精品解析：陕西省安康市汉阴县初级中学教共体2025-2026学年上学期期末学业测试-九年级数学试题

2025—2026学年度第一学期期末学业水平测试 九年级数学试题（卷）（人教版） 老师真诚地提醒你： 1．本试卷共6页，满分120分； 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚； 3．书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 2025年中国动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全球．以下四图是某校美术社团绘制的哪吒风火轮的简笔画，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外无其他差别的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则a的值大约为（ ） A. 21 B. 18 C. 15 D. 12 5. 如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到点C的对应点落在边上，，则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 7. 如图，是的直径，点在圆周上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 反比例函数与二次函数（）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 如图，是“雪花”图案（正六边形）的外接圆，则正六边形中心角的度数为______． 10. 已知反比例函数，若它的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则a的取值范围是______． 11. 若点与点关于原点对称，则______． 12. 如图，抛物线与x轴的一个交点为，则一元二次方程的实数根是 _______________ ． 13. 已知一个圆锥的底面圆直径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______．（结果保留） 14. 关于抛物线，下列说法正确的是______．（填序号） ①开口向下；②y有最小值；③与y轴的交点坐标是；④顶点坐标是． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：x(x－2)＋x－2＝0． 16. 如图，在中，弦与交于点E，且，连接．求证：． 17. 已知与的反比例函数，且其函数图象经过点．当时，求的值． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点O顺时针旋转后的． 19. 如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，已知墙的长度足够长，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．若苗圃园的面积为，求x的值． 20. 已知二次函数的图象经过点和点，且经过点，求二次函数的解析式． 21. 中华人民共和国第十五届运动会于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办，本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”以国家一级保护动物中华白海豚为原型设计，象征团结互助、生态保护及粤港澳大湾区协同发展．组委会现将3张正面印有“喜洋洋”和2张正面印有“乐融融”图案的明信片（明信片的形状、大小、质地都相同）送给志愿者作为纪念． （1）将这5张明信片背面朝上，洗匀，若志愿者小辰从中随机抽取1张，则抽取的明信片上的图案恰好为“乐融融”的概率为______； （2）将这5张明信片背面朝上，洗匀，若志愿者小辰先从中随机抽取1张，志愿者小宇再从剩余的明信片中随机抽取1张，请利用画树状图或列表的方法，求两人抽取的明信片图案恰好都是“喜洋洋”的概率． 22. 某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温之后停止加热，玻璃温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，如图是玻璃温度与时间的函数图象，其中降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题： （1）求降温阶段y与x的函数表达式； （2）求温度从降到室温所需要的时间． 23. 如图，已知是半圆的直径，是半圆上的一点，连接，并延长到点，使，连接． （1）求证：； （2）若，求阴影部分的面积． 24. 掷实心球是中考体育考试项目之一．图1是一名男生投实心球的情境，实心球行进路线是条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数解析式； （2）根据陕西省中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于时，即可得满分．该男生在此项考试中能否得满分？请说明理由． 25. 如图，的弦，D为的中点，连接，过点D作交的延长线于点E，连接并延长，分别交、于点G、F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 26. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点． （1）求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出自变量的取值范围为 ； （3）点是轴上一点，当时，求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末学业水平测试 九年级数学试题（卷）（人教版） 老师真诚地提醒你： 1．本试卷共6页，满分120分； 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚； 3．书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 2025年中国动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全球．以下四图是某校美术社团绘制的哪吒风火轮的简笔画，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形．熟练掌握中心对称图形的概念，是解决问题的关键．如果一个图形绕一个点旋转后，能和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】A. 不是中心对称图形； B. 不是中心对称图形； C. 是中心对称图形； D. 不是中心对称图形 故选：C 2. 下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数． 根据反比例函数的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．为一次函数，不符合题意； B．为二次函数，不符合题意； C．是反比例函数，符合题意； D．为正比例函数，不符合题意． 故选C． 3. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 解得， 故选A． 4. 在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外无其他差别的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则a的值大约为（ ） A. 21 B. 18 C. 15 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，以及利用概率求数量．