专题01 相交线的七类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

专题01 相交线的七类题型 典例详解 类型一、对顶角及性质 类型二、垂线与垂线段 类型三、相交线中的计数问题 类型四、识别三线八角 类型五、相交线中方程思维计算角度 类型六、相交线中分类讨论思维计算角度 类型七、角度计算的跨学科问题 压轴专练 类型一、对顶角及性质 例1（25-26七年级上·江苏南京·月考）对于下列四个说法． ①连接两点的线段叫做两点之间的距离； ②过两点有且只有一条直线； ③两个相等的角是对顶角； ④如果，则点是线段的中点． 其中，正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式1-1（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）下列图形中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 变式1-2（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图,、相交于点O，射线平分，下列结论中错误的是（   ） A．与互为补角 B．与互为余角 C．与互为补角 D．与为对顶角 变式1-3（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分． (1)若，则________________（用含α的式子表示）． (2)若，，求的度数． 变式1-4（25-26七年级上·江苏镇江·月考）如图，直线，相交于点，平分，． (1)求的度数； (2)如图，过点作，垂足为，求的度数． 类型二、垂线与垂线段 例2（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，给出下列条件：①；②；③；④．其中能说明的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2-1（22-23七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，，，点D是线段BC上的动点，则A、D两点之间的距离不可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．5.5 变式2-2（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有 ． 变式2-3（25-26七年级上·山西太原·期末）如图，点在直线上，，是的平分线，且，则的度数为 ． 类型三、相交线中的计数问题 相交线交点个数计算方法 交点个数的计算核心在于直线的位置关系（是否平行、是否共点），分以下 3 种常见情况： 情况 1：n 条直线两两相交，无三线共点、无平行直线。核心公式 交点数= 情况 2：n 条直线中有 k 条直线共点，无平行直线。核心公式 交点数 = -[ -1] 情况 3：n 条直线中有 m 条直线互相平行，无三线共点。 核心公式 交点数 = - 例3（22-23七年级上·四川眉山·期末）平面内有n条直线，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 变式3-1（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图在同一平面内，有条直线与直线平行，也有条直线与直线平行，直线，不平行，当时共有多少对内错角？（ ） A． B． C． D． 变式3-2（20-21七年级上·江苏盐城·期末）已知（，且为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当时，共有2个交点；当时，共有5个交点；当时，共有9个交点；…依此规律，当图中有条直线时，共有交点 个． 变式3-3（23-24七年级上·江苏·期末）在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为． 例如：当时，或（如图所示）． (1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明； (2)当时，的最大值为多少？请画图说明； (3)的最大值为__________（用含的式子表示） (4)当时，的最大值为多少？请画图说明． 类型四、识别三线八角 易错点提醒 无截线不构成三线八角：如果两个角的边没有公共直线（没有截线）, 就不是同位角、内错角或同旁内角。 不要被直线的方向迷惑：截线不一定水平，被截直线不一定平行，只要满“三线” 结构，就能用特征判断。 区分“内”与“外”：“内”是指两条被截直线之间的区域，“外”是指外侧区域，内错角和同旁内角都在“内”侧。 例4（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，其中同旁内角为 （写出每组具体名称），则的值是 ． 变式4-1（24-25七年级下·全国·周测）如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是 （填序号）． 变式4-2（25-26七年级下·全国·课后作业）如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 变式4-3（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，，两两相交．请分别指出图中，，，中的同位角、内错角和同旁内角，并任选一对角，说明它们是由哪两条直线被哪一条直线所截得到的． 类型五、相交线中方程思维计算角度 例5（25-26七年级上·重庆·月考）如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 变式5-1（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，直线和相交于点，射线，在内部，与互余，平分． (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数． 变式5-2（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，直线、CD相交于点，且 (1)求的度数； (2)若平分，则是的角平分线吗？试说明理由． 变式5-3（20-21七年级下·辽宁大连·月考）如图，直线，相交于点，平分． (1)的补角是_________； (2)若，求的度数． 类型六、相交线中分类讨论思维计算角度 例6（2025·福建福州·模拟预测）如图，直线，相交于点O，平分，，：． (1)求的度数； (2)若过点O作射线，使得，求的度数． 变式6-1（24-25七年级下·陕西汉中·月考）已知如图，直线、相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)在（2）的条件下，过点O作，请直接写出的度数． 变式6-2（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，直线与相交于点，平分，且，． (1)求的度数； (2)过点作射线，若，求的度数． 变式6-3（23-24七年级下·河北邢台·月考）如图，直线相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，作，求的度数． 类型七、角度计算的跨学科问题 例7（24-25七年级下·全国·周测）跨物理学科    如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（   ） A． B． C． D． 变式7-1（2023·甘肃武威·中考真题）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（    ）    A． B． C． D． 变式7-2（24-25七年级下·广东清远·期末）如图，将平面镜放置在桌面上，光线经过平面镜反射形成光线．已知，，，则的度数为 ． 变式7-3（24-25七年级下·广东佛山·期中）当光线从空气斜射入某种透明液体中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．如图，为液面，于点，一束光线沿斜射入液面，在点处发生折射，折射光线为，点为延长线上一点，若入射角，折射角，则的度数为 ． 1.如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C．与互为补角 D．的余角等于 2. a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 3. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4. 一束光线沿射向平静透明的水面，这束光线有一部分经过水面反射（平静的水面可以看成平面镜）形成光线，还有一部分光线折射到水中形成光线．当入射角和折射角满足时，，此时入射光线与水面的夹角的度数为 ． 5. 如图，直线、交于点，平分，． (1)求的度数； (2)画射线，使，求的度数． 6. 如图，则图中内错角共有 对． 7. 如图，，，平分，则的度数为 ． 8. 如图，A、O、B三点依次在同一直线上，且平分，平分．给出下面四个结论： ①； ②与互补； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 9. 如图，直线与直线相交于点平分， (1)若，则___________； (2)若平分，的度数为． ①求的度数； ②作射线，请直接写出的度数． 10. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE，OF分别在，内部，且OD平分． (1)的补角是____________． (2)若，，则的度数为____________． (3)若，试说明． (4)若OB平分，，则的度数为____________． 11. 直线相交于点于点，作射线，且在的内部． (1)当点在直线的同侧； ①如图1，若，求的度数； ②如图2，若平分，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，请直接写出与之间的数量关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线的七类题型 典例详解 类型一、对顶角及性质 类型二、垂线与垂线段 类型三、相交线中的计数问题 类型四、识别三线八角 类型五、相交线中方程思维计算角度 类型六、相交线中分类讨论思维计算角度 类型七、角度计算的跨学科问题 压轴专练 类型一、对顶角及性质 例1（25-26七年级上·江苏南京·月考）对于下列四个说法． ①连接两点的线段叫做两点之间的距离； ②过两点有且只有一条直线； ③两个相等的角是对顶角； ④如果，则点是线段的中点． 其中，正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查几何基本概念、距离定义、直线公理、对顶角性质和中点定义，对四个说法逐一判断即可作答． 【详解】①连接两点的线段叫做两点之间的距离：两点距离是线段的长度，而非线段本身，故①错误； ②过两点有且只有一条直线：这是直线公理，故②正确； ③两个相等的角是对顶角：相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形底角），故③错误； ④如果，则点是线段的中点：点可能不在线段上，而在的垂直平分线上，故④错误． 综上，只有②正确，正确的有1个． 故选：B． 变式1-1（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）下列图形中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的识别，熟知对顶角的定义是解题的关键． 根据对顶角的定义来判断，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，然后即可求解． 【详解】解：根据对顶角的定义可知，只有C中和属于对顶角， 故选：C． 变式1-2（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图,、相交于点O，射线平分，下列结论中错误的是（   ） A．与互为补角 B．与互为余角 C．与互为补角 D．与为对顶角 【答案】D 【分析】本题考查了补角、余角的定义，对顶角的性质，以及角平分线和垂直的性质，解题的关键是结合图形在钝角内部）利用相关定义和性质逐一分析各选项． ​根据邻补角定义判断与的关系；结合和平分，推导与的和是否为；依据补角定义和图形中角的位置关系分析与相关角的补角关系；根据对顶角定义判断的对顶角． 【详解】解：∵、相交于点O平分，且在钝角内部，​ ∴． A、∵与组成平角，即， ∴与互为补角，此选项不符合题意； B、∵， ∴，即互为余角，此选项不符合题意； C、∵， ∴，互为补角，此选项不符合题意； D、∵的对顶角是，而非， ∴此选项符合题意． 故选：D． 变式1-3（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分． (1)若，则________________（用含α的式子表示）． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为或 【分析】（1）先利用对顶角相等得到的度数，再由角平分线得出的度数，结合平角的性质，用含的式子表示； （2）先根据对顶角、角平分线求出的度数，再分在两侧的情况，结合垂直的性质计算的度数． 【详解】（1）解：∵直线相交于， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：①当点F，A在直线CD的同侧时，如图①． ∵， ∴． ∵OE平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ②当点F，A在直线CD的异侧时，如图②． 同理可得． ∵， ∴， ∴． 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了对顶角、角平分线、垂直的性质，掌握对顶角相等、角平分线分角为相等的两部分、垂直的角为90°是解题的关键，注意第二问需考虑位置的不同情况． 变式1-4（25-26七年级上·江苏镇江·月考）如图，直线，相交于点，平分，． (1)求的度数； (2)如图，过点作，垂足为，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查几何中角度的计算，有关角平分线的计算，垂线的定义，掌握其概念是解决此题关键． （1）根据角平分的定义和对顶角相等可得答案； （2）根据垂直的定义得，然后由角的和差关系可得答案． 【详解】（1）， ， 平分， ， ， ； （2）， ， ， ， ． 类型二、垂线与垂线段 例2（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，给出下列条件：①；②；③；④．其中能说明的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查垂线的定义，角的概念，对顶角、邻补角的定义，准确识图，理解垂线的定义，对顶角、邻补角的定义是解决问题的关键． 根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可． 【详解】解：①∵直线，相交于点，， ∴， 故条件①能说明； ②∵直线，相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故条件②能说明； ③∵直线，相交于点， ∴， 根据已知条件，不能得到， 故条件③不能说明； ④∵直线，相交于点， ∴， ∵， ∴， 故条件④能说明， 综上所述：能说明的条件有①②④，共3个． 故选：C． 变式2-1（22-23七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，，，点D是线段BC上的动点，则A、D两点之间的距离不可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．5.5 【答案】A 【分析】根据垂线段最短，得出的取值范围，再据此判断选项．本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴（垂线段最短）． ∵， ∴． ，不满足，故A项错误； ，满足，故B项正确； ，满足，故C项正确； ，满足，故D项正确． 故选：A． 变式2-2（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有 ． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查了对顶角性质、角平分线定义、垂线定义、余角和补角的知识，解题关键是熟练掌握相关概念和性质，准确分析角之间的关系．利用对顶角相等、角平分线的定义、垂线定义以及余角、补角的概念，对每个结论逐一进行分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴，故①正确，符合题意； ②∵， ∴的补角不是，故②错误，不符合题意； ③∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确，符合题意； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 变式2-3（25-26七年级上·山西太原·期末）如图，点在直线上，，是的平分线，且，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线以及角平分线定义，弄清各个角之间的关系是解题的关键． 根据，得，由角平分线定义得出，因为，所以，即可得出答案． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为：． 类型三、相交线中的计数问题 相交线交点个数计算方法 交点个数的计算核心在于直线的位置关系（是否平行、是否共点），分以下 3 种常见情况： 情况 1：n 条直线两两相交，无三线共点、无平行直线。核心公式 交点数= 情况 2：n 条直线中有 k 条直线共点，无平行直线。核心公式 交点数 = -[ -1] 情况 3：n 条直线中有 m 条直线互相平行，无三线共点。 核心公式 交点数 = - 例3（22-23七年级上·四川眉山·期末）平面内有n条直线，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是直线的交点问题，解答此题的关键是找出规律，需注意的是条直线相交时最少有一个交点． 分别求出2条直线、3条直线、4条直线、5条直线的交点个数，找出规律即可解答． 【详解】解：2条直线相交最多可以有1个交点，最少有1个交点； 3条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 4条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 5条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 6条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 所以，而， ． 故选：D． 变式3-1（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图在同一平面内，有条直线与直线平行，也有条直线与直线平行，直线，不平行，当时共有多少对内错角？（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质、同位角、内错角、同旁内角，解决本题的关键是知道内错角的概念以及通过找规律来计算内错角的数量． 内错角是指两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．先分析前几个值时内错角数量的计算规律，再根据规律计算时内错角的数量． 【详解】解：当时，有对内错角， 当时，有对内错角， 当时，有对内错角， 当时，有对内错角． 故选：A． 变式3-2（20-21七年级上·江苏盐城·期末）已知（，且为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当时，共有2个交点；当时，共有5个交点；当时，共有9个交点；…依此规律，当图中有条直线时，共有交点 个． 【答案】 【分析】首先通过观察图形，找到交点个数与直线条数之间的规律，然后列出n 条直线时，交点个数关于n的代数式即可. 【详解】∵当n=3时，每增加一条直线，交点的个数就增加n−1. 即：当n=3时，共有2个交点； 当n=4时，共有5个交点； 当n=5时，共有9个交点；…， ∴n条直线共有交点2+3+4+…+(n−1)= 个. 故答案为：. 【点睛】本题考查了相交线.解题的关键是，仔细观察图形，发现规律. 变式3-3（23-24七年级上·江苏·期末）在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为． 例如：当时，或（如图所示）． (1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明； (2)当时，的最大值为多少？请画图说明； (3)的最大值为__________（用含的式子表示） (4)当时，的最大值为多少？请画图说明． 【答案】(1)0,1,2,3； (2)6 (3) (4)7 【分析】本题主要考查了直线的交点、图形规律等知识点，根据题意画出图形、归纳规律并应用规律是解题的关键． （1）画出3条直线交点的所有情况即可解答； （2）画出4条直线交点的所有情况即可解答； （3）根据、3、4归纳出规律即可解答； （4）根据题意画出图形即可解答． 【详解】（1）解：如图：当时，的值可以有：0，1，2，3． （2）解：如图：当时，m的最大值为6．    （3）解：由题意可知： 当时，m的最大值为， 当时，m的最大值为， 当时，m的最大值为， …… 当时，m的最大值为，则m的最大值为． 故答案为：． （4）解：如图：当时，的最大值为7．    类型四、识别三线八角 易错点提醒 无截线不构成三线八角：如果两个角的边没有公共直线（没有截线）, 就不是同位角、内错角或同旁内角。 不要被直线的方向迷惑：截线不一定水平，被截直线不一定平行，只要满“三线” 结构，就能用特征判断。 区分“内”与“外”：“内”是指两条被截直线之间的区域，“外”是指外侧区域，内错角和同旁内角都在“内”侧。 例4（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，其中同旁内角为 （写出每组具体名称），则的值是 ． 【答案】 与，与，与，与 14 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 先根据同位角、内错角、同旁内角的定义，分别找出图中这三类角的具体组合并数出对数，再将三类角的对数相加得到结果． 【详解】解：同位角有与，与，与，与，与，与，所以； 内错角有与，与，与，与，所以； 同旁内角有与，与，与，与，所以， 所以． 故答案为：与，与，与，与；14． 变式4-1（24-25七年级下·全国·周测）如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查对顶角、内错角、同旁内角的相关概念，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 根据对顶角、同旁内角、内错角的性质判断即可． 【详解】解：与是对顶角，①说法正确； 与是同旁内角，②说法正确； 与不是同旁内角，③说法错误； 与是内错角，④说法正确； 故答案为：①②④． 变式4-2（25-26七年级下·全国·课后作业）如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 【答案】(1) (2)是的“关联角”．理由见解析 【分析】（1）由之间的关系直接求解即可； （2）根据同旁内角的概念进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵ ∴ 故答案为：． （2）解：是的“关联角”．理由如下： ∵是的“关联角”， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是的“关联角”． 【点睛】本题主要考查了同旁内角的相关概念，熟练掌握是解决本题的关键． 变式4-3（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，，两两相交．请分别指出图中，，，中的同位角、内错角和同旁内角，并任选一对角，说明它们是由哪两条直线被哪一条直线所截得到的． 【答案】和是同位角； 和是内错角； 和，和，和是同旁内角； 选和，它们是直线，被直线所截得到的同位角（答案不唯一）． 【分析】本题考查三线八角中的同位角、内错角和同旁内角的识别，掌握好每种角对应的模型是解题关键． 两条直线被第三条直线所截形成的三线八角中，同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形，借助模型去一一识别即可． 【详解】解： 和是同位角； 和是内错角； 和，和，和是同旁内角； 选和，它们是直线，被直线所截得到的同位角（答案不唯一）． 类型五、相交线中方程思维计算角度 例5（25-26七年级上·重庆·月考）如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，熟知角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得的度数，由垂线的定义可得的度数，据此可得答案； （2）设，，则可推出，根据垂线的定义可推出，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ， ， ， ； （2）解：， ∴可设，， 平分， ， ， ， ， ， 即， ∴，即． 变式5-1（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，直线和相交于点，射线，在内部，与互余，平分． (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，解答即可； （2）设，则，，列方程解答即可． 本题考查了角的平分线，互余，角的倍数，解方程，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵与互余， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴． （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 变式5-2（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，直线、CD相交于点，且 (1)求的度数； (2)若平分，则是的角平分线吗？试说明理由． 【答案】(1) (2)是的角平分线，理由见解析． 【分析】本题考查的是一元一次方程的几何应用，对顶角、邻补角的概念和性质、角平分线的定义，几何图形的角度运算，掌握对顶角相等、邻补角之和等于是解题的关键． （1）根据对顶角相等求出的度数，设，根据题意列出方程，解方程即可； （2）根据角平分线的定义求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，， ， ， 解得， ； （2）解：是的角平分线，理由如下： 由（1）得． ， 又平分， ， 又， ， 是的角平分线． 变式5-3（20-21七年级下·辽宁大连·月考）如图，直线，相交于点，平分． (1)的补角是_________； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了平角、对顶角、补角、角平分线的定义． （1）根据角平分线、补角、平角的定义，结合图形即可得出答案； （2）根据，可设，，结合角平分线和平角的定义列方程求解的值，可得的值，进而根据对顶角相等求得的度数． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， 是的补角， ，， 、是的补角， 的补角有，，， 故答案为：，，． （2）解：， 设，， ，， ，解得， ， ． 类型六、相交线中分类讨论思维计算角度 例6（2025·福建福州·模拟预测）如图，直线，相交于点O，平分，，：． (1)求的度数； (2)若过点O作射线，使得，求的度数． 【答案】(1) (2) 或 【分析】本题考查角平分线，邻补角、对顶角，理解邻补角、对顶角的定义，掌握角平分线的定义是正确解答的关键． （1）根据角平分线定义得出，根据，得出，然后再根据平角的定义进行计算即可； （2）根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴可设，则， ∵， 即， 解得， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， （2）解：由（1）知，， ∴， ∵平分， ∴， 分两种情况： ①， ②， ∴． 即或． 变式6-1（24-25七年级下·陕西汉中·月考）已知如图，直线、相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)在（2）的条件下，过点O作，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了角的和差，对顶角相等，几何图形中角度的计算， （1）先求出，再根据对顶角相等得，然后根据得出答案； （2）先根据求出，进而求出，然后结合得出结论； （3）分两种情况讨论，画出图形，根据或可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：如图，当点F在上方时， ∵， ∴， ∴； 如图，当点F在下方时， ∵， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 变式6-2（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，直线与相交于点，平分，且，． (1)求的度数； (2)过点作射线，若，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角度之间的关系，是解题的关键： （1）角平分线得到，根据结合平角的定义，求出的度数，对顶角得到的度数即可； （2）分在内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴，， 当在内部时，则：， 当在外部时，则：． 变式6-3（23-24七年级下·河北邢台·月考）如图，直线相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，作，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（）根据角平分线的定义解答即可求解； （）分在的同侧和异侧两种情况，分别画出图形解答即可求解； 本题考查了角平分线的定义，对顶角的性质，垂直的定义等，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：当在的同侧时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在的异侧时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 类型七、角度计算的跨学科问题 例7（24-25七年级下·全国·周测）跨物理学科    如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个角的余角与补角、垂直、对顶角相等，熟练掌握求一个角的余角与补角的方法是解题关键．先求出，再求出，根据垂直的定义可得，从而可得，最后根据对顶角相等即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， 故选：B． 变式7-1（2023·甘肃武威·中考真题）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过作平面镜，可得，，而，再建立方程，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作平面镜，    ∴，， 而， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，角的和差运算，角平分线的含义，属于跨学科题，熟记基础概念是解本题的关键． 变式7-2（24-25七年级下·广东清远·期末）如图，将平面镜放置在桌面上，光线经过平面镜反射形成光线．已知，，，则的度数为 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查垂直的定义，角的计算． 由垂直的定义得到，而，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式7-3（24-25七年级下·广东佛山·期中）当光线从空气斜射入某种透明液体中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．如图，为液面，于点，一束光线沿斜射入液面，在点处发生折射，折射光线为，点为延长线上一点，若入射角，折射角，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的性质，角的和差．根据对顶角相等求出，再计算角的差即可． 【详解】解：点为的延长线上一点， ， ， 故答案为：． 1.如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C．与互为补角 D．的余角等于 【答案】D 【分析】利用对顶角、垂直的性质、角平分线的定义以及余角和补角的概念，逐一分析每个选项，结合已知条件计算相关角度来判断结论是否正确． 【详解】解：A、和是对顶角，根据对顶角相等，，符合题意； B、由得，平分，故，符合题意； C、，∴与互为补角，符合题意； D、的余角为，不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了对顶角、垂直的性质、角平分线定义及余角补角的概念，解题关键是结合已知条件，利用相关性质准确计算角度，进而判断选项的正确性． 2. a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了相交线，掌握分类讨论思想是解题关键． 分以下四种情况①三条直线两两平行，②三条直线交于一点，③两条直线平行与第三条直线相交，④三条直线两两相交不交于同一点解答即可． 【详解】解：①三条直线两两平行，没有交点； ②三条直线交于一点，有一个交点； ③两条直线平行与第三条直线相交，有两个交点； ④三条直线两两相交不交于同一点，有三个交点． 综上，它们的交点可能有0，1，2或3个． 故选：B． 3. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得到，通过角度的和差关系可得到，根据对顶角相等可得到，最后根据角平分线的定义可得到的度数．也可以根据可得到，通过角度的和差关系得到，再根据邻补角的定义得到，最后根据角平分线的定义可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵OE平分， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、角平分线，利用邻补角的定义和角平分线的定义是解题的关键． 4. 一束光线沿射向平静透明的水面，这束光线有一部分经过水面反射（平静的水面可以看成平面镜）形成光线，还有一部分光线折射到水中形成光线．当入射角和折射角满足时，，此时入射光线与水面的夹角的度数为 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查了垂直的定义、余角的定义、角的和差，先根据反射角等于入射角得出，，再根据垂直的定义得出，然后根据周角为，列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， ， 即 故答案为：． 5. 如图，直线、交于点，平分，． (1)求的度数； (2)画射线，使，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角相等，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． （1）先利用对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答； （2）分在直线的上方和在直线的下方两种情况，然后分别进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴． （2）①如图，当在直线的上方时， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图，当在直线的下方时， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的度数为或． 6. 如图，则图中内错角共有 对． 【答案】4 【分析】本题主要考查了内错角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． 根据内错角的定义确定内错角的对数即可． 【详解】解：如图：和是一对内错角；和是一对内错角；和是一对内错角；和是一对内错角；即内错角共4对． 故答案为4． 7. 如图，，，平分，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直定义，角的和差，数形结合是解题的关键．先求出的度数，再根据角平分线的定义求即可． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 8. 如图，A、O、B三点依次在同一直线上，且平分，平分．给出下面四个结论： ①； ②与互补； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查角平分线的性质、余角、补角和角度的和差关系，根据角平分线的和，利用平角即可判断①，结合补角的定义即可判断②，利用角平分线的性质和平角即可判断③，利用角平分线的性质与角度和差关系即可判断④． 【详解】解：∵平分，平分，， ∴，即， ∴，故①正确； ∵平分，， ∴， ∴， ∴与互补，故②正确； ∵，故③不正确； ∵平分，平分， ∴，， ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 9. 如图，直线与直线相交于点平分， (1)若，则___________； (2)若平分，的度数为． ①求的度数； ②作射线，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查几何图形中的角度计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用： （1）根据角平分线的定义得出 ，再根据平角的定义得； （2）①设，则，，根据列方程求出x，再根据对顶角相等，即可得出的度数；②分在上方、下方两种情况，画出图形，利用角的和差关系求解． 【详解】（1）解： 平分，， ， ； （2）解：① 平分， 设 ， ， ， 平分， ， ， ， 解得， ， ； ②由①知， 时，， 分两种情况： 当在上方时，如图， ； 当在下方时，如图， ； 综上可知，的度数为或． 10. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE，OF分别在，内部，且OD平分． (1)的补角是____________． (2)若，，则的度数为____________． (3)若，试说明． (4)若OB平分，，则的度数为____________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据补角的定义解答即可； （2）根据角平分线的定义得出 （3）根据对顶角的性质以及角平分线的定义解答即可； （4）根据，可得，根据角平分线的定义可得，由平角为可求出的度数，最后根据角平分线的定义与角度的和差关系即可求出的度数． 【详解】（1）解：图中的补角是， 故答案为：； （2）解：∵OD平分，， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，即． （4）解：∵， ∴， 即． ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴． 又∵平分， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角的性质，补角的概念，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． 11. 直线相交于点于点，作射线，且在的内部． (1)当点在直线的同侧； ①如图1，若，求的度数； ②如图2，若平分，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①；②平分，理由见解析 (2)或 【分析】（1）①由，得出，根据平角的定义得出，根据即可求解； ②由平分，得出，根据得出，即可得结论； （2）分当点在直线的同侧时，当点和点在直线的异侧时两种情况，结合图形分析即可求解． 【详解】（1）解：①∵于点， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴的度数为； ②平分，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即平分． （2）当点在直线的同侧时，如图， 记，则， ∵， ∴， ∴①， ∴②， 得，； 当点和点在直线的异侧时，如图， 记，则， ∵， ∴， ∴①， ∴②， 得，． 综上可知，或． 【点睛】本题考查了角平分线的有关计算，垂直的定义，与余角补角相关的计算，数形结合是解题的关键． 8 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $