学成绩的60%分位数 0 8 257 530 79 23 小： ④甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方差大. 其中所有正确结论的序号是 (A)①④ (B)①③ (C)②④ (D)①③④ (8)设a>0且a≠1，则“函数f(x)=r在R上是减函数”是“函数g(x)=log4-x在 (0,+0)上是增函数”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (9)某农业公司年初用98万元购进一辆大型农业多用途收割机.已知该收割机使用中 所 需的各种费用y(单位：万元)与使用时间n∈N,单位：年)之间的函数关系 式为y=2?+10n,该收割机每年的总收入为50万元.问该收割机第几年开始盈 利？（即总收入减去成本及所有使用费用为正值） (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 (10)己知函数f(x)= 「，2,1若f()在区间(a,b)上既有最大值，又有最小 x2-4xx>1. 值， 则下列说法正确的是 (A)a有最小值 (B)a有最大值 (C)b有最小值 (D)b有最大值 第2页/共10页 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 (11)一个半径为3的扇形中，圆心角为30°，则扇形的面积为 (12)函数f(x)=2-3的图像向左平移3个单位长度得到函数g(x)的图象.若函数g(x) 关于直线y=x对称的图象为h(x),则此时g(x)= ,h(x)= 1V5 (13)已知幂函数f(x)的图像经过点（亡， )，则f(9)= 33 (14)在平行四边形ABCD中，点N在线段BD上，BN=BD(0<1<1), 点M为AB的中点，若M,N,C三点共线，则此时= (15)已知函数f(x)=4+x2-a,给出下列四个结论： ①对于任意实数a,f(x)在(-n,-1)上单调递减： ②存在实数a,使得f(x)有三个零点： ③对于任意实数a,对于任意x,都存在x,且x2≠x,使f(x)=f(2)成立： ④存在实数a,使得关于x的不等式f(x)≥5的解集为(-m,-1]U[1,+∞). 其中所有正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共5分。解窖应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题14分) 已知甲、乙、丙三人的投篮命中率分别为0.7,0.6,0.5，如果他们三人每人投篮一次，假设三人每 次投篮是否命中相互之间没有影响， (I)求三人都没命中的概率； (Ⅱ)求恰有一人命中的概率； (Ⅲ)求至少有两人命中的概率： (17)(本小题12分) 求下列各式的值： 第3页/共10页 (I)6os62-lg100+log,45-21og,V5; 1 (Ⅱ)0.2505+ -6250.25+1253: 27 (m)3-V25-e°-1g5x1og,8+1o88 log:2 (18)(本小题15分) 某校有初中生1800人，高中生1200人.为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法， 从中抽取100名学生作为样本，统计了他们课外阅读时间，然后按“初中生”和“高中生”分为两组，再 将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0,10)，10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]，并分别 加以统计，得到如图所示频率分布直方图。 个频 个频率 组距 组距 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.005 0.005 01020304050 时间（小时） 01020304050时间小时) (I)求图中a的值： 初中生组 高中生组 (Ⅱ)试估计该校所有学 生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数： (Ⅲ)假设同组中的每个数据都用该组区间的右端点值代替，试估计全校高中生组本学期课外阅读时间的平均 数： (IV)记阅读时间在[40,50]的初中生组样本为A组，高中生组样本为B组，学校决定在A组和B组中随机 抽取2名同学进行访谈，求这2名同学中恰有1人在A组的概率 第4页/共10页 (19)(本小题15分) 已知函数f)=2-2 3 (I)判断f(x)的奇偶性并证明： (Ⅱ)判断f(x)的单调性并说明理由； ()若f(ax-1)+f(2-x)>0对任意a∈(-n,2]恒成立，求x的取值范围. (20)(本小题15分) 设函数f(x)=log,(4+m)· (I)当m=4时，求f(x)的值域： (IⅡ)当x∈[0，+o)时，f(x)的最小值为3，求m的值： ()当m=-8时，函数f()的图象恒在直线y=4x+b的下方，求b的取值范围. (21)(本小题14分) 1,x庄A, 对于集合A,定义函数f(x)= -1,x∈A 对于两个集合A,B,定义运算A*B={x|∫(x)·∫(x)=-1). (I)若A={1,2,3},B={2,3,4,5},写出f(①)与f(1)的值，并求出A*B: (Ⅱ)证明：f4B()=f4(x)·f(x): (Ⅲ)证明：运算具有交换律和结合律，即A*B=B*A,(A*B)*C=A*(B*C) 第5页/共10页 参考答案 一、选择题：(4×10=40分) 题号 1 2 3 6 7 8 9 10 答案 C C C A B D 二、 填空题：(5×5=25分) 题号 11 12 13 14 15 g(x)=2* 答案 3π J2 ①④ 4 h(x)=log2x,x∈(0，+∞） 3 说明：12题，第一个空2分，第二个空3分：15题，对一个2分，对2个5分. 三、解答题：本大题共6小题，共85分 16.(本小题满分14分) 解：(I)设事件A:甲投篮命中；事件B:乙投篮命中； 事件C:丙投篮命中. …1分 甲，乙，丙各投篮一次，三人都没命中的概率为 P(ABC)=(1-P(A)1-P(B)1-P(C)=0.3×0.4×0.5=0.06 …3分 所以甲，乙，丙各投篮一次，三人都没命中的概率为0.06。 …4分 (Ⅱ)设“恰有一人命中”为事件D P(D)=P(ABC+ABC+ABC) …5分 =P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C) =0.7×0.4×0.5+0.3×0.6×0.5+0.3×0.4×0.5=0.29 …9分 所以甲，乙，丙各投篮一次，恰有两人命中的概率为029. (Ⅲ)设“至少有两人命中”为事件E P(E)=P(ABC+ABC+ABC)+P(ABC) =0.3×0.6×0.5+0.7×0.4×0.5+0.7×0.6×0.5+0.7×0.6×0.5=0.65 …13分 所以甲，乙，丙各投篮一次，至少有两人命中的概率为0.65. .…14分 说明：如果仅有最终正确结果，无步骤不扣分 (17)(本小题12分) 解：(I)6862-lg100+log,45-21og,V5 第6页/共10页 =2-2+log345-log35 …2分 =log,了-lg,9=2 45 …4分 ()0.2505+ 27 625025+125 1)3 2 =42+273-(25)4+(63)3 …6分 =2+3-5+25=25 …8分 (m)3-V2)5-x°-1og25x1og,8+ 0g,8 l0g:2 =3-V2-1-1og28+ 0g,223 …10分 l0g:2 =3-2-1-3+3-1-5 …12分 22 18(本小题满分15分) (I)解：因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1，所以 …1分 (0.005+0.005+0.02+0.04+a)×10=1 …2分 解得a=0.03 …3分 (Ⅱ)由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名. …5分 因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.02+0.005)×10=0.25， 学生约有0.25×1800=450人， …6分 同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.03+0.005)×10=0.35， 学生人数约有0.35×1200=420人. …7分 所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的 学生人数约有450+420=870人 …8分 (Π)0.05×10+0.25×20+0.35×30+0.3×40+0.05×50=30.5 …9分 估计高中生组本学期课外阅读时间的平均数30.5小时 …10分 (IV)初中生组中，阅读时间在[40,50]的学生频率为0.005×10=0.05， 样本人数为0.05×60=3人 …11分 高中生组中，阅读时间在[40,50]小时的学生 样本人数为(0.005×10)×40=2人. …12分 记在初中生组样本为A组3人分别为a,a2,a 高中生组样本为B组2人分别为b1,b2 则任选2人的样本空间可记为 第7页/共10页 2={(a1,a2),(a,a3),(a1,b),(a,b2),(a2,a),(a2,b),(a2,b2),(a,b),(a,b2),(b1,b2)}共包含10个样本 点 …13分 记M:1人在A组，则 M={(4,b),(a4,b2),(a2,b),(a2,b2),(a3,b),(a,b2)}, M包含的样本点个数为6. …14分 所以Pa-8 …15分 这2名同学中恰有1人在A组的概率为 5 19.(本小题满分15分) 解：(I)f(x)为奇函数. 因为f(x)定义域为R, …1分 f9=2-22-2 =-f(x), …3分 3 3 所以f(-x)=-f(x).所以f()为奇函数. …4分 (I)f) 2-2在(-0，+0)是增函数 3 因为y=2在(-o,+w)是增函数 所以y=2在(-0，+0)是减函数 …5分 所以y=-2在(-0，+0)是增函数， …6分 所以y=2x-2x在(-0，+o)是增函数， …7分 所以f)=2,2在(0，+四是增函数 3 …8分 (II)由(I)(Ⅱ)可知f(x)为奇函数且在(-o,+o)是增函数. 又因为f(ax-1)+f(2-x)>0 所以f(ax-1)>-f(2-x)=f(x-2). …10分 因为f(x)在(-o,+o)是增函数 所以ax-1>x-2对任意a∈(-0,2]恒成立. …11分 令g(a)=xa+(1-x),a∈(-n,2]. …12分 x≤0， 则只需 …13分 8(2)=2x+1-x)>0. x≤0， 解得 所以-1<x≤0. …14分 x>-1. 第8页/共10页 所以x的取值范围为(-1,0]。 …15分 20.(本小题满分15分) 解：(I)因为当m=4时，fx)=log24+4), 因为4∈(0，+0).所以4+4∈(4，+∞) …1分 所以1og2(4+4)∈(2，+o) …3分 所以f(x)的值域为(2，+o) (Ⅱ)因为函数4在区间[0，+o)上单调递增 所以函数4+m在区间[0，+o)上单调递增 所以函数f(x)=lg(4+m)在区间[0，+∞)上单调递增…4分 因为x∈[0，+o),所以4+>0，即>4=1 …5分 所以f(x)在区间[0，+o)上的最小值为f(O) …6分 又因为当x∈[0，+o)时，f(x)的最小值为3 所以log21+m)=3.故m=7. …7分 (m由己如商数心)的定义城为[经 …8分 因为函数f(x)的图象恒在直线y=4x+b的下方 所以，f(x)<4x+b在 所以，1og2(4-8)<4x+b在 恒成立， …9分 即4-8<24在 2+∞恒成立， …10分 令4“=t,则t∈(8，+m) 则t-8<2,即2°>- …12分 …14分 t16 即以2>2即6c(5+o): …15分 所以b的取值范围为(-5，+0) 21.(本小题满分14分) (I)f①)=-1，f)=1,A*B=1,4,5}. …3分 (IⅡ)①当x∈A且x∈B时，f(x)=f(x)=-1 所以x庄A*B.所以f(x)=1. 第9页/共10页 所以fA(x)=f4(x)·f(x) ②当x∈A且EB时，f(x)=-1,f(x)=1. 所以x∈A*B.所以fB(x)=-1. 所以fa(x)=f(x)·f(x) ③当xEA且x∈B时，f(x)=1,f(x)=-1 所以x∈A*B.所以f(x)=-1 所以f(x)=f(x)·f(x) ④当xEA且xEB时，f(x)=f(x)=1. 所以x庄A*B.所以f(x)=1. 所以f(x)=f(x)f(x). 综上，fA*a(x)=f4(x)f(x) …11分 ()因为A*B={x|f(x)∫(x)=-1, B*A={xf(x)·f(x)=-l={x|f4(x)·f(x)=-1}, 所以A*B=B*A 因为(A*B)*C={xfa()f(闭=-1}={xf(x)·f(xf(w=-l, A*(B*C)={x|f4(x)·fa(x)=-1}={x|f4(x)f(x)·f(x)=-1} 所以(A*B)*C=A*(B*C): …14分 第10页/共10页