熟练掌握概率是频率的稳定值，以及概率的计算公式是解题的关键． 先利用频率估计概率，再利用概率公式列出方程求解． 【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在左右， ∴摸到红球的概率约为0.25， 即， ∴， 经检验符合题意. 因此的值约为12 故选D． 5. 如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理证得，根据圆内接四边形的性质，证得，进而求出的度数即可． 【详解】解： 四边形内接于 故选：C． 6. 如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到点C的对应点落在边上，，则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的旋转，勾股定理．根据旋转的性质可得，，，在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴． 故选B． 7. 如图，是的直径，点在圆周上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，涉及直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余、同弧所对的圆周角相等等知识，连接，如图所示，由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形两锐角互余得到，再由同弧所对的圆周角相等得到，熟记圆周角定理是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 是的直径， ， 在中，，则， ， ， 故选：C． 8. 反比例函数与二次函数（）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数、二次函数的图象与性质；先根据反比例函数图象确定的值，再分析二次函数图象是否符合，逐一判断即可 【详解】A、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向上，且与轴交于负半轴，故此选项错误； B、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，且与轴交于正半轴，故此选项正确； C、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，且与轴交于正半轴，故此选项错误； D、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，故此选项错误； 故选：B． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 如图，是“雪花”图案（正六边形）的外接圆，则正六边形中心角的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，用计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 已知反比例函数，若它的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质，当比例系数小于0时，图象在每个象限内y随x的增大而增大，据此列式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大， ∴， 解得． 故答案为 11. 若点与点关于原点对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质．直接利用关于原点对称点的性质（横坐标、纵坐标均互为相反数）得出m，n的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，抛物线与x轴的一个交点为，则一元二次方程的实数根是 _______________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 先求抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点问题求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴一元二次方程的实数根为． 故答案为：． 13. 已知一个圆锥的底面圆直径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积的计算，牢记圆锥的侧面积公式是解答本题的关键． 根据圆锥的侧面积公式 进行计算即可． 【详解】解：∵底面圆直径为， ∴半径， ∵母线长， ∴． 故答案为． 14. 关于抛物线，下列说法正确的是______．（填序号） ①开口向下；②y有最小值；③与y轴的交点坐标是；④顶点坐标是． 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数性质，通过系数判断开口方向、最值，将代入解析式与y轴交点，根据顶点坐标求顶点坐标． 【详解】解：对于抛物线， 其中，因此开口向下，故①正确； 由于开口向下，有最大值，无最小值，故②错误； 当时，，与轴交点为，故③错误； 顶点横坐标为，代入得，顶点为，故④正确； 故答案为：①④． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：x(x－2)＋x－2＝0． 【答案】， 【解析】 【分析】把方程中的x-2看作一个整体，利用因式分解法解此方程． 【详解】解：(x－2）(x+1)=0， ∴x－2=0或x+1=0， ∴x1=2，x2=-1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——因式分解法，属于基础题． 16. 如图，在中，弦与交于点E，且，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆周角、弧、弦间的关系，根据题意得出，结合图形确定，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 即 ∴． 17. 已知与的反比例函数，且其函数图象经过点．当时，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查关于反比例函数的题，掌握反比例函数的图像和性质是关键；首先运用待定系数法求出反比例函数解析式为，把代入解析式即可解答． 【详解】解：设与的函数关系式为， 将点的坐标代入， 得， 解得， ∴与的函数关系式为， 将代入，得， 解得． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点O顺时针旋转后的． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称的作图，旋转的作图，坐标与图形，利用旋转的性质作图是解本题的关键． （1）分别确定关于原点的对称点 再顺次连接，再根据的位置可得答案； （2）分别确定绕原点O顺时针旋转后的对应点，再顺次连接． 【小问1详解】 解：如图，，即为所求；； 【小问2详解】 解：如图，，即为所求． 19. 如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，已知墙的长度足够长，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．若苗圃园的面积为，求x的值． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这个苗圃园垂直于墙的一边长为，则平行于墙的边长为，根据矩形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：已知这个苗圃园垂直于墙的一边长为，则平行于墙的边长为． 根据题意，得，解得， 故x的值为15 20. 已知二次函数的图象经过点和点，且经过点，求二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法确定二次函数解析式，由于已知函数图象与轴的两个交点坐标，可设二次函数的交点式,再代入已知点求参数即可．掌握并利用二次函数的交点式确定二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 把点的坐标代入，得， 解得， ∴二次函数的解析式为． 21. 中华人民共和国第十五届运动会于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办，本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”以国家一级保护动物中华白海豚为原型设计，象征团结互助、生态保护及粤港澳大湾区协同发展．组委会现将3张正面印有“喜洋洋”和2张正面印有“乐融融”图案的明信片（明信片的形状、大小、质地都相同）送给志愿者作为纪念． （1）将这5张明信片背面朝上，洗匀，若志愿者小辰从中随机抽取1张，则抽取的明信片上的图案恰好为“乐融融”的概率为______； （2）将这5张明信片背面朝上，洗匀，若志愿者小辰先从中随机抽取1张，志愿者小宇再从剩余的明信片中随机抽取1张，请利用画树状图或列表的方法，求两人抽取的明信片图案恰好都是“喜洋洋”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求概率． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）列出表格，进而根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵有3张正面印有“喜洋洋”和2张正面印有“乐融融”图案的明信片， ∴从中随机抽取1张，则抽取的明信片上的图案恰好为“乐融融”的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：把“喜洋洋”和“乐融融”图案的明信片分别记作，列表如下： 由上表知，共有20种等可能的结果，其中两人抽取的明信片图案恰好都是“喜洋洋”的结果有6种， ∴所求概率为． 22. 某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温之后停止加热，玻璃温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，如图是玻璃温度与时间的函数图象，其中降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题： （1）求降温阶段y与x的函数表达式； （2）求温度从降到室温所需要的时间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）由题可得，在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为，代入点得到与的函数关系式是； （2）将代入得到，根据，于是得到结论． 【小问1详解】 解：设反比例函数表达式为， 把代入得，， 解得， 所以所求函数表达式为； 【小问2详解】 把代入得，， ， 答：所需要的时间为． 23. 如图，已知是半圆的直径，是半圆上的一点，连接，并延长到点，使，连接． （1）求证：； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】()连接，由圆周角定理可知，再由即可得出结论； ()连接，根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，由圆周角定理求出，根据等边三角形的性质可得，由勾股定理，和直角三角形的性质求得，根据即可得出结论. 【小问1详解】 证明：如图，连接． ∵是半圆的直径， ∴， ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∴． ∵是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查的是不规则图形的面积计算，扇形面积，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键. 24. 掷实心球是中考体育考试项目之一．图1是一名男生投实心球的情境，实心球行进路线是条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数解析式； （2）根据陕西省中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于时，即可得满分．该男生在此项考试中能否得满分？请说明理由． 【答案】（1） （2） 不能得满分，理由如下： 令，且， ∴， 解得（舍去）． ∵， ∴不能得满分． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． ()由图可知，顶点坐标为，设二次函数表达式为，由此即可求解； ()令()中抛物线的解析式，且，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设关于的函数解析式为， 把点的坐标代入解析式，得． 解得， ∴关于的函数解析式为， 即； 【小问2详解】 略 25. 如图，的弦，D为的中点，连接，过点D作交的延长线于点E，连接并延长，分别交、于点G、F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆的切线的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）由垂径定理可得，则，即可证明结论； （2）证明四边形是平行四边形，再结合垂径定理，得出，利用勾股定理可得，连接，设的半径为r，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：∵D为的中点， ∴． ∵， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴． 如图，连接， 设的半径为r，则， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴的半径为． 26. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点． （1）求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出自变量的取值范围为 ； （3）点是轴上一点，当时，求出点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或. 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题、利用待定系数法求函数解析式；熟练的利用数形结合的方法解题是关键； （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据图象求解即可； （3）先求得，再根据，求得，根据中心对称的性质得出，进而求得，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得， 反比例函数的解析式为， 将，代入得， 解得， 一次函数为； 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，自变量的取值范围为：或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：由题意可知， ， 把代入得，， 解得， ， ， ， ， ， ，即， ， 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $