第01讲 圆的方程（6大知识点+4种核心考点+过关测试）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（沪教版2020）

第01讲 圆的方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1理解圆的定义及确定圆的几何要素，理解与掌握平面直角坐标系中圆的标准方程. 2.会根据相关条件写出圆的标准方程及圆的圆心，半径. 3.理解与掌握圆的一般方程的形式与条件，并能准确的判定圆的存在所满足的条件.会判断点与圆的位置关系. 4.会用待定系数法求圆的一般方程，并能解决与圆有关的位置、距离的综合问题. 知识点01．圆的标准方程 1.基本要素：当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径. 2.标准方程：圆心为，半径为r的圆的标准方程是. 3.图例： 若点在圆上，则点的坐标适合方程；反之，若点的坐标适合方程，则点M在圆上. 知识点02．圆的标准方程的推导 如图，设圆的圆心坐标为，半径长为r(其中a,b,r都是常数，r>0).设为该圆上任意一点，那么圆心为C的圆就是集合.由两点间的距离公式，得圆上任意一点M的坐标(x,y)满足的关系式为 ①，①式两边平方，得. 知识点03．求圆的标准方程 求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法． （1）几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． （2）圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． 知识点04．点与圆的位置关系 圆C：，其圆心为，半径为，点， 设. 位置关系 与的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 点在圆上 点在圆内 知识点05．圆的一般方程 1．定义 当时，方程表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为，半径. 2．推导过程 把圆的标准方程展开，并整理得.取， 得： ①. 把①的左边配方，并把常数项移到右边，得. 当且仅当时，方程表示圆，且圆心为，半径长为； 当时，方程只有实数解，所以它表示一个点； 当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 知识点06．待定系数法求圆的一般方程 求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： ①根据题意，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于或的方程组； ③解出或，代入标准方程或一般方程． 考点01、圆的标准方程 1．（24-25高二上·上海·期中）若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】已知点到直线距离求参数、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】求出圆心坐标，利用点到直线的距离公式可求得实数的值. 【详解】圆的圆心为， 由题意可得，即，解得或. 故选：C. 2．（24-25高二下·上海·期末）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由两条直线垂直求方程、由标准方程确定圆心和半径 【分析】先根据圆的标准方程求出圆心坐标，结合两直线垂直的斜率相乘等于求得所求直线斜率，最后点斜式写出所求直线方程； 【详解】圆的圆心为，与直线垂直的直线的斜率为1， 所以所求直线为，即． 故答案为：. 3．（23-24高二下·上海·期中）已知点，，以线段为直径的圆的标准方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求平面两点间的距离 【分析】求出圆心坐标和半径可得. 【详解】根据题意，圆心坐标为，半径为， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）以、为直径端点的圆的方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】求出圆心坐标和圆的半径，即可得出所求圆的方程. 【详解】由题意可知，圆心为线段的中点，且， 所以，圆的半径为， 因此，所求圆的方程为. 故答案为：. 考点02、求过已知三点的圆的标准方程 1．（2022·上海徐汇·模拟预测）已知，则外接圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】求得外接圆的方程即可进行选择. 【详解】设外接圆的方程为 则有，解之得 则外接圆的方程为 故选：D 2．（22-23高二·全国·课后作业）圆心在直线上，且过，两点的圆的标准方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】先设圆的标准方程，结合圆心在直线y＝－x上及两点坐标列出方程组求解即可. 【详解】设所求圆的方程为( ， 因为圆心在直线上，所以， 圆的方程变 将点、代入上述方程得： 解得 ，所以圆的标准方程为. 故答案为： 3．（23-24高二上·上海·期中）在平面直角坐标系中，经过，，三点的圆的标准方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】设所求圆的标准方程为，代入各点坐标求出的值即可. 【详解】由题意设所求圆的标准方程为，代入各点坐标得， ，解得， 故所求圆的标准方程为. 故答案为：. 4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知圆过原点，且与轴、轴的交点的坐标分别为、，求这个圆的方程． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】根据题意可得圆心为垂直平分线与垂直平分线的交点，从而可得圆心坐标，再根据求得半径，从而可写出圆的方程. 【详解】令，所求圆的半径为. 因为圆过点，所以圆心在垂直平分线上，即圆心在直线上， 同理,圆过点，则圆心在直线上， 所以圆心， 所以， 所以所求圆的方程为.    考点03、圆的一般方程 1．（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、根据充要条件求参数 【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为，代入运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或. 故选：D. 2．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据二元二次方程表示圆的要求可直接构造不等式求解. 【详解】方程表示圆，，即，解得：， 实数的取值范围是. 故选：D. 3．（24-25高二上·上海·期中）圆的周长为 .（结果保留） 【答案】 【难度】0.94 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径 【分析】求出圆的半径后可求其周长. 【详解】方程即为， 故圆的半径为，故其周长为， 故答案为：. 4．（21-22高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】圆过定点问题 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【详解】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 5．（24-25高二上·上海·课堂例题）若方程表示圆，求a的取值范围，并求出圆心坐标和半径． 【答案】或．圆心坐标为，半径为 【难度】0.65 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】配方后根据方程表示圆得出圆心，半径，由半径建立不等式求出的范围. 【详解】原方程可化为． 由，得，解得或， 所以a的取值范围是或，圆心坐标为，半径为． 考点04、由圆的一般方程确定圆心和半径 1．（24-25高二上·上海·期中）已知A点坐标为，B点坐标为，以线段为直径的圆的半径是（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、求平面两点间的距离 【分析】利用两点距离公式求线段AB的长，即可得半径. 【详解】由题意知，， 以线段为直径的圆的半径是， 故选：C 2．（23-24高二下·上海·期中）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、求点到直线的距离 【分析】求出圆心，利用点到直线的距离公式计算即可. 【详解】由圆，可得：，所以圆的圆心为，则圆心到直线的距离为， 故选：B 3．（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知圆的方程是，则圆心的坐标是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】将方程配成标准式，即可得到圆心坐标. 【详解】圆的方程是，即， 所以圆心的坐标为. 故答案为： 4．（24-25高二上·上海·课后作业）若点是圆上任意一点，则的最大值是 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围）、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】将圆化为标准方程，根据目标式的几何意义求解． 【详解】解：圆化为标准方程为：， 记圆心为，半径为， 令， 则， 得为点到原点的距离，其最大值为：， 则的最大值为：， 故答案为： 5．（24-25高二上·上海·期中）若圆过点，，. (1)求圆的一般方程； (2)求圆关于直线对称的圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、求圆的一般方程、求点关于直线的对称点 【分析】（1）代入三点坐标利用待定系数法求圆的一般方式. （2）要求圆关于直线的对称圆，只需求出圆心关于直线的对称点，再根据对称前后的圆半径相等即可求解. 【详解】（1）设圆的一般方程为，则 ，解得， ∴圆的一般方程为. （2）    由（1）得圆的圆心为，半径，圆半径为. 设，则，且的中点在直线上， ∴，解得, ∴圆的标准方程为. 一、单选题 1．（22-23高二下·上海徐汇·期中）已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】利用条件求出半径，再根据圆的标准方程求解. 【详解】设圆的半径为，因为圆心是，且过点，所以，所以半圆的方程为， 故选：D. 2．（24-25高二上·上海·课后作业）点与圆上任意一点连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】设圆上任意一点为，中点为，由中点坐标公式可求得，代入圆的方程即可求得轨迹方程． 【详解】解：设圆上任意一点为，中点为， 则，可得， 代入得， 化简得． 故选：D． 3．（23-24高二上·上海·期末）已知坐标满足方程的点都在曲线C上，则下列命题中正确的是（    ） A．曲线C上的点的坐标都适合方程 B．不在曲线C上的点的坐标必不适合方程 C．凡坐标不适合方程的点都不在曲线C上 D．不在曲线C上的点的坐标有些适合方程 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】曲线与方程的概念、原命题与逆否命题等价性的应用、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】由逆否命题的真假性的关系结合曲线与方程的定义逐一判断即可. 【详解】由于“坐标满足方程的点都在曲线C上”与“不在曲线C上的点的坐标必不适合方程”互为逆否命题， 所以“不在曲线C上的点的坐标必不适合方程”是正确的，故B对，D错； 对于点集而言， 不满足，但它仍然属于在曲线C上（仍然属于点集合），故A、C错误. 故选：B. 4．（20-21高二上·上海徐汇·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，求得圆心，根据已知条件求得参数，再求得圆的半径，即可求得结果. 【详解】，即， 则，其表示圆心为，半径为的圆， 根据题意可得：，解得，故该圆的半径为，则其面积. 故选：A. 二、填空题 5．（22-23高二上·上海宝山·期中）圆心为且与直线相切的圆的方程为 . 【答案】. 【难度】0.94 【知识点】求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】利用点到直线的距离公式可求出半径，从而可求出圆的方程. 【详解】由题意可得圆的半径为 ， 所以圆的方程为 . 故答案为：. 6．