1.2直线的倾斜角与斜率的应用讲义-2025-2026学年上学期高二数学北师大版期末专题复习

直线的倾斜角与斜率的应用讲义 江西省永丰县第二中学 高二数学备课组 解读·素养要求 学科素养 要求 数学抽象 了解直线的斜率和倾斜角的概念, 理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件 直观想象 通过借助图形及向量推导直线的斜率计算公式, 会运用条件判定两直线是否平行或垂直 逻辑推理 了解斜率公式的推导过程, 能够利用斜率公式解决相应的几何问题 数学运算 会利用斜率公式求直线的斜率, 能利用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题 整合·素养建构 1. 直线倾斜角的定义与取值范围 当直线与轴相交时, 我们以轴为基准, 轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的 . 当直线与轴平行或重合时, 我们规定直线的倾斜角为. 因此, 直线的倾斜角的取值范围为 . 2. 斜率的概念及直线经过两点的斜率公式 (1)斜率的概念 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率常用小写字母表示, 即 . 倾斜角是的直线没有斜率, 倾斜角不是的直线都有斜率. (2)直线的经过两点的斜率公式 如果直线经过两点, 那么过这两点的斜率公式为 . 3. 直线的方向向量 设是直线上的两点, 则向量以及与它平行的向量都是直线的 . 若直线的斜率为, 它的一个方向向量的坐标为, 则 . 参考答案: 1. 倾斜角; 2. (1); (2) 3. 方向向量; 4. (1); (2). 考法1直线的倾斜角 1. 直线的倾斜角的取值范围是( ) A. B. C. D. 1. D 根据直线的倾斜角的定义, 可知直线的倾斜角的取值范围为. 故选: D. 2. 已知直线的倾斜角为, 则下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. 2.A 因为, 所以. 故选 A. 3. 已知直线经过第二、四象限, 则直线的倾斜角的取值范围是( ) A. B. C. D. 3. D 因为直线倾斜角的取值范围是, 又直线经过第二、四象限, 所以直线的倾斜角的取值范围是. 4. 已知直线的一方向向量为, 则直线的倾斜角为 . 4. 因为直线的一方向向量为, 所以直线的斜率, 设直线的倾斜角为, 则, 所以, 即. 所以直线的倾斜角为. 5. 已知直线经过第二、四象限, 则直线的倾斜角的取值范围是( ) A. B. C. D. 5. D 因为直线倾斜角的取值范围是, 又直线经过第二、四象限, 所以直线的倾斜角的取值范围是, 故选: D. 考法2直线的斜率 6. 已知一条直线的倾斜角, 则该直线的斜率等于( ) A. B. C. D. 6. D 该直线的斜率. 故选: D. 7. 经过两点的直线的斜率为 . 7. 因为直线经过两点, 所以直线的斜率. 故答案为: . 8. 求经过两点的直线的斜率. 8. 当时, 斜率不存在; 当时, 直线的斜率. 9. 已知点, 若直线过点与线段相交, 求直线的斜率的取值范围. 9. 解： 根据条件作出图象如下: 则, . 因为直线过点与线段相交, 所以或, 所以直线的斜率的取值范围为或. 10. 如图, 在菱形中, , 求对角线与所在直线的斜率. 10 解: 在菱形中, 因为, 所以, , 所以, , 所以直线的斜率, 直线的斜率. 考法3直线的倾斜角与斜率的综合应用 11. 如果三点在同一条直线上, 则常数的值为( ) A. B. C. D. 11. C 由三点, 可得, 因为三点在同一条直线上, 所以直线与直线的斜率相等, 所以, 解得. 故选 C. 12. 已知某直线的倾斜角, 又是此直线上的三点, 求的值. 12. 解: 由, 可得直线的斜率, 又都在此直线上, 所以, 即, 解得. 13. 在中, 已知. (1)求直线的斜率; (2)判断直线的倾斜角是锐角、钝角还是直角. 13. 解: (1)由, 得, 因为与的横坐标相等, 所以直线的斜率不存在. (2)因为所以直线的倾斜角为钝角. 14. 已知某直线的倾斜角, 又是此直线上的三点, 求的值. 14. 解: 由, 可得直线的斜率, 又都在此直线上, 所以, 即, 解得. 15. 平面上有相异两点, , 求直线的倾斜角的取值范围. 15. 解: 因为两点是相异点, 所以, 且, 所以, 设直线的倾斜角为, 则, 所以, 所以. 故直线的倾斜角的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $