第04讲向量应用（知识清单+7题型讲解+强化训练）讲义-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（苏教版必修二）数学高一重难点讲义与测

第04讲向量应用 知识清单 知识点01：向量在几何中的应用 知识点02：向量在物理中的应用 题型讲解 （举一反三） 题型1：用向量证明线段垂直 题型2：用向量解决夹角问题 题型3：用向量解决线段的长度问题 题型4：向量与几何最值 题型5：向量在几何中的其它应用 题型6：力、速度、位移的合成 题型7：功、动量的计算 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1 向量在几何中的应用 1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 2、利用向量证明平面几何的两种经典方法 （1）线性运算法 第一步：选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）； 第二步：利用基底表示相关向量； 第三步：利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； 第四步：把计算结果“翻译”为几何问题。 （2）坐标运算法 第一步：建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）； 第二步：把相关向量坐标化； 第三步：用向量的坐标运算找到相应关系； 第四步：利用向量关系回答几何问题。 知识点2 向量在物理中的应用 1、向量在物理应用中的主要解题思路 （1）转化问题：将物理问题转化为数学问题； （2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型； （3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； （4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。 2、力学问题的向量处理方法 （1）解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； （2）向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点，力是既有大小，又有方向的量，用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上。 3、速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成与分解，实质是向量的加减运算，运动的叠加也用到了向量的合成 （1）向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结论； （2）用向量解决速度、加速度和位移问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解。 4、功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力与位移的数量积，即（为与的夹角），功是一个标量，它可正，也可负。动量实际上是数乘向量。在解决问题时要注意数形结合。 题型1：用向量证明线段垂直 【例1-1】在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（    ） A． B． C．13 D．26 【答案】C 【分析】根据判断AC与BD关系，根据对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半即可求解. 【详解】∵，∴AC⊥BD， 所以四边形ABCD面积为：. 故选：C. 【变式1-1】在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由已知平方可得，得出可判断. 【详解】，， 则， ，，则△ABC为直角三角形. 故选：B. 【变式1-2】若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】C 【分析】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即， 点在的角平分线上，同理证明即可求解. 【详解】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即，点在的角平分线上； ，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即， 点在的角平分线上； ，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即， 点在的角平分线上，故是的内心. 故选：C. 【变式1-3】（24-25高一下·江苏·单元测试）在中，O为外心，H为所在平面内一点，且，则点H为的 心． 【答案】垂 【分析】根据得到，然后得到，同理即可得到点H为的垂心． 【详解】因为， 所以，所以， 同理，，则点H为的垂心． 故答案为：垂. 题型2：用向量解决夹角问题 【例2-1】若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据向量的运算与模长关系可得，从而确定向量与的夹角为的夹角，即可得答案. 【详解】由题意作图如下，设，    故向量， 因为，所以，则四边形ABCD为矩形，则 又因为，所以，则， 故向量与的夹角为的夹角，故为. 故选：C. 【变式2-1】（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图：已知树顶A离地面米，树上另一点离地面米，某人在离地面米的处看此树，则该人离此树（　　）米时，看A、的视角最大. A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的方法即可求得看A、的视角最大时该人离此树距离. 【详解】如图建立平面直角坐标系，则，设， 则， 则 又，且余弦函数在单调递减， 则当，即时最大. 即该人离此树6米时，看A、的视角最大. 故选：C 【变式2-2】（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知坐标平面内，，，O为坐标原点，是线段上的一个动点（P可以和O、M重合）当取最大值时，则的值为 ． 【答案】 【分析】由点在线段上，设，再计算出的坐标，由数量积的坐标运算求出的最大值时的的值，即可求出的坐标，再根据向量的夹角公式可求出的值 【详解】点在线段上，设， 则， ， 当时，取得最大值为， 此时， . 故答案为： 【变式2-3】正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB，BC的中点，试求cos∠DOE的值. 【答案】 【分析】以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，求出，利用向量关系即可求出. 【详解】以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示， 由题意知：， 故. 题型3：用向量解决线段的长度问题 【例3-1】如图，以矩形的顶点为圆心，以长为半径作弧，交于点，交于点，且，若，则的长为（　　）    A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】方法一，以点为坐标原点建系，设，根据，点在圆上，利用向量列出关于的方程求解即可；方法二，过点作，垂足为交于点；过点作，垂足为，，根据列出关于的方程求解即可. 【详解】方法一：以点为坐标原点，分别以、方向为轴正方向、轴正方向，建立平面直角坐标系， 设，则， 圆的方程，则，故， 设，则， 则， 因，则①， 因，则， 则，将其代入①式得， 即，得（舍，此时）或，则；    方法二： 因，则在中， 则， 因，，则， 则，有， 过点作，垂足为交于点；过点作，垂足为，    易证四边形是矩形，则有，则有， 设，于是有，， ，，， 在矩形中，有， 则，即，解得，即． 故选：C 【变式3-1】在平行四边形中，，垂足为P，若，则 ． 【答案】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分得到，再利用向量的几何意义求出，求出. 【详解】平行四边形中，， 因为，所以， 根据向量的几何意义可知， 解得：. 故答案为： 【变式3-2】已知两点分别是四边形的边的中点，且，，，，则线段的长为是 【答案】 【分析】作，交于点，可知；利用向量线性运算可得到，根据，由向量数量积的定义和运算律可求解得到. 【详解】作，交于点，则， ，则； ，， 又，，， ， ， 故答案为：. 【变式3-3】如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点    (1)若，求AE的长； (2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）设，由可得，即可得答案； （2）由图可知，由向量夹角公式可得答案. 【详解】（1）由题，可得.则. 设，则.因，则.则，故AE的长为1； （2）若E为AB的中点，则，，又. 由图可知. 题型4：向量与几何最值 【例4-1】（24-25高一下·江苏盐城·期中）如图所示，在边长为4的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正八边形的边长为4，求出外接圆的半径和内切圆的半径，再根据平面向量的数量积求出的最小值和最大值，即可得出结果 【详解】正八边形中，， 所以，， 连接，过点作，交、于点、，交于点， 设， 中，由余弦定理得，， △OAF中，， 所以，解得， ，解得， 所以， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 此时取得最小值为， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 此时取得最大值为， 因为点P是其内部任意一点，所以的取值范围是． 故选：A． 【变式4-1】（24-25高一下·江苏无锡·期中）在△ABC中 ，，且，，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示出，由此可知表示轴上一点到和的距离之和，由对称性即可得出答案. 【详解】由可得， 又因为，，所以， 建立如图所示的平面直角坐标系，可得， 所以，， ， 所以， ， 表示轴上一点到和的距离之和， 所以求即， 关于轴的对称点为， 所以， 所以的最小值为，    故选：A. 【变式4-2】（24-25高一下·江苏南京·期末）已知，平面上动点满足对任意恒成立，则的最小值为 ，此时 . 【答案】 7 8 【分析】利用向量的线性运算可得，即动点到定直线的距离恒为，再利用极化恒等式即可求解，利用中线向量即可求解. 【详解】   设直线上有一动点，满足，则， 由此可得点到直线的距离为， 再由极化恒等式，取中点为，可得，此时如图：，    则， 故答案为：①,② 【变式4-3】（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立坐标系，设，表达出，，由得到方程，求出，利用平面向量夹角余弦公式求出答案； （2）设，表达出，结合，求出. 【详解】（1）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立平面直角坐标系， ，，设，则，，， ，， 由，则，即， 又，，， ，，，， ， 又为锐角，； （2）设，， ，， ， ，. 题型5：向量在几何中的其它应用 【例5-1】（24-25高一下·江苏南通·月考）是所在平面上一点满足的形状是（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】利用向量的减法，数量积的运算律计算即得. 【详解】由，得， 即， 两边平方得， 所以，则，即， 所以是直角三角形. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高一下·江苏徐州·月考）已知的外接圆的半径为2，，点G满足，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，根据可得点为的重心，根据，可得，从而可得，再利用正弦定理求出，最后由三角形面积公式得到答案. 【详解】如图，取的中点，连接. 因为，所以， 所以， 又为公共点，所以共线，且， 所以点为的重心， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以， 由正弦定理得，所以. 所以. 故选：C. 【变式5-2】（24-25高一下·江苏南京·月考）圆是锐角的外接圆，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算与锐角三角形外接圆的相关性质即可求解. 【详解】依题意，设中点，的中点为，则垂直平分，垂直平分， 则. 以为圆心，1为半径作圆，则在该圆的四分之一圆弧上变化，如下图， 为中垂线交点，连接，由三角形为锐角三角形， 根据临界位置及图形可知，而， 所以，则范围是． 故答案为：. 【变式5-3】已知点，，，求： (1)的值； (2)的大小； (3)点A到直线BC的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据数量积得坐标公式计算即可； （2）利用数量积求出得余弦值，即可得解； （3）根据点A到直线BC的距离为计算即可. 