第03讲 平行四边形（知识详解+9典例分析+习题巩固）2025-2026学年苏科版八年级数学下册同步讲义与测试

第03讲 平行四边形（知识详解+9典例分析+习题巩固） 【知识点01】平行四边形的概念 1.平行四边形的定义及表示 定义 图示 表示方法 注意事项 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 左图中的四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，记作“▱𝐴𝐵𝐶𝐷 ”，读作“平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 ”. 1. 表示平行四边形时一定要按顺（或逆）时针依次书写各顶点字母； 2. “▱ ”后要紧跟表示四个顶点的字母，不能单独使用. 2.平行四边形的基本元素 基本元素 图示 边 𝐴𝐵与𝐷𝐶，𝐴𝐷与𝐵𝐶互为对边；𝐴𝐷和𝐴𝐵 ，𝐴𝐷和𝐷𝐶，𝐷𝐶和𝐵𝐶，𝐵𝐶和𝐴𝐵 互为邻边. 角 ∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐷𝐴𝐵与∠𝐵𝐶𝐷 互为对角；∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐷𝐴𝐵，∠𝐷𝐴𝐵与∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐴𝐷𝐶 与∠𝐵𝐶𝐷，∠𝐵𝐶𝐷与∠𝐴𝐵𝐶 互为邻角. 对角线 线段𝐴𝐶和𝐵𝐷 . 【知识点02】平行四边形的性质 性质 符号语言 图示 边 平行四边形的对边相等. ∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，∴𝐴𝐷=𝐵𝐶 ,𝐴𝐵=𝐶𝐷 . 角 平行四边形的对角相等. ∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，∴∠𝐴=∠𝐶 ,∠𝐵=∠𝐷 . 对角线 平行四边形的对角线相平分. ∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，∴𝑂𝐴=𝑂𝐶=𝐴𝐶,𝑂𝐵=𝑂𝐷=𝐵𝐷 . 对称性 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心. 𝐴𝐶与𝐵𝐷的交点𝑂 是▱𝐴𝐵𝐶𝐷 的对称中心. 【知识点03】平行四边形的判定方法 判定平行四边形可以从边和对角线两个方面进行考虑,具体如下表所示. 判定方法 符号语言 图示 边 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义法） ∵𝐴𝐷//𝐵𝐶,𝐴𝐵//𝐶𝐷 ,∴ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形. （2）判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵𝐴𝐷=𝐵𝐶,𝐴𝐵=𝐶𝐷 ,∴ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形. （3）判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵𝐴𝐵//𝐷𝐶,𝐴𝐵=𝐷𝐶 ，∴ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形. 对角线 （4）判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∵𝑂𝐴=𝑂𝐶,𝑂𝐵=𝑂𝐷 ,∴ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形. 【题型一】数图形中平行四边形的个数 例1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，分别是各边中点，则图中的平行四边形共有（   ） A．8个 B．9个 C．7个 D．5个 【答案】B 【知识点】数图形中平行四边形的个数 【分析】本题考查的平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． 根据平行四边形的判定与性质分析判断即可． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵在中，分别是各边中点， ∴， ∴图中的平行四边形共有：，，，，，，，，共9个平行四边形， 故选：B． 变式1．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有 个． 【答案】5 【知识点】数图形中平行四边形的个数 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据网格的特点和平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 根据网格的特点可得， 四边形，，，， 为平行四边形， 所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故答案为：5． 【题型二】利用平行四边形的性质求解 例2．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）▱中，：：：可以为（   ） A．：：： B．：：： C．：：： D．：：： 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】根据平行四边形对角相等可得答案． 此题主要考查了平行四边形的性质．其性质：平行四边形的两组对角分别相等． 【详解】解：平行四边形对角相等， 对角的比值应该相等， 其中A，B，C都不满足，只有D满足． 故选D． 变式1．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）在中，已知，且，则 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． 根据平行四边形的对边相等，代入已知数据，计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·江苏连云港·月考）如图，平行四边形的周长为，，相交于点，的周长比的周长小，求，的长． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】由四边形是平行四边形，即可得，然后由平行四边形的周长为的周长比的周长多，可得，继而可求得、的长． 此题考查了平行四边形的性质．注意掌握平行四边形对边相等与对角线互相平分的定理的应用，注意数形结合思想与方程思想的应用． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 的周长比的周长多， ， 即 平行四边形的周长为， 由得到：． 【题型三】利用平行四边形的性质证明 例3．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点，下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质判断即可，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵四边形是平行四边形， ∴与互相平分，不一定相等，原选项不一定成立，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴，原选项一定成立，符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴与互相平分，不一定垂直，原选项不一定成立，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴与不一定相等，原选项不一定成立，不符合题意； 故选：． 变式1．（22-23八年级下·江苏泰州·月考）如图，将平行四边形的一边延长至点E，若，则 ． 【答案】/60度 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】根据平行四边形的对角相等求出的度数，再根据平角等于，列式计算即可得解． 【详解】解：∵平行四边形中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 变式2．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）在▱中，点，分别在边和上，且．求证：． 【答案】见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】根据平行四边形的性质得到相关边和角的关系，再通过证明三角形全等，进而得出对应边相等，从而证明．本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的对边平行且相等这一性质，以及全等三角形“边角边”（）的判定定理是解题的关键．通过平行四边形的性质得到全等三角形所需的边和角的条件，进而证明线段相等． 【详解】解： ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∴． 【题型四】证明四边形是平行四边形 例4．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）若四边形的对角线互相平分，则四边形一定是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】A 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：四边形的对角线互相平分，则四边形一定是平行四边形 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，四边形的对角线相交于点O．如果，那么四边形是平行四边形．其判定的依据是 ． 【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形，是解题的关键．根据，得出对角线互相平分，从而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形． 【详解】解：∵， ∴，， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形． 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 变式2．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 已知： 求证： 证明： 【答案】见详解 【知识点】证明四边形是平行四边形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】理解题意，再根据图形写出已知、求证，然后根据平行四边形的定义证明即可．本题主要考查平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质等知识点，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键． 【详解】解：已知：如图，四边形中，． 求证：四边形是平行四边形． 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【题型五】判断能否构成平行四边形 例5．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】解：A、 根据题意，得， 故，不平行，不是平行四边形，不符合题意； B、根据题意，只有一组平行的对边，故不是平行四边形，不符合题意； C、根据题意，得一组对边平行且相等，故一定是平行四边形，符合题意； D、根据题意，只有一组对边相等，无法判定是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 变式1．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）在下列四个关系：①，②，③，④中，选出两个关系作为条件，可以推出四边形是平行四边形的条件可以是 ．（写出一种即可，填序号） 【答案】①③（答案不唯一） 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法两组对角相等的四边形是平行四边形． 【详解】解：四边形是平行四边形的条件可以是①③， 理由：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：①③（答案不唯一）． 变式2．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）在四边形ABCD中，有下列条件：①AB∥CD，②∠A＝∠C，③AD＝BC，④∠B＝∠D．从中选择两个条件能够使四边形ABCD成为平行四边形（不添加任何辅助线），请写出所有符合的组合：（用序号表示） (1)　 　； (2)选择其中一种组合进行证明． 【答案】(1)①②或①④或②④ (2)见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】（1）选择满足的条件即可； （2）根据平行四边形的判定分别对各个条件进行证明即可． 【详解】（1）解：满足①②或①④或②④时，四边形ABCD为平行四边形， 答案为：①②或①④或②④； （2）证明：如图， 满足①②时， ∵ABCD， ∴∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形； 满足①④时，同理得：四边形ABCD是平行四边形； 满足②④时， ∵∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【题型六】添一个条件成为平行四边形 例6．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故A符合题意； B、现有条件无法判断四边形是平行四边形，故不符合题意； C、当时，，与已知条件重复，不能判定平行四边形，故不符合题意； D、当，时，四边形为平行四边形或等腰梯形，故不符合题意； 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·江苏镇江·月考）如图，在四边形中，与相交于点，，添加条件 ，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法即可得出结论． 【详解】解：添加条件，可得四边形为平行四边形，理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 变式2．如图，在平行四边形中，点，是对角线上的两点，请添加一个不同于“”的条件，使四边形是平行四边形，并写出证明的过程． 【答案】添加的条件为：；证明见解析 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】添加的条件为：，证明，得到，即可得证． 【详解】添加的条件为：． 证明：∵ ∴ ∴ ∵四边形为平行四边形 ∴，， ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键． 【题型七】全等三角形拼平行四边形问题 例7．用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】全等三角形拼平行四边形问题 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．以三角尺的三边为对角线，分别拼成不同的平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有3个． 故选：C． 变式1．将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个． 【答案】3 【知识点】全等三角形拼平行四边形问题、判断能否构成平行四边形 【分析】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：如图所示， 将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形， 可以拼得不同形状的平行四边形的有：，，，共3个． 故答案为：3．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 变式2．如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】全等三角形拼平行四边形问题、证明四边形是平行四边形 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，证明是解题的关键． 由，得，而，，即可根据“”证明，得，则四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【题型八】利用平行四边形的判定与性质求解 例8．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质成为解题的关键． 如图，过点作于于，交于，由是平行四边形可得，；进而得到四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及三角形面积间的关系即可解答． 【详解】解：如图，过点作交于，交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，， ∵ ， ， ． 故选：B． 变式1．（22-23八年级下·江苏·周测）如图，的面积为4，点P在对角线上，E、F分别在上，且，，连接，图中阴影部分的面积为 ． 【答案】2 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定；先说明四边形是平行四边形，可得，再结合已知条件求出，则此题可解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵的面积是4， ∴， 故答案为：2． 变式2．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）（1）如图1，在的网格中，的三个顶点都在格点上，请在图1中画出一个以为边的，顶点，在格点上且满足； （2）如图2，中，于点，若于点，请用无刻度的直尺在图2中作出符合题意的点．（不要求写作法，但要保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了作图−应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质及判定定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行四边形的定义画出图形即可； （2）连接交于点，延长交于点，连接，延长交于点，连接交于点，点即为所求． 【详解】解：（1）如图1中，四边形即为所求； （2）如图2中，点即为所求． 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在与中， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 【题型九】平行四边形性质和判定的应用 例9．如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【知识点】平行四边形性质和判定的应用 【分析】①正确，根据平行四边形的判定方法即可判断； ②错误，观察图象即可判断； ③错误，面积是变小了； ④正确，根据平行四边形性质即可判断． 【详解】解：∵两组对边的长度分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确； ∵向右扭动框架， ∴BD的长度变大，故②错误； ∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了， ∴平行四边形ABCD的面积变小，故③错误； ∵平行四边形ABCD的四条边不变， ∴四边形ABCD的周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题． 变式1．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连结AB、AD、CD．则四边形ABCD是平行四边形，其依据是 ． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【知识点】平行四边形性质和判定的应用 【分析】(1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (3)定理2∶两组对边分别相等的四边形是平行四边形． (4）定理3∶对角线互相平分的四边形是平行四边形． (5)定理4∶一组对边平行且相等的四边形是． 【详解】两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查的是平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 变式2．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】 【知识点】平行四边形性质和判定的应用、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，注意能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意掌握分类讨论思想的应用．设经过秒，根据平行四边形的判定可得当时，以点，，，为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵平行四边形是平行四边形， ∴，， ∵要使以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴只需， ∵点从点到点需要，点从到需要， 分为以下情况： 当时，即点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； ②当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：； ③当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； 综上所述，． 一、单选题 1．在平行四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质即可进行解答． 【详解】解：如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等． 2．下列各组条件中，不能判断一个四边形是平行四边形的是（    ） A．两组对边分别平行的四边形 B．两组对角分别相等的四边形 C．一组对边平行另一组对边相等的四边形 D．两条对角线互相平分的四边形 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法逐一分析解题． 【详解】解：A、B、D均可为判定四边形为平行四边形，故A、B、D不符合题意； C．一组对边平行另一组对边相等的四边形，不能判断它是平行四边形，如下图，是等腰梯形，故C符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3．如图，在平行四边形中，的平分线交BA的延长线于点E，，则AB的长为（    ） A．5 B．7 C．3 D．2 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．能证得是等腰三角形是解此题的关键．由平行四边形中，平分，可证得是等腰三角形，继而利用，求得答案． 【详解】解：如图，四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ． 故选：C． 4．在中，的平分线分边为和两部分，则的周长为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，把分成和两部分，没有明确哪部分是，哪部分是，故分两种情况，熟练掌握分类讨论是解题的关键． 【详解】解：如图，，   ， ∵四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 的周长为； 如图，，   ， 同理可得， 的周长为， 故选：D． 5．如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出； 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴AB=CD ∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD 由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°， ∴△AEC为等腰直角三角形 ∴AE=CE ∴Rt△AE B′≌Rt△CDE ∴EB′=DE ∵在等腰Rt△AEC中， ∴ ∵在Rt△DEC中， ，∠ADC=60° ∴∠DCE=30° ∴DE=1 在等腰Rt△DE B′中，EB′=DE=1 ∴= 故选：B 【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，D为AB的中点，P是边BC上的一个动点，连接PA、PD，且∠BDP＜90°，将△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′，连接A′B，若A′B＝DP，则线段BP的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出AB的长，由D为AB的中点，得到AD＝BD＝AB＝，，由△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′，则A'D＝AD＝，△ADP≌△A′DP，，从而＝，点与点B到DP的距离相等，得到A′B//DP，四边形A'BPD是平行四边形，得到答案． 【详解】解：如图所示， ∵∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2， ∴AC＝1， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1， ， ∵D为AB的中点， ∴AD＝BD＝AB＝，， ∵将△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′， ∴A′D＝AD＝，△ADP≌△A′DP， ∴， ∴＝ ∴点与点B到DP的距离相等， ∴ A′B//DP ∵A′B＝DP， ∴四边形A'BPD是平行四边形 ∴BP＝A'D＝， 故选：B 【点睛】本题考查直角三角形中的折叠问题，涉及平行四边形判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． 7．下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，在四边形中，垂直平分，过点作，以为顶点，在的左侧作交于点． 求证：四边形是平行四边形． 证明：垂直平分， ，又， （①）， ， _____②______ ， 四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　） A．SAS， B．SSS， C．SAS， D．SSS， 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：垂直平分， ， 又， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 故选：B． 8．如图，在中，的平分线交于点E，交的延长线于点G，的平分线交于点F，交的延长线于点H，与相交于点O，连接，则下列结论：；；；；．正确的个数是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质对各个结论进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，故②正确， 平分， ，，故⑤正确， ，故①正确， 同理可证， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证， ， ，故③正确， ， ， ， ， 故错误， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键． 9．如图，平面直角坐标系xOy中，点A是直线上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，点C（1，0），则OB＋CB的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设D（﹣1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，，作ES⊥x轴于S，根据题意OE就是OB＋CB的最小值，由直线的解析式求得F的坐标，进而求得ED的长，从而求得OS和ES，然后根据勾股定理即可求得OE． 【详解】解：设D（﹣1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，，交于点，作ES⊥x轴于S， ∵AB∥DC，且AB＝OD＝OC＝1， ∴四边形ABOD和四边形ABCO是平行四边形， ∴AD＝OB，OA＝BC， ∴AD＋OA＝OB＋BC， ∵AE＝AD， ∴AE＋OA＝OB＋BC， 即OE＝OB＋BC， ∴OB＋CB的最小值为OE， 由， 当时，， 解得：， ， ， 当时，， ， ， ， 取的中点，过作轴的垂线交于， ， 当时，， ， ， ， 为的中点， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ∴FD＝3，∠FDG＝60°， ∴DG＝DF＝， ∴DE＝2DG＝3， ∴ES＝DE＝，DS＝DE＝， ∴OS＝， ∴OE＝＝， ∴OB＋CB的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，轴对称﹣最短路线问题以及平行四边形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是证得OE是OB+CB的最小值． 二、填空题 10．如图，在中，、相交于点，若的面积为3，则的面积为    【答案】12 【分析】可得，，由“同底等高的三角形面积相等”，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，同底等高的三角形面积相等，掌握性质和三角形等积求法是解题的关键． 11．如图，在中，，，，把向右平移2个单位得到，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】14 【分析】根据平移的性质得出四边形ADFC为平行四边形，然后利用平行四边形的面积计算方法求解即可． 【详解】解：根据题意得：BE=CF=AD=2，ADCF， ∴四边形ADFC为平行四边形， ∵∠ABC=90° ∴平行四边形ADFC的高为AB=7， ∴阴影部分的面积为：2×7=14， 故答案为：14． 【点睛】题目主要考查平移的性质及平行四边形的判定和性质，理解题意，掌握运用平移的性质是解题关键． 12．如图，在平行四边形中，是上一点，交延长线于点，，，则 ．    【答案】/90度 【分析】根据平行四边形的性质可得，可证明，从而得到，即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 13．如图，在中，于点F，于点E．若，，，则的周长为 cm． 【答案】20 【分析】本题考查了平行四边形的性质与含角的直角三角形的性质，掌握平行四边形对边相等、对角相等，以及含角的直角三角形中角所对直角边是斜边的一半是解题的关键． 先利用平行四边形的性质，得到对边相等、对角相等；再结合垂直条件，识别出含角的直角三角形，利用角所对的直角边是斜边的一半求出邻边和的长度；最后代入平行四边形周长公式计算周长 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴的周长为． 故答案为：． 14．已知A，C两点坐标分别为和，平行四边形ABCD的一个内角为45°，点B在轴上，则点D的坐标为 ． 【答案】(-1，2)或(-5，2) 【分析】本题分两种情况讨论，过点C作CE⊥x轴于点E，在直角△BCE中，∠CBE＝45°，根据三角函数得到BE＝2，AE＝5，求得CD的长即可． 【详解】解：过点C作CE⊥x轴于点E， ∵A，C两点坐标分别为和， ∴，， 分两种情况进行讨论： ①如图1，当∠DAB＝45°时： ∴∠CBE＝45°， ∵CE＝2， ∴BE＝CE＝2， ∴， ∴点D的坐标为(2-3，2)，即(-1，2)； ②如图2，当∠CBA＝45°时： ∵CE＝2， ∴BE＝CE＝2， ∴， ∴点D的坐标为(2-7，2)，即(-5，2)； ∴由①②可知点D的坐标为：(-3，2)或(-5，2)． 故答案为：(-1，2)或(-5，2) 【点睛】本题结合平面直角坐标系考查了平行四边形的性质，分两种情况进行讨论是正确解决本题的关键． 15．如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．如果点同时出发，设运动时间为，则当 时，以为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的判定、一元一次方程的应用，分两种情况：当点在的右侧时；当点在的左侧时；由当时，四边形是平行四边形，建立一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：当点在的右侧时， 由题意得：，，则， ， 当时，四边形是平行四边形，即， 解得：； 当点在的左侧时， 由题意得：，，则， ， 当时，四边形是平行四边形，即， 解得：； 综上所述，当或时，以为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：或． 16．如图，在中，，，，对角线与交于点，将直线绕点按顺时针方向旋转，分别交、于点、，则四边形周长的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，线段的最值问题，全等三角形的判定与性质，解题关键是利用三角形全等的性质转换线段之间的关系表达出周长． 过点A作，垂足为，求出的值，进而求出的值，根据证明，得到，即可推出四边形周长，当的值最小时，即可得到四边形周长的最小值，利用垂线段最短即时，求出最小值，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作，垂足为， ，，， ∴， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形周长， 当的值最小时，四边形的周长最小，此时，即为最小值， 四边形的周长最小值为， 故答案为：． 三、解答题 17．如图，小斌用一根50m长的绳子围成一个平行四边形场地，其中一边长16m，求其他三边的长度． 【答案】其他三边的长为9m，16m，9m． 【分析】根据平行四边形的对边相等利用周长和一边的长求得其余各边的长度即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC， ∵周长为50， ∴AB+BC=25， ∵一边长为16m， ∴另一边长为9m， ∴其他三边的长为9m，16m，9m． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等． 18．如图，平行四边形的边长10厘米，直角三角形的直角边长8厘米．已知阴影部分的总面积比三角形的面积大10平方厘米，求平行四边形的面积． 【答案】50平方厘米． 【分析】本题是一道有关三角形的面积和平行四边形的面积的题目，要注意面积公式以及面积转化． 因为阴影部分比三角形的面积大10平方厘米，都加上梯形后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行比直角三角形的面积大10平方厘米． 【详解】解：三角形的面积为：（平方厘米）． 平行四边形的面积为：（平方厘米）． 答：平行四边形的面积为50平方厘米． 19．已知：如图，在平行四边形中，点G，H分别是的中点，点E，F在上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，先由平行四边形的性质得到，则，再由线段中点的定义证明，据此可利用证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点G，H分别是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴． 20．如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图，要求它的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个面积为6的平行四边形． (2)在图②中，作以为一边的平行四边形，满足平行四边形的面积为11． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质： （1）根据题意，画出平行四边形即可； （2）根据题意，画出平行四边形即可． 【详解】（1）解：如图，平行四边形即为所求； 由图可知：平行四边形的面积为，满足题意； （2）如图，平行四边形即为所求； 由图可知，平行四边形的面积为，满足题意． 21．已知：如图，，是的对角线上的两点，，求证： (1)． (2)． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据两条直线平行，内错角相等，即可得． （2）先证明，即可得到． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， （2）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 22．如图，已知是等边三角形，点D、F分别在线段、上，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，结合题中，得到，即可解答． （2）连接，证明是等边三角形，再证明，即可解答． 【详解】（1）证明： 是等边三角形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：如图，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 在与中， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练运用相关性质是解题的关键． 23．如图，在四边形中，，，，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若与交于点O，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质与平行四边形的判定与性质． （1）由，可得，由，，可得，又由，即可证得≌； （2）由≌可得，根据内错角相等，两直线平行，即可得，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形是平行四边形，则可得 【详解】（1）证明：， ，即， ，， ， ， ； （2）连接，交于点O，   ≌， ， ∴， ， 四边形是平行四边形， 24．如图，在平行四边形中，，，， (1)平行四边形的面积为________． (2)若是边的中点，是边上的一个动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，交延长线于，根据平行四边形的性质得出，，根据含度角的直角三角形的性质得出，进而求得四边形的面积； （2）连接，过点作于，交的延长线于点，根据轴对称的性质，以及两点直线线段最短可得到，当折线与线段重合时，线段的长度最短，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：过点作，交延长线于， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， 四边形的面积； 故答案为：； （2）连接，过点作于，交的延长线于点； 四边形为平行四边形， ，， 点为的中点，， ，， ，， ， 由勾股定理得：， ， 由翻折变换的性质得：， ， ，当折线与线段重合时，线段的长度最短， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，轴对称求线段最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． 25．综合与探究： 问题情境：已知，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4．点D是AC的中点，点E在BC延长线上，且∠CDE＝60°．保持△ABC不动，将△CDE从图1的位置开始，绕点C顺时针旋转α°（0＜α＜180）得到△CD'E'，D、E的对应点分别为D'、E'． (1)初步思考：求证：DE＝AC； (2)操作探究：如图2，当点落在DE边上时，连接AD'，判断此时四边形ACE'D'的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：请从A，B两题中任选一题作答，我选择_____题． A．在△CDE旋转过程中，当D'E'//BC时，请直接写出此时旋转角a的度数及B、E'两点间的距离． B．在△CDE旋转过程中，当D'E'//AB时，延长AC交D'E'于点F，请直接写出此时旋转角α的度数及线段CF的长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，理由见解析 (3)A：旋转角的度数为150°；B，E两点间的距离为2．B：旋转角的度数为105°；线段CF的长为 【分析】（1）由含30°角直角三角形的性质可得DE=2CD，再由D是中点即可得到结论； （2）由旋转的性质及（1）得，且，从而可得，则由平行四边形的判定即可证得结论； （3）选择A：如图3，连接，由旋转的性质及平行线的性质可得，则可求得的度数，从而得到旋转角的度数；再由及已知可得四边形是平行四边形，从而可得； 选择B：如图4，过点C作，由平行条件可得∠CFG=45°，再由旋转性质及三角形外角的性质可求得的度数，即旋转角的度数；分别在与中即可求得CF的长． 【详解】（1）∵∠ACB＝90°， ∴∠DCE=90°， ∴∠E=90°−∠CDE=30°， ∴DE=2CD， ∵D是AC的中点， ∴AC=2CD， ∴DE=AC； （2）四边形是平行四边形，理由如下： 由旋转的性质得：，，， 由（1）知，DE=AC， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）选择A：如图3，由旋转的性质得：， ∵D'E'//BC， ∴， ∴， 即， 连接， ∵AC=BC，AC=DE，， ∴ ∵D'E'//BC， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵D是AC的中点， ∴， ∴； 选择B：如图4，过点C作于G， ∵AB=AC，∠ACB=90°， ∴∠A=45°， ∵D'E'//AB， ∴∠CFG=∠A= 45°， ∵， ∴， 即旋转角α的度数为105°； ∵，，∠CFG = 45°， ∴，， ∴，CG=FG， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，含30°角直角三角形的性质，平行线的性质等知识，具有一定的综合性，灵活运用这些知识是解决问题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 平行四边形（知识详解+9典例分析+习题巩固） 【知识点01】平行四边形的概念 1.平行四边形的定义及表示 定义 图示 表示方法 注意事项 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 左图中的四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，记作“▱𝐴𝐵𝐶𝐷 ”，读作“平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 ”. 1. 表示平行四边形时一定要按顺（或逆）时针依次书写各顶点字母； 2. “▱ ”后要紧跟表示四个顶点的字母，不能单独使用. 2.平行四边形的基本元素 基本元素 图示 边 𝐴𝐵与𝐷𝐶，𝐴𝐷与𝐵𝐶互为对边；𝐴𝐷和𝐴𝐵 ，𝐴𝐷和𝐷𝐶，𝐷𝐶和𝐵𝐶，𝐵𝐶和𝐴𝐵 互为邻边. 角 ∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐷𝐴𝐵与∠𝐵𝐶𝐷 互为对角；∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐷𝐴𝐵，∠𝐷𝐴𝐵与∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐴𝐷𝐶 与∠𝐵𝐶𝐷，∠𝐵𝐶𝐷与∠𝐴𝐵𝐶 互为邻角. 对角线 线段𝐴𝐶和𝐵𝐷 . 【知识点02】平行四边形的性质 性质 符号语言 图示 边 平行四边形的对边相等. ∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，∴𝐴𝐷=𝐵𝐶 ,𝐴𝐵=𝐶𝐷 . 角 平行四边形的对角相等. ∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，∴∠𝐴=∠𝐶 ,∠𝐵=∠𝐷 . 对角线 平行四边形的对角线相平分. ∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，∴𝑂𝐴=𝑂𝐶=𝐴𝐶,𝑂𝐵=𝑂𝐷=𝐵𝐷 . 对称性 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心. 𝐴𝐶与𝐵𝐷的交点𝑂 是▱𝐴𝐵𝐶𝐷 的对称中心. 【知识点03】平行四边形的判定方法 判定平行四边形可以从边和对角线两个方面进行考虑,具体如下表所示. 判定方法 符号语言 图示 边 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义法） ∵𝐴𝐷//𝐵𝐶,𝐴𝐵//𝐶𝐷 ,∴ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形. （2）判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵𝐴𝐷=𝐵𝐶,𝐴𝐵=𝐶𝐷 ,∴ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形. （3）判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵𝐴𝐵//𝐷𝐶,𝐴𝐵=𝐷𝐶 ，∴ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形. 对角线 （4）判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∵𝑂𝐴=𝑂𝐶,𝑂𝐵=𝑂𝐷 ,∴ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形. 【题型一】数图形中平行四边形的个数 例1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，分别是各边中点，则图中的平行四边形共有（   ） A．8个 B．9个 C．7个 D．5个 变式1．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有 个． 【题型二】利用平行四边形的性质求解 例2．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）▱中，：：：可以为（   ） A．：：： B．：：： C．：：： D．：：： 变式1．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）在中，已知，且，则 ． 变式2．（24-25八年级下·江苏连云港·月考）如图，平行四边形的周长为，，相交于点，的周长比的周长小，求，的长． 【题型三】利用平行四边形的性质证明 例3．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点，下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 变式1．（22-23八年级下·江苏泰州·月考）如图，将平行四边形的一边延长至点E，若，则 ． 变式2．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）在▱中，点，分别在边和上，且．求证：． 【题型四】证明四边形是平行四边形 例4．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）若四边形的对角线互相平分，则四边形一定是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 变式1．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，四边形的对角线相交于点O．如果，那么四边形是平行四边形．其判定的依据是 ． 变式2．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 已知： 求证： 证明： 【题型五】判断能否构成平行四边形 例5．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）在下列四个关系：①，②，③，④中，选出两个关系作为条件，可以推出四边形是平行四边形的条件可以是 ．（写出一种即可，填序号） 变式2．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）在四边形ABCD中，有下列条件：①AB∥CD，②∠A＝∠C，③AD＝BC，④∠B＝∠D．从中选择两个条件能够使四边形ABCD成为平行四边形（不添加任何辅助线），请写出所有符合的组合：（用序号表示） (1)　 　； (2)选择其中一种组合进行证明． 【题型六】添一个条件成为平行四边形 例6．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·江苏镇江·月考）如图，在四边形中，与相交于点，，添加条件 ，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）． 变式2．如图，在平行四边形中，点，是对角线上的两点，请添加一个不同于“”的条件，使四边形是平行四边形，并写出证明的过程． 【题型七】全等三角形拼平行四边形问题 例7．用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个． 变式2．如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【题型八】利用平行四边形的判定与性质求解 例8．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（22-23八年级下·江苏·周测）如图，的面积为4，点P在对角线上，E、F分别在上，且，，连接，图中阴影部分的面积为 ． 变式2．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）（1）如图1，在的网格中，的三个顶点都在格点上，请在图1中画出一个以为边的，顶点，在格点上且满足； （2）如图2，中，于点，若于点，请用无刻度的直尺在图2中作出符合题意的点．（不要求写作法，但要保留作图痕迹） 【题型九】平行四边形性质和判定的应用 例9．如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 变式1．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连结AB、AD、CD．则四边形ABCD是平行四边形，其依据是 ． 变式2．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 一、单选题 1．在平行四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 2．下列各组条件中，不能判断一个四边形是平行四边形的是（    ） A．两组对边分别平行的四边形 B．两组对角分别相等的四边形 C．一组对边平行另一组对边相等的四边形 D．两条对角线互相平分的四边形 3．如图，在平行四边形中，的平分线交BA的延长线于点E，，则AB的长为（    ） A．5 B．7 C．3 D．2 4．在中，的平分线分边为和两部分，则的周长为（    ） A． B． C． D．或 5．如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（    ） A．1 B． C． D． 6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，D为AB的中点，P是边BC上的一个动点，连接PA、PD，且∠BDP＜90°，将△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′，连接A′B，若A′B＝DP，则线段BP的长是（    ） A． B． C． D． 7．下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，在四边形中，垂直平分，过点作，以为顶点，在的左侧作交于点． 求证：四边形是平行四边形． 证明：垂直平分， ，又， （①）， ， _____②______ ， 四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　） A．SAS， B．SSS， C．SAS， D．SSS， 8．如图，在中，的平分线交于点E，交的延长线于点G，的平分线交于点F，交的延长线于点H，与相交于点O，连接，则下列结论：；；；；．正确的个数是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，平面直角坐标系xOy中，点A是直线上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，点C（1，0），则OB＋CB的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．如图，在中，、相交于点，若的面积为3，则的面积为    11．如图，在中，，，，把向右平移2个单位得到，则图中阴影部分的面积为 ． 12．如图，在平行四边形中，是上一点，交延长线于点，，，则 ．    13．如图，在中，于点F，于点E．若，，，则的周长为 cm． 14．已知A，C两点坐标分别为和，平行四边形ABCD的一个内角为45°，点B在轴上，则点D的坐标为 ． 15．如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．如果点同时出发，设运动时间为，则当 时，以为顶点的四边形是平行四边形． 16．如图，在中，，，，对角线与交于点，将直线绕点按顺时针方向旋转，分别交、于点、，则四边形周长的最小值是 ． 三、解答题 17．如图，小斌用一根50m长的绳子围成一个平行四边形场地，其中一边长16m，求其他三边的长度． 18．如图，平行四边形的边长10厘米，直角三角形的直角边长8厘米．已知阴影部分的总面积比三角形的面积大10平方厘米，求平行四边形的面积． 19．已知：如图，在平行四边形中，点G，H分别是的中点，点E，F在上，且．求证：． 20．如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图，要求它的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个面积为6的平行四边形． (2)在图②中，作以为一边的平行四边形，满足平行四边形的面积为11． 21．已知：如图，，是的对角线上的两点，，求证： (1)． (2)． 22．如图，已知是等边三角形，点D、F分别在线段、上，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：． 23．如图，在四边形中，，，，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若与交于点O，求证：． 24．如图，在平行四边形中，，，， (1)平行四边形的面积为________． (2)若是边的中点，是边上的一个动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是________． 25．综合与探究： 问题情境：已知，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4．点D是AC的中点，点E在BC延长线上，且∠CDE＝60°．保持△ABC不动，将△CDE从图1的位置开始，绕点C顺时针旋转α°（0＜α＜180）得到△CD'E'，D、E的对应点分别为D'、E'． (1)初步思考：求证：DE＝AC； (2)操作探究：如图2，当点落在DE边上时，连接AD'，判断此时四边形ACE'D'的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：请从A，B两题中任选一题作答，我选择_____题． A．在△CDE旋转过程中，当D'E'//BC时，请直接写出此时旋转角a的度数及B、E'两点间的距离． B．在△CDE旋转过程中，当D'E'//AB时，延长AC交D'E'于点F，请直接写出此时旋转角α的度数及线段CF的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $