第02讲 认识概率（知识详解+7典例分析+习题巩固）2025-2026学年苏科版八年级数学下册同步讲义与测试

第02讲 认识概率（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】必然事件、不可能事件与随机事件 事件类型 定义 示例 确定事件 必然事件 在一定条件下，有些事件我们事先能确定它一定会发生，这样的事件是必然事件. 抛出的硬币会下落. 不可能事件 在一定条件下，有些事件我们事先能确定它一定不会发生，这样的事件是不可能事件. 在全是白球的口袋中摸出红球. 随机事件 在一定条件下，很多事件我们事先不能确定它会不会发生，这样的事件是随机事件. 明天会下雨. 说明：（1）必然事件、不可能事件都必须受到一定条件的限制， 例如：在标准大气压下，水加热到100 ℃ 沸腾是必然事件，但在气压高于标准大气压时，水加热到100 ℃ 沸腾就是不可能事件了（此时沸点提高了）. （2）一般地，描述真理或客观存在的事实的事件是必然事件，描述违背真理或者客观存在的事实的事件是不可能事件. （3）有些随机事件发生的机会很大，但不是必然事件；有些随机事件发生的机会很小，但依然有发生的机会，不是不可能事件. 【知识点02】概率 1.事件发生的可能性的大小： 一般地，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小一般不同. 示例1 用图形描述事件发生的可能性的大小 解题通法 比较随机事件发生的可能性大小的方法 2.概率：我们把用于度量一个随机事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率.如果用字母A表示一个事件，那么P(A) 表示事件A 发生的概率. 说明：一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 示例2 事件与概率之间的关系 敲黑板 事件发生的概率 （1）当事件A为必然事件时，P(A)=1. （2）当事件A为不可能事件时，P(A)=0. （3）当事件A为随机事件时，0<P(A)<1. （4）任何事件发生的概率P(A)都满足0≤P(A)≤1. 【知识点03】试验频率与概率之间的关系 1.频率的稳定性：在大量重复试验中，一个随机事件发生的频率在某一个常数附近摆动，并趋于稳定，我们把这种现象称为频率的稳定性. 2.用频率估计概率：一般地，我们把试验次数很大时随机事件发生的频率的稳定值作为其发生的概率. 频率的稳定性只适用于随机事件.因为频率是一个试验值，概率是一个理论值，所以只有当试验次数很大时，才可以用随机事件发生的频率的稳定值作为其发生的概率的估计值. 辨析：频率和概率的区别和联系 名称 关系 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值. 理论值（是一个固定值）.  与试验次数的变化有关. 与试验次数的变化无关. 区别 与试验人、试验时间、试验地点有关. 与试验人、试验时间、试验地点无关. 联系 当试验次数足够大时，频率无限接近于概率. 说明：用频率估计概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验中反映的规律并不意味着在每一次的试验中一定出现. 【题型一】事件的分类 例1．（24-25八年级下·江苏南京·月考）下列事件中是必然事件的是（　　） A．打开电视正在播放新闻 B．太阳从东方升起，从西方落下 C．任意买一张电影票，座位号是偶数 D．在装有4个红球、2个白球的袋子中摸出一个黄球 【答案】B 【知识点】事件的分类 【分析】此题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A．打开电视正在播放新闻是随机事件，不合题意； B．太阳从东方升起，西方落下是必然事件，符合题意； C．任意买一张电影票，座位号是偶数是随机事件，不合题意； D．在装有4个红球、2个白球的袋子中摸出一个黄球是不可能事件，不合题意； 故选：B． 例2．（24-25八年级下·江苏南京·月考）给出下列结论：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件；②可能性很大的事件是必然发生的；③如果一个事件不是必然发生的，那么它就是不可能发生的．其中正确的是 （填序号）． 【答案】① 【知识点】事件的分类 【分析】此题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，分别进行判定即可． 【详解】解：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件，故①正确，符合题意； ②可能性很大的事件是随机事件，只是发生的概率较大，不一定发生，故②错误，不符合题意； ③如果一个事件不是必然发生的，那么它就可能发生也可能不发生，故③错误，不符合题意； 故答案为：①． 变式1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）“下个月8号沭阳城区下雨”是 （填“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”）． 【答案】随机事件 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了事件的分类，准确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键：必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件，即不确定事件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念及事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：“下个月8号沭阳城区下雨”是随机事件， 故答案为：随机事件． 变式2．（22-23八年级下·江苏连云港·月考）在一个不透明的口袋中装有大小、形状一模一样的5个红球，3个蓝球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请判断以下是随机事件、不可能事件还是必然事件． (1)任意取出一球，是白球； (2)任意取出6个球，至少有一个是红球； (3)任意取出5个球，全是蓝球； (4)任意取出6个球，恰好红、蓝、白3种颜色的球都有． 【答案】(1)随机事件 (2)必然事件 (3)不可能事件 (4)随机事件 【知识点】事件的分类 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于那一种类别． 【详解】（1）解：可能发生，也可能不发生，是随机事件； （2）解：一定会发生，是必然事件； （3）解：不可能发生，是不可能事件； （4）解：可能发生，也可能不发生，是随机事件． 【点睛】本题主要考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念，解决问题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【题型二】判断事件发生的可能性的大小 例3．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（   ） A．守株待兔 B．大海捞针 C．水中捞月 D．瓜熟蒂落 【答案】D 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查事件的分类以及可能性大小，根据事件的分类方法，分别判断发生的可能性，即可得出结果． 【详解】解：A、是随机事件，概率较小； B、是随机事件，概率较小； C、是不可能事件，概率为0； D、是必然事件，概率为1； 故发生的可能性最大的是D； 故选D． 例4．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，三个不透明布袋中都装进只有颜色不同的5个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”的可能性更大的布袋是 ．（填写布袋对应的序号） 【答案】③ 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】此题考查了事件的可能性，根据每个布袋中白球的个数判断即可． 【详解】∵三个不透明布袋中都装进只有颜色不同的5个小球，①中有2个白球，②中有3个白球，③中有4个白球， ∴③中白球的个数最多 ∴“摸到白球”的可能性更大的布袋是③． 故答案为：③． 变式 1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）下列事件中，发生可能性最大的是（   ） A．掷骰子，掷到6点 B．随意翻到一本书的某页，页码是奇数 C．画一个四边形，其内角和是 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】C 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查了判断事件发生的可能性的大小，结合具体的问题情境进行判断即可，正确理解事件发生的可能性的大小判断是解题的关键． 【详解】解：、掷骰子掷到6点，骰子共有6个等可能结果，概率为； 、翻到奇数页码，页码奇偶数量接近，概率为； 、四边形内角和为，根据多边形内角和公式，所有四边形内角和均为，此事件为必然事件，概率为； 、射击命中靶心，命中概率受技术影响，但无法达到， 故选：． 变式2．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图所示的是各个不透明的袋子中球的情况，每个球除颜色外都相同．任意摸出1个球，请你根据摸到红球的可能性大小填空（填序号）． (1)一定能摸到的是 ； (2)能摸到且摸到的可能性较大的是 ； (3)能摸到但摸到的可能性较小的是 ； (4)不可能摸到的是 ． 【答案】(1)⑤ (2)④ (3)② (4)① 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题主要考查了事件的可能性： （1）只有红球没有黑球的情况，才一定能摸到红球，据此可得答案； （2）红球个数较多，黑球个数较少，才能摸到且摸到的可能性较大，据此可得答案； （3）红球个数较少，黑球个数较多，才能摸到且摸到的可能性较小，据此可得答案； （4）只有黑球没有红球的情况，才不可能摸到红球，据此可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可知，一定能摸到红球的时⑤； （2）解：∵， ∴能摸到且摸到的可能性较大的是④ （3）解：∵， ∴能摸到且摸到的可能性较小的是② （4）解：由题意得，不可能摸到的①． 【题型三】概率的意义理解 例5．（24-25八年级下·江苏南京·期末）根据天气预报，南京市明天降水概率是，下列说法正确的是（   ） A．南京市明天将有的地区降水 B．南京市明天将有的时间降水 C．南京市明天降水的可能性不大 D．南京市明天肯定不会降水 【答案】C 【知识点】概率的意义理解 【分析】本题主要考查了概率意义的理解，降水概率表示降水的可能性较低，正确选项需符合概率的实际意义． 【详解】解：降水概率是指在相同的气象条件下，有的可能性出现降水，属于可能性较小的事件． 故选：C 例6．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）A、B、C三个事件发生的概率分别为 ．对其中一个事件的描述是“发生与不发生的可能性一样大”．该事件是 ．（选填“A、B或C”） 【答案】A 【知识点】概率的意义理解 【分析】根据概率的意义进行求解即可． 【详解】解：∵一个事件的描述是“发生与不发生的可能性一样大” ∴该事件发生的概率为， ∴该事件是A， 故答案为：A． 【点睛】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 变式1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同．如果连续抛掷一枚质地均匀的硬币99次，都是正面朝上，那么第100次抛掷时正面朝上的概率是 （    ） A．0 B． C． D．1 【答案】D 【知识点】概率的意义理解 【分析】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键． 每次抛掷硬币都是独立事件，不受之前结果影响． 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，每次抛掷的结果相互独立．无论之前抛掷的结果如何，第100次抛掷时，“正面朝上”的概率仍为． 故选B． 变式2．（22-23八年级下·江苏南京·月考）如果事件发生的概率是，那么在相同条件下重复试验，下列说法正确的是 ． 填符合条件的序号 说明做次这种试验，事件必发生次； 说明做次这种试验，事件可能发生次； 说明做次这种试验中，前次事件没发生，后次事件才发生； 说明事件发生的频率是． 【答案】② 【知识点】概率的意义理解 【分析】直接利用概率的意义分别分析得出答案． 【详解】解：①说明做次这种试验，事件必发生次，事件A不一定发生，故错误； ②说明做次这种试验，事件可能发生次，正确； ③说明做次这种试验中，前次事件没发生，后次事件发生，事件A不一定发生，故错误； ④说明事件发生的频率是，频率不等于概率，故此选项错误． 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率的意义，正确理解概率求法是解题关键． 【题型四】判断几个事件概率的大小关系 例7．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（　　） A．白球 B．黑球 C．红球 D．黄球 【答案】C 【知识点】判断几个事件概率的大小关系 【分析】根据概率公式可知，哪种球的数量最多，摸到那种球的概率就大． 【详解】解：袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球， ∵ ∴其中红球最多， ∴摸到红球的概率最大． 故选：C． 【点睛】本题考查了概率公式，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 变式1．（22-23八年级下·江苏常州·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被涂成蓝、红两种颜色，任意转动转盘一次，则P（蓝）表示指针停留在蓝色区域的可能性，P（红）表示指针停留在红色区域的可能性，则P（蓝） P（红）．（填“”“”或“”）    【答案】 【知识点】判断几个事件概率的大小关系 【分析】先求出蓝色区域的圆心角为，得出蓝色区域的面积大于红色区域的面积，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，可得红色区域的圆心角为，蓝色区域的圆心角为，蓝色区域的面积大于红色区域的面积，所以． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了可能性大小的判断，解题的关键是求出蓝色区域的圆心角，得出蓝色区域的面积大于红色区域的面积． 变式2．（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 【答案】(1)⑤；② (2) 【知识点】判断几个事件概率的大小关系 【分析】（1）分别求出各个事件的概率，即可比较出对应事件可能性大小关系； （2）根据所求的概率，即可得出答案． 【详解】（1）∵共3红2黄1绿相等的六部分， ∴①指针指向红色的概率为； ②指针指向绿色的概率为； ③指针指向黄色的概率为； ④指针不指向黄色的概率为， ⑤指针不指向绿色的概率为， ∴可能性最大的是⑤，可能性最小的事件是②； （2）解：由（1）得：． 【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 【题型五】求某事件的频率 例8．（23-24八年级下·江苏连云港·月考）不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A．12个 B．15个 C．18个 D．20个 【答案】B 【知识点】求某事件的频率 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设口袋中白球大约有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：设口袋中白球大约有x个， ∵摸到白色球的频率稳定在0.6左右， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴估计口袋中白球大约有15个． 故选：B 例9．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是 ． 【答案】 【知识点】求某事件的频率 【分析】本题主要考查了求频率，用字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案． 【详解】解：“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是， 故答案为：． 变式1．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）2023年6月28日，十四届全国人大常委会第三次会议决定：将8月15日设立为全国生态日．第一个生态日的活动主题是“绿水青山就是金山银山”．在划线部分的这句话中，“山”出现的频率是 ． 【答案】 【知识点】求某事件的频率 【分析】本题考查了频率额计算，掌握频率计算方法是关键． 根据频率公式计算即可求解． 【详解】解：“绿水青山就是金山银山”共有10个字，其中“山”出现了3次， ∴“山”出现的频率是， 故答案为： ． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）在一个不透明的盒子里装有大小、形状一样的黑、白两种球共40个，小颖与同学们做摸球试验，摸球方法是：将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，统计同学们的摸球结果，记录的数据如下表所示： 试验次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 摸到白球的次数 70 105 198 235 288 375 408 490 540 599 摸到白球的频率 (1)把表中的数据补充完整（精确到），并根据统计表画出折线统计图； (2)估计任意摸出一个球是白球的频率是____________（精确到）． 【答案】(1)填报见解析；折线统计图见解析 (2) 【知识点】求某事件的频率、折线统计图 【分析】本题主要考查了求概率，画折线统计图，解题的关键是理解频率定义． （1）根据表格中的数据求出频率，然后描点画出折线统计图即可； （2）根据折线统计图进行解答即可． 【详解】（1）解：，，；；； ，，；，， 试验次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 摸到白球的次数 70 105 198 235 288 375 408 490 540 599 摸到白球的频率 （2）解：根据折线统计图，估计任意摸出一个球是白球的频率是． 【题型六】由频率估计概率 例10．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）今年植树节，某社区集中移栽了一批香樟树．该社区调查了这批香樟树移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计这批香樟树移栽成活的概率约为（    ） A．0.85 B．0.90 C．0.95 D．0.98 【答案】B 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查的是利用频率估算概率，频数分布表，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．由图可知，这批香樟树移栽成活的棵数占比稳定在0.90，故成活的概率估计值为0.90． 【详解】解：由统计图可得，随着移栽数量的增加，成活棵树的占比逐步稳定在0.90附近， 成活的概率约为0.90． 故选：B． 例11．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）某地林业部门考查银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数b 84 279 534 902 6293 13576 成活的频率 根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为 （精确到）． 【答案】 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题的关键． 利用表格中数据估算银杏树苗移植成活率的概率即可解答． 【详解】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，银杏树苗移植成活的频率稳定在，可估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为． 故答案为：． 变式1．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）育种实验室在相同的条件下对某品种小麦发芽情况进行测试，得到如下数据： 抽查小麦粒数 100 500 1000 2000 3000 4000 发芽粒数 96 489 967 1940 2908 a 则a的值最有可能是（    ） A．3600 B．3720 C．3880 D．3970 【答案】C 【知识点】由频率估计概率 【分析】分别计算出每一次抽取样本的发芽率，从而判断出小麦的发芽的频率稳定在左右，从而得出答案．本题考查了统计与概率，解题的关键是用频率估计概率以及对频率计算公式的理解． 【详解】解：， ， ， ， ， 由抽取的样本数据，我们发现小麦发芽的频率稳定在左右，即用频率估计概率，我们可估计小麦发芽的概率为， ∴， ∴a最有可能为3880， 故选：C． 变式2．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）图像识别是人工智能领域的一个重要分支．如图，某人工智能模型图像识别的正确率随着训练次数的增加而逐渐趋于稳定．现用该模型识别100幅图像，被正确识别的图像估计有 幅． 【答案】80 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了由频率估计概率，正确理解题意并读懂图象含义是解题的关键． 由图象可知正确率趋于稳定时，正确率约为0.8，再由100乘以0.8即可求解． 【详解】解：由题意知，正确率逐渐趋于稳定时，正确率约为0.8，则(幅)． 故答案为：80． 变式3．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 命中的次数 命中的频率 (1)填空：______，______； (2)测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是_______（精确到）； (3)根据估计的概率，若该运动员投篮次，则他命中的次数大约是_______次； 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率，掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键： （）根据频数，总数和频率之间的关系，进行计算即可； （）根据频率估算概率即可； （）根据概率进行判断即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是， 故答案为：； （3）解：由（）可知，该运动员投中的概率为， ∴（次）， 估计他命中的次数为次， 故答案为：． 【题型七】用频率估计概率的综合应用 例12．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）在一个不透明的盒子里装有个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中、不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.25左右，则据此估计盒子中大约有白球 个． 【答案】3a 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】设盒子中大约有白球x个，根据“黑球数量÷黑白球总数＝黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数＝黑球个数＋白球个数“，“黑球所占比例＝随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”． 【详解】解：设袋中白球有x个， 根据题意，得：， 解得：x＝3a， 经检验x＝3a是分式方程的解， 所以估计盒子中大约有白球3a个， 故答案为：3a． 【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．关键是根据白球和黑球的比得到相应的关系式． 变式1．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某市林业局要移植一种树苗．对附近地区去年这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如下折线统计图： (1)这种树苗成活概率的估计值为______． (2)若移植这种树苗50000棵，估计可以成活______棵． (3)若计划成活90000棵这种树苗，则需移植这种树苗大约多少棵？ 【答案】(1) (2)可以成活45000棵 (3)需移植这种树苗大约100000棵 【知识点】用频率估计概率的综合应用、折线统计图 【分析】本题主要考查了折线统计图和利用频率估计概率，能够正确将公式变形以及准确计算是解决本题的关键． （1）根据成活率的折线统计图可知，数据在上下浮动，所以可以确定答案； （2）将总共移植的50000棵树苗乘以成活率就能估算成活的树苗； （3）根据公式成活率成活的树苗移植的树苗可得，移植的树苗成活的树苗成活率，代入数据即可得到答案． 【详解】（1）解：根据图像可得，折线统计图在上下波动，故成活率为． （2）解：∵（棵） ∴可以成活45000棵． （3）解：∵（棵） ∴需移植这种树苗大约100000棵． 变式2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 a 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 b (1)完成上述表格：______，______； (2)这种树苗成活的概率估计值为______； (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】(1)， (2) (3)在相同条件下至少需要买棵树苗 【知识点】用频率估计概率的综合应用、由频率估计概率 【分析】本题考查占比的计算和用频率估计概率，注意数据的精确度，正确的计算是解题的关键． （1）利用数据占比目标数总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为实验频率可得； （3）利用除以成活概率进行估算即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而实验数据量最大为1000粒，对应频率为，所以这种油菜籽发芽的概率估计值是； 故答案为：； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买棵树苗． 一、单选题 1．下列成语描述的事件为随机事件的是（    ） A．水涨船高 B．水中捞月 C．守株待兔 D．缘木求鱼 【答案】C 【分析】根据事件发生的可能性大小判断．本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件，不可能事件，随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、水涨船高，是必然事件，不符合题意； B、水中捞月，是不可能事件，不符合题意； C、守株待兔，是随机事件，符合题意； D、缘木求鱼，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 2．下列事件中、属于不可能事件的是（　　） A．打开电视机、正在直接足球比赛 B．在只装有2个玻璃球球的袋中摸出一个球是黑球 C．掷一次骰子，向上的一面出现的点数大于7 D．当室外温度低于时，一碗清水在室外会结冰 【答案】C 【分析】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．熟知这三类事件的区别是解题的关键． 根据这三类事件的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．打开电视机，正在直播足球比赛是随机事件，故本选项不符合题意； B．在只装有2个玻球的袋中摸出一个球是黑球是随机事件，故本选项不符合题意； C．掷一次骰子，向上的一面出现的点数大于7是不可能事件，故本选项符合题意； D．当室外温度低于时，一碗清水在室外会结冰是必然事件，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．下列说法中错误的是（    ） A．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后“正面朝上”和“反面朝上”是等可能的 B．甲、乙两地之间质地均匀的电缆有一处断点，断点出现在电缆的各个位置是等可能的 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，“朝上一面的点数是奇数”和“朝上一面的点数是偶数”是等可能的 D．一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，“摸到白球”和“摸到红球”是等可能的 【答案】D 【分析】根据随机事件发生的可能性结合概率公式分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后“正面朝上”和“反面朝上”的概率是相等的，是等可能的，正确，不符合题意； B、甲、乙两地之间质地均匀的电缆有一处断点，断点出现在电缆的各个位置上的概率相同，是等可能的，正确，不符合题意； C、抛掷一枚质地均匀的骰子，“朝上一面的点数是奇数”和“朝上一面的点数是偶数”的概率是相等的，是等可能的，正确，不符合题意； D、一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，“摸到白球”的概率大于“摸到红球”的概率，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是随机事件发生的可能性的大小，概率的含义，掌握“等可能事件的理解”是解题的关键. 4．某超市开展“迎藏历新年”大酬宾活动，凡购物满200元者，可参与一次转盘抽奖（如图1）．德吉购买了220元的物品，她最有可能抽中（    ） A．一等奖 B．二等奖 C．三等奖 D．谢谢惠顾 【答案】C 【分析】本题主要考查可能性的大小，理解面积大的转到的可能性就大是解题的关键．根据图示发现三等奖所占面积最大即可得到答案． 【详解】解：根据图示发现三等奖所占面积最大， 故她最有可能抽中三等奖． 故选C． 5．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” 【答案】C 【分析】分别计算出每个事件的概率，其值约为0.16的即符合题意． 【详解】A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意； C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意； D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了概率的计算和用频率估计概率，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定． 6．一只不透明袋子中装有1个绿球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验，将口袋中的球拌匀，从中随机摸出个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到黑球的频数 142 186 260 668 1064 1333 摸到黑球的频率 0.7100 0.6200 0.6500 0.6680 0.6650 0.6665 该学习小组发现，摸到黑球的频率在一个常数附近摆动，由此估计这个口袋中黑球有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】该学习小组发现，摸到黑球的频率在一个常数附近摆动，这个常数约为0.667，据此知摸出黑球的概率为0.667，继而得摸出绿球的概率为0.333，求出袋子中球的总个数即可得出答案． 【详解】解：该学习小组发现，摸到黑球的频率在一个常数附近摆动，这个常数约为0.667， 估计摸出黑球的概率为0.667， 则摸出绿球的概率为， 袋子中球的总个数为， 由此估出黑球个数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 7．下列说法正确的是（    ） A．任意一个三角形的外角和等于180°”这一事件是不可能事件 B．必然事件发生的概率为0 C．一组数据1，6，3，9，8的极差为7 D．面积相等的两个三角形全等”这一事件是必然事件 【答案】A 【分析】利用必然事件、不可能事件、随机事件的定义，以及概率的意义判断即可． 【详解】解：A、“任意一个三角形的外角和等于180°”这一事件是不可能事件，符合题意； B、必然事件发生的概率为1，不符合题意； C、一组数据1，6，3，9，8的极差为9-1=8，不符合题意； D、“面积相等的两个三角形全等”这一事件是不确定事件，不符合题意， 故选A． 【点睛】本题考查概率的意义，极差，以及随机事件，解题关键是熟练掌握各自的性质． 8．小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如表：下列说法正确的是（　　） 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次 B．若抛掷图钉100次，则一定有64次“钉尖不着地” C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性 D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”概率为0.8 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用频率估计概率逐项判断即可解答． 【详解】解：A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次，正确，符合题意； B．若抛掷图钉100次，则可能有64次“钉尖不着地”，错误，不符合题意； C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”可能性不相等，错误，不符合题意； D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，次数较少，不能用来估计“钉尖不着地”概率，错误，不符合题意； 故选：A． 二、填空题 9．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，下列个事件：①向上一面的点数是奇数；②向上一面的点数是的倍数；③向上一面的点数不小于．其中发生的可能性最大的事件是 ．（填写你认为正确的序号即可） 【答案】③ 【分析】本题考查概率，掌握公式是关键． 根据其发生的概率即可比较出事件发生的可能性的大小． 【详解】①“向上一面的点数是奇数”的概率为， ②“向上一面的点数是3的倍数”的概率为， ③“向上一面的点数不小于”的概率为，故其中发生的可能性最大的事件是③， 故答案为：③． 10．下列事件中，必然事件有 ，随机事件有 ，不可能事件有 填序号 随意翻下日历，看到的是星期六；十五的月亮像弯弯的小船；太阳从东方升起；小亮买福利彩票中了一等奖；当时，抛物线与x轴没有交点． 【答案】 【分析】根据必然事件是一定会发生的事件，随机事件是可能发生的事件也可能不发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件解答即可．本题考查了必然事件的定义，随机事件的定义，不可能事件的定义，理解必然事件、随机事件、不可能事件的定义是解题的关键． 【详解】解：①∵“随意翻下日历，看到的是星期六”翻日历看到的日期是不确定的，有可能是星期六，有可能是其他日期， ∴“随意翻下日历，看到的是星期六”属于随机事件； ②∵“十五的月亮像弯弯的小船”十五的月亮通常是圆的，不可能像弯弯的小船， ∴“十五的月亮像弯弯的小船”是不可能事件； ③∵“太阳从东方升起”这是属于自然规律，一定会发生， ∴“太阳从东方升起”是必然事件； ④∵“小亮买福利彩票中了一等奖”买福利彩票中奖具有随机性，有可能中奖爱那个，有可能不中奖， ∴“小亮买福利彩票中了一等奖”属于随机事件； ⑤∵“当时，抛物线与x轴没有交点”这个是由抛物线的性质决定的， ∴“当时，抛物线与x轴没有交点”属于必然事件． 故答案为：；；. 11．电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡．若“小灯泡发光”这个事件是随机事件，则需要闭合 个开关． 【答案】2 【分析】根据题意，只需闭合2个开关，则小灯泡可能发光，也可能不发光，则是随机事件． 【详解】解：根据题中所给电路图可知，闭合2个开关，则小灯泡可能发光，也可能不发光， 则“小灯泡发光”这个事件是随机事件， 故答案为：2 【点睛】本题考查了随机事件的定义，理解题意是解题的关键． 12．2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据： 幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000 幼树移植成活数（棵） 87 893 4485 7224 8983 13443 18044 幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 ．（结果精确到0.1） 【答案】0.9 【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】∵幼树移植数20000时，幼树移植成活的频率是0.902， ∴估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9， 故答案为：0.9． 【点睛】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． 13．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．（注：） 下面有四个推断： ①当投掷次数是时，计算机记录“钉尖向上”的次数是，所以“钉尖向上”的概率是； ②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是； ③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的概率一定是； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的情况一定高于次． 其中合理的是 ． 【答案】② 【分析】本题考查了利用频率估计概率．根据图象和各个推断的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：当投掷次数是时，计算机记录“钉尖向上”的次数是，所以此时“钉尖向上”的频率是：，但“钉尖向上”的概率不一定是，故①错误； 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是．故②正确； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是，故③错误； 由图可知，用计算机模拟实验，当投掷次数为时，则“钉尖向上”的频率是，由此可得当投掷次数为时，则“钉尖向上”的频率在左右，但不代表一定是，则“钉尖向上”的情况不一定高于次，故④错误，不符合题意． 故答案为：②． 14．投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子（六个面分别标记、、、、、点），有下列事件：①掷得的点数是；②掷得的点数是奇数；③掷得的点数不小于；④掷得的点数为．这些事件发生的可能性由大到小排列是 （填序号）． 【答案】② ③ ① ④ 【分析】此题考查可能性大小的比较，正确记忆相关知识点是解题关键．只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．分别比较情况数的大小即可选得答案． 【详解】解：根据题意，投掷一枚普通的六面体骰子，共种情况： ① 掷得的点数是包含种情况； ② 掷得的点数是奇数包括种情况； ③ 掷得的点数不小于包括种情况； ④ 掷得的点数为包括种情况， 故发生的可能性由大到小的顺序排为② ③ ① ④． 故答案为：② ③ ① ④． 15．一只不透明的袋子里装有4个黑球，2个白球．每个球除颜色外都相同，则事件“从中任意摸出1个球，是黑球”的事件类型是 填“随机事件”“不可能事件”或“必然事件”． 【答案】随机事件 【分析】直接利用随机事件的定义得出答案． 【详解】解：袋子里装有4个黑球，2个白球， 从中任意摸出1个球，可能是黑球，有可能是白球， 事件“从中任意摸出1个球，是黑球”的事件类型是随机事件， 故答案为：随机事件． 【点睛】此题主要考查了随机事件，正确掌握相关定义是解题关键． 16．有两个正方体的积木，如图所示： 下面是淘气掷200次积木的情况统计表： 灰色的面朝上 白色的面朝上 32次 168次 根据表中的数据推测，淘气更有可能掷的是 号积木，请简要说明你的判断理由 ． 【答案】 ② 淘气掷200次积木的实验频率接近于②号积木相应的概率． 【分析】计算出①号积木、②号积木朝上的面为白色、为灰色的概率，再求出淘气掷200次积木的实验频率，进行判断即可． 【详解】①号积木由于三面灰色，三面白色，因此随机掷1次，朝上的面是白色、灰色的可能性都是， ②号积木由于一面灰色，五面白色，因此随机掷1次，朝上的面是灰色的可能性都是，是白色的可能性为， 由表格中的数据可得，淘气掷200次积木得到朝上的面为灰色的频率为，白色的频率为， 故他选择的是②号积木， 理由：淘气掷200次积木的实验频率接近于②号积木相应的概率． 【点睛】本题主要考查频率与概率的关系，解题的关键是正确理解实验频率与概率的关系． 三、解答题 17．在一个不透明的口袋中装有大小、形状一模一样的5个红球，3个蓝球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请判断以下是随机事件、不可能事件还是必然事件． (1)任意取出一球，是白球； (2)任意取出6个球，至少有一个是红球； (3)任意取出5个球，全是蓝球； (4)任意取出6个球，恰好红、蓝、白3种颜色的球都有． 【答案】(1)随机事件 (2)必然事件 (3)不可能事件 (4)随机事件 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于那一种类别． 【详解】（1）解：可能发生，也可能不发生，是随机事件； （2）解：一定会发生，是必然事件； （3）解：不可能发生，是不可能事件； （4）解：可能发生，也可能不发生，是随机事件． 【点睛】本题主要考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念，解决问题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 18．指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件． ①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； ②367人中至少有2人的生日相同； ③没有水分，种子也会发芽； ④某运动员百米赛跑的成绩是； ⑤同种电荷相互排斥； ⑥通常情况下，高铁比普通列车快； ⑦用长度分别为3 cm，5 cm，8 cm的三条线段能围成一个三角形． 【答案】必然事件：①②⑤⑥；不可能事件：③④⑦ 【分析】根据随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可作出判断． 【详解】解：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，是必然事件； ②367人中至少有2人的生日相同，是必然事件； ③没有水分，种子也会发芽，是不可能事件； ④某运动员百米赛跑的成绩是，是不可能事件，； ⑤同种电荷相互排斥，是必然事件； ⑥通常情况下，高铁比普通列车快，是必然事件； ⑦用长度分别为，，的三条线段能围成一个三角形，是不可能事件； ∴必然事件：①②⑤⑥； 不可能事件：③④⑦． 【点睛】此题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 19．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球．请你估计这个口袋中红球和白球的数量． 【答案】大约有7个红球、3个白球． 【分析】先求出摸到红球的频率，再乘以口袋中总球的个数，即可得出口袋中红球的数量． 【详解】解：由题意可得， 红球的概率为， 则这个口袋中红球的个数：10×70%＝7（个）． 则白球的个数为3个． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 20．指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？ ①若a，b，c都是实数，则； ②没有空气，动物也能生存下去； ③在地球上看到太阳从西方升起； ④直线过定点； ⑤某一天内电话收到的呼叫次数为0； ⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出一个球为白球． 【答案】②③是不可能事件；①④是必然事件；⑤⑥是随机事件 【分析】本题主要考查不可能事件、必然事件、随机事件的定义，根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义可判断它们分别属于哪一类别，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】①若a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c是必然事件； ②没有空气，动物也能生存下去是不可能事件； ③在地球上看到太阳从西方升起是不可能事件； ④直线过定点是必然事件； ⑤某一天内电话收到的呼叫次数为0是随机事件； ⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出1个球为白球是随机事件； 所以②③是不可能事件；①④是必然事件；⑤⑥是随机事件． 21．某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如表所示： 抽取作业数量n 100 200 300 400 500 1000 优秀数量m 94 194 288 380 475 b 优秀频率 a 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95 (1)计算：______，______； (2)估计该市学生作业优秀的概率．（精确到0.01） 【答案】(1)0.94，950 (2)0.95 【分析】本题主要考查了频率、概率的计算及用频率估计概率的应用，熟练掌握频率公式和用频率估计概率的思想是解题的关键． （1）根据频率公式求，根据优秀数量抽取作业数量×优秀频率求即可； （2）观察随着抽取作业数量增加，优秀频率的稳定值，以此估计概率． 【详解】（1）解：，， 故答案为，； （2）解：随着增大，优秀频率稳定在附近， ∴估计该市学生作业优秀的概率大约是． 22．从一副扑克牌（张，没有大王和小王）中每次抽出张，然后放回洗匀再抽，在抽牌试验中得到部分数据，如表所示： 试验次数 抽出红心牌的频数 抽出红心牌的频率 (1)表中______，由表中数据可以得出的结论是：______． (2)若从这张牌中抽出张牌是红心牌，它的概率是多少？ 【答案】(1)；随着试验次数的不断增多，出现红心牌的频率将会稳定在附近； (2)． 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，解题的关键是正确理解大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （）根据频率和频数的关系求得的值，利用频率估计概率即可得出结论； （）利用频率估计概率即可得出答案． 【详解】（1）解：， 由表中数据可以得出的结论是：随着试验次数的不断增多，出现红心牌的频率将会稳定在附近； 故答案为：，随着试验次数的不断增多，出现红心牌的频率将会稳定在附近； （2）解：从表中得出，从这张牌中抽出张牌是红心牌，它的概率是． 23．在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共 10 个, 这些球除颜色外都相同．小颖将球搅匀, 从盒子里随机摸出一个球记下颜色后, 再把球放回盒子, 不断重复上述过程．下表是 多次摸球试验中的一组统计数据: 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 64 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.64 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 (1)请估计: 当 很大时, 摸到白球的频率将会接近 ; (精确到 ) (2)若从盒子里随机摸出一个球, 求摸到白球的概率的估计值．(精确到 ) 【答案】(1)0.6 (2)0.6 【分析】（1）观察表格找到逐渐稳定到的常数即可； （2）根据概率接近于（1）得到的频率即可求解。 【详解】（1）解：∵当n=1000时，摸到白球的频率约为0.6，当n=3000时，摸到白球的频率约为0.6， ∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6； 故答案为：0.6； （2）解：∵当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6， ∴若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为0.6； 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，掌握概率的定义是解题的关键． 24．如图所示的是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色．不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 指向黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 指向黄色区域的频率 0.36 m 0.325 n 0.3325 0.3335 (1)下列说法错误的是_______（填序号）； ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10． (2)求表中的值，并估计随机转动转盘后指针指向黄色区域的概率（结果精确到0.01）； (3)怎样修改转盘的颜色分布情况能使指针指向每种颜色的可能性相同？ 【答案】(1)①③ (2)，估计随机转动转盘后指针指向黄色区域的概率为0.33 (3)将1个绿色区域改为蓝色区域能使指针指向每种颜色区域的可能性相同 【分析】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案； （2）根据频率可得m,n的值，再利用频率来估计概率即可； （3）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【详解】（1）解：①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针不一定指向绿色区域，故本选项说法错误； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数，故本选项说法正确； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误； 故答案为：①③． （2）解：，， 故估计随机转动转盘后指针指向黄色区域的概率为0.33； （3）解：将一个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 认识概率（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】必然事件、不可能事件与随机事件 事件类型 定义 示例 确定事件 必然事件 在一定条件下，有些事件我们事先能确定它一定会发生，这样的事件是必然事件. 抛出的硬币会下落. 不可能事件 在一定条件下，有些事件我们事先能确定它一定不会发生，这样的事件是不可能事件. 在全是白球的口袋中摸出红球. 随机事件 在一定条件下，很多事件我们事先不能确定它会不会发生，这样的事件是随机事件. 明天会下雨. 说明：（1）必然事件、不可能事件都必须受到一定条件的限制， 例如：在标准大气压下，水加热到100 ℃ 沸腾是必然事件，但在气压高于标准大气压时，水加热到100 ℃ 沸腾就是不可能事件了（此时沸点提高了）. （2）一般地，描述真理或客观存在的事实的事件是必然事件，描述违背真理或者客观存在的事实的事件是不可能事件. （3）有些随机事件发生的机会很大，但不是必然事件；有些随机事件发生的机会很小，但依然有发生的机会，不是不可能事件. 【知识点02】概率 1.事件发生的可能性的大小： 一般地，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小一般不同. 示例1 用图形描述事件发生的可能性的大小 解题通法 比较随机事件发生的可能性大小的方法 2.概率：我们把用于度量一个随机事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率.如果用字母A表示一个事件，那么P(A) 表示事件A 发生的概率. 说明：一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 示例2 事件与概率之间的关系 敲黑板 事件发生的概率 （1）当事件A为必然事件时，P(A)=1. （2）当事件A为不可能事件时，P(A)=0. （3）当事件A为随机事件时，0<P(A)<1. （4）任何事件发生的概率P(A)都满足0≤P(A)≤1. 【知识点03】试验频率与概率之间的关系 1.频率的稳定性：在大量重复试验中，一个随机事件发生的频率在某一个常数附近摆动，并趋于稳定，我们把这种现象称为频率的稳定性. 2.用频率估计概率：一般地，我们把试验次数很大时随机事件发生的频率的稳定值作为其发生的概率. 频率的稳定性只适用于随机事件.因为频率是一个试验值，概率是一个理论值，所以只有当试验次数很大时，才可以用随机事件发生的频率的稳定值作为其发生的概率的估计值. 辨析：频率和概率的区别和联系 名称 关系 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值. 理论值（是一个固定值）.  与试验次数的变化有关. 与试验次数的变化无关. 区别 与试验人、试验时间、试验地点有关. 与试验人、试验时间、试验地点无关. 联系 当试验次数足够大时，频率无限接近于概率. 说明：用频率估计概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验中反映的规律并不意味着在每一次的试验中一定出现. 【题型一】事件的分类 例1．（24-25八年级下·江苏南京·月考）下列事件中是必然事件的是（　　） A．打开电视正在播放新闻 B．太阳从东方升起，从西方落下 C．任意买一张电影票，座位号是偶数 D．在装有4个红球、2个白球的袋子中摸出一个黄球 例2．（24-25八年级下·江苏南京·月考）给出下列结论：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件；②可能性很大的事件是必然发生的；③如果一个事件不是必然发生的，那么它就是不可能发生的．其中正确的是 （填序号）． 变式1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）“下个月8号沭阳城区下雨”是 （填“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”）． 变式2．（22-23八年级下·江苏连云港·月考）在一个不透明的口袋中装有大小、形状一模一样的5个红球，3个蓝球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请判断以下是随机事件、不可能事件还是必然事件． (1)任意取出一球，是白球； (2)任意取出6个球，至少有一个是红球； (3)任意取出5个球，全是蓝球； (4)任意取出6个球，恰好红、蓝、白3种颜色的球都有． 【题型二】判断事件发生的可能性的大小 例3．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（   ） A．守株待兔 B．大海捞针 C．水中捞月 D．瓜熟蒂落 例4．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，三个不透明布袋中都装进只有颜色不同的5个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”的可能性更大的布袋是 ．（填写布袋对应的序号） 变式 1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）下列事件中，发生可能性最大的是（   ） A．掷骰子，掷到6点 B．随意翻到一本书的某页，页码是奇数 C．画一个四边形，其内角和是 D．射击运动员射击一次，命中靶心 变式2．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图所示的是各个不透明的袋子中球的情况，每个球除颜色外都相同．任意摸出1个球，请你根据摸到红球的可能性大小填空（填序号）． (1)一定能摸到的是 ； (2)能摸到且摸到的可能性较大的是 ； (3)能摸到但摸到的可能性较小的是 ； (4)不可能摸到的是 ． 【题型三】概率的意义理解 例5．（24-25八年级下·江苏南京·期末）根据天气预报，南京市明天降水概率是，下列说法正确的是（   ） A．南京市明天将有的地区降水 B．南京市明天将有的时间降水 C．南京市明天降水的可能性不大 D．南京市明天肯定不会降水 例6．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）A、B、C三个事件发生的概率分别为 ．对其中一个事件的描述是“发生与不发生的可能性一样大”．该事件是 ．（选填“A、B或C”） 变式1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同．如果连续抛掷一枚质地均匀的硬币99次，都是正面朝上，那么第100次抛掷时正面朝上的概率是 （    ） A．0 B． C． D．1 变式2．（22-23八年级下·江苏南京·月考）如果事件发生的概率是，那么在相同条件下重复试验，下列说法正确的是 ． 填符合条件的序号 说明做次这种试验，事件必发生次； 说明做次这种试验，事件可能发生次； 说明做次这种试验中，前次事件没发生，后次事件才发生； 说明事件发生的频率是． 【题型四】判断几个事件概率的大小关系 例7．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（　　） A．白球 B．黑球 C．红球 D．黄球 变式1．（22-23八年级下·江苏常州·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被涂成蓝、红两种颜色，任意转动转盘一次，则P（蓝）表示指针停留在蓝色区域的可能性，P（红）表示指针停留在红色区域的可能性，则P（蓝） P（红）．（填“”“”或“”）    变式2．（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 【题型五】求某事件的频率 例8．（23-24八年级下·江苏连云港·月考）不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A．12个 B．15个 C．18个 D．20个 例9．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是 ． 变式1．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）2023年6月28日，十四届全国人大常委会第三次会议决定：将8月15日设立为全国生态日．第一个生态日的活动主题是“绿水青山就是金山银山”．在划线部分的这句话中，“山”出现的频率是 ． 变式2．（24-25七年级下·全国·课后作业）在一个不透明的盒子里装有大小、形状一样的黑、白两种球共40个，小颖与同学们做摸球试验，摸球方法是：将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，统计同学们的摸球结果，记录的数据如下表所示： 试验次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 摸到白球的次数 70 105 198 235 288 375 408 490 540 599 摸到白球的频率 (1)把表中的数据补充完整（精确到），并根据统计表画出折线统计图； (2)估计任意摸出一个球是白球的频率是____________（精确到）． 【题型六】由频率估计概率 例10．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）今年植树节，某社区集中移栽了一批香樟树．该社区调查了这批香樟树移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计这批香樟树移栽成活的概率约为（    ） A．0.85 B．0.90 C．0.95 D．0.98 例11．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）某地林业部门考查银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数b 84 279 534 902 6293 13576 成活的频率 根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为 （精确到）． 变式1．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）育种实验室在相同的条件下对某品种小麦发芽情况进行测试，得到如下数据： 抽查小麦粒数 100 500 1000 2000 3000 4000 发芽粒数 96 489 967 1940 2908 a 则a的值最有可能是（    ） A．3600 B．3720 C．3880 D．3970 变式2．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）图像识别是人工智能领域的一个重要分支．如图，某人工智能模型图像识别的正确率随着训练次数的增加而逐渐趋于稳定．现用该模型识别100幅图像，被正确识别的图像估计有 幅． 变式3．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 命中的次数 命中的频率 (1)填空：______，______； (2)测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是_______（精确到）； (3)根据估计的概率，若该运动员投篮次，则他命中的次数大约是_______次； 【题型七】用频率估计概率的综合应用 例12．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）在一个不透明的盒子里装有个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中、不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.25左右，则据此估计盒子中大约有白球 个． 变式1．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某市林业局要移植一种树苗．对附近地区去年这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如下折线统计图： (1)这种树苗成活概率的估计值为______． (2)若移植这种树苗50000棵，估计可以成活______棵． (3)若计划成活90000棵这种树苗，则需移植这种树苗大约多少棵？ 变式2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 a 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 b (1)完成上述表格：______，______； (2)这种树苗成活的概率估计值为______； (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 一、单选题 1．下列成语描述的事件为随机事件的是（    ） A．水涨船高 B．水中捞月 C．守株待兔 D．缘木求鱼 2．下列事件中、属于不可能事件的是（　　） A．打开电视机、正在直接足球比赛 B．在只装有2个玻璃球球的袋中摸出一个球是黑球 C．掷一次骰子，向上的一面出现的点数大于7 D．当室外温度低于时，一碗清水在室外会结冰 3．下列说法中错误的是（    ） A．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后“正面朝上”和“反面朝上”是等可能的 B．甲、乙两地之间质地均匀的电缆有一处断点，断点出现在电缆的各个位置是等可能的 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，“朝上一面的点数是奇数”和“朝上一面的点数是偶数”是等可能的 D．一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，“摸到白球”和“摸到红球”是等可能的 4．某超市开展“迎藏历新年”大酬宾活动，凡购物满200元者，可参与一次转盘抽奖（如图1）．德吉购买了220元的物品，她最有可能抽中（    ） A．一等奖 B．二等奖 C．三等奖 D．谢谢惠顾 5．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” 6．一只不透明袋子中装有1个绿球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验，将口袋中的球拌匀，从中随机摸出个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到黑球的频数 142 186 260 668 1064 1333 摸到黑球的频率 0.7100 0.6200 0.6500 0.6680 0.6650 0.6665 该学习小组发现，摸到黑球的频率在一个常数附近摆动，由此估计这个口袋中黑球有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 7．下列说法正确的是（    ） A．任意一个三角形的外角和等于180°”这一事件是不可能事件 B．必然事件发生的概率为0 C．一组数据1，6，3，9，8的极差为7 D．面积相等的两个三角形全等”这一事件是必然事件 8．小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如表：下列说法正确的是（　　） 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次 B．若抛掷图钉100次，则一定有64次“钉尖不着地” C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性 D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”概率为0.8 二、填空题 9．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，下列个事件：①向上一面的点数是奇数；②向上一面的点数是的倍数；③向上一面的点数不小于．其中发生的可能性最大的事件是 ．（填写你认为正确的序号即可） 10．下列事件中，必然事件有 ，随机事件有 ，不可能事件有 填序号 随意翻下日历，看到的是星期六；十五的月亮像弯弯的小船；太阳从东方升起；小亮买福利彩票中了一等奖；当时，抛物线与x轴没有交点． 11．电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡．若“小灯泡发光”这个事件是随机事件，则需要闭合 个开关． 12．2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据： 幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000 幼树移植成活数（棵） 87 893 4485 7224 8983 13443 18044 幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 ．（结果精确到0.1） 13．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．（注：） 下面有四个推断： ①当投掷次数是时，计算机记录“钉尖向上”的次数是，所以“钉尖向上”的概率是； ②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是； ③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的概率一定是； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的情况一定高于次． 其中合理的是 ． 14．投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子（六个面分别标记、、、、、点），有下列事件：①掷得的点数是；②掷得的点数是奇数；③掷得的点数不小于；④掷得的点数为．这些事件发生的可能性由大到小排列是 （填序号）． 15．一只不透明的袋子里装有4个黑球，2个白球．每个球除颜色外都相同，则事件“从中任意摸出1个球，是黑球”的事件类型是 填“随机事件”“不可能事件”或“必然事件”． 16．有两个正方体的积木，如图所示： 下面是淘气掷200次积木的情况统计表： 灰色的面朝上 白色的面朝上 32次 168次 根据表中的数据推测，淘气更有可能掷的是 号积木，请简要说明你的判断理由 ． 三、解答题 17．在一个不透明的口袋中装有大小、形状一模一样的5个红球，3个蓝球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请判断以下是随机事件、不可能事件还是必然事件． (1)任意取出一球，是白球； (2)任意取出6个球，至少有一个是红球； (3)任意取出5个球，全是蓝球； (4)任意取出6个球，恰好红、蓝、白3种颜色的球都有． 18．指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件． ①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； ②367人中至少有2人的生日相同； ③没有水分，种子也会发芽； ④某运动员百米赛跑的成绩是； ⑤同种电荷相互排斥； ⑥通常情况下，高铁比普通列车快； ⑦用长度分别为3 cm，5 cm，8 cm的三条线段能围成一个三角形． 19．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球．请你估计这个口袋中红球和白球的数量． 20．指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？ ①若a，b，c都是实数，则； ②没有空气，动物也能生存下去； ③在地球上看到太阳从西方升起； ④直线过定点； ⑤某一天内电话收到的呼叫次数为0； ⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出一个球为白球． 21．某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如表所示： 抽取作业数量n 100 200 300 400 500 1000 优秀数量m 94 194 288 380 475 b 优秀频率 a 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95 (1)计算：______，______； (2)估计该市学生作业优秀的概率．（精确到0.01） 22．从一副扑克牌（张，没有大王和小王）中每次抽出张，然后放回洗匀再抽，在抽牌试验中得到部分数据，如表所示： 试验次数 抽出红心牌的频数 抽出红心牌的频率 (1)表中______，由表中数据可以得出的结论是：______． (2)若从这张牌中抽出张牌是红心牌，它的概率是多少？ 23．在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共 10 个, 这些球除颜色外都相同．小颖将球搅匀, 从盒子里随机摸出一个球记下颜色后, 再把球放回盒子, 不断重复上述过程．下表是 多次摸球试验中的一组统计数据: 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 64 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.64 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 (1)请估计: 当 很大时, 摸到白球的频率将会接近 ; (精确到 ) (2)若从盒子里随机摸出一个球, 求摸到白球的概率的估计值．(精确到 ) 24．如图所示的是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色．不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 指向黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 指向黄色区域的频率 0.36 m 0.325 n 0.3325 0.3335 (1)下列说法错误的是_______（填序号）； ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10． (2)求表中的值，并估计随机转动转盘后指针指向黄色区域的概率（结果精确到0.01）； (3)怎样修改转盘的颜色分布情况能使指针指向每种颜色的可能性相同？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $