7.2.4诱导公式（一）（教学课件，含交互动画）高一数学人教B版必修第三册

该高中数学课件聚焦诱导公式（一），涵盖终边相同角、-α、π-α、π+α的三角函数关系。课堂导入从初中锐角三角函数实例出发，通过“用sin26°表示sin386°等”问题，搭建新旧知识桥梁，引导学生从已知探索未知。 其亮点在于结合单位圆几何对称性推导公式，体现数学抽象与几何直观，动态演示助学生直观理解。例题训练从求值到化简层层递进，培养推理能力，“去负角、缩角、化锐角”三步骤总结结构化知识，既提升学生数学思维，也为教师提供高效教学资源。

第4课时 诱导公式（一） 7.2 任意角的三角函数 第七章 三角函数 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握公式①(终边相同角)、②(角 与)、③ (角与)、④(角 与)的推导过程与含义. 能初步应用诱导公式进行简单的三角函数求值、化简与证明 经历从单位圆的几何对称性到三角函数值代数关系的抽象过程，提升数学抽象和几何直观能力. 新课导入 在初中，我们已经知道一些锐角的三角函数值及它们之间的一些关系 例如： 30° ① 60° ③ 45° ② 如果已知 ，你能用 表示出 , , , , 吗？ 新知探究 探究一：角 与 的三角函数值之间的关系 尝试与发现 对于任意一个角 来说， 与 的终边有什么关系？由此你能得到它们的正弦、余弦、正切之间的关系吗？ （1）终边相同的角，对应三角函数值相等 （2）由于 与 的终边相同，所以当 为整数时，有 余弦, 正切. 正弦, 知识小结 诱导公式① , . , 诱导公式① 主要用途：把绝对值大于 的任意角的三角函数值问题转化为 角的同名三角函数值问题 例如， 例题讲解 【分析】利用诱导公式①化简角度为间的角，再结合特殊角的三角函数值求解. 例1 求下列各值. (1) ; (2) ; (3) . 解 (1) . (2) . (3) . 即时训练 1.求下列各式的值． (1) ； (2)； 【分析】利用诱导公式①结合特殊角的三角函数即可得到答案. 【详解】（1） （2） 新知探究 探究二：角的旋转对称 如图, 假设角 的终边是 ，射线 和 关于 对称. 射线 射线 角 的终边 角 的终边 射线 和 关于 对称 角 的终边和角 的终边关于角 的终边所在的直线对称 一般地, 角 的终边和角 的终边关于角 的终边所在的直线对称. 新知探究 下面我们看看一些对称的例子. ② 和 的终边关于角 的终边(即 轴)对称; ③ 和 的终边关于角 的终边(即直线 ) 对称. 点击图标查看动态演示 ① 和 的终边关于角 (即 轴) 的终边对称; 新知探究 如图，已知与的终边关于角0的终边所在的直线对称.由此你能得到它们的正弦、余弦、正切之间的关系吗？ 探究三：角与的三角函数值之间的关系 设和的终边与单位圆分别交于P和，则 由图可知： ①正弦 ②余弦 ③正切 知识小结 诱导公式② 诱导公式② 主要用途：我们可以用正角的三角函数值表示负角的三角函数值 例如， 点击图标查看动态演示 例2 例题讲解 求下列各个式： （ 【分析】利用诱导公式②用正角表示负角，若是大于的，再利用诱导公式①进行化简即可. 即时训练 2.求下列各式的值． (1)． (2)； 【分析】利用诱导公式①、②结合特殊角的三角函数即可得到答案. 【详解】（1） （2）. 新知探究 探究四：角与的三角函数值之间的关系 如图，对于任意一个角来说，与的终边有什么关系？由此你能得到它们的正弦、余弦、正切之间的关系吗？ 由图可知和的终边与单位圆分别交于和 则 . 又由和的终边关于角的终边所在的直线对称可知： 正弦： 余弦： 正切： 新知探究 你能利用以上公式结合公式②证明与的关系吗？ 证明 如图，对于任意一个角来说，与的终边有什么关系？ 由此可得： 余弦 正切 正弦 知识小结 诱导公式③、④ 诱导公式③ 例如， 诱导公式④ 点击图标查看动态演示 例题讲解 例3 求下列各值. 【分析】大于的先用诱导公式①，在0~的使用诱导公式③ 例题讲解 例4 求下列各值. 【分析】利用诱导公式④，将180°~360°之间的角表示为180°以内的角. 例题讲解 例5 化简 解：原式= = 【分析】先利用诱导公式①，将以上的角化简，再利用②、③、④进行化简. 巩固提升 1. ） C 【分析】A.,错误； B.,错误； C.正确； D .,错误. 巩固提升 2 . 已知 , 求下列各式的值： （1）【分析】根据诱导公式① 解 （2） （3） 巩固提升 3.已 知 α 是 第 象限 角 sinα= 求 : 解：（1） （2） （3） 【分析是第二象限角, , 则 巩固提升 4.已化简下列各式 (1) （1） （2） 提分笔记 诱导公式的 “三步走”： 第一步：去负角 第二步：缩角到 第三步：化锐角 【分析】综合利用诱导公式进行化简 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 一般角的对称性演示 角 α ± θ 的对称关系 拖拽 OA 改变对称轴 α 拖拽 OB 改变张角 θ ▶ 旋转对称轴 α ▶ 改变张角 θ 重置 角度参数 对称轴角 α 45° 张角 θ 30° 对称性结论 射线 OB 对应角 α + θ = 75° 射线 OC 对应角 α - θ = 15° 几何意义： 角 α+θ 与角 α-θ 的终边关于角 α 的终边（射线 OA）对称。 (α+θ) + (α-θ) = 2α 3. 角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系 ▶ 播放演示 分步详解 α = 30° -α = -30° 拖拽改变角度 α 0° 90° 180° 270° 360° 💡 尝试与发现 对于任意一个角 α 来说，α 与 -α 的终边有什么关系？由此你能得到它们的正弦、余弦、正切之间的关系吗？ 几何解析 如图所示，设 α 和 -α 的终边与单位圆分别交于 P 和 P'，则 P(cos α, sin α) P'(cos(-α), sin(-α)) 又由 α 和 -α 的终边关于角 0 的终边（即 x 轴的正半轴）所在的直线对称可知，P 和 P' 关于 x 轴对称，因此 结论 sin(-α) = -sin α cos(-α) = cos α tan(-α) = -tan α 4. 角 α 与 π ± α 的三角函数值之间的关系 ▶ 演示动画 重置 当前状态 α = 30° P(x, y) = (0.87, 0.50) 旋转角 α 360° 展示 π - α (关于y轴对称) 展示 π + α (关于原点对称) 尝试与发现 对于任意一个角 α 来说，α 与 π - α 的终边有什么关系？由此你能得到它们的正弦、余弦、正切之间的关系吗？ 如图所示，设 α 和 π - α 的终边与单位圆分别交于 P 和 P'，则 P(cos α, sin α), P'(cos(π - α), sin(π - α)). 又由 α 和 π - α 的终边关于角 π/2 的终边所在的直线对称可知，P 和 P' 关于 y 轴对称，因此 sin(π - α) = sin α cos(π - α) = －cos α tan(π - α) = －tan α * 注：同理可证 π + α 的情况（关于原点对称）。 课堂小结：诱导公式①~④ 人教B版 必修三 目录导航 01 知识点回顾 02 易错点警示 03 解题技巧 核心公式梳理 点击蓝色色块查看隐藏内容 公式一：终边相同 周期性 sin(2kπ + α) = sinα cos(2kπ + α) = cosα tan(2kπ + α) = tanα 其中 k ∈ Z。表明三角函数值每隔 2π 重复出现。 公式二：关于原点对称 补角关系 sin(π + α) = -sinα cos(π + α) = -cosα tan(π + α) = tanα 角 π + α 与角 α 的终边关于原点对称。 公式三：关于x轴对称 负角关系 sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan(-α) = -tanα 角 -α 与角 α 的终边关于 x 轴对称。 公式四：关于y轴对称 邻补角关系 sin(π - α) = sinα cos(π - α) = -cosα tan(π - α) = -tanα 角 π - α 与角 α 的终边关于 y 轴对称。 💡 记忆口诀 函数名不变，符号看象限 （将 α 看作锐角时，原角所在象限的三角函数符号） 易错点警示 避开这些常见的逻辑陷阱 ⚠️ 符号判断错误 在使用公式时，容易忽略“符号看象限”这一原则。必须先判断 kπ ± α 所在象限（假设 α 为锐角），再决定结果的符号。 错误示例： cos(π - α) = cosα 正确示例： cos(π - α) = -cosα (第二象限余弦为负) ⚠️ 角度制的混用 公式中的 2kπ, π 均基于弧度制。如果题目给的是角度制（如 180°），需要保持一致，不要混用。 sin(180° - α) = sinα (正确) sin(π - α) = sinα (正确) 解题技巧与模型 化繁为简的通用策略 技巧一：“负化正，大化小” 处理任意角的三角函数求值问题时，遵循以下步骤： 第一步 利用公式三 将负角转化为正角 → 第二步 利用公式一 将大角转化为 0~2π 之间的角 → 第三步 利用公式二/四 将钝角转化为锐角 技巧二：化简求值模型 在化简复杂的三角函数式时，注意观察角之间的关系。 互补关系：若 α + β = π，则 β = π - α，可用公式二。 互余关系：若 α + β = π/2，则涉及公式五/六（下节课内容）。 周期关系：若 α - β = 2kπ，则函数值相等。 $