（23-24高二上·上海青浦·期中）若与有交点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】斜率公式的应用、由标准方程确定圆心和半径、直线过定点问题 【分析】根据题意，得到曲线和直线恒过定点，画出图象，结合斜率公式，即可求解. 【详解】由曲线，可得，表示以原点为圆心，半径为1的下半圆， 又由直线恒经过定点， 因为曲线与轴的交点分别为， 可得， 要使得与有交点，可得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：.    7．（21-22高二下·上海金山·期中）过直线 与直线 的交点， 圆心为的圆的标准方程是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】先求出两直线的交点坐标，再求这点到圆心的距离就是半径，从而可求出圆的标准方程 【详解】由，得， 所以直线 与直线 的交点为， 所以圆的半径为， 所以所求圆的标准方程为， 故答案为： 8．（24-25高二下·上海·期中）如图，某圆拱形桥的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔6m需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于 m（结果保留一位小数，）．    【答案】 【难度】0.85 【知识点】点与圆的位置关系求参数、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】设拱形所在圆的圆心为，半径为，由题意圆心在轴上，利用勾股定理求出，即可求出圆的方程，再设，，代入计算可得. 【详解】设拱形所在圆的圆心为，半径为，由题意圆心在轴上，如图，    则，所以， 则圆的标准方程为． 由题意设，，代入圆的方程得，解得（负值已舍去）, 所以支柱的高度约为米. 故答案为：． 9．（9-10高二下·上海黄浦·期末）若方程表示圆，则的值为 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据方程表示圆的必要条件可得，解得或；代回原方程验证方程是否表示圆即可得到结果. 【详解】若，则需，解得：或； 当时，方程可化为，即， 则方程表示圆心在，半径为的圆，满足题意； 当时，方程可化为，即， 则，方程不表示圆，不合题意； 综上所述：. 故答案为：. 10．（23-24高二上·上海·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据一个二元二次方程表示圆的充要条件，写出关于k的不等式，解不等式即可． 【详解】把方程配方得：，因为方程表示一个圆， 则，解得，则实数的取值范围是. 故答案为：． 11．（20-21高二下·上海普陀·期中）圆的半径为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】将圆的方程化为标准式，可得出圆的半径. 【详解】圆的标准方程为，故该圆的半径为. 故答案为：. 12．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点，，．那么三角形外接圆的方程是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求圆的一般方程 【分析】设的外接圆方程为，然后将三个点的坐标代入求解即可. 【详解】设的外接圆方程为，则 ，解得， 所以三角形外接圆的方程为. 故答案为： 13．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知圆的一般方程为，则圆的面积为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】将圆的一般式转化为标准式，即可得半径求解. 【详解】,故圆的半径为1， 则圆的面积为， 故答案为： 14．（21-22高三下·上海闵行·期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为 【答案】 【难度】0.85 【知识点】圆过定点问题 【分析】设抛物线交轴于点，交轴于点、，根据题意设圆心为，求出，写出圆的方程，可得出关于、的方程组，即可得出圆所过定点的坐标. 【详解】设抛物线交轴于点，交轴于点、， 由题意可知，由韦达定理可得，， 所以，线段的中点为，设圆心为， 由可得，解得， ，则，则， 所以，圆的方程为， 整理可得， 方程组的解为. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 15．（23-24高二上·上海·期末）若直线：平分圆的面积，则直线的倾斜角的大小为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线斜率的定义、由圆的一般方程确定圆心和半径、直线的倾斜角 【分析】根据圆的一般方程确定圆心坐标，结合题意计算直线斜率即可. 【详解】对于， 由题意可知直线过圆心，故， 根据直线斜率与倾斜角的关系可知该直线倾斜角为. 故答案为：. 16．（22-23高二下·上海静安·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定不同两点A、B，动点P满足（其中是正常数，且），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．若且，则该圆的半径为 ． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、由标准方程确定圆心和半径 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系求出圆的方程作答. 【详解】以点B为原点，射线BA为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，    则，设，由，得， 化简整理得，因此点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 所以该圆的半径为4. 故答案为：4 三、解答题 17．（23-24高二上·上海·课后作业）已知圆和圆关于直线对称，求直线的方程． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、直线的点斜式方程及辨析 【分析】不妨令两圆分别为圆、圆，将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，则直线即为线段的中垂线，求出的中点与，即可求出直线的方程. 【详解】不妨令圆为圆， 圆为圆， 则圆：圆心为，半径， 圆：圆心为，半径， 则的中点为，且，则， 所以线段的中垂线为，即， 故直线的方程为.    18．（23-24高二上·上海·课后作业）已知定点，动点在圆上，点在线段上，且，求点的轨迹方程． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】在找一点使，作交于，此时满足，应用两点距离公式求轨迹即可. 【详解】在上找一点，则， 过作交于，此时满足，如下图， 所以，令，则.    19．（23-24高二上·新疆·期中）（1）写出下列圆的标准方程： ①圆心为，半径是； ②圆心为，且经过点. （2）求下列各圆的圆心坐标和半径： ①； ②. 【答案】（1）①；② （2）①圆心为，半径为；②圆心为，半径为3 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】 （1）①根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程②先求出圆的半径，可得圆的标准方程． （2）把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心和半径． 【详解】 （1）①圆心在，半径长是，故圆的标准方程为． ②圆心在，且经过点，故半径为， 故圆的标准方程为． （2）①，即，故圆心为，半径为， ②，即 即，故圆心为，半径为3. 20．（24-25高二上·上海·期中）已知直线，直线和直线. (1)若直线与的距离为求实数的值； (2)曲线上是否存在点P，使得P到直线的距离与P到直线距离之比是，若存在，求出所有满足条件的P点坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1)或； (2)存在，. 【难度】0.45 【知识点】点与圆的位置关系求参数、已知点到直线距离求参数、已知直线平行求参数 【分析】（1）利用平行线间的距离公式计算即可； （2）设P坐标，利用点到直线的距离公式计算即可. 【详解】（1）将的方程化为:， 直线与的距离， 解之得或； （2）设，则P点到距离为， 则点到距离为， 则，即， 又因为，解之得：或； 所以满足条件的点P坐标为. 21．（23-24高二上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知两点，动点满足，设点的轨迹为.如图，动直线与曲线交于不同的两点（均在轴上方），且.    (1)求曲线的方程； (2)当为曲线与轴正半轴的交点时，求直线的方程； (3)是否存在一个定点，使得直线始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，定点为 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、直线与圆中的定点定值问题、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 【分析】（1）设，根据已知条件列方程，化简求得曲线的方程. （2）设，根据已知条件求得点的坐标，从而求得直线的斜率，进行求得直线的方程. （3）设直线方程为，联立直线的方程和曲线的方程，化简写出根与系数关系，由列方程，化简求得的关系式，进而求得定点坐标. 【详解】（1）设，由得， 化简得，则曲线的方程为；    （2）由题意知，设， 依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，得， 则，所以(舍去)或，即， 则， 则直线方程为；    （3）设直线方程为，设， 联立方程，得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则直线始终经过此定点.    【点睛】求解曲线的方程，可以有以下两种方法：一是根据圆锥曲线的定义，求得曲线的方程；另一个是根据已知条件中所给的等量关系式，如本题中，利用坐标表示点，化简后可求得曲线方程. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 圆的方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1理解圆的定义及确定圆的几何要素，理解与掌握平面直角坐标系中圆的标准方程. 2.会根据相关条件写出圆的标准方程及圆的圆心，半径. 3.理解与掌握圆的一般方程的形式与条件，并能准确的判定圆的存在所满足的条件.会判断点与圆的位置关系. 4.会用待定系数法求圆的一般方程，并能解决与圆有关的位置、距离的综合问题. 知识点01．圆的标准方程 1.基本要素：当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径. 2.标准方程：圆心为，半径为r的圆的标准方程是. 3.图例： 若点在圆上，则点的坐标适合方程；反之，若点的坐标适合方程，则点M在圆上. 知识点02．圆的标准方程的推导 如图，设圆的圆心坐标为，半径长为r(其中a,b,r都是常数，r>0).设为该圆上任意一点，那么圆心为C的圆就是集合.由两点间的距离公式，得圆上任意一点M的坐标(x,y)满足的关系式为 ①，①式两边平方，得. 知识点03．求圆的标准方程 求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法． （1）几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． （2）圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． 知识点04．点与圆的位置关系 圆C：，其圆心为，半径为，点， 设. 位置关系 与的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 点在圆上 点在圆内 知识点05．圆的一般方程 1．定义 当时，方程表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为，半径. 2．推导过程 把圆的标准方程展开，并整理得.取， 得： ①. 把①的左边配方，并把常数项移到右边，得. 当且仅当时，方程表示圆，且圆心为，半径长为； 当时，方程只有实数解，所以它表示一个点； 当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 知识点06．待定系数法求圆的一般方程 求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： ①根据题意，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于或的方程组； ③解出或，代入标准方程或一般方程． 考点01、圆的标准方程 1．（24-25高二上·上海·期中）若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（24-25高二下·上海·期末）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为 ． 3．（23-24高二下·上海·期中）已知点，，以线段为直径的圆的标准方程为 . 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）以、为直径端点的圆的方程为 . 考点02、求过已知三点的圆的标准方程 1．（2022·上海徐汇·模拟预测）已知，则外接圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二·全国·课后作业）圆心在直线上，且过，两点的圆的标准方程为 ． 3．（23-24高二上·上海·期中）在平面直角坐标系中，经过，，三点的圆的标准方程为 . 4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知圆过原点，且与轴、轴的交点的坐标分别为、，求这个圆的方程． 考点03、圆的一般方程 1．（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 2．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·期中）圆的周长为 .（结果保留） 4．（21-22高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 5．（24-25高二上·上海·课堂例题）若方程表示圆，求a的取值范围，并求出圆心坐标和半径． 考点04、由圆的一般方程确定圆心和半径 1．（24-25高二上·上海·期中）已知A点坐标为，B点坐标为，以线段为直径的圆的半径是（   ） A．4 B． C． D．2 2．（23-24高二下·上海·期中）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D．2 3．（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知圆的方程是，则圆心的坐标是 ． 4．（24-25高二上·上海·课后作业）若点是圆上任意一点，则的最大值是 ． 5．（24-25高二上·上海·期中）若圆过点，，. (1)求圆的一般方程； (2)求圆关于直线对称的圆的标准方程. 一、单选题 1．（22-23高二下·上海徐汇·期中）已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·课后作业）点与圆上任意一点连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·上海·期末）已知坐标满足方程的点都在曲线C上，则下列命题中正确的是（    ） A．曲线C上的点的坐标都适合方程 B．不在曲线C上的点的坐标必不适合方程 C．凡坐标不适合方程的点都不在曲线C上 D．不在曲线C上的点的坐标有些适合方程 4．（20-21高二上·上海徐汇·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（22-23高二上·上海宝山·期中）圆心为且与直线相切的圆的方程为 . 6．（23-24高二上·上海青浦·期中）若与有交点，则实数的取值范围为 . 7．（21-22高二下·上海金山·期中）过直线 与直线 的交点， 圆心为的圆的标准方程是 . 8．（24-25高二下·上海·期中）如图，某圆拱形桥的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔6m需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于 m（结果保留一位小数，）．    9．（9-10高二下·上海黄浦·期末）若方程表示圆，则的值为 10．（23-24高二上·上海·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是 . 11．（20-21高二下·上海普陀·期中）圆的半径为 . 12．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点，，．那么三角形外接圆的方程是 ． 13．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知圆的一般方程为，则圆的面积为 . 14．（21-22高三下·上海闵行·期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为 15．（23-24高二上·上海·期末）若直线：平分圆的面积，则直线的倾斜角的大小为 ． 16．（22-23高二下·上海静安·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定不同两点A、B，动点P满足（其中是正常数，且），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．若且，则该圆的半径为 ． 三、解答题 17．（23-24高二上·上海·课后作业）已知圆和圆关于直线对称，求直线的方程． 18．（23-24高二上·上海·课后作业）已知定点，动点在圆上，点在线段上，且，求点的轨迹方程． 19．（23-24高二上·新疆·期中）（1）写出下列圆的标准方程： ①圆心为，半径是； ②圆心为，且经过点. （2）求下列各圆的圆心坐标和半径： ①； ②. 20．（24-25高二上·上海·期中）已知直线，直线和直线. (1)若直线与的距离为求实数的值； (2)曲线上是否存在点P，使得P到直线的距离与P到直线距离之比是，若存在，求出所有满足条件的P点坐标，若不存在，说明理由. 21．（23-24高二上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知两点，动点满足，设点的轨迹为.如图，动直线与曲线交于不同的两点（均在轴上方），且.    (1)求曲线的方程； (2)当为曲线与轴正半轴的交点时，求直线的方程； (3)是否存在一个定点，使得直线始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$