【详解】（1）依题意，得， ， ； （2）因为， 又，所以； （3）点A到直线BC的距离为 ． 题型6：力、速度、位移的合成 【例6-1】（24-25高一下·江苏连云港·期中）一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由物体处于静止状态，得到，计算求得. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：D 【变式6-1】已知一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由物体处于静止状态，得到，计算求得. 【详解】设，由题意得，， 所以， 解得，所以. 故选： 【变式6-2】（24-25高一下·江苏淮安·月考）长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度 的大小为，如图，设和所成的角为，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则等于 .    【答案】 【分析】设船的实际速度为，结合直角三角形，由即可求解. 【详解】 解：设船的实际速度为，   因为与所成的角为，北岸的点B在A的正北方向， 所以游船正好到达B处，则， 所以 故答案为： 【变式6-3】（2024高一下·江苏·专题练习）一船以8 km/h的速度向东航行，船上的人测得风自北方来；若船速加倍，则测得风自东北方向来，求风速的大小及方向． 【答案】风速的方向为西北，大小为. 【分析】取正东、正北方向上的单位向量为基底，设风速为，方程组法求出，得风速的大小及方向． 【详解】分别取正东、正北方向上的单位向量为基底，设风速为. 依题意第一次船速为，第二次船速为. 可得， 解得，即风速为， 因此风速的方向为西北，大小为. 题型7：功、动量的计算 【例7-1】一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，求对该物体所做的功为（　　） A．－28 B．－23 C．23 D．28 【答案】C 【分析】根据数量积公式，即可求解 【详解】由题意可知，，, , 所以对该物体所做的功为. 故选：C 【变式7-1】一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（    ） A． B．23 C． D．19 【答案】D 【分析】根据力对物体所做的功是平面向量的数量积，计算即可. 【详解】由题意知，，， 所以对物体所做的功为， 故选：D. 【变式7-2】一物体在力的共同作用下从点移动到点．则在这个过程中三个力的合力所做的功为 J． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出合力，再利用向量的数量积计算得解. 【详解】由，得合力， 而位移，所以合力所做的功为（）. 故答案为： 【变式7-3】如图，在倾角为、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参考数据，）． 【答案】答案见解析 【分析】首先分析物体的受力，再计算各个力所做的功. 【详解】物体受三个力，重力，斜面对物体的支持力，摩擦力， 且重力可分解为沿斜面向下的分力和垂直斜面的分力，则重力与位移之间的夹角， 则重力对物体做的功， 支持力与位移方向垂直，做功为， 摩擦力与位移方向相反，对物体做功 ．    一、单选题 1．（24-25高一下·江苏南通·月考）在边长为2的菱形中，，点是内一动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图建系，可求得A,B,C,D的坐标，设，则可得的表达式，根据x的范围，即可求得答案. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，则. 设，则，故， 即的取值范围是. 故选：A 2．（24-25高一下·江苏无锡·月考）一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，则对该物体所做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的坐标表示计算可得. 【详解】由，，所以，又， ∴对物体做的功． 故选：B． 3．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的运算量，结合即可求解. 【详解】取中点为，连接，显然， 则 . 故选：A. 4．已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由三角形重心、外心性质得到是三角形的重心、外心，从而得到三角形为等边三角形. 【详解】因为，所以是三角形的重心，又因为，所以是三角形的外心， 所以三角形是等边三角形. 故选：D. 5．（24-25高一下·江苏扬州·期中）在中，点D是边的中点，且，若点P为平面内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合坐标表示运用向量加法法则将问题转化为求的最小值，建系求解即可. 【详解】因为D为的中点， 所以， 所以 不妨以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，      因为，则，， 设，则， 所以，.即：的最小值为. 故选：D. 6．（24-25高一下·江苏镇江·期中）已知中，，则此三角形为（    ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】若是的中点，易得，即，再应用向量数量积的运算律和定义可得，即，即可确定三角形性状. 【详解】若是的中点，则，故， 所以，显然为等腰三角形，即， 由，可得， 又，故，故为等边三角形. 故选：A    7．（24-25高一下·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，均为边长2的等边三角形，为六边形边上的动点（含端点），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的几何图形，求出在方向上投影的数量，再利用数量积的定义求出范围. 【详解】令在方向上投影的数量为， 当点在线段上时，；当点在线段上（不含点）时，； 当点在线段上（不含点）时，， 则当点在折线上时，， 同理当点在折线上时，， 因此点为六边形边上运动时，， 于是， 所以的取值范围为. 故选：B 8．（2025高一下·江苏南京·专题练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】设夹角为，分析可得，当，则，当时，以为原点，、分别为轴建系，根据正八边形性质，可得各点坐标，分别计算在线段（除）上、在线段上运动和在线段（除）上运动时，的表达式，求出其范围，综合考虑即得答案. 【详解】设的夹角为， 当与重合时，； 当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知，G到AF的距离为， 则， 直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为， 当在线段（除）上运动时，设， 所以， 当在线段上运动时，设， 所以， 当在线段（除）上运动时，设， 所以. 综上所述，的最小值为. 故选：C 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏连云港·期末）在中，为的中点，为的中点，延长交线段于点，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，由两边平方，并求出，即可求解；对于B，设，可得，根据三点共线的性质即可求解；对于C，根据为靠近的四等分点，为靠近的三等分点，可得，求即可；对于D，由，化简可得答案. 【详解】因为中，， 对于A，由题可得，因为为的中点，为的中点，所以，则 所以，故A正确； 对于B，由，设，所以， 因为，，三点共线，则，解得，则，所以，故B正确； 对于C，由于，所以为靠近的四等分点，由于，所以为靠近的三等分点，故 由于，，所以， 则， 所以，故C不正确； 对于D, ，故D正确； 故选：ABD 10．（24-25高一下·江苏·月考）在等腰梯形ABCD中，，，，点P是梯形ABCD内部一点（不含边界），且满足，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．当时，的最小值为2 C．若，则的面积为定值 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】以为基底，化简，可得的值，判断A的真假；根据，，可以分别确定点的轨迹，数形结合，可判断BCD的真假. 【详解】如图：取中点，连接，，. 因为梯形为等腰梯形，，，，所以，，均为等边三角形. 对A：因为，所以， 所以， 所以.故A正确； 对B：当时，，所以点在直线上. 在中，，，所以，且. 所以若，则与重合，这与点是梯形内部一点（不含边界）矛盾，故B错误； 对C：若，则， 所以.所以点在线段上. 因为，且两直线的距离为. 所以的面积为定值，为，故C正确； 对D：根据平面向量的数量积的定义可得：. 因为， 所以， 即. 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆位于梯形内部的圆弧（圆心角为的扇形弧），又，所以.故D正确. 故选：ACD 11．长江某处的南北两岸平行，江面宽度为，一艘船从江南岸边的处出发到江北岸.已知如图，船在静水中的速度的大小为，水流方向自西向东，且速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，则（    ） A．当船的航行距离最短时， B．当船的航行时间最短时， C．当时，船航行到达北岸的位置在的左侧 D．当时，船的航行距离为. 【答案】BD 【分析】对A，当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，由此即可验算；对B，，只要最大即可判断；对C，当时，游船水平方向的速度大小为然后确定方向即可；对D，由题意，根据向量模的运算公式以及数量积的运算律即可验算. 【详解】对于A，当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，从而，故A错误； 对于B，船的航行时间为（），若要船的航行时间最短时，则最大， 也就是说当且仅当时，船的航行时间最短时，故B正确； 对于C，当时，游船水平方向的速度大小为，方向水平向右， 故最终到达北岸时游船在点的右侧，故C错误； 对于D，由题意设位移分量为，位移为， 则，其中， 所以（km/h），故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．在静水中船的速度为 ，水流的速度为 ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过 ，该船的实际航程是 . 【答案】/ 【分析】作出图形，根据勾股定理可求得每分钟船的实际航程，进一步计算即可求解. 【详解】如图所示，是流水的方向， 是垂直于河岸的方向，是船的实际航线， 因此是船在静水中的航行方向， ，， 则， 故经过 的航程为， 即， 故答案为：.    13．（24-25高一下·江苏无锡·期中）若平面上的三个力、、作用于一点，且处于平衡状态.已知，，与的夹角为，则与夹角的大小为 ． 【答案】 【分析】作，，，以、为邻边作平行四边形，则，利用平面向量数量积的运算性质求出，可得出的大小，由此可得出与夹角的大小. 【详解】作，，，以、为邻边作平行四边形， 则，    由题意可得，，， ， ， ， 所以，， 因为，故，则， 因此，与夹角的大小为. 故答案为：. 14．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】设的中点为，得，，将化为，根据可得结果. 【详解】设的中点为，因为，，所以，， ， 因为，所以. 故答案为： 四、解答题 15．如图，两个力和同时作用在一个物体上，其中的大小为，方向向东，的大小为，方向向北，求它们的合力． 【答案】合力的大小为，方向为东偏北正切值为的锐角. 【分析】设合力为，即，根据数量积的运算律求出，再求出，即可确定合力的大小与方向． 【详解】因为的大小为，方向向东，的大小为，方向向北， 设合力为，则，且， 所以， 又， 所以合力的大小为，方向为东偏北正切值为的锐角. 16．如图，一艘船从长江南岸点A出发，以km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．    (1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度； (2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）． 【答案】(1)答案见解析 (2)船实际航行速度的大小为，方向与江水速度间的夹角为 【分析】（1）直接利用向量加法的平行四边形法则作图即可； （2）利用勾股定理求解船速的实际大小，在求解直角三角形即可得方向. 【详解】（1）如图所示，表示船速，表示水速， 以为邻边作平行四边形， 则表示该船实际航行的速度；    （2）由题意， 在中，， 则，，所以， 所以船实际航行速度的大小为，方向与江水速度间的夹角为. 17．如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数定义即可求得的长；利用向量法即可求得的长度； （2）利用向量夹角的余弦公式即可求得的值. 【详解】（1）是高，，在Rt中，， 所以. 是中线，， ， （2）， . 另解：过D作交于， 是的中点，是的中点， 是的中位线，是的中位线， ， . 18．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，已知是直角边长为2的等腰所在平面内一点，是的中点，是的中点.    (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出，由数量积的坐标表示即可得出答案; （2）由向量的线性运算求出，由点的轨迹求出的最大值和最小值即可得出答案. 【详解】（1）由题意，以为坐标原点，建立平面直角坐标系， 所以， 由，可得，所以， 所以.    （2） ， 当时，点的轨迹表示以为圆心，为半径的圆， 所以， ， 所以的取值范围为：. 19．如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，，，，计算得到答案. （2），，计算得到答案. 【详解】（1）； ， ，故， . （2）， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲向量应用 知识清单 知识点01：向量在几何中的应用 知识点02：向量在物理中的应用 题型讲解 （举一反三） 题型1：用向量证明线段垂直 题型2：用向量解决夹角问题 题型3：用向量解决线段的长度问题 题型4：向量与几何最值 题型5：向量在几何中的其它应用 题型6：力、速度、位移的合成 题型7：功、动量的计算 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1 向量在几何中的应用 1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 2、利用向量证明平面几何的两种经典方法 （1）线性运算法 第一步：选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）； 第二步：利用基底表示相关向量； 第三步：利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； 第四步：把计算结果“翻译”为几何问题。 （2）坐标运算法 第一步：建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）； 第二步：把相关向量坐标化； 第三步：用向量的坐标运算找到相应关系； 第四步：利用向量关系回答几何问题。 知识点2 向量在物理中的应用 1、向量在物理应用中的主要解题思路 （1）转化问题：将物理问题转化为数学问题； （2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型； （3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； （4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。 2、力学问题的向量处理方法 （1）解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； （2）向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点，力是既有大小，又有方向的量，用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上。 3、速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成与分解，实质是向量的加减运算，运动的叠加也用到了向量的合成 （1）向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结论； （2）用向量解决速度、加速度和位移问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解。 4、功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力与位移的数量积，即（为与的夹角），功是一个标量，它可正，也可负。动量实际上是数乘向量。在解决问题时要注意数形结合。 题型1：用向量证明线段垂直 【例1-1】在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（    ） A． B． C．13 D．26 【变式1-1】在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式1-2】若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【变式1-3】（24-25高一下·江苏·单元测试）在中，O为外心，H为所在平面内一点，且，则点H为的 心． 题型2：用向量解决夹角问题 【例2-1】若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图：已知树顶A离地面米，树上另一点离地面米，某人在离地面米的处看此树，则该人离此树（　　）米时，看A、的视角最大. A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2-2】（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知坐标平面内，，，O为坐标原点，是线段上的一个动点（P可以和O、M重合）当取最大值时，则的值为 ． 【变式2-3】正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB，BC的中点，试求cos∠DOE的值. 题型3：用向量解决线段的长度问题 【例3-1】如图，以矩形的顶点为圆心，以长为半径作弧，交于点，交于点，且，若，则的长为（　　）    A． B．2 C． D． 【变式3-1】在平行四边形中，，垂足为P，若，则 ． 【变式3-2】已知两点分别是四边形的边的中点，且，，，，则线段的长为是 【变式3-3】如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点    (1)若，求AE的长； (2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求． 题型4：向量与几何最值 【例4-1】（24-25高一下·江苏盐城·期中）如图所示，在边长为4的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·江苏无锡·期中）在△ABC中 ，，且，，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【变式4-2】（24-25高一下·江苏南京·期末）已知，平面上动点满足对任意恒成立，则的最小值为 ，此时 . 【变式4-3】（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 题型5：向量在几何中的其它应用 【例5-1】（24-25高一下·江苏南通·月考）是所在平面上一点满足的形状是（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【变式5-1】（24-25高一下·江苏徐州·月考）已知的外接圆的半径为2，，点G满足，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·江苏南京·月考）圆是锐角的外接圆，，则的取值范围是 ． 【变式5-3】已知点，，，求： (1)的值； (2)的大小； (3)点A到直线BC的距离． 题型6：力、速度、位移的合成 【例6-1】（24-25高一下·江苏连云港·期中）一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一下·江苏淮安·月考）长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度 的大小为，如图，设和所成的角为，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则等于 .    【变式6-3】（2024高一下·江苏·专题练习）一船以8 km/h的速度向东航行，船上的人测得风自北方来；若船速加倍，则测得风自东北方向来，求风速的大小及方向． 题型7：功、动量的计算 【例7-1】一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，求对该物体所做的功为（　　） A．－28 B．－23 C．23 D．28 【变式7-1】一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（    ） A． B．23 C． D．19 【变式7-2】一物体在力的共同作用下从点移动到点．则在这个过程中三个力的合力所做的功为 J． 【变式7-3】如图，在倾角为、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参考数据，）． 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏南通·月考）在边长为2的菱形中，，点是内一动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏无锡·月考）一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，则对该物体所做的功为（　　） A． B． C． D． 3．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 5．（24-25高一下·江苏扬州·期中）在中，点D是边的中点，且，若点P为平面内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江苏镇江·期中）已知中，，则此三角形为（    ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 7．（24-25高一下·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，均为边长2的等边三角形，为六边形边上的动点（含端点），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2025高一下·江苏南京·专题练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏连云港·期末）在中，为的中点，为的中点，延长交线段于点，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 10．（24-25高一下·江苏·月考）在等腰梯形ABCD中，，，，点P是梯形ABCD内部一点（不含边界），且满足，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．当时，的最小值为2 C．若，则的面积为定值 D．若，则的最小值为 11．长江某处的南北两岸平行，江面宽度为，一艘船从江南岸边的处出发到江北岸.已知如图，船在静水中的速度的大小为，水流方向自西向东，且速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，则（    ） A．当船的航行距离最短时， B．当船的航行时间最短时， C．当时，船航行到达北岸的位置在的左侧 D．当时，船的航行距离为. 三、填空题 12．在静水中船的速度为 ，水流的速度为 ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过 ，该船的实际航程是 .   13．（24-25高一下·江苏无锡·期中）若平面上的三个力、、作用于一点，且处于平衡状态.已知，，与的夹角为，则与夹角的大小为 ． 14．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为 . 四、解答题 15．如图，两个力和同时作用在一个物体上，其中的大小为，方向向东，的大小为，方向向北，求它们的合力． 16．如图，一艘船从长江南岸点A出发，以km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．    (1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度； (2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）． 17．如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 18．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，已知是直角边长为2的等腰所在平面内一点，是的中点，是的中点.    (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围. 19．如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $