精品解析：天津市河北区2025-2026学年 上学期九年级 期末数学试卷（1月）

河北区2025-2026学年度第一学期期末九年级学业水平质量调查 数学 本试卷满分120分，考试时间100分钟，答案写在答题纸上． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列国产汽车品牌标志中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】A.是中心对称图形，故该选项符合题意； B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有一个实根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况． 【详解】解：∵ 方程 中， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 4. 把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线平移的规律，左加右减自变量，上加下减常数项进行整理即可． 【详解】解：图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 得， 故选：C． 【点睛】本题主要考查抛物线的平移规律，熟练地掌握图象的平移规律是解决问题的关键． 5. 若m，n是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合，是一种经常使用的解题方法．根据根与系数的关系，可得出，，再代入即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴， ∴． 故选：C． 6. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象点的坐标特征，根据函数解析式求出三个点的横坐标是求解本题的关键．根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴， 故选：D． 7. 将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，圆心角的计算，掌握弧长公式的计算方法是解题的关键． 根据弧长公式（是弧长，是圆心角度数，是扇形半径）得到，由此即可求解． 【详解】解：扇形的半径为，弧长为，弧长公式（是弧长，是圆心角度数，是扇形半径）， ∴， 故选：D ． 8. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”题意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，高出水面部分为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的（如图），则水深和芦苇长各多少尺？若设这根芦苇的长度为x尺，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，用勾股定理求解即可． 【详解】解：设这根芦苇的长度为x尺， 由题意得：尺，尺， ∵水面是一个边长为10尺的正方形，芦苇在水池的正中央， ∴尺， ∴在中，由勾股定理得：， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理得应用，熟记公式是解题关键． 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，判断出系数的符号，再利用数形结合的思想解答．根据二次函数的图象可以得到a、b的正负情况，从而可以得到一次函数的图象，本题得以解决． 【详解】解：由二次函数的图象可得，，， ∴∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：C． 10. 如图，是的弦，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于圆外一点，连接，交于点，连接．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的画法，垂径定理，圆周角定理，由作图可知垂直平分，即得，即可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选：． 11. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，，则下列结论一定正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理．设，利用旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理逐一判断即可． 【详解】解：设， ∵，由旋转的性质得，，， ∴， 故选项A不成立，不符合题意； ∴，， ∴， 故选项C成立，符合题意； ∵， ∴，故选项B不成立，不符合题意； ∵，且， ∴与不一定垂直，故选项D不成立，不符合题意； 故选：C． 12. 某服装店试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论： ①销售单价可以是60元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为1250元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为900元． 其中，正确结论的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，根据试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的列出不等式组求出x的取值范围即可判断①；设该服装店销售这种服装可获得的利润为W元，根据总利润等于每件服装的利润乘以销售量列出W关于x的函数关系式，利用二次函数的性质可判断②和③． 【详解】解：∵试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的， ∴， ∴， ∴销售单价可以是60元，故①结论正确； 设该服装店销售这种服装可获得的利润为W元， 则 ， ∵，且对称轴为直线 ∴当时，W随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，W有最大值，最大值为， ∴该服装店销售这种服装可获得的最大利润为1050元，故②结论错误； 由②可知，当时，W随x的增大而增大， 当时，， ∴当时，， ∴当成立时，有且只有一个x的值满足题意，故③结论错误； ∴正确的只有①， 故选：B． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 13. 不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球概率为______． 【答案】##0.3 【解析】 【分析】本题考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键．用绿球的个数除以球的总数即可． 【详解】解：∵不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别， ∴从袋子中随机取出1个球， 它是绿球的概率为， 故答案为：． 14. 二次函数的对称轴是___________． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的对称轴，将二次函数化为一般形式，利用对称轴公式求解． 【详解】解：∵ ∴对称轴为直线． 故答案为：直线． 15. 圆内接正六边形的边心距为2，则这个正六边形的面积为_____cm2． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：因为圆内接正六边形的两条半径与正六边形边长组成等边三角形，由边心距可求得正六边形的边长是，把正六边形分成6个这样的三角形，则这个正六边形的面积为4×÷2×6=． 考点：圆内接正多边形面积计算． 16. 如图，是的直径，弦于点E，若，连结，则的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．先利用垂径定理得出的长，设的半径为r，则，在中，利用勾股定理求出r的值，据此得出结论． 【详解】解： 是的直径，弦于点E，， ， 设的半径为r，则， 在中，，即， 解得， 故答案为：5 17. 在矩形中，，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，连接，． （I）线段的长为___________； （Ⅱ）点O，分别是，的中点，连接，则线段的长为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由矩形的性质和勾股定理求解即可； （2）连接，由旋转的性质可得，；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再证明，由勾股定理可得． 【详解】解：（I）∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：； （Ⅱ）如图所示，连接， 由旋转的性质可得，； ∵点O，分别是，的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B在格点上，在中，，点A在圆上，边切圆于点D，点E是圆与格线的交点． （I）线段的长为___________； （II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在上画出点P，使得，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）___________． 【答案】 ①. ②. 取圆与格线的交点F，连接，取格点G，连接交圆于点H，设与圆交于点K，连接交于点O，设与圆交于点N，连接并延长交圆于点P，则点P即为所求 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）取圆与格线的交点F，连接，取格点G，连接交圆于点H，设与圆交于点K，连接交于点O，设与圆交于点N，连接并延长交圆于点P，则点P即为所求；根据网格的特点可得，则是圆的直径，则点O为圆心；由切线的性质推出，则，则，由，，可得，则． 【详解】解：（I）由网格的特点和勾股定理可得， 故答案为：； （II）如图所示，取圆与格线的交点F，连接，取格点G，连接交圆于点H，设与圆交于点K，连接交于点O，设与圆交于点N，连接并延长交圆于点P，则点P即为所求； 故答案为：取圆与格线的交点F，连接，取格点G，连接交圆于点H，设与圆交于点K，连接交于点O，设与圆交于点N，连接并延长交圆于点P，则点P即为所求． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，90度的圆周角所对的弦是直径，勾股定理等，确定出圆心的位置是解题的关键． 三、解答题：本大题共7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解下列方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用公式法解方程即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 解得． 20. 已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1），；（2）或． 【解析】 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值，从而得到反比例函数的解析式，然后将点B的坐标代入可求得n的值，接下来，利用待定系数法求得直线AB的解析式即可； （2）不等式的解集为直线y=kx+b位于反比例函数上方部分时，自变量x的取值范围． 【详解】解：（1）点在反比例函数的图象上， ． ， 反比例函数的表达式为， 点在反比例函数的图象上， ， ， 点坐标为． 点和点在一次函数图象上， ， 解得， 一次函数表达式为， (2)点坐标为，点坐标为， 不等式解释函数的图像在函数图像的上方， ∵满足条件的图像部分是在B点右侧,y轴左侧或A点右侧， 不等式的解集为或． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数与一次函数的综合应用，会利用待定系数法求解析式，利用数形结合思想解不等式是解题关键． 21. 如图，是的直径，点是上一点，连接，，． （1）如图①，已知，当时，求和的度数． （2）如图②，为切线，交于点G，已知，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理即可求出，由，得到，根据相等的弧所对的圆周角相等，求出， 即可求出； （2）过圆心作，交于点，根据垂直的定义，得到，证得四边形为矩形，从而可知，，由勾股定理可求得，根据垂径定理可知，即可求解的长． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过圆心作，交于点， ∴， ∵为切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴中，由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、矩形的性质和判定等知识，掌握切线的性质、垂径定理、矩形的性质和判定是解决本题的关键． 22. 某校数学兴趣小组开展综合与实践活动，要用测角仪测量某图书馆主楼的高度．他们设计的测量方案如下：如图所示，点C，D，F依次在同一条水平直线上，，且．在M处测得图书馆主楼顶部A的仰角为，在N处测得图书馆主楼顶部A的仰角为，，根据该兴趣小组测得的数据，计算图书馆主楼的高度（结果取整数）． 参考数据：． 【答案】24米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 延长，交于点E，可知四边形，是矩形，进而得出，再根据正切可得，，然后根据列出方程，求出解即可得出答案． 【详解】解：如图，延长，交于点E，可知， ∴四边形，是矩形， ∴． 在中，， ∴． 在中，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 所以主楼的高度是24米． 23. 如图，在中，，动点从点出发沿边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点出发沿边向点以的速度移动，规定其中一个动点到达终点，另一个也随之停止运动．如果点，分别从点，同时出发，设运动的时间为，当时，点，位置如图所示，回答下列问题： （1）填空：当时，___________，___________，___________，___________（用含有的代数式作答） （2）当时，为何值时，可使； （3）当为何值时，的面积为． 【答案】（1），，， （2）为，可使 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，相似三角形的判定，运用分类讨论思想是解题的关键； （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据，可得到，即可求解； （3）根据的面积为和运动情况，分类讨论：①当时，②当时，分别求出的值即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，当时，，，，， 故答案为：，，，； 【小问2详解】 解：当时，， ∵， ∴， 解得， ∴为，可使； 【小问3详解】 解：∵的面积为， ∴①当时，， ∵，， ∴，整理得， 解得，， ∵， ∴； ②当时，如图所示，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，整理得， 解得， ∵， ∴， 综上可知，当或时，的面积为． 24. 如图①，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形是菱形，已知，点C在y轴的负半轴上． （1）为__________度，点B的坐标为___________； （2）将菱形绕点A逆时针旋转，得到菱形，点B，C，O的对应点分别为D，E，F． ①如图②，当点F位于第一象限且轴时，求点E的坐标； ②作A点关于y轴的对称点，作直线，，交于点P，直线，的夹角（锐角）为___________度，线段的最小值为___________（请直接写出结果） 【答案】（1）60； （2）①；②60； 【解析】 【分析】（1）设与x轴交于点M，由菱形的性质可得，则可证明轴，根据点A的坐标解三角形可求出的度数和的长，再求出的长即可得到答案； （2）①过点F作于点H，由旋转性质可得，，，解直角三角形可得；证明轴，则可求出点F的坐标，进而可求出点E的坐标； ②连接，设交y轴于点G，可证明；由旋转的性质可得，，则；设，可证明，，则，在上取一点J，连接使得，可证明点P在以点J为圆心，的长为半径的圆上；连接，则当三点共线（点P在线段上）时，有最小值，最小值为的值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，设与x轴交于点M， ∵四边形是菱形， ∴， ∴轴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：①如图所示，过点F作于点H， ∵四边形是菱形， ∴， 由旋转的性质可得，，， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴点F的坐标为， ∴点E的坐标为，即； ②如图所示，连接，设交y轴于点G， 由轴对称的性质可得轴，且，， ∴， ∴， ∴； 由旋转的性质可得，， ∴； 设，则； ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线，的夹角（锐角）为； 如图所示，在上取一点J，连接使得， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点P在以点J为圆心，的长为半径的圆上； 在中，， ∴， ∴； 如图所示，连接， ∵， ∴当三点共线（点P在线段上）时，有最小值，最小值为的值， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，菱形的性质，轴对称的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，解直角三角形，确定点P的轨迹是解题的关键． 25. 已知抛物线，（，，常数，，），点为其顶点． （1）当，，时，求抛物线顶点的坐标； （2）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点，点位于第一象限内，，点为抛物线对称轴上一动点； ①当时，若点在抛物线上，求抛物线解析式； ②若点，，连接，若，的最小值为，求该抛物线顶点的坐标． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）把，，代入得抛物线解析式，化为顶点式即可得顶点的坐标； （2）①由点在抛物线上且，得，，因此抛物线解析式为，且，过点作轴于点，可证得，可得，代入得的值，进而得的值，即可得抛物线解析式；②过点作轴于点，作轴于点，结合得四边形是矩形，可得，，利用对称性得当的最小时，在等腰中，得，在中，，得， 由①得，，进而得，，由四边形内角和结合可得，得，进而得，代入点、、求得抛物线的解析式，化为顶点式即可得顶点的坐标． 【小问1详解】 解：把，，代入抛物线，得 ， 化为顶点式得， ∴抛物线顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：①∵点在抛物线上且， ∴，即，， ∴抛物线解析式为， ∵点为抛物线与轴的交点，， ∴， ∴， 如图，点位于第一象限，过点作轴于点， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 把代入得 ， 解得， ∴， ∴抛物线解析式为； ②如图，点位于第一象限，过点作轴于点，作轴于点， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点和点为抛物线与轴的两个交点，的最小值为， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 中， ， ∴， 由①得，， ∴，， ∴， ∵四边形中，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 把，，，代入得 ， 解得， ∴抛物线解析式为， 化为顶点式得， ∴该抛物线顶点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称最短路径问题、等腰直角三角形的性质，利用轴对称求最短路径和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北区2025-2026学年度第一学期期末九年级学业水平质量调查 数学 本试卷满分120分，考试时间100分钟，答案写在答题纸上． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列国产汽车品牌标志中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有一个实根 C. 有两个相等实数根 D. 有两个不相等的实数根 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ） A B. C. D. 5. 若m，n是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 6 6. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 7. 将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角大小为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”题意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，高出水面部分为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的（如图），则水深和芦苇长各多少尺？若设这根芦苇的长度为x尺，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的弦，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于圆外一点，连接，交于点，连接．若，则的度数是（　　） A B. C. D. 11. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，，则下列结论一定正确的是（     ） A. B. C. D. 12. 某服装店试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论： ①销售单价可以是60元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为1250元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为900元． 其中，正确结论的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 13. 不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为______． 14. 二次函数的对称轴是___________． 15. 圆内接正六边形的边心距为2，则这个正六边形的面积为_____cm2． 16. 如图，是的直径，弦于点E，若，连结，则的长为_____． 17. 在矩形中，，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，连接，． （I）线段的长为___________； （Ⅱ）点O，分别是，的中点，连接，则线段的长为___________． 18. 如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B在格点上，在中，，点A在圆上，边切圆于点D，点E是圆与格线的交点． （I）线段的长为___________； （II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在上画出点P，使得，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）___________． 三、解答题：本大题共7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解下列方程：． 20. 已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)结合图象直接写出不等式的解集． 21. 如图，是的直径，点是上一点，连接，，． （1）如图①，已知，当时，求和的度数． （2）如图②，为切线，交于点G，已知，求的长． 22. 某校数学兴趣小组开展综合与实践活动，要用测角仪测量某图书馆主楼的高度．他们设计的测量方案如下：如图所示，点C，D，F依次在同一条水平直线上，，且．在M处测得图书馆主楼顶部A的仰角为，在N处测得图书馆主楼顶部A的仰角为，，根据该兴趣小组测得的数据，计算图书馆主楼的高度（结果取整数）． 参考数据：． 23. 如图，在中，，动点从点出发沿边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点出发沿边向点以的速度移动，规定其中一个动点到达终点，另一个也随之停止运动．如果点，分别从点，同时出发，设运动的时间为，当时，点，位置如图所示，回答下列问题： （1）填空：当时，___________，___________，___________，___________（用含有的代数式作答） （2）当时，为何值时，可使； （3）当为何值时，的面积为． 24. 如图①，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形是菱形，已知，点C在y轴的负半轴上． （1）为__________度，点B的坐标为___________； （2）将菱形绕点A逆时针旋转，得到菱形，点B，C，O对应点分别为D，E，F． ①如图②，当点F位于第一象限且轴时，求点E的坐标； ②作A点关于y轴的对称点，作直线，，交于点P，直线，的夹角（锐角）为___________度，线段的最小值为___________（请直接写出结果） 25. 已知抛物线，（，，为常数，，），点为其顶点． （1）当，，时，求抛物线顶点的坐标； （2）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点，点位于第一象限内，，点为抛物线对称轴上一动点； ①当时，若点在抛物线上，求抛物线的解析式； ②若点，，连接，若，的最小值为，求该抛物线顶点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $