第03讲 直角三角形（知识详解+9典例分析+习题巩固）2025-2026学年北师大版八年级数学下册同步讲义与测试

第03讲 直角三角形（知识详解+9典例分析+习题巩固） 【知识点01】直角三角形角的性质定理与判定定理 1. 直角三角形角的性质定理 直角三角形的两个锐角互余 . 几何语言： 在△ ABC 中，应用该性质的前提是在同一个直角三角形中。 ∵∠ C=90°， ∴∠ A+ ∠ B=90° . 2. 直角三角形角的判定定理 应用该定理时，两个互余的角是在同一个三角形中。 有两个角互余的三角形是直角三角形 . 几何语言： 在△ ABC 中， ∵∠ A+ ∠ B=90°， ∴△ ABC 为直角三角形 . 【知识点02】勾股定理 1. 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 . 几何语言： 如图1.3-3，在Rt△ ABC中，∠ C=90 °， AB=c， AC=b， BC=a， 则 a²+b²=c². 2.勾股定理的变形公式 a2=c2－b2； b2=c2－a2. 3. 基本思想方法 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范。 【知识点03】勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理  如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 。 2. 利用边的关系判定直角三角形的步骤 (1) “找”： 找出三角形三边中的最长边； (2) “算”： 计算其他两边的平方和与最长边的平方； (3) “判”： 若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是 . 【知识点04】互逆命题和互逆定理 1. 互逆命题  在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 2. 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理 . 注意： 命题有真有假，而定理都是正确的，即都是真命题 . 3. 互逆命题与互逆定理的关系  每个命题都有逆命题，但每个定理不一定都有逆定理 . 只有当定理的逆命题经过证明是正确的，才能称这个逆命题为逆定理 . 【知识点05】“斜边、直角边”(“HL”)定理 1. 已知直角三角形的斜边和一条直角边，用尺规作直角三角形 如图1.3-6，已知线段a，c（a<c），用尺规作Rt △ABC，使∠C= 90°，AB=c，BC=a。 2. 定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”。 几何语言 如图1.3-7， 在 Rt △ ABC 和 Rt △ A′ B′ C′中 ， ∴ Rt △ ABC ≌ Rt △ A′ B′ C′(HL) . 3. 判定两个直角三角形全等常用的思路方法 已知条件 判定方法 需寻找的条件 一锐角相等(A)  ASA 或 AAS 可证直角与已知锐角的夹边对应相等或证已知锐角 ( 或直角 ) 的对边对应相等 斜边相等(H)  HL 或AAS 可证一条直角边对应相等或证一锐角对应相等 一直角边相等(L) HL 或 ASA AAS 或 SAS 可证斜边对应相等或证与已知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等或证另一直角边对应相等 【题型一】直角三角形的两个锐角互余 例1．（24-25八年级下·河南郑州·月考）如图，在中，，，平分交于点，点是射线上的动点，连接，的平分线与交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 例2．（24-25八年级下·辽宁朝阳·月考）在中，，于点，若，，求的长． 变式1．（24-25八年级下·广东河源·月考）在中，，，则的度数为 ． 变式2．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图是一个直角三角形房梁的示意图，其中，，，，，垂足分别为，，那么的长是多少？ 【题型二】锐角互余的三角形是直角三角形 例3．（2025·福建宁德·二模）已知，，点是上一点，要求用尺规在边上确定一点，使得．小明同学的作法如图所示，其说明直线是垂线的推理过程中，没有用到的依据是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．等量代换 C．两个锐角互余的三角形是直角三角形 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 例4．（24-25八年级下·贵州黔东南·月考）如图，在中，，，，D是上一点，，求的长． 变式1．（23-24八年级上·河南新乡·月考）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【题型三】利用勾股定理证明线段平方关系 例5．（22-23八年级下·广东云浮·期中）在中，，，的对边分别是，，，若，则（  ） A． B． C． D． 例6．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知，，，于点D，求AD的长． 变式1．（23-24八年级下·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 变式2．（23-24八年级下·陕西咸阳·月考）如图，是的中线，于点于点，且，求证：． 【题型四】写出命题的逆命题 例7．（24-25八年级下·广东东莞·月考）下列逆命题正确的是（　　） A．直角都相等 B．两个负数的和是负数 C．如果，则 D．等边三角形每个角都是 例8．（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）命题：“如果两个角是对顶角，那么它们相等．”的逆命题是 ． 变式1．（24-25八年级下·云南德宏·期末）命题“如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等”的逆命题是 ． 变式2．写出下列命题的逆命题： (1)如果，那么； (2)同角的余角相等； (3)如果，那么； (4)等腰三角形的两个底角相等． 【题型五】判断是否为互逆命题 例9．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 变式1．（22-23八年级下·全国·假期作业）题设和结论正好相反的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ． 变式2．（23-24八年级下·全国·课后作业）写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 【题型六】定理与证明 例10．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线 D．同角的补角相等 例11．（22-23八年级上·全国·课后作业）用 的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 变式1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 变式2．（22-23八年级上·全国·课后作业）写出四个数学名词的定义． 【题型七】互逆定理 例12．（23-24八年级下·山西运城·期中）下列说法正确的有（    ） ①所有定理都是真命题    ②真命题的逆命题是真命题 ③假命题的逆命题是真命题     ④每个定理都有逆定理 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．（24-25七年级下·山东济宁·期末）请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ． 变式2．（23-24八年级上·全国·课后作业）按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【题型八】用HL证直角三角形全等 例13．（24-25八年级下·山西太原·期末）在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（   ） A． B． C． D． 例14．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，若要用“”证明，则需要添加的一个条件是 ． 变式1．（2024·北京东城·一模）在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 变式2．（23-24八年级下·湖南益阳·月考）如图，点B、F、C、E在同一直线上，，，，垂足分别为B、E且，连接、．求证：． 【题型九】全等的性质和HL综合 例15．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中摆放两个相同的直角三角板，两个三角板的一条直角边分别与边重合，两个三角板的长直角边交于点P，作射线，若，，则为（    ） A．3 B．6 C．12 D．16 例16．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在和中，，，点A，D分别在上，且，求证： 变式1．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，，，垂足分别为E、F，，且，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·甘肃临夏·月考）如图，，点分别在直线和上，点在上，，则 ． 变式3．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，数学活动实践课上，小浩在旗杆 与某栋楼之间选定一点 (点B，，D在同一水平线上)，于点D，于点B，他在点处用智能测量仪测得，，求楼的高度． 一、单选题 1．一把直尺和一把含角的直角三角板按如图所示摆放，已知，则（   ） A． B． C． D． 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 3．如图，，若要直接依据“”判定，则还需要补充的一个条件是（    ）    A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（    ） A．真命题的逆命题也是真命题 B．每个命题都有逆命题 C．每个定理都有逆定理 D．假命题没有逆命题 5．如图，直线，线段和线段垂直于点Q，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在一个建筑工地有两根平行的钢梁和，它们分别固定在建筑物的不同位置，用于支撑结构．工人师傅需要在钢梁上安装两根互相垂直的支架，，以确保钢梁的稳定性和安全性．经测量发现，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，，，，于D，，，则（   ）    A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，再次折叠，使点与点重合，则的长度为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是 ．    10．已知中，，是边上的高，，那么的度数是 ． 11．如图，在中，，，于D，于E，若，则的长为 ． 12．如图，在正方形中，是上一点，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在上，则 ． 13．已知命题“平行四边形的对角相等”成立，那么它的逆命题 ．（填“成立”或“不成立”） 14．如图，中，，，平分，于点，，则 ． 15．如图，、、都垂直于，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中阴影部分的面积是 ．    三、解答题 16．已知：如图，在中，，，垂足为D．求证：． 17．如图，是的边上的高，平分交于点，若，，求和的度数． 18．如图，已知平分，于E，于F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．如图，和均为等腰直角三角形，，点D在上，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 20．如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，过B点作BD⊥AC于D，E在CD上，且DE＝AB，过点D作DFBC，使得DF＝BD，连接EF．求证： (1)∠ABD＝∠C； (2)DF⊥EF． 21．如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c． (1)如图1请你用它验证勾股定理． (2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ． 22．已知点、、、在同一直线上，，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、，过点作，过点作，垂足分别为点、．