安徽省太和中学2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

太和中学高三月考卷·数学试题 参考答案、提示及评分细则 1.D之的虚部是3.故选D 2.BB={x∈Nx≤4}={0,1,2,3,4}，所以AUB={0,1,2,3,4,5}.故选B 3.Cc0s480°=0s(360+120)=c05120°=c0s(180°-60°)=-60s60°=-号.故选C 4.C由幂函数的定义知，m2一3m+1=1,解得m=0或m=3,当m=0时，f(x)=x1,定义域不为R,不符合 题意；当m=3时，f(x)=x,定义域为R,故选C. 5.D由a⊥b,得x+2-2x=0,所以x=2,a-b=(2,-1)-(1,2)=(1,-3),a-b=√/10.故选D 6.D首先从排除甲、乙、丙的9人中选择2人，有C种选法；其次这两人与乙、丙排在前排除了中间位置的 4个位置中，有A种排法；最后将剩余7人排在后排，有A?种排法.综上所述，所有的排法有C号AA好种.故 选D. 7.AX的取值为1,23,4，P(X=1D=吾=合，P(X=2)=号×号=是，P(X=3)=音×号×是=易 P(X=4)=音×号××号-0所以X0=合×1+品×2+是×3+0×4=子.放选A 8.B因为|PM一|PN|=2<25=|MN|,故P在双曲线的右支上，而半焦距c=5,实半轴长为1，故双 曲线右支的方程为2一￥=1（≥1），故渐近线方程为y=士2x,而直线y=x与双曲线右支有公共点，故 k∈(-2,2).故选B. 9.BC当十xm不等于样本平均数的2倍时，A不正确；由奇数个数x1,2,…,xn是从小到大排列的，所以 x2,,x4,xn-1的中位数等于x1,x2,…,xn的中位数，B正确；新数据的极差为xn一，原数据的极差也是 x一x1,所以C正确；由数据个数为奇数且数据的平均数与中位数相等知原数据去掉中位数后，样本数据与 平均数之差的平方和不变，但样本数变了，所以两方差不等，所以D不正确.故选BC 10.ACD由3.x一4y十1=0,2x十y一3=0两式联立，解得x=y=1,A正确；n的方程可化为y=一2x+3,所以 直线n在y轴上的截距为3，B错误：直线m的方程可化为y=子x+子，所以直线m的斜率为子，C正确： 设直线m,n的倾斜角分别为a,,则tana=子>0，tang=一2<0，a为锐角，9为钝角.设P(1,1),直线m与 x轴的交点为M,直线n与x轴的交点为N,在△PMN中，∠PMN=a是锐角，∠PNM=π一B是锐角， ∠P-g,面mg-。）-盒二-号>0，所以∠P是便角，△PN是领角三角形，D正确放 选ACD 11.AD设PA=x,PB=2x,PC=3x,由PA⊥平面ABC知PA⊥AB,PA⊥AC,所以AB=√3x,AC=2√2x, 又∠BPC=60,所以BC-万，在△ABC中，sAAB去8AC-后，则smA=厦，△ABC的面 2AB·AC 积为S=合AB·ACsA=52,三俊锥P-ABC的体积为号S·PA=85后2=85，所以x=2,所以 A正确；由PA⊥平面ABC知∠BAC是二面角B-PA-C的平面角，因为∠BAC>∠BPC=60°，所以B错 误：△PBC的面积为6√5，点A到平面PBC的距离d=85=4压，所以C错误：设△ABC的外接圆半径 6/3 9 为r,则2r=- BC_12V7 sin A30,rbv7 ,设三棱锥P-ABC的外接球半径为R,则R=(A)+产= 2 ,球的表 √/3 面积为4xR=188m,所以D正确.故选AD. 5 【高三月考卷·数学试题参考答案第1页（共4页）】 26-T-322C 12 由题意知a=2c,所以离心率e=￡=号 a 2 1号因为八0=an(2x+吾+停）=m(2x+经)，所以子)=am要=am吾-号 14.e不等式2mz-xe2+mlnx≤0可化为e2a+nx≥m(2x+nx),令2x+lnx=t,则e≥mt,显然m=1时， 不等式成立，要求m的最大值，不妨设m>0,所以品>台记八)=名，则f)=号，)=0，>1时， 了0)<0：1时0>0，所以0)的最大值为/D=日，所以>。m 15.解：(1)由b=a=1,anbn十a+1=(3十1)au,得1十a2=4,所以a2=3,…3分 又{a.是等比数列，所以公比g=号=3，所以{a.}的通项公式为a。=3.…6分 (2)由anbn+am+1=(3n+1)am及(1)得3-1bn+3"=(3n+1)3-1, 所以bn=3一2，… …9分 由b+1一bn=3(1十1)一2-3十2=3得{bn}是等差数列， 所以6，)的前n项和为S。=h士2）=号r一n 2 13分 16.解：(1)由正弦定理及asin A十√3 bsin C=bsin B十csin C,得a2+√3bc=b十2，…2分 所以+2-d=3,由余弦定理得cosA=+一a= 2bc 29 …5分 因为0<A<元，所以A=看，…7分 (2)由△ABC的面积为2,4C边上的高为3得写=23，所以6=4，…9分 由△ABC的面积为2 csin A-=25,A=否得c=23,… 12分 所以a2=b+c2-√5bc=4,所以a=2. 15分 17.(1)证明：取CD中点G,连接EG,B1C. 因为在直棱柱中，四边形BCCB是矩形，对角线BC与BC的交点是BC1与 B1C的中点， 因为F是BC1的中点，所以F是B1C的中点，…2分 又直四棱柱ABCD-A1BCD1中，A1B=AB=CD,AB1∥AB,AB∥CD, 所以AB1∥CD,AB1=CD,所以四边形ABCD是平行四边形， 所以BC∥AD,BC=AD即CF∥AD,CF=AD, 因为E是A:C的中点，所以EG/AD,EG=2AD,所以EG∥CF,EG=CF, G 所以四边形EFCG是平行四边形，所以EF∥CG.…。 …5分 又EFt平面ABCD,CGC平面ABCD, 所以EF∥平面ABCD.… …7分 (2)解：以A为坐标原点，AD,AB,AA1所在直线分别为x,y,x轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 则点A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(2,0,0),A1(0,0,4),B1(0,2,4),C(2,2,4),E1,1,2),F(1,2,2) …9分 则A1B=(0,2,-4),BD=(2,-2,0),EF=(0,1,0. …11分 m·A1B=0, 设平面A1BD的法向量为m=(x,y,之)，则由{ 得 12y-4x=0, m·BD=0, 2x-2y=0, 令之=1，得平面A1BD的一个法向量m=(2,2,1),…13分 【高三月考卷·数学试题参考答案第2页（共4页）】 26-T-322C 设直线EF与平面A,BD所成角为0，则sin0=cos〈m,E=号 15分 18.解法一：(1)解：设M0,0),由题意得m十=4，=5p,解得p=2, 2 …2分 所以C的方程为y2=4x.… …4分 (2)①证明：设P(-1,)其中b≠0，由P,A,O三点共线得 易得B(学)小 6分 当青≠学，即%≠士2时，6B 始4 3哈一4 7分 4 yo 所以直线AB的方程为y一=4坐 化简，得xy中1此时直线AB过定点，0)： …8分 当%=2时，A(1,-2),B(1,2),当%=-2时，A(1,2),B(1,-2),此时直线AB也过点(1,0).…9分 综上所述，直线AB过定点(1,0).…… …10分 ②解：由①知AB过点(1,0)，设AB的方程为x=ty十1，A(1,M),B(2,2), 由1得y-4y-4=0,4=16f+16>0, {y=4x, 所以y1+y2=41,y12=一4,01x2=1,0+x2=4+2,… 12分 所以0i·0i=+为=-3,0i.0成=10O成0=-V+后 =一 7后运十+西十=一2/7+4+=一之7+4(4+习 所以-7V7+4(4+2)=一3，化简，得4= 4 14分 又Sae=号X1X1n-=合V+为)-4-号16+i5- 2 所以当∠AOB=子时，△AOB的面积为35. 21 17分 解法二：(D解：设点M(Mw),由题意M+=4,|w=5p,则xw=4- …2分 由%=2pw,得3p=2p(4-号)，又p>0,所以p=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x.… 4分 (2)①证明：设P(-1,),A(M),B(),由条件6≠0，则B(,0） …6分 直线O=联立直线m和能物线C-“得A(告兰)】 …8分 设直线AB==十m联立法得-w=06-1十16m≥0 于是为=-4m=%×(一)=一4，则m=1,满足4>0，所以直线AB过定点(1,0.…10分 ②解：由0i.0成=（是，是）·（学）=-3=10i1·10·s要 …13分 可得O1·O1=6,所以△0AB的面积为分×a×1O×sim经-3 2 17分 【高三月考卷·数学试题参考答案第3页（共4页）】 26-T-322C 19.(1)解：当a=1时，f(x)=e2-x2-x,f(x)=e2-2x-1, 1分 所以f(0)=1,(0)=0,…2分 所以曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=1.…3分 (2)解：函数y=f(x)十x的零点的个数即为方程ae=x根的个数， 由ae2=x2得a= ,… 4分 令g)=,则g'(0-2-(22, e e g'(x)=0时，x=0或x=2;g'(x)>0时，0<x<2;g'(x)<0时，x<0或x>2; 所以g(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为（一∞，0），(2，+∞)， gx)的极小值为s(0)=0,极大值为g(2)=专， 显然x→-∞时，g(x)→十0∞，x→十o∞时，g(x)→0，…5分 所以函数y=f(x)十x的零点的个数，讨论如下： ①当a<0时，有0个零点：当a=0或a>专时，有1个零点：③当a=专时，有2个零点；④当0<a<号 时，有3个零点.………9分 (3)证明：由已知f(x)=ae-x2-x,所以f'(x)=ae-2x-1, 因为f(x)有两个极值点，所以(x)=ae2一2x一1=0有两个不相等的实数根，…10分 由ae-2红一1=0得a=2生，令A(0)=2出，则直线y=a与曲线y=h()拾有两个交点，广()= 22=12,N(分)=0，由0>0得<分由)<0得>2， 所以h(x)的单调递增区间为(-∞，)，单调递减区间为（号，十∞）， 11分 所以M(x)的极大值也是A(x)的最大值为（号）-是，设有极小值，且a(一号）=0，>-名时，h()>0, 2 因为f(x)恰有两个极值点x1,2(x<2),所以0a<兰； …12分 e 因为x1,x2是函数f(x)的两个极值点（不妨设x<x2), 所以f(x1)=0,f(x2)=0,即ae1一2x1-1=0,ae2-2x2-1=0. 两式相减化得2=的一2 …13分 ax1-2 于是要证明4专亚<1n名，即证明e中<二之，两边同除以2， 2 01一x2 即证e学<二1，即证(x1一)e学>e14-1,即证（一）e学-e9+1>0, x1一x2 令x1一x2=t,t<0,即证不等式te克一e+1>0,当t<0时恒成立. …14分 设p(t)=te7-e十1， 则p(=+iet·是-e=(受+1)-t=-t[et-(分十1] ……15分 设m0=et-台-1，则m0)=et-合=（e-1D. 当1<0时，m'(t)<0,m(t)单调递减，所以m()>m(0)=0,即e克-（号+1)>0，所以p(t)<0, 所以9(t)在t0时是减函数，故9(t)在t=0处取得最小值p(0)=0,所以g(t)>0得证.…16分 所以西十型<1n 2 .……17分 a 【高三月考卷·数学试题参考答案第4页（共4页）】 26-T-322C太和中学高三月考卷 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.若复数z满足z=1十3i(i是虚数单位)，则z的虚部是 A.-3i B.-3 C,3i D.3 2.已知集合A={1,3,5},B={x∈Nx≤4}，则集合AUB= A.{x∈N|x≤4) B.{0,1,2,3,4,5} C.(1,2,3,4,5} D.(1,3} 3.cos480°的值为 A号 B合 c-司 D. 4.已知幂函数f(x)=(m2一3m十1)xm-1的定义域为R,则m= A.0 B.2 C.3 D.1 5.已知平面向量a=(x,1一x),b=(1,2),若a⊥b,则|a一b1= A.2 B.2√2 C.3 D.√/10 6.某兴趣小组的12位同学一起拍照留念，要求排成前5位、后7位的两排，且组长甲站在前排 正中间，两位组员乙、丙站前排，则所有的排法有 A.AA好种 B.AA好种 C.AAA3种 D.C号AA?种 7.一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机 摸球，每次摸一球，不放回，摸到红球就结束摸球，X表示摸球次数，则X的数学期望E(X)= A名 B号 c号 n.9 【高三月考卷·数学试题第1页（共4页）】 26-T-322C CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 8.已知点M(一，0)，N(√5,0)，若直线y=kx上存在点P满足|PM-|PN|=2,则实数 的取值范围是 A(-2》 B.（-2,2) C.(-∞，-2)U(2,+∞） D.（-∞，-2)U(2,十∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.有一组样本数据互不相等，数据个数为奇数，从小到大排列为x1,x2,…,xn(n>4,n∈N"), 且这组数据的平均数与中位数相等，则 Ax2,x3,…,xn-1的平均数等于x1,x2,…,xn的平均数 B.x2,x3,…,xw-1的中位数等于x1,x2,…,xn的中位数 C,将样本数据的中位数去掉后得到的新数据的极差等于原样本数据的极差 D.将样本数据的中位数去掉后得到的新数据的方差等于原样本数据的方差 10.已知直线m的方程为3x一4y+1=0,直线n的方程为2x+y-3=0,则 A.m,n的交点为(1,1) B.n在y轴上的截距为一3 Cm的斜率为号 D.m,n与x轴围成的三角形是锐角三角形 11.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BPC=60°，PA:PB:PC=1:2:3.若三棱锥 P-ABC的体积为85，则 A.PA=2 B.二面角B-PA-C的平面角小于60° C.点A到平面PBC的距离为√3 D.三棱锥P-ABC的外接球的表面积为188x 5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则该椭圆的离心率为 13.将函数y=tan(2x+)的图象向左平移吾个单位长度，得到函数f()的图象，则f()= 14.若x>0时，2mx一xe2x十mlnx≤0，则实数m的最大值为 【高三月考卷·数学试题第2页（共4页）】 26-T-322C CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知数列{an}是等比数列，数列{b}满足b1=a1=1,abn十an+1=(3n十1)a· (1)求{an}的通项公式； (2)求{bn}的前n项和. 16.(本小题满分15分) 已知△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin A十√3 bsin.C=bsin B+csin C. (1)求A; (2)设△ABC的面积为2√5，AC边上的高为√3，求a. 17.(本小题满分15分) 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1CD中，底面ABCD是正方形，AB=2,AA1=4,E,F分别 是A1C,BC1的中点 (1)求证：EF∥平面ABCD; (2)求直线EF与平面A1BD所成角的正弦值， 【高三月考卷·数学试题第3页（共4页）】 26-T-322C CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 18.(本小题满分17分) 已知抛物线C:y=2zx(>0)上一点M与焦点的距离为4，点M到x轴的距离为W3p. (1)求C的方程； (2)点P为C的准线上一动点，直线PO(O为坐标原点)与C交于另一点A,过点P作y轴 的垂线与C交于点B. ①求证：直线AB过定点； ②若∠A0B=经，求△AOB的面积 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ae一x2-x,a∈R,e=2.71828…是自然对数的底数. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)讨论函数y=f(x)+x的零点的个数； (③者西数浴有两个极值点：证明：0<a<是且士<n名 2 【高三月考卷·数学试题第4页（共4页）】 26-T-322C CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描AP