2.3.1双曲线的标准方程（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

2.3.1双曲线的 标准方程 第二章 圆锥曲线 学习目标 教学重点：理解双曲线的定义，掌握双曲线标准方程，能求双曲线标准方程。 教学难点：标准方程推导化简逻辑，焦点位置与方程形式的精准对应。 理解双曲线定义及核心特征，明确标准方程形式； 掌握双曲线标准方程推导，能运用方程解决计算问题； 体会数形结合思想，提升几何与代数转化能力。 课程目标 学科素养 数学抽象：双曲线定义与标准方程概念； 逻辑推理：标准方程推导严谨性及定义条件分析； 数学运算：标准方程求解及参数计算； 直观想象：几何特征与标准方程的关联； 数学建模：实际情境中双曲线模型构建与方程应用。 新知引入 定义 图形 方程 焦点 之间的关系 (c,0)、(c,0) (0,c)、(0,c) a2=b2+c2 分母哪个大，焦点就在哪一根坐标轴上 平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆 新知探究 思考1：我们知道，平面内与两个定点，的距离的和等于常数(大于;)的点的轨迹是椭圆。如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？ 常数 新知探究 一般地，我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. M F1 F2 点与两个定点距离的差的绝对值是个常数(). 这时，点的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支. 新知探究 思考2：（1）如果定义中去掉“绝对值”三个字会有什么影响？ （2）定义中为什么强调距离差的绝对值为非零常数？ （3）若把定义中“非零常数”（小于）变为下列情况，轨迹是什么？① ；② 如果不加绝对值，那得到的轨迹只是双曲线的一支. 如果等于，点的轨迹是线段的垂直平分线 ① ：两条射线 F1 F2 ② ：不表示任何轨迹 新知探究 探究2：类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？ M F1 F2 O y x ①建系 如图，取过焦点F1、 F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． ②设点 设是双曲线上任意一点，双曲线的 焦距为，那么，焦点的坐标分别是). ③限制条件 (为大于的常数，). 新知探究 ④列式 由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合： 因为, 所以 ① 类比椭圆标准方程，化简①，得 两边同时除以，得 由双曲线定义知，，即，所以. 类比椭圆标准方程的建立过程，令，其中， 代入上式，得.② M F1 F2 x 新知探究 我们称方程是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在轴上，焦点分别是，的双曲线，这里. M F1 F2 O y x 问：你能在轴上找一点，使得； 在轴上找一点，使得吗? 新知探究 思考3：类比焦点在轴上的椭圆标准方程，焦点在轴上的双曲线的把标准方程是什么？ O F2 F1 y x M 双曲线的焦距为，焦点，的坐标分别是，，的意义同上，这时双曲线的方程是，这个方程也是双曲线的标准方程. ， 哪个系数为正，焦点就在哪一个轴上——焦点跟着正项走 新知探究 标准方程 相 同 点 焦点位置的判断 不 同 点 图 形 焦点坐标 定 义 的关系 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹 x F1 F2 y O M(x,y) x y O M(x,y) F1 F2 焦点在轴的双曲线项系数为正. 焦点在轴的椭圆项系数为正. 新知探究 椭圆 双曲线 定 义 方 程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦 点 a, b, c 的关系 F1(－c, 0), F2(c, 0) a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大 a>b>0, a2=b2+c2 中最大 ||MF1|－|MF2||=2a (a<c) |MF1|+|MF2|=2a (a>c) F1(0, －c), F2(0, c) F1(－c, 0), F2(c, 0) F1(0, －c), F2(0, c) 练习巩固 辨析1：判断正误. (1)在双曲线标准方程中，，，且.( ) (2)方程表示焦点在轴上的双曲线.( ) (3)方程表示双曲线.( ) 【答案】×,×，√. 辨析2：若动点到点，的距离之差的绝对值为，则点的轨迹是( ). A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 【答案】. 练习巩固 辨析3：已知双曲线的，，则该双曲线的标准方程为( ). A. B. C. 或 D.或 【答案】. 辨析4：设是双曲线上一点，，分别是双曲线左、右两个焦点，若，则_____________. 【答案】或17. 典例精讲 例1：求已知双曲线的焦距是，双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值等于.写出双曲线的标准方程和焦点的坐标． 解：因为，，即，，所以 于是，焦点在轴上的双曲线的标准方程是， 它的两个焦点的坐标是和 焦点在轴上的双曲线的标准方程是， 它的两个焦点的坐标是和 练习巩固 练习1：根据下列条件求双曲线的标准方程. (1)求以椭圆的短轴的两端点为焦点，且过点的双曲线标准方程； (2)已知双曲线通过，两点，求双曲线的标准方程 解：(1)法一.(待定系数法) 由题意知双曲线的两焦点，. 设双曲线的标准方程为， 将点代入双曲线方程得，又，解得，. 所以双曲线的标准方程为. 练习巩固 练习1：根据下列条件求双曲线的标准方程. (1)求以椭圆的短轴的两端点为焦点，且过点的双曲线标准方程； 解：(1)法二.(定义法) 由题意知双曲线的两焦点，.且点在双曲线上， 则 ∴∴. 即双曲线的标准方程为. 练习巩固 练习1：根据下列条件求双曲线的标准方程. (2)已知双曲线通过，两点，求双曲线的标准方程 解：(2)法一.若焦点在轴上，设双曲线的标准方程为 ∵在双曲线上， ∴解得 若焦点在轴上，设双曲线的标准方程为 同理有解得(不符题意，舍去) 综上，双曲线的标准方程为 练习巩固 练习1：根据下列条件求双曲线的标准方程. (2)已知双曲线通过，两点，求双曲线的标准方程 解：(2)法二.设所求双曲线的方程为 将点代入上述方程，得 ∴解得 所以所求双曲线的标准方程为 典例精讲 例2：已知点到点的距离减去它到点的距离之差是，分别求下列条件下点的轨迹方程： （1）； （2） 解：（1）依题意，，而， 所以点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，且， 因为，所以点的轨迹方程为 （2）当时，，此时点的轨迹是以为端点在轴上向正方向的射线，轨迹方程为 典例精讲 例3：在相距的两个观察站先后听到远处传来的爆炸声，已知站听到的时间比站早，声速是．建立适当的平面直角坐标系，判断爆炸点可能分布在 什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程． 解：设爆炸点为，由题意知 又 所以点分布在以为焦点的双曲线且靠近处的一支上。 如图，以的中点为原点，方向为轴正方向，且以为单位，建立平面直角坐标系 由，，得 所以，点所在的轨迹的方程为 练习巩固 练习2：如图，点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是，试求点的轨迹方程. 解：设则，. 由题意知，即 化简整理，得 因此，点的轨迹是焦点在轴上的双曲线(除两点外). 新知探究 思考4：通过上题，结合椭圆及圆有关知识，你能总结出什么规律吗？ 规律总结：若一个动点与两个定点连线的斜率之积为一个常数. 则当时，轨迹为双曲线(除，两点外)，方程为； 当时，轨迹为椭圆(除，两点外)，方程为； 当时，轨迹为圆(除两点外)，方程为. 练习巩固 变式2-1：在中，已知，且三个内角满足，建立适当的坐标系，求顶点的轨迹方程. 解：以边所在的直线为轴，的垂直平分线为轴， 建立平面直角坐标系，如图所示，则，. 由正弦定理，得，(为的外接圆半径). ∵， ∴，即，从而有. 由双曲线的定义知，点的轨迹为双曲线的右支(除去与轴的交点) ∵，，∴ 即所求轨迹方程为. 练习巩固 变式2-2：已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程. 解：如图所示，设动圆与圆及圆分别外切于点和， 根据两圆外切的条件，得，. ∵，∴ 这表明动点与两定点的距离的差为常数，且. 根据双曲线的定义，动点的轨迹为双曲线的左支， 则，∴. 因此所求动点的轨迹方程为. 小结 椭圆 双曲线 定 义 方 程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦 点 a, b, c 的关系 F1(－c, 0), F2(c, 0) a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大 a>b>0, a2=b2+c2 中最大 ||MF1|－|MF2||=2a (a<c) |MF1|+|MF2|=2a (a>c) F1(0, －c), F2(0, c) F1(－c, 0), F2(c, 0) F1(0, －c), F2(0, c) 感谢聆听 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事非。 ——华罗庚 $