在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中的四对全等三角形． 23．如图1，是的角平分线，E为射线上一点，过点E作，垂足为点F． (1)若，且点E在线段上． ①_______，理由是________； ②若平分交于点H，求证：； (2)如图2，若点E在线段的延长线上，平分交的延长线于点I，用等式表示与的数量关系，并证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 直角三角形（知识详解+9典例分析+习题巩固） 【知识点01】直角三角形角的性质定理与判定定理 1. 直角三角形角的性质定理 直角三角形的两个锐角互余 . 几何语言： 在△ ABC 中，应用该性质的前提是在同一个直角三角形中。 ∵∠ C=90°， ∴∠ A+ ∠ B=90° . 2. 直角三角形角的判定定理 应用该定理时，两个互余的角是在同一个三角形中。 有两个角互余的三角形是直角三角形 . 几何语言： 在△ ABC 中， ∵∠ A+ ∠ B=90°， ∴△ ABC 为直角三角形 . 【知识点02】勾股定理 1. 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 . 几何语言： 如图1.3-3，在Rt△ ABC中，∠ C=90 °， AB=c， AC=b， BC=a， 则 a²+b²=c². 2.勾股定理的变形公式 a2=c2－b2； b2=c2－a2. 3. 基本思想方法 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范。 【知识点03】勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理  如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 。 2. 利用边的关系判定直角三角形的步骤 (1) “找”： 找出三角形三边中的最长边； (2) “算”： 计算其他两边的平方和与最长边的平方； (3) “判”： 若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是 . 【知识点04】互逆命题和互逆定理 1. 互逆命题  在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 2. 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理 . 注意： 命题有真有假，而定理都是正确的，即都是真命题 . 3. 互逆命题与互逆定理的关系  每个命题都有逆命题，但每个定理不一定都有逆定理 . 只有当定理的逆命题经过证明是正确的，才能称这个逆命题为逆定理 . 【知识点05】“斜边、直角边”(“HL”)定理 1. 已知直角三角形的斜边和一条直角边，用尺规作直角三角形 如图1.3-6，已知线段a，c（a<c），用尺规作Rt △ABC，使∠C= 90°，AB=c，BC=a。 2. 定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”。 几何语言 如图1.3-7， 在 Rt △ ABC 和 Rt △ A′ B′ C′中 ， ∴ Rt △ ABC ≌ Rt △ A′ B′ C′(HL) . 3. 判定两个直角三角形全等常用的思路方法 已知条件 判定方法 需寻找的条件 一锐角相等(A)  ASA 或 AAS 可证直角与已知锐角的夹边对应相等或证已知锐角 ( 或直角 ) 的对边对应相等 斜边相等(H)  HL 或AAS 可证一条直角边对应相等或证一锐角对应相等 一直角边相等(L) HL 或 ASA AAS 或 SAS 可证斜边对应相等或证与已知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等或证另一直角边对应相等 【题型一】直角三角形的两个锐角互余 例1．（24-25八年级下·河南郑州·月考）如图，在中，，，平分交于点，点是射线上的动点，连接，的平分线与交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，关键是要分两种情况讨论．当在线段上时，由角平分线定义求出，由直角三角形的性质求出，得到，由角平分线定义求出，由三角形内角和定理即可求出的度数；当在的延长线上时，求出，由角平分线定义求出，由三角形内角和定理即可求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：当在线段上时， ，平分， ， ， ， ， 平分， ， ； 当在的延长线上时， ，平分， ， ， ， ， 平分， ， ， 综上所述，或． 故选：C． 例2．（24-25八年级下·辽宁朝阳·月考）在中，，于点，若，，求的长． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了直角三角形的性质，能熟记直角三角形的两锐角互余和含角的直角三角形的性质是解此题的关键．根据高定义求出，根据直角三角形的两锐角互余求出，再根据直角三角形的两锐角互余求出，根据含角的直角三角形的性质得出，，再把代入求出继而计算出长即可． 【详解】解：是高， ， ，， ，， ， ， ， ． 变式1．（24-25八年级下·广东河源·月考）在中，，，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 变式2．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图是一个直角三角形房梁的示意图，其中，，，，，垂足分别为，，那么的长是多少？ 【答案】． 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形 【分析】先在直角三角形 中，利用含 角的直角三角形的性质求出 的长，再在直角三角形 中求出 的长，最后在直角三角形 中求出 的长．本题主要考查了含 角的直角三角形的性质（在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半），熟练掌握该性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ，，， ∴ 在 中，． ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ 在 中，， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ 在 中，， ∴ ． 【题型二】锐角互余的三角形是直角三角形 例3．（2025·福建宁德·二模）已知，，点是上一点，要求用尺规在边上确定一点，使得．小明同学的作法如图所示，其说明直线是垂线的推理过程中，没有用到的依据是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．等量代换 C．两个锐角互余的三角形是直角三角形 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】D 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了等角的作图，涉及了直角三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形的性质与判定是解题的关键． 根据直角三角形的性质与判定推出，作图即可． 【详解】解：∵， ∴（直角三角形的两个锐角互余）， 若， ∴（等量代换）， ∴，（两个锐角互余的三角形是直角三角形）， ∴， 故选：D． 例4．（24-25八年级下·贵州黔东南·月考）如图，在中，，，，D是上一点，，求的长． 【答案】 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰直角三角形和勾股定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据等腰直角三角形和勾股定理的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 在中，，由勾股定理，得，即， ∴， 在中，由勾股定理，得； 变式1．（23-24八年级上·河南新乡·月考）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】分别进行变形结合，进行逐一求解，即可判断． 【详解】解：A.， ， ， ， 解得：，，， 不是直角三角形，故符合题意； B. ， ， ， ， 解得：， 是直角三角形，故不符合题意； C.， 设，，， ， ， 解得：， ， 是直角三角形，故不符合题意； D.， ，， ， ， 解得：，，， 是直角三角形，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理，掌握定理是解题的关键． 变式2．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【题型三】利用勾股定理证明线段平方关系 例5．（22-23八年级下·广东云浮·期中）在中，，，的对边分别是，，，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：，，的对边分别是，，，， 为斜边， ． 故选：C． 【点睛】本题考查的勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 例6．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知，，，于点D，求AD的长． 【答案】 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题考查了勾股定理. 由勾股定理得到，设，求出，计算即可. 【详解】∵ ∴,， ∴ 设，则， ∴ 整理得 解得 即 ∴. 变式1．（23-24八年级下·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 【答案】625 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得：， 由勾股定理得， 故答案为：625． 变式2．（23-24八年级下·陕西咸阳·月考）如图，是的中线，于点于点，且，求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据是的中线，得出，进而根据勾股定理得出，即可求解． 【详解】证明：∵于点于点， ∴ ∵是的中线， ∴， 又∵ ∴在中， 即． 【题型四】写出命题的逆命题 例7．（24-25八年级下·广东东莞·月考）下列逆命题正确的是（　　） A．直角都相等 B．两个负数的和是负数 C．如果，则 D．等边三角形每个角都是 【答案】D 【知识点】写出命题的逆命题、等边三角形的性质 【分析】考查了命题与定理的知识，首先确定逆命题，再判断命题的真假． 【详解】解：A、直角都相等的逆命题是“相等的角都是直角”，逆命题错误； B、两个负数的和是负数的逆命题是“和为负数的两数都是负数”， 逆命题错误，如，但1不是负数； C、如果，则的逆命题是“若，则”， 逆命题错误，如，时绝对值相等但； D、等边三角形每个角都是的逆命题是“每个角都是的三角形是等边三角形”， 逆命题正确，因三角形内角和为，三个角均为则三边必相等． 故选：D． 例8．（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）命题：“如果两个角是对顶角，那么它们相等．”的逆命题是 ． 【答案】如果两个角相等，那么它们是对顶角 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】该题考查了逆命题，逆命题是通过交换原命题的条件和结论得到的． 【详解】解：原命题“如果两个角是对顶角，那么它们相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“它们相等”． 交换条件和结论，得到逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”． 故答案为：如果两个角相等，那么它们是对顶角． 变式1．（24-25八年级下·云南德宏·期末）命题“如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等”的逆命题是 ． 【答案】如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查了逆命题的概念，解题的关键是掌握逆命题的构造方法，即交换原命题的题设和结论．​ 先明确原命题的题设是“一个四边形是平行四边形”，结论是“这个四边形的两组对边分别相等”；再交换题设和结论，即可得到原命题的逆命题．​ 【详解】解：原命题的题设为“一个四边形是平行四边形”，结论为“这个四边形的两组对边分别相等”．​ 根据逆命题的定义，交换题设和结论后，逆命题为 “如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形”．​ 故答案为：如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形． 变式2．写出下列命题的逆命题： (1)如果，那么； (2)同角的余角相等； (3)如果，那么； (4)等腰三角形的两个底角相等． 【答案】(1)如果，那么 (2)相等的两个角是同一个角的余角 (3)如果，那么 (4)有两个角相等的三角形是等腰三角形 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查了逆命题的概念，熟练掌握逆命题的概念是解决本题的关键． （1）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解； （2）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解； （3）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解； （4）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解． 【详解】（1）解：如果，那么的逆命题为：如果，那么； （2）解：同角的余角相等的逆命题为：相等的两个角是同一个角的余角； （3）解：如果，那么的逆命题为：如果，那么； （4）解：等腰三角形的两个底角相等的逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 【题型五】判断是否为互逆命题 例9．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【知识点】判断是否为互逆命题 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 变式1．（22-23八年级下·全国·假期作业）题设和结论正好相反的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ． 【答案】 互逆命题 逆命题 【知识点】判断是否为互逆命题 【解析】略 变式2．（23-24八年级下·全国·课后作业）写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】判断是否为互逆命题、判断命题真假、写出命题的逆命题、写出命题的题设与结论 【分析】本题考查命题书写及判断真假： （1）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； （2）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， “若p，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等， ∵三角形全等对应边相等， ∴该命题是真命题， 逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等，是真命题； （2）解：由题意可得， “若p，则q”的形式：若两个数互为相反数，则它们的和为零， ∵两个互为相反的数和为0， ∴是真命题， 逆命题：若两个数的和为零，则它们互为相反数，是真命题． 【题型六】定理与证明 例10．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线 D．同角的补角相等 【答案】D 【知识点】定理与证明 【分析】根据定理是真命题进行判定． 本题考查了定理的理解，定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述． 【详解】解：A. 在直线上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B. 如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，叙述语句是假命题，不是定理，不符合题意； C. 作射线，不是命题，不是定理，不符合题意； D. 同角的补角相等，真命题，是定理，符合题意； 故选：D． 例11．（22-23八年级上·全国·课后作业）用 的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 【答案】推理 【知识点】定理与证明 【分析】根据定理的定义进行求解即可． 【详解】解：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 故答案为：推理． 【点睛】本题主要考查了定理的定义，熟知定理的定义是解题的关键． 变式1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【答案】C 【知识点】定理与证明 【分析】本题考查的是定理和公理的定义，通过对定义的理解可找到答案． 【详解】解：公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题． 根据公理和定理的定义，可知C是正确的，A、B、D是错误的． 故选：C． 变式2．（22-23八年级上·全国·课后作业）写出四个数学名词的定义． 【答案】答案不唯一，见解析 【知识点】定理与证明 【分析】结合所学的数学知识，写出4个数学名词概念即可． 【详解】（1）二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程； （2）因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解； （3）一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程； （4）点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 【点睛】本题考查对数学名词的概念，解题的关键是熟记其定义． 【题型七】互逆定理 例12．（23-24八年级下·山西运城·期中）下列说法正确的有（    ） ①所有定理都是真命题    ②真命题的逆命题是真命题 ③假命题的逆命题是真命题     ④每个定理都有逆定理 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】判断命题真假、互逆定理 【分析】本题考查了命题的真假、逆命题、定理及逆定理等相关命题知识．命题有真假之分，真命题的逆命题未必是真命题，假命题的逆命题也可以是真命题；根据这些知识去判断即可． 【详解】解：定理是真命题，故所有定理是真命题，故①说法正确； 真命题的逆命题可以是真命题，也可以是假命题，如：若，则，此命题是真命题，但其逆命题是假命题，故②说法错误； 假命题的逆命题可以是真命题，也可以是假命题，如：若，则，此命题是假命题，其逆命题为：若，则，此命题是假命题，故③说法错误； 并不是每个定理的逆命题都是正确的，即并不是每个定理都有逆定理，故④说法错误； 故正确的说法只有1个； 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·山东济宁·期末）请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【知识点】互逆定理 【分析】本题考查了逆定理，根据题意，将题设与结论交换位置即可． 【详解】解：定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”， 故答案为：内错角相等，两直线平行 ． 变式2．（23-24八年级上·全国·课后作业）按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【答案】(1)①如果两个角是内错角，那么这两个角相等；②如果，那么 (2)不是 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假、互逆定理 【分析】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念． （1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可； （2）根据逆定理的性质求解即可． 【详解】（1）解：①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等． ②“如果，那么”的逆命题；如果，那么． （2）解：因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题， 故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理． 【题型八】用HL证直角三角形全等 例13．（24-25八年级下·山西太原·期末）在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定解答． 根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段， 在与中， ， ， 故选：D． 例14．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，若要用“”证明，则需要添加的一个条件是 ． 【答案】（或者） 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据直角三角形全等的判定定理“”：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故若要用“”证明，则需要添加的一个条件是（或者）， 故答案为：（或者）． 变式1．（2024·北京东城·一模）在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 【答案】35 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点，学会通过全等三角形证明角相等是解题的关键．由，，求得，然后证明，推导出，即可求解． 【详解】解：，， ， 于点E， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：35． 变式2．（23-24八年级下·湖南益阳·月考）如图，点B、F、C、E在同一直线上，，，，垂足分别为B、E且，连接、．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定，常用的判定方法有，，，等，解题的关键是准确寻找全等三角形的条件． 首先由得到，然后证明． 【详解】证明：， ，即． ，， ． 在与中， ． 【题型九】全等的性质和HL综合 例15．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中摆放两个相同的直角三角板，两个三角板的一条直角边分别与边重合，两个三角板的长直角边交于点P，作射线，若，，则为（    ） A．3 B．6 C．12 D．16 【答案】C 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查三角形全等的判定．由垂线的定义可得和都是直角三角形，已知条件满足斜边相等和一组直角边相等，因此依据 “”可判定，进而得到，由即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 例16．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在和中，，，点A，D分别在上，且，求证： 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】由且，得到，即可证明全等即可． 本题考查全等三角形的判定，关键是掌握 【详解】证明：且， ， ， 在和中， ， 变式1．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，，，垂足分别为E、F，，且，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据题意得到，进行判定即可． 【详解】解：，， ， ， 在和中， ， ，故选项D正确； ， ，故选项A正确； ， ，故选项B正确； ，故选项C错误； 故选C． 变式2．（24-25八年级下·甘肃临夏·月考）如图，，点分别在直线和上，点在上，，则 ． 【答案】9 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质．先判定，从而得出，则． 【详解】解：，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 变式3．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，数学活动实践课上，小浩在旗杆 与某栋楼之间选定一点 (点B，，D在同一水平线上)，于点D，于点B，他在点处用智能测量仪测得，，求楼的高度． 【答案】 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的应用，理解题意，熟练掌握利用全等三角形的性质测高是解答的关键．证明 得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ， 在和中， ， ， ， ， ， 答：楼的高度为． 一、单选题 1．一把直尺和一把含角的直角三角板按如图所示摆放，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据平行线的性质以及即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选B． 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理计算即可得到答案． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选： D． 3．如图，，若要直接依据“”判定，则还需要补充的一个条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．用“”判定，只需要满足斜边和直角边对应相等的两直角三角形全等即可． 【详解】解：添加条件：， ∵ 在和中， ， ∴， 故选：B． 4．下列说法正确的是（    ） A．真命题的逆命题也是真命题 B．每个命题都有逆命题 C．每个定理都有逆定理 D．假命题没有逆命题 【答案】B 【分析】根据命题、逆命题，真假命题的关系对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，故本选项错误； B、一个命题一定有逆命题，正确，故本选项正确； C、一个定理不一定有逆定理，故本选项错误； D、假命题一定有逆命题，错误，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 5．如图，直线，线段和线段垂直于点Q，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的性质，先根据线段和线段垂直于点Q得出，再由可得出的度数，由即可得出结论． 【详解】解：∵线段和线段垂直于点Q， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 6．如图，在一个建筑工地有两根平行的钢梁和，它们分别固定在建筑物的不同位置，用于支撑结构．工人师傅需要在钢梁上安装两根互相垂直的支架，，以确保钢梁的稳定性和安全性．经测量发现，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，先根据垂直的定义得到，再根据平行线的性质即可得解．熟记性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， 故选：B． 7．如图，，，，于D，，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．根据题意证明，得到，，故可求出的长． 【详解】解：，， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，， ， ． 故选：B． 8．如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，再次折叠，使点与点重合，则的长度为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、轴对称的性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．由折叠得，，，，则，所以，由勾股定理得，求得的长度即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题 9．如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是 ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定定理进行推理并运用数学结合思想．根据垂直求出，在根据三角形全等的判定定理即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 10．已知中，，是边上的高，，那么的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，分情况讨论：当为锐角三角形时，当钝角三角形时，结合等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图①， 当为锐角三角形时，； 如图②，当为钝角三角形时，， 所以． 综上，的度数为或． 故答案为：或． 11．如图，在中，，，于D，于E，若，则的长为 ． 【答案】9 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵AD⊥BC于D， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝60°， ∵DE⊥AC， ∴∠AED＝90°， ∴∠ADE＝30°， ∵AE＝3， ∴AD＝2AE＝6， ∴AC＝2AD＝12， ∴CE＝AC−AE＝9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 12．如图，在正方形中，是上一点，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明为等边三角形，再结合正方形的性质，证明，得到，最后通过算得答案． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是正方形， ，， 将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在上， ，， 为等边三角形， ，， ， 在和中，， ， ， 故答案为：75． 13．已知命题“平行四边形的对角相等”成立，那么它的逆命题 ．（填“成立”或“不成立”） 【答案】成立 【分析】本题主要考查逆命题，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．根据题意得到逆命题为“对角相等的四边形是平行四边形”，即可进行判断． 【详解】逆命题为“对角相等的四边形是平行四边形”，是真命题， 故答案为：成立． 14．如图，中，，，平分，于点，，则 ． 【答案】/74度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．先求出，结合角平分线的定义，得出，根据直角三角形两锐角互余，得到，进而得到，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 15．如图，、、都垂直于，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中阴影部分的面积是 ．    【答案】50 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟练运用全等三角形的性质是解题关键．由，，，可以得到，而，，由此可以证明，所以，；同理证得，，，易得，，然后利用割补法和面积公式即可求出图形的面积即可． 【详解】解：∵且，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴ ∴，， 同理证得， ∴，， ∴，， 故， 故答案为：50． 三、解答题 16．已知：如图，在中，，，垂足为D．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据直角的定义与同角的余角相等即可求解． 【详解】在中， ∵（已知）， ∴°（三角形内角和定理）． ∵（已知）， ∴（垂直的定义）． ∴（三角形内角和定理）． ∴（同角的余角相等）． 【点睛】此题主要考查直角三角形的角度求解，解题的关键是熟知直角的定义． 17．如图，是的边上的高，平分交于点，若，，求和的度数． 【答案】 【分析】此题考查了三角形内角和定理，角平分线和直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据是边上的高，可得，再由角平分线的定义，可得，然后根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：是边上的高， ， ． ， ． 平分， ． ，， ． 18．如图，已知平分，于E，于F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解答过程 (2)22 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，利用证明， 是解题的关键． （1）根据已知条件可得和是直角三角形，然后利用即可证明； （2）利用证明 ，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分于点于点， ， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ． （2）解：∵于点于点， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ， ， 由（1）知，， ， ∵， ． 19．如图，和均为等腰直角三角形，，点D在上，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的定义等知识，证明是关键． （1）由等腰三角形定义得到，证明．即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，即可得到，根据直角三角形两锐角互余即可得到答案． 【详解】（1）证明：和均为等腰直角三角形，， ， ． 在和中， ． （2）解：， ， ． ． ． 20．如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，过B点作BD⊥AC于D，E在CD上，且DE＝AB，过点D作DFBC，使得DF＝BD，连接EF．求证： (1)∠ABD＝∠C； (2)DF⊥EF． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据∠ABC＝90°和∠BDA＝90°，再根据等角的余角相等即可得出结论； （2）通过证明△ABD≌△EDF，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）∵∠ABC＝90°， ∴∠A+∠C＝90°， ∵BD⊥AC， ∴∠BDA＝90°， ∠ABD+∠A＝90°， ∴∠ABD＝∠C； （2）∵DFBC， ∴∠FDE＝∠C， ∵∠ABD＝∠C， ∴∠ABD＝∠FDE， 在△ABD和△EDF中， ， ∴△ABD≌△EDF（SAS）， ∴∠ADB＝∠DFE＝90°， ∴DF⊥EF． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 21．如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c． (1)如图1请你用它验证勾股定理． (2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键. （1）通过图中小正方形面积证明勾股定理； （2）根据均为直角三角形，根据勾股定理得出 即可求出的值. 【详解】（1）解：， 另一方面， 即， ； （2）解：由题意可得， 均为直角三角形， 由勾股定理可得， ①，②，③，④ 可得； 可得； 即：， ， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 22．已知点、、、在同一直线上，，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、，过点作，过点作，垂足分别为点、．在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中的四对全等三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)；；； 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的判定，灵活证明三角形全等是解题的关键． （1）由可得到，再利用判定出得到，即可解答； （2）灵活运用全等三角形的判定方法证全等即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：全等三角形有；；；，理由如下： ∵，， ∴是边上的高，是边上的高， 由（1）可得， ∴，，，， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴，即， ∴，即， 在和中， ， ∴． 23．如图1，是的角平分线，E为射线上一点，过点E作，垂足为点F． (1)若，且点E在线段上． ①_______，理由是________； ②若平分交于点H，求证：； (2)如图2，若点E在线段的延长线上，平分交的延长线于点I，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)①90，直角三角形的两个锐角互余 ②证明见解析 (2)；证明见解析 【分析】（1）①根据直角三角形的两个锐角互余即可得到结论； ②先证明，再利用三角形外角的性质证明，进而可证； （2）设，，由三角形外角的性质得出，，消去x，y即可求解． 【详解】（1）①∵， ∴，理由是直角三角形的两个锐角互余． 故答案为：90，直角三角形的两个锐角互余； ②证明：平分， ， ，， ，， ， 又， ， ． 平分， ， ， ． （2），理由如下： ，分别平分，， 设，， ， 即，① ， 即，② 由①②，得， 即． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的判定，正确的识别图形是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $