精品解析：河北省沧州市十二校联考2026届高三上学期一模数学试题

高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的四则运算化简求解即可. 【详解】, 故虚部为1， 故选：A. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性解不等式求得B，再利用交集的概念计算即可. 【详解】由，即，， 又，所以. 故选：B 3. 已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（　　） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用等差、等比数列的性质得，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】成等差数列，成等比数列， 所以，且，则， 当且仅当时取等号， 故选：A. 4. 将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（ ） A. 72 B. 84 C. 96 D. 108 【答案】B 【解析】 【分析】利用先选后排的方法进行解题即可. 【详解】选个空盒：种， 分配个小球到个非空盒 情况一（分法）：种 情况二（分法）：种 总分配方法; 种， 总放法数：种 故选： 5. 已知正项等差数列的公差为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式列方程，即可得解. 【详解】由已知数列为等差数列， 且， 即， 化简可得， 即， 故选：B. 6. 一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用棱柱的体积可得面积之比，进而得长度比例关系，结合勾股定理，联立方程可求解半径，由表面积公式求解，或者利用余弦定理求解长度，进而根据正弦定理求解外接圆半径，即可利用勾股定理求解球半径得解. 【详解】方法一： ， 如图，， 而， ，，即， 由于到距离，则到距离， 设正方形外接圆圆心，则 设矩形外接圆圆心，则， 设外接球半径，设（当时，O在线段上） ，，故外接球表面积为， 故选；A. 方法二：由当底面水平放置时，水面高为可知容器内的空气占容器体积的，于是侧放时，图中的空气区域的“小三棱柱”的体积为容器的，因此“小三棱柱”的底面“小三角形”的面积为大三角形的，则边长之比为，即“小三角形”边长为1.然后如图： 设圆的半径为，由余弦定理可得， 故，故， 所以外接球的半径为，所以球的表面积为. 故选：A. 7. 如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，进一步由可得，将它们代入函数表达式结合诱导公式二倍角公式计算可得结果. 【详解】依题意则得 ， 即，所以,； 设，因为， 所以,，解得,； 因此 ,， 可得，结合图象可得，解得. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用点的位置特征以及向量关系式，得出两点的坐标关系式，再利用诱导公式以及二倍角公式计算可得结果. 8. 设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且，球体O表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立直角坐标系，根据确定轨迹为圆，转化到空间得到轨迹为两球的交线，计算球心距，对应圆的半径为，再计算周长得到答案. 【详解】以所在的平面建立直角坐标系，为轴，的垂直平分线为轴， ，则，，设，， 则，整理得到， 故轨迹是以为圆心，半径的圆， 转化到空间中：当绕为轴旋转一周时，不变，依然满足， 故空间中的轨迹为以为球心，半径为的球， 同时在球上，故在两球的交线上，为圆. 球心距为， 为直角三角形，对应圆的半径为， 周长为. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据余弦函数的和差公式，同角三角函数的商式公式，以及二倍角公式，可得答案. 【详解】由，且，则，故A错误； 由，故B正确； 由，故C正确； 由，故D错误. 故选：BC. 10. 若函数的图象经过第二、三、四象限，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】画出函数图象，分析该函数的单调性与的符号，可得出的取值范围. 【详解】若函数的图象经过第二、三、四象限，则的图象如下图所示： 函数单调递减，所以，所以， 由题意可知，解得，所以，， 故选：AC. 11. 已知函数满足：对任意，且当时，.下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】由关系取，可求，取，可求，再求，判断A，取，可得，的关系，再将替换为，求，由此判断函数的奇偶性，判断B，将中的用替换可得，结合条件证明当时，，再结合函数的奇偶性判断C，结合单调性定义证明函数在上单调递减，再利用导数证明函数在上单调递减，判断D. 【详解】因为， 令，，可得， 所以， 令，，可得， 所以， 所以，A正确； 由， 令可得，， 再将中的替换为，可得， 所以， 所以，所以函数为奇函数，B错误； 当时，将中的用替换， 可得，即， 当时，，由已知可得， 所以，， 又函数为奇函数，所以当时，，， 所以当时，，C正确； 因为， 所以若，则， 任取，且， 则， 因为，所以，，, 所以，所以， 所以函数在上单调递减， 设， 当时，， 因为，所以， 因为函数在上单调递减，所以， 所以， 所以在上单调递减. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取500个，用Y表示这500个零件的规格指标X位于区间的个数，则随机变量Y的方差是________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得质量指标在区间的概率，后由二项分布的方差可得答案. 【详解】由正态分布的性质得质量指标在区间的概率为， 即1件产品的质量指标位于区间的概率为，∴， 故. 故答案为： 13. 在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________． 【答案】或0 【解析】 【分析】根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解. 【详解】∵三点共线， ∴可设， ∵， ∴，即， 若且，则三点共线， ∴，即， ∵，∴， ∵,,， ∴， 设，，则，. ∴根据余弦定理可得，， ∵， ∴，解得， ∴的长度为. 当时， ，重合，此时的长度为， 当时，，重合，此时，不合题意，舍去. 故答案为：0或. 【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出． 14. 设F为双曲线的右焦点，A，B分别为双曲线E的左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：x＝t使得过F作直线AP的垂线交直线l于点Q时总有B，P，Q三点共线，则的最大值为____________. 【答案】##1.25 【解析】 【分析】设出直线方程，与双曲线的方程联立，韦达定理表示出A与P的关系，根据三点B，P，Q 共 线 ，求得Q点坐标的横坐标表示出t ,然后运用设参数m法化简,最后根据二次函数的性质求出最大值. 【详解】 设，，联立整理得: ; 所以，得到，所以； 过F作直线PA的垂线与直线交于Q， 因为B,Q,P三点共线，所以Q是直线与BP的交点， Q是与的交点 所以得 ，所以 设则 所以当 时，即m=2即时， 取得最大值. 故答案为： 【点睛】方法点睛：（1）联立方程，根据韦达定理表示出坐标关系式；按照题目中给出的关系，构建关系式，表示出所求变量； （2）在计算推理的过程中运用整体转化，化简函数式，从而得到二次函数或者不等式，求得最值； 本题的解题的关键是，表示出Q点的交点坐标，找到与t有关的解析式. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 函数是定义在R上的奇函数，且. (1)求a，b的值； (2)判断并证明在的单调性. 【答案】(1)，； (2)由(1)中可知，在上单调递减， 证明：设，，且， 则， 因为， 所以，，， 从而，即， 故在上单调递减. 【解析】 【分析】(1)结合已知条件和奇函数的性质即可求解；(2)利用单调性定义即可证明. 【详解】(1)因为是定义在R上的奇函数， 所以， 又由，故； (2)略 16. 如图，四棱锥P-ABCD底面为正方形，PD⊥平面ABCD,PD=AD,点M为线段PA上任意一点（不含端点），点N在线段BD上，且PM=DN. （1）求证：直线MN∥平面PCD. （2）若点M为线段PA的中点，求直线PB与平面AMN所成角的余弦值. 【答案】（1）如图所示：过点作交于，连接. ， 故，所以平面平面 故直线MN∥平面PCD （2） 【解析】 【分析】（1）过点作交于，连接，通过相似证明得到平面平面，得到答案. （2）以为 轴建立空间直角坐标系，计算得到平面的法向量为，利用夹角公式得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于 ， 以为 轴建立空间直角坐标系， 设,则 则 ,设平面的法向量为 根据 得到 故法向量 则向量 与 的夹角为,则， 则与平面夹角的余弦值为 . 【点睛】本题考查了线面平行，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 17. 已知为数列的前项和，且. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求的表达式及最大值. 【答案】（1）； （2），20. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用，结合等比数列求出通项公式. （2）利用分组求和法及等比数列前项和公式求和，再探讨数列的单调性求出最大项. 【小问1详解】 在数列中，，则，两式相减得， 而，，则，因此数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）得， 所以， ，当时，；当时，， 即，所以当时，取得最大值. 18. 已知椭圆：的离心率为，且经过点.，是的左、右焦点. （1）求的标准方程； （2）过的直线与交于，两点.若的内切圆半径为，，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合离心率的意义及所过点求出即可得椭圆方程. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理定理，结合弦长及三角形面积公式求解. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由离心率为，得，令，， 椭圆：过点，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，设直线的方程为，，， 由消去得， ，， ，， 而，，则，解得， 所以. 19. 已知函数，，. （1）若曲线在点的切线也是曲线的切线，求的值； （2）讨论函数在区间上的单调性； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 由，求导得， ①当时，，，在上单调递增； ②当时，令 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增 ③当时，令 当时，，在区间上单调递增； 当时，，在区间上单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义来求曲线在某点处的切线方程即可求解； （2）利用分类讨论，通过导数正负符号的判断可得单调区间； （3）利用端点值刚好为，要满足不等式恒成立，必要条件先行，再证明充分性即可求解. 【小问1详解】 由已知得，，在点处的切线方程为. 设与切于，，， 则过该点的切线方程为：， 整理得，由于该切线与重合， 则. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得，即对恒成立. 令，， 令，， 因为，， 若，则在处的切线必然是上升的， 又因为，所以当且靠近的函数值满足， 此时就有， 从而可推导在且靠近的附近是递增的， 又因为， 所以在且靠近的附近必有 则必然不满足对恒有， 所以要满足对恒有， 首先必需满足在且靠近的附近， 所以满足， 从而可得参数满足的必要条件是； 下面再证充分性，当，时，则，即有， 又构造，，可得， 所以在区间上单调递增，即， 则可知，则， 恒成立，符合题意， 综上：的取值范围为. 【点睛】方法点睛：针对端点值刚好是不等式的临界值时，利用必要条件先确定参数的范围，再进行充分性证明，如若成立，则这个必要条件就是充要条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（　　） A. 2 B. C. 4 D. 8 4. 将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（ ） A. 72 B. 84 C. 96 D. 108 5. 已知正项等差数列的公差为，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且，球体O表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 若函数的图象经过第二、三、四象限，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数满足：对任意，且当时，.下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取500个，用Y表示这500个零件的规格指标X位于区间的个数，则随机变量Y的方差是________. 13. 在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________． 14. 设F为双曲线的右焦点，A，B分别为双曲线E的左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：x＝t使得过F作直线AP的垂线交直线l于点Q时总有B，P，Q三点共线，则的最大值为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 函数是定义在R上的奇函数，且. (1)求a，b的值； (2)判断并证明在的单调性. 16. 如图，四棱锥P-ABCD底面为正方形，PD⊥平面ABCD,PD=AD,点M为线段PA上任意一点（不含端点），点N在线段BD上，且PM=DN. （1）求证：直线MN∥平面PCD. （2）若点M为线段PA的中点，求直线PB与平面AMN所成角的余弦值. 17. 已知为数列的前项和，且. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求的表达式及最大值. 18. 已知椭圆：的离心率为，且经过点.，是的左、右焦点. （1）求的标准方程； （2）过的直线与交于，两点.若的内切圆半径为，，求的值. 19. 已知函数，，. （1）若曲线在点的切线也是曲线的切线，求的值； （2）讨论函数在区间上的单调性； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $