第01讲 圆的方程（4个知识点+5种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选择性必修第一册）

第01讲 圆的方程 课程标准 学习目标 1. 通过圆的方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养. 2. 通过学习圆的方程的应用，培养数学运算的数学素养. 1. 理解与掌握圆的一般方程的形式与条件，并能准确的判定圆的存在所满足的条件.会判断点与圆的位置关系. (难点) 2.会求圆的一般方程，并能解决与圆有关的位置、距离的综合问题. (重点) 知识点01．圆的标准方程 (1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． (2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示． (3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆． 思考：平面内确定圆的要素是什么？ [提示]　圆心坐标和半径． 【即学即练1】（2023秋•浦东新区校级月考）若点在圆内，则实数的取值范围为 　　． 知识点02．点与圆的位置关系 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝. 位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 【即学即练2】已知圆心为点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系． 知识点03.圆的一般方程 (1)圆的一般方程的概念 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 其中圆心为，圆的半径为r＝. (2)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论 ①D2＋E2－4F＞0时表示圆． ②D2＋E2－4F＝0时表示点. ③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形． 思考：方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？ [提示]　A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4F＞0. 【即学即练3】（23·24高二上·上海·课时练习）求经过、、三点的圆的方程． 知识点04．直线与圆的三种位置关系 位置关系 交点个数 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 【即学即练4】（2023秋•浦东新区校级期末）点，在圆外，则直线与该圆的位置关系为 　相交　． 【分析】由点在圆外得到，计算圆心到直线的距离，可以发现此距离小于半径，得出结论． 【解答】解：点，是圆外一点，故有， 圆心到直线的距离为， 直线与该圆的位置关系是相交． 故答案为：相交． 题型一：圆的标准方程 1．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知实数x，y满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二·全国·课后作业）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海·随堂练习）已知点，则该点与圆的位置关系是 ． 4．（24-25高二下·上海·随堂练习）某圆的圆心为，且过点，则圆的标准方程是 ． 5．（23-24高二下·上海·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的方程． 题型二：圆的一般方程 1．（23-24高二上·全国·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·期中）曲线的周长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·期中）已知坐标原点在圆的外部，则实数a的取值范围为 ． 4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知表示圆，求实数的值． 题型三：直线与圆的位置关系 1．（24-25高二上·上海闵行·阶段练习）“”是直线与圆相交的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 2．（24-25高二上·上海·单元测试）直线绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l与圆的位置关系是（    ） A．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心 C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点 3．（23-24高二下·上海·期末）已知圆的方程为，点，是圆内一点，设以为中点的弦所在的直线为，方程为的直线为，则（   ） A．，且与圆相交 B．，且与圆相离 C．，且与圆相交 D．，且与圆相离 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知圆与直线相切，则圆关于直线对称的圆的标准方程为 . 5．（24-25高二上·上海·期中）若关于的方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围是 . 题型四：圆与圆的位置关系 1．（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆：和圆：的公共弦所在直线经过原点，则实数a的值为 ． 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知动圆M经过点、，P是圆M与圆C：的一个公共点.当最大时，圆的半径为 . 3．（24-25高二上·上海·期中）已知圆，其中． (1)如果圆与圆外切，求的值； (2)如果直线与圆相交所得的弦长为，求的值． 4．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为 . 题型五：由圆的位置关系确定参数或范围 1．（24-25高二上·上海·期中）已知圆：和圆：外切，则的值为 . 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知圆，圆，若两圆相交，则正实数的取值范围是 . 3．（高二上·全国·课后作业）若圆与圆外切，则＝（    ） A．21 B．19 C．9 D． 4．（23-24高二上·全国·期中）若圆与圆恰有一条公切线，则（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．8 5．（23-24高二上·上海·课后作业）已知圆和圆，当为何值时，圆与圆分别内切、相交？ 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期中）圆上到直线的距离为1的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）“”是“圆与坐标轴有四个交点”的（    ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．非充分非必要条件． 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线的方程为，圆的方程为，则（    ） A．圆与圆相交 B．若，直线与圆相交于A、两点，则 C．若，则直线与圆一定相交 D．若，过上的一点作圆的两条切线，切点分别为、，则的最小值为 4．（23-24高二上·上海·期末）已知不同两点，在曲线上，且满足，则直线AB斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高二上·上海松江·期中）若圆：关于直线对称，则实数 . 6．（24-25高二上·上海·期中）经过点且与圆相切的直线方程为 . 7．（24-25高二上·上海·阶段练习）在圆内，过点的直线被该圆所截得弦的长度的最小值为 . 8．（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆关于直线对称，则下列结论正确的是 ．（填序号） ①圆的圆心是；②圆的半径是2；③；④ab的取值范围是． 9．（24-25高二·上海·课堂例题）若从点引圆的切线，则切线长是 ． 10．（24-25高二上·上海·课后作业）已知A、B为圆C：上两个不同的点（C为圆心），且满足，则 ． 11．（24-25高二上·上海·课后作业）过坐标原点的直线l与圆相交，且将该圆分成的两段弧长之比为2∶1，则l的斜率为 ． 12．（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆O：圆：，则下列结论正确的是 ． ①无论k取何值，圆心始终在直线上； ②若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为； ③若圆O与圆的公共弦长为，则或； ④与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为． 13．（23-24高二上·上海·期末）圆内有一点，为过点的弦.当弦被点平分时，则直线的方程为 . 14．（22-23高二下·上海静安·期中）设直线与圆相交所得弦长为，则 15．（22-23高二下·上海徐汇·期中）点与两个定点，的距离的比为，则点的轨迹方程为 ． 16．（22-23高二下·上海浦东新·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，则点P的轨迹方程为 . 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·期中）已知直线，圆 (1)求证：无论a取何值，直线l均与圆O相交； (2)已知AC、BD是圆O的两条相互两直的弦，且垂足为，求四边形ABCD的面积的最大值． 18．（23-24高二下·上海·期中）已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 19．（23-24高二下·上海长宁·期末）（1）已知直线方程： ，：，求出实数m分别取何值时，与分别：相交、平行、垂直； （2）已知曲线C的方程为，求过点且与曲线C相切的直线方程. 20．（23-24高二上·上海·期末）已知圆经过原点且与轴相切，与轴正半轴交于点. (1)求圆的方程； (2)判断点与圆的位置关系，并求经过点的圆的切线方程. 21．（高二上·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，已知是函数的图像上的动点，以为圆心的圆与轴交于两点，与轴交于两点. (1)求证：的面积为定值； (2)设直线与圆交于两点。若，求圆的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 圆的方程 课程标准 学习目标 1. 通过圆的方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养. 2. 通过学习圆的方程的应用，培养数学运算的数学素养. 1. 理解与掌握圆的一般方程的形式与条件，并能准确的判定圆的存在所满足的条件.会判断点与圆的位置关系. (难点) 2.会求圆的一般方程，并能解决与圆有关的位置、距离的综合问题. (重点) 知识点01．圆的标准方程 (1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． (2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示． (3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆． 思考：平面内确定圆的要素是什么？ [提示]　圆心坐标和半径． 【即学即练1】（2023秋•浦东新区校级月考）若点在圆内，则实数的取值范围为 　　． 【分析】由题意可得，求解得答案． 【解答】解：点在圆内， ，得，即． 实数的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查点与圆位置关系的应用，是基础题． 知识点02．点与圆的位置关系 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝. 位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 【即学即练2】已知圆心为点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系． [解]　因为圆心是C(－3，－4)，且经过原点， 所以圆的半径r＝＝5， 所以圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25. 因为|P1C|＝＝＝2<5， 所以P1(－1,0)在圆内； 因为|P2C|＝＝5， 所以P2(1，－1)在圆上； 因为|P3C|＝＝6>5， 所以P3(3，－4)在圆外. 知识点03.圆的一般方程 (1)圆的一般方程的概念 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 其中圆心为，圆的半径为r＝. (2)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论 ①D2＋E2－4F＞0时表示圆． ②D2＋E2－4F＝0时表示点. ③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形． 思考：方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？ [提示]　A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4F＞0. 【即学即练3】（23·24高二上·上海·课时练习）求经过、、三点的圆的方程． 【答案】 【分析】设过三点的圆的方程为：，代入求解即可. 【详解】设过三点的圆的方程为：， 则解得 所求圆的方程为. 知识点04．直线与圆的三种位置关系 位置关系 交点个数 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 【即学即练4】（2023秋•浦东新区校级期末）点，在圆外，则直线与该圆的位置关系为 　相交　． 【分析】由点在圆外得到，计算圆心到直线的距离，可以发现此距离小于半径，得出结论． 【解答】解：点，是圆外一点，故有， 圆心到直线的距离为， 直线与该圆的位置关系是相交． 故答案为：相交． 题型一：圆的标准方程 1．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知实数x，y满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把给定方程化成标准形式，再利用圆的意义借助三角代换求解作答. 【详解】方程化为：，表示以为圆心，1为半径的圆， 设，，即， 因此， 其中锐角由确定，显然，于是当，即时， 取得最小值， 所以的最小值是. 故选：C 2．（21-22高二·全国·课后作业）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知点和关于直线对称，所以先求出圆心，然后利用对称关系可求出的坐标，从而可求出圆的方程 【详解】圆的圆心，半径为1， 设，则由题意得 ，解得即， 所以圆的方程为， 故选：A 3．（24-25高二下·上海·随堂练习）已知点，则该点与圆的位置关系是 ． 【答案】在圆的外部 【分析】由点到圆心的距离与圆的半径比较大小即得. 【详解】由圆的圆心到点的距离为， 知点在圆的外部. 故答案为：在圆的外部. 4．（24-25高二下·上海·随堂练习）某圆的圆心为，且过点，则圆的标准方程是 ． 【答案】 【分析】根据题意求出圆的半径，即可得解. 【详解】由题意半径， 所以圆的标准方程为． 故答案为：. 5．（23-24高二下·上海·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的方程． 【答案】 【分析】根据题意，设圆的方程为，由、两点在圆上建立关于、的方程组，解出、的值即可得出所求圆的方程． 【详解】设圆的方程为， 圆心在直线上，得， 可得圆的方程为， 圆经过点和 所以， 解得，， 因此，所求圆的方程为． 题型二：圆的一般方程 1．（23-24高二上·全国·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出的坐标，利用相关点法求解出的轨迹方程. 【详解】设， 由题意可知，所以， 又因为， 所以， 化简可得， 所以的轨迹方程为， 故选：A. 2．（24-25高二上·上海·期中）曲线的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论写出圆的标准方程，画出图得出结论. 【详解】曲线 曲线的图像如图所示： 该图是以四个点为圆心，半径为的四个半圆，所以该图的周长为：. 故选：B 3．（24-25高二上·上海·期中）已知坐标原点在圆的外部，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据方程为圆可得，再根据原点在圆外可得，故可求参数的取值范围. 【详解】由圆的方程可得即， 而原点在圆的外部，故即， 故，即 故答案为：. 4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知表示圆，求实数的值． 【答案】 【分析】将方程化为一般方程，利用方程表示的曲线为圆可得出关于实数的等式，求出的值，再代值检验即可得解. 【详解】解：由题意可知，则方程可化为. 所以，即，解得或， 当时，方程为，方程配方得，不符合题意； 当时，方程为，方程配方得，符合题意； 综上所述，. 题型三：直线与圆的位置关系 1．（24-25高二上·上海闵行·阶段练习）“”是直线与圆相交的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【分析】根据直线与圆相交的判定方法，以及充分条件和必要条件的定义分别判断即可. 【详解】当时，直线为，即，显然此时直线和圆相交， 当直线与圆相交时， 圆心到直线的距离， 化简得，显然恒成立，故不能推出. 所以“”是直线与圆相交的充分非必要条件. 故选：A. 2．（24-25高二上·上海·单元测试）直线绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l与圆的位置关系是（    ） A．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心 C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线l的方程，再根据圆心到直线l的距离与半径的关系判断作答. 【详解】直线过原点，斜率为，倾斜角为， 依题意，直线l的倾斜角为，斜率为，而l过原点，因此直线l的方程为：，即， 而圆的圆心为，半径为， 于是得圆心到直线l的距离为， 所以直线l与圆相切. 故选：C 3．（23-24高二下·上海·期末）已知圆的方程为，点，是圆内一点，设以为中点的弦所在的直线为，方程为的直线为，则（   ） A．，且与圆相交 B．，且与圆相离 C．，且与圆相交 D．，且与圆相离 【答案】B 【分析】先计算出直线的斜率，由，可得出直线的斜率，再由点斜式可得出直线的方程，由点在圆内得出，据此可判断直线、是平行关系，再利用点到直线的距离可计算出圆心到直线的距离，并与作大小比较，即可得出直线与圆的位置关系． 【详解】如图：    直线的斜率为，由垂径定理可知，，所以，直线的方程为，即， 由于点是圆内一点，则， 又直线的方程为：， 所以，. 圆心到直线的距离为，因此，直线与圆相离. 故选：B 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知圆与直线相切，则圆关于直线对称的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】利用圆与直线相切，求出，然后求出过圆圆心垂直于直线的直线方程，联立求出交点，再利用中点公式求出关于直线对称后圆的圆心坐标，半径没有改变，即可解决问题. 【详解】由圆的圆心为原点，半径为5， 又圆与直线相切， 则到直线的距离为， 则，解得， 设过且与垂直的直线为， 则：， 联立， 得直线l与的交点为， 设圆心关于点的对称点为， 由中点公式有， 所以圆心关于点的对称点为， 因此圆C关于直线l对称的圆的方程为：. 故答案为：. 5．（24-25高二上·上海·期中）若关于的方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】变形给定等式，令，再利用几何意义，结合直线与圆的位置关系求出范围. 【详解】方程， 令，由，得， 因此表示以点为圆心，1为半径的上半圆（含端点）， 表示纵截距为，斜率为的直线，依题意，直线与半圆有两个交点， 在同一坐标系内作出直线与半圆，如图， 当直线与半圆相切时，，显然，解得， 当直线过点时，，此时直线与半圆有两个交点， 当时，直线与半圆有两个交点，即方程有两个不同的实数解， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 题型四：圆与圆的位置关系 1．（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆：和圆：的公共弦所在直线经过原点，则实数a的值为 ． 【答案】6 【分析】将两圆方程作差，得两圆的公共弦所在的方程，即可求解． 【详解】解：将两圆方程联立，得：， 得， 两式相减，得：， 则两圆的公共弦所在的方程为：， 因为公共弦所在的直线经过原点， 所以：， 得， 故答案为：6 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知动圆M经过点、，P是圆M与圆C：的一个公共点.当最大时，圆的半径为 . 【答案】 【分析】利用两圆的位置关系确定两圆内切时最大，根据位置关系建立方程，解得圆心坐标及圆的半径. 【详解】如图:    由圆的性质知：圆心M在AB的垂直平分线上，设AB与直线交于点， 记圆半径为R，当最大时，最大，即最大， 则，由正弦函数的单调性知，最大时，最小，此时两圆内切. 设，，又的圆心，半径为， 所以，即， 平方化简得， 进一步平方化简得，解得或（舍去）， 所以，即圆的半径为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是把角的最大问题转化为两圆内切时的半径问题，根据两圆位置关系列式计算即可. 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海·期中）已知圆，其中． (1)如果圆与圆外切，求的值； (2)如果直线与圆相交所得的弦长为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得圆的圆心和半径，结合两圆的位置关系列式求解； （2）先求圆心到直线的距离，根据垂径定理列式求解即可. 【详解】（1）因为圆，即， 则，即，可知圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 若两圆外切，则，即，解得. （2）因为圆心到直线的距离， 由题意可得，即，解得. 4．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求出两圆得圆心及半径，再根据两圆相交，可得，解之即可. 【详解】圆化为标准方程得， 则圆心，半径， 圆化为标准方程得， 则，半径， 因为两圆相交， 所以， 即，解得（舍去）， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 题型五：由圆的位置关系确定参数或范围 1．（24-25高二上·上海·期中）已知圆：和圆：外切，则的值为 . 【答案】 【分析】分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由圆：和圆：可知， 两圆的圆心坐标分别为，，两圆的半径分别为，， 因为两圆相外切，可得，解得. 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知圆，圆，若两圆相交，则正实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将两个圆的方程化为标准形式，再根据两圆相交得到关于的不等式，解不等式即可. 【详解】圆化为标准方程得， 则圆心，半径， 圆化为标准方程为， 则圆心，半径， 因为两圆相交，所以，即，解得. 故答案为：. 3．（高二上·全国·课后作业）若圆与圆外切，则＝（    ） A．21 B．19 C．9 D． 【答案】C 【分析】先求出两圆的圆心和半径，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果. 【详解】依题意可得圆与圆的圆心分别为，，则， 又，且两圆外切，则，得到，解得． 故选：C. 4．（23-24高二上·全国·期中）若圆与圆恰有一条公切线，则（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．8 【答案】B 【详解】根据圆与圆的位置关系即可求解. 【解答】圆，，， ，又圆与圆只有一条公切线， 所以圆与圆内切，则， 故选：B. 5．（23-24高二上·上海·课后作业）已知圆和圆，当为何值时，圆与圆分别内切、相交？ 【答案】当圆与圆内切，当时，圆与圆相交 【分析】根据圆与圆内切，则，圆与圆相交，则，求解即可. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 若圆与圆内切，则， 即，解得， 若圆与圆相交，则， 即，解得， 所以当圆与圆内切，当时，圆与圆相交. 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期中）圆上到直线的距离为1的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先求圆心到直线的距离，结合圆的性质分析判断. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 可知圆心到直线的距离， 且，所以圆上到直线的距离为1的点有2个. 故选：B. 2．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）“”是“圆与坐标轴有四个交点”的（    ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．非充分非必要条件． 【答案】A 【分析】根据点与圆位置关系的几何意义即可判断. 【详解】由，可以表示为点在圆的距离的内部，此时圆与坐标轴有四个交点，则充分性成立； 反之，由圆的方程可知，圆心为，半径为，则要使圆与坐标轴有四个交点，则，则，则必要性不成立， 故“”是“圆成立的充分不必要条件. 故选：A 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线的方程为，圆的方程为，则（    ） A．圆与圆相交 B．若，直线与圆相交于A、两点，则 C．若，则直线与圆一定相交 D．若，过上的一点作圆的两条切线，切点分别为、，则的最小值为 【答案】B 【分析】结合直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系、弦长公式对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A，圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 两圆的圆心距，两圆外切，故A错误； 对于B，易知直线的方程为，则圆心C到直线的距离， 所以，故B正确； 对于C，因为直线过原点，， 原点在圆C外，所以直线与圆C不一定相交，故C错误； 对于D，由题设及圆的切线性质得， ， 直线的方程为，的最小值为圆心C到直线的距离， 则的最小值为，故D错误. 故选：B 4．（23-24高二上·上海·期末）已知不同两点，在曲线上，且满足，则直线AB斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将曲线方程变形可知曲线为半圆弧，将斜率关系转化为过点的直线与圆弧与两不同交点，结合图形可求直线斜率的范围. 【详解】由得， 曲线为以为圆心，为半径的上半圆弧. 由，为不同两点，且， 则过点的直线与半圆弧有两个不同的交点. 如图，直线的斜率为， 当过点的直线与圆相切于点时， 设直线方程为，即：， 由圆心到直线的距离， 解得（舍），或，即直线的斜率为， 如图可知，要使直线与半圆弧有两个不同的交点， 则直线AB斜率的取值范围为，即. 故选：B. 二、填空题 5．（24-25高二上·上海松江·期中）若圆：关于直线对称，则实数 . 【答案】 【分析】根据圆关于直线对称，可得直线过圆心，即可代入求值. 【详解】由题知，直线过圆的圆心， 则，解得. 故答案为： 6．（24-25高二上·上海·期中）经过点且与圆相切的直线方程为 . 【答案】或 【分析】分斜率存在和不存在两种情况讨论，切线斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径计算可求得直线斜率，即可求得切线方程. 【详解】由题意知，圆心坐标为，半径为5， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意； 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 即， 依题意有，解得， 此时直线方程为，即， 所以所求切线的方程为或. 故答案为：或. 7．（24-25高二上·上海·阶段练习）在圆内，过点的直线被该圆所截得弦的长度的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意可得当时，弦的长度取得最小值，所以先求出的长，再利用勾股定理可求出的最小值 【详解】圆，则圆心，半径为， 由圆的性质可知当时，弦的长度取得最小值， 因为， 所以弦的长度的最小值为 故答案为： 8．（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆关于直线对称，则下列结论正确的是 ．（填序号） ①圆的圆心是；②圆的半径是2；③；④ab的取值范围是． 【答案】①②③④ 【分析】根据圆的一般方程化为标准方程得出圆心和半径判断①②，再根据直线过圆心得出③，再结合换元应用二次函数值域判断④即可. 【详解】对于①②，将圆的方程化为标准方程可得，所以圆心为，半径为2，故①②正确； 对于③，由已知可得，直线经过圆心，所以，整理可得，故③正确； 对于④，由③知，所以，所以的取值范围是，故④正确． 故答案为：①②③④ 9．（24-25高二·上海·课堂例题）若从点引圆的切线，则切线长是 ． 【答案】 【分析】由两点之间的距离公式可得，再根据勾股定理即可得解. 【详解】记圆，圆心为，半径， 则， 所以切线长为. 故答案为：3. 10．（24-25高二上·上海·课后作业）已知A、B为圆C：上两个不同的点（C为圆心），且满足，则 ． 【答案】2 【分析】利用数量积的运算律，结合圆的性质计算即得， 【详解】依题意，， 由，得，解得， 所以. 故答案为：2 11．（24-25高二上·上海·课后作业）过坐标原点的直线l与圆相交，且将该圆分成的两段弧长之比为2∶1，则l的斜率为 ． 【答案】 【分析】由题得两段弧所对的圆心角分别为和，圆心到的距离为1，设的方程为，解方程即得解. 【详解】由题意可知：圆心坐标为，半径为2，因为将该圆分成的两段弧长之比为， 则两段弧所对的圆心角分别为和， 由几何性质可知：圆心到的距离为， 设的方程为，则，解得． 故答案为：. 12．（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆O：圆：，则下列结论正确的是 ． ①无论k取何值，圆心始终在直线上； ②若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为； ③若圆O与圆的公共弦长为，则或； ④与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为． 【答案】①③④ 【分析】求出圆Ck的圆心坐标即可判断①；根据两圆有公共点的条件求出的范围即可判断②；求出公共弦所在直线方程，结合公共弦长和垂径定理求出的值即可判断③；根据的值求出圆的半径，利用两圆的半径求出外公切线长即可判断④. 【详解】对于①，圆的圆心坐标为，在直线上，①正确； 对于②，若圆O与圆有公共点，则，即，解得或，②错误； 对于③，将圆O与圆的方程作差可得公共弦所在直线的方程为， 则圆心O到该直线的距离，则，解得或，③正确； 对于④，当时，圆心距为3，圆O与圆外切，半径差为1，则外公切线长为，④正确． 故答案为：①③④    13．（23-24高二上·上海·期末）圆内有一点，为过点的弦.当弦被点平分时，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】根据条件分析得到，由此可求，直线的点斜式方程可列出，则直线的方程可求. 【详解】圆的圆心为， 当弦被点平分时，此时， 所以， 所以直线的方程为，即为， 故答案为：. 14．（22-23高二下·上海静安·期中）设直线与圆相交所得弦长为，则 【答案】0 【分析】由圆的弦长公式可解. 【详解】依题意，圆心到直线的距离， 由圆的弦长公式：，可得， 解得. 故答案为：0 15．（22-23高二下·上海徐汇·期中）点与两个定点，的距离的比为，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设出动点，利用条件得到，再化简即可得到结果. 【详解】设点，由题知，两边平方化简得，即， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：. 16．（22-23高二下·上海浦东新·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，则点P的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设点P坐标由条件计算化简即可. 【详解】设点，则化简得：. 故答案为： 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·期中）已知直线，圆 (1)求证：无论a取何值，直线l均与圆O相交； (2)已知AC、BD是圆O的两条相互两直的弦，且垂足为，求四边形ABCD的面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】（1）只需证明直线过定点，且该定点在圆内部即可； （2）设圆心到的距离分别为，则，由，，可得的表达式，结合基本不等式可整理出，从而可求出面积的最大值. 【详解】（1）直线即， 令，解得，所以直线过定点， 而，所以点在圆内部， 故无论a取何值，直线l均与圆O相交； （2）设圆心到的距离分别为，则． 则，，所以四边形的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形的面积最大为. 18．（23-24高二下·上海·期中）已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设圆的方程为一般方程，代入三点坐标可得答案； （2）判断出直线过定点，且定点在圆内可得答案. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为在圆上， 所以，解得，满足， 所以圆的方程为； （2）直线，对于， 可得，解得，所以直线过定点， 因为，所以点在圆内， 所以不论为何值，直线与圆总相交. 19．（23-24高二下·上海长宁·期末）（1）已知直线方程： ，：，求出实数m分别取何值时，与分别：相交、平行、垂直； （2）已知曲线C的方程为，求过点且与曲线C相切的直线方程. 【答案】（1）相交且，平行，垂直；（2）或 【分析】（1）先分别求出平行、重合以及垂直时的值，然后再利用直线的位置关系以及补集的概念即可求得相交时的范围； （2）分所求直线斜率是否存在进行讨论，由圆心到直线的距离等于半径即可列式求解. 【详解】（1）若与平行，则，解得或， 当时，与平行，故满足假设， 当时，与重合，故不满足假设， 所以当且仅当时，与平行， 若与垂直，则当且仅当，解得， 而如果与不平行，也不重合时，那么与相交， 换言之若与相交，则当且仅当且； （2）圆的圆心，半径分别是； 过点且斜率不存在的直线为，圆心到直线的距离等于半径1，故满足题意； 过点且斜率为的直线为，若它与题设圆相切， 则有，解得，此时所求直线为，即； 综上所述，所求直线为或. 20．（23-24高二上·上海·期末）已知圆经过原点且与轴相切，与轴正半轴交于点. (1)求圆的方程； (2)判断点与圆的位置关系，并求经过点的圆的切线方程. 【答案】(1) (2)点在圆外，切线方程为或 【分析】（1）由已知条件确定圆心坐标和半径，可求圆的方程； （2）由点到圆心的距离，判断点与圆的位置关系，利用圆心到切线距离等于半径求切线方程. 【详解】（1）圆经过原点且与轴相切，则切点为原点，圆心在轴上， 又圆与轴正半轴交于点，则圆心，圆的半径为2， 所以圆的方程为. （2），则点在圆外， 过点的直线若斜率不存在，则直线方程为，此时直线与圆相切； 过点的直线若斜率存在，设直线方程为，即， 当直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径，即，解得， 此时直线方程为. 所以经过点的圆的切线方程为或. 21．（高二上·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，已知是函数的图像上的动点，以为圆心的圆与轴交于两点，与轴交于两点. (1)求证：的面积为定值； (2)设直线与圆交于两点。若，求圆的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设可得圆的方程，求出两点的坐标计算出的面积即可证明； （2）由条件得出原点在线段的垂直平分线上，所以直线与直线垂直，由斜率之积为-1求得，从而得到圆C的方程. 【详解】（1）设圆心为， 圆过原点，，圆方程为， 令，得，令，得， 为定值； （2）垂直平分线段， ，直线的方程是， ，解得或（舍）， 则圆的方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$