2.3.2双曲线的性质（第1课时）（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线的几何性质，通过对比椭圆与双曲线的定义、方程、焦点及a,b,c关系，搭建从椭圆到双曲线的学习支架，引导学生类比探究范围、对称性、顶点、离心率及渐近线等核心内容。 其亮点在于以类比推理为主线，结合代数推导与信息技术动态观察渐近线形成过程，培养逻辑推理与直观想象素养。练习设计分层，典例与变式结合，助力学生掌握性质应用，提升数学运算能力，教师可高效开展教学，学生深化对圆锥曲线的理解。

2.3.2双曲线的性质 第二章 圆锥曲线 学习目标 教学重点：掌握双曲线的几何性质，能结合标准方程分析性质并应用。 教学难点：渐近线的几何意义及推导逻辑，性质与方程的综合应用。 理解双曲线核心几何性质，明确性质与标准方程的内在联系； 运用性质解决图像分析、参数求解及渐近线相关问题； 深化数形结合思想，提升几何与代数转化能力。 课程目标 学科素养 数学抽象：双曲线性质提炼与规律总结； 逻辑推理：性质推导及渐近线形成分析； 数学运算：基于方程性质计算与参数求解； 直观想象：双性质及渐近线几何直观感知； 数学建模：利用性质解决实际情境中的图形问题。 新知引入 椭圆 双曲线 定 义 方 程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦 点 a, b, c 的关系 F1(－c, 0), F2(c, 0) a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大 a>b>0, a2=b2+c2 中最大 ||MF1|－|MF2||=2a (a<c) |MF1|+|MF2|=2a (a>c) F1(0, －c), F2(0, c) F1(－c, 0), F2(c, 0) F1(0, －c), F2(0, c) 新知探究 问题1：类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线 ① 的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 范围、对称性、顶点、离心率 范围、对称性、顶点、离心率 新知探究 探究1：类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线的具体边界（范围）是怎样的？ 双曲线上点的横坐标的范围是，或, 纵坐标的范围是 x y -a a O 追问：你可以从代数角度给予说明吗？ 由方程，可知 ∴，或. 说明双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域. 新知探究 探究2：类比椭圆的对称性，观察双曲线的图像，双曲线有怎样的对称性？ x y -a a O 双曲线关于轴、轴、原点都对称 追问：如何利用方程说明双曲线的对称性？ 设是双曲线上的任一点 则关于轴的对称点为 结合双曲线方程可知，在椭圆上 ∴双曲线关于轴对称，同理可得双曲线关于轴、原点对称 坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心. 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. 新知探究 探究3：类比求椭圆顶点的方法，双曲线的顶点是什么？ 令，得 与轴有两交点 令，得 与轴无交点，， 顶点： 实轴： 线段，它的长等于叫做双曲线的实半轴长. 虚轴：线段，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长. 新知探究 探究3：与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比称为双曲线的离心率，因为，试探究双曲线的离心率与椭圆的离心率的范围有什么不同？ ∵∴. 追问：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征? 新知探究 追问：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征? 双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小．离心率越大“张口”越大。 新知探究 辨析1：求出的实轴和虚轴的长、顶点和焦点的坐标，并试画出图像。 解：，，所以， 实轴长：；虚轴长：； 顶点：；焦点坐标 仅靠目前性质无法得出较精确的图像 追问：在函数时，我们是如何得到图像的？据此，你有什么启发吗？ ，即 当， 当时，的变化趋势与息息相关 新知探究 探究4：利用信息技术画出双曲线和两条直线.在双曲线的右支上取一点，测量点的横坐标以及它到直线的距离.沿曲线向右上方拖动点，观察与的大小关系，你发现了什么？ 新知探究 新知探究 一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线【即】逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交. 新知探究 特别的，在双曲线方程中，实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. 问题2：你能知道等轴双曲线有什么性质吗？ 方程变为，此时双曲线实轴和虚轴长都等于. 这时，四条直线，围成正方形， 渐近线方程：，互相垂直， 且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角. y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • 新知探究 方程 图像 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率 关于轴、轴、原点对称 ，或 练习巩固 辨析2：判断正误. (1)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔.( ) (2)以为渐近线的双曲线有2条.( ) (3)双曲线的离心率(其中).( ) 【答案】√，×,×. 辨析3：双曲线的离心率，则_________. 【答案】. 典例精讲 例4：求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程。 解：把给定的双曲线的方程化为标准方程 因此实半轴的长，虚半轴的长.于是 从而双曲线的两个顶点的坐标分别是 两个焦点的坐标分别是、，离心率为， 两条渐近线的方程是和 练习巩固 练习1：求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 解：把原方程化为标准方程为， 由此可知，实半轴长虚半轴长 两个焦点坐标为，离心率. 顶点坐标为，. 所以渐近线的方程为 练习巩固 变式1-1：在平面直角坐标系中，若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程是_________. 【答案】. 变式1-2：若双曲线 的一个焦点是（0，3），则该双曲线的顶点坐标为__________，离心率是_____________。 【答案】. 练习巩固 练习2：求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点在轴上，虚轴长为8，离心率为； (2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分； (3)焦点在轴上，离心率为，且过点. 解：(1)设双曲线方程为， 则， 从而，，代入，得， 故双曲线的标准方程为. 练习巩固 练习2：求适合下列条件的双曲线的标准方程. (2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分； (3)焦点在轴上，离心率为，且过点. 解：(2)由两顶点间的距离是得，即. 由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得，即， 于是有. 由于焦点所在的坐标轴不确定， 故所求双曲线的标准方程为或. 练习巩固 练习2：求适合下列条件的双曲线的标准方程. (3)焦点在轴上，离心率为，且过点. 解：(3)[法一]∵，∴，.又焦点在轴上， 故可设双曲线的标准方程为. 把点的坐标代入方程得，解得. 故所求双曲线的标准方程为. [法二]由离心率知所求双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为，把点的坐标代入方程得，故所求双曲线的标准方程为. 练习巩固 变式2：求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)以直线为渐近线，过点； (2)与双曲线具有相同的渐近线，且过点； (3)过点，与双曲线的离心率相等。 解：(1)设双曲线方程为，将点代入方程解得. 因此所求双曲线的标准方程为. (2)：设双曲线方程为.将点在双曲线上得 因此所求双曲线的标准方程为. 练习巩固 变式2：求适合下列条件的双曲线的标准方程. (3)过点，与双曲线的离心率相等。 解：(3)当所求双曲线的焦点在轴上时，可设其方程为， 将点代入方程解得，故所求双曲线的标准方程为 当所求双曲线的焦点在轴上时，可设其方程为， 将点代入方程解得(舍去). 综上可知，所求双曲线的标准方程为. 练习巩固 练习3：渐近线方程为的双曲线的离心率是（ ）. A. B. C. D. 【答案】. 变式3：已知为双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为( ). A. B. C. D. 【答案】. 小结 方程 图像 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率 关于轴、轴、原点对称 ，或 感谢聆听 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事非。 ——华罗庚 Lavf58.76.100 $