精品解析：北京市昌平区2025-2026学年高三上学期期末数学试题

昌平区2025—2026学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷 2026.1 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，若复数z满足，则对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知正方形的边长为1，为线段的中点，为边上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 若，，且，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的渐近线方程为，则m的值为（ ） A. B. C. D. 2 6. 设函数（）.若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7. 已知函数，的定义域为，若，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 直线与圆交于两点，若是的等差中项，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6 9. 已知，是函数的图象上的不同两点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列满足（，2，3，）.若（），都有成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 抛物线的顶点到准线的距离为_______. 12. 已知，则_______；_______. 13. 在中，，，则_______. 14. 在如图所示多面体中，平面平面，，，，直线AE，BF与平面ABCD所成的角均为，，，，，则点F到平面ABCD的距离为_______；该多面体的体积为_______. 15. 已知函数的定义域为，且满足，为奇函数.给出下列四个结论： ①；②；③为周期函数；④为偶函数. 其中正确结论的序号是_______. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数（）的最大值为2. （1）求m的值； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一，并求在上最大值和最小值. 条件①：； 条件②：相邻两条对称轴之间的距离为； 条件③：的最小正周期，且. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校开展了历史知识竞赛.决赛设置A、B两类题型，每位选手先抽取两道A类题，再抽取一道B类题.A类题答对一道得10分，B类题答对得20分.已知选手甲答对A类题概率为，答对B类题的概率为，且各题是否答对相互独立. （1）求甲恰好答对一道题的概率； （2）设X为甲总得分，求X的分布列和数学期望； （3）若选手乙答对A类题的概率为，答对B类题的概率为，设Y为乙的总得分，比较和的大小.（结论不要求证明） 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，E、F分别是线段BC、AP的中点，，，. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面所成角的余弦值. 19. 已知椭圆C：（）中心为原点O，短轴长为，A，B是椭圆的左、右顶点，F是椭圆的右焦点，. （1）求椭圆C的方程及离心率； （2）过点作直线l交椭圆C于M，N（异于A，B）两点，过点F作垂直于长轴的直线与直线BM交于点D，与直线BN交于点E.设的面积为，的面积为，求证：为定值. 20. 设函数（）. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的极值点的个数，并说明理由； （3）若，成立，求a的取值范围. 21. 对于数列A：，，…，，若满足（，2，3，…，n），则称数列A为“数列”.定义变换T，T将“数列”A中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0，例如A：0，1，0，则：1，0，0，1，1，0，设是“数列”，令，，2，3，…. （1）若数列：1，0，0，1，1，0，0，1，0，1，1，0，求数列，； （2）若数列共有12项，则数列中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由； （3）若：0，1，记数列中连续两项都是1的数对个数为，，2，3，….求关于k的表达式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌平区2025—2026学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷 2026.1 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】依题意. 故选：C 2. 在复平面内，若复数z满足，则对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】应用复数的除法化简求复数，再由共轭复数的定义及对应点坐标确定所在象限. 【详解】由题设， 所以，对应点位于第三象限. 故选：C 3. 已知正方形的边长为1，为线段的中点，为边上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，根据平面向量数量积坐标运算即可求解. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，设， ，， 则. 故选：C 4. 若，，且，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质进行逐项判断即可. 【详解】因为，所以同号. 对于A：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，A错误； 对于B：当时，，即， 此时，所以B错误； 对于C：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，C错误； 对于D：因为同号，所以， 根据基本不等式的性质可得，D正确. 故选：D. 5. 已知双曲线的渐近线方程为，则m的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由解析式写出双曲线，由渐近线方程得到方程解得m的值. 【详解】由双曲线方程可知，即 ∴双曲线， ∴渐近线方程为， ∴，∴. 故选：B. 6. 设函数（）.若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解． 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由，可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即， 的最小值为． 故选：B． 7. 已知函数，的定义域为，若，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的定义判断充分性，根据反例判断必要性即可得答案. 【详解】因为函数，定义域为， 所以的定义域为， 当，均为偶函数时，有， 所以，即为偶函数， 反之，当取，则，满足为偶函数，但，均不为偶函数， 所以“，均为偶函数”是“为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A 8. 直线与圆交于两点，若是的等差中项，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由等差中项求得直线定点，然后由圆的方程确定圆心及半径，由弦长公式得到最小值. 【详解】∵是的等差中项，∴，即， 将代入直线方程并整理可得 ∴直线过定点， 整理圆方程得，∴圆的圆心为，半径为， ∵，即点在圆内， ∴当时，取得最小值， ∴. 故选：D. 9. 已知，是函数的图象上的不同两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出已知两点的中点坐标及的图象上纵坐标为的点，结合函数图象即可求解. 【详解】如图，由，得的中点， 点在函数的图象上，且轴，则， 由图可知，点在的左侧，即. 故选：A 10. 已知数列满足（，2，3，）.若（），都有成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，不等式化为，令，则对于，恒成立，代入计算得，再分析的最大值即可． 【详解】不妨设，则，即， 令， 则， 所以对于，恒成立，即， ， 整理得：， 解得， 当时，， 当时，， 当时，，，所以， 的最大值为，即． 故选：C． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 抛物线的顶点到准线的距离为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程即可求解. 【详解】抛物线的准线方程为，所以顶点到准线的距离为2. 故答案为：2 12. 已知，则_______；_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据二项式定理展开，并根据各项系数对应求解即可. 【详解】根据二项式定理， 所以，，，， 所以 综上，， 故答案为：；. 13. 在中，，，则_______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据三角形的性质，以及余弦定理解出三角形，再根据向量数量积的运算律，求出结果即可. 【详解】因为，，所以， 可知， ， 即. 故答案为：4. 14. 在如图所示的多面体中，平面平面，，，，直线AE，BF与平面ABCD所成的角均为，，，，，则点F到平面ABCD的距离为_______；该多面体的体积为_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对①，根据线面角定义求解；对②，将多面体分割为四棱锥和四棱锥两部分求解. 【详解】对于①：因为平面平面，且交线为，过点作平面垂足为， 则在直线上，因为与平面所成角为，所以 , 在中，， 即点到平面的距离为. 对于②：将多面体分割为四棱锥和四棱锥两部分. 对于四棱锥，因为， 所以底面为直角梯形，又, 所以，高为到平面的距离， 所以； 对于四棱锥，因为， 所以底面为梯形， 过点作垂直，垂足为，因为平面平面，平面平面， 所以平面，以为原点，分别以所在直线为轴，以过与平行的直线为轴， 建立如图所示空间直角坐标系，由①， 又与平面所成角均为，所以， 则， 则，令， 则点到直线的距离， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以是平面的一个法向量， 又，所以点到平面的距离为 又， 所以， 所以该多面体的体积 15. 已知函数的定义域为，且满足，为奇函数.给出下列四个结论： ①；②；③为周期函数；④为偶函数. 其中正确结论的序号是_______. 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，以及函数对称性，求出函数的周期，进而判断各结论正误，求出结果即可. 【详解】由，令，即，得，等价于； 由为奇函数，得， 所以，即函数周期为2，所以③正确； 由和周期为2，可得，即，所以①正确； 由函数周期为2，可知，， 因为，所以，所以②错误； 由函数周期为2，可知， 由①可知，所以，所以④错误； 故答案为：①③. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数（）的最大值为2. （1）求m的值； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一，并求在上的最大值和最小值. 条件①：； 条件②：相邻两条对称轴之间的距离为； 条件③：的最小正周期，且. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）具体见解析 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简，再利用函数最大值为2求出的值. （2）选择条件①：先将代入函数，再将代入化简后的函数，求出的值，最后确定在的最值；选择条件②：根据相邻两条对称轴之间的距离为求出周期，进一步求出的值，最后确定确定在的最值；选择条件③：根据周期范围确定的范围，再将代入函数求出的值，最后确定确定在的最值. 小问1详解】 因为函数，，所以由三角函数恒等式化简得：， ， 又因为的最大值为1，所以函数的最大值为： ， 又因为函数的最大值为2，所以，得出. 【小问2详解】 选择条件①，将代入函数，则函数， 将代入可得：，即， 则，解得，导致函数不唯一， 不符合题意，所以选择该条件得0分, 选择条件②：因为相邻两条对称轴之间的距离为，所以函数的周期为， 根据周期公式，可得，所以， 当时，， 当，即时，取得最大值为1，则函数取得最大值为2， 当，即时，，则函数取得最小值为， 选择条件③：因为的最小正周期，根据周期公式，得， 将代入可得：，即， 所以或， 当时，得出， 又因为，所以，（舍去）， 当时，解得， 又因为，所以，，即， 当时，， 所以当，即时，则函数取得最大值为2， 当，即时，则函数取得最小值为1. 17. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校开展了历史知识竞赛.决赛设置A、B两类题型，每位选手先抽取两道A类题，再抽取一道B类题.A类题答对一道得10分，B类题答对得20分.已知选手甲答对A类题的概率为，答对B类题的概率为，且各题是否答对相互独立. （1）求甲恰好答对一道题的概率； （2）设X为甲的总得分，求X的分布列和数学期望； （3）若选手乙答对A类题的概率为，答对B类题的概率为，设Y为乙的总得分，比较和的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）甲恰好答对一道题有两种情况，一种是答对一道A类题且答错B类题，另一种是答错两道A类题且答对B类题；因为各题是否答对相互独立，所以可以用独立事件概率公式计算； （2）确定X的可能取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列，进而求得数学期望； （3）求出，和比较大小，即得结论. 小问1详解】 由题意可知甲答对一道A类题且答错B类题的概率为， 答错两道A类题且答对B类题的概率为， 故甲恰好答对一道题的概率为； 【小问2详解】 由题意可知X的取值为， 则， ， ， , , 故X的分布列为： X 0 10 20 30 40 P 故； 【小问3详解】 由题意可知Y的取值为， 则， ， ， , , 故Y的分布列为： Y 0 10 20 30 40 P 故； 结合（2）可知 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，E、F分别是线段BC、AP的中点，，，. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，运用空间位置关系的向量证明即可； （3）由面面角向量法求法计算即可求解. 【小问1详解】 因为平面，平面， 所以， 因为，所以两两互相垂直， 以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设，则，， 因为，所以， 解得，得到，， 取平面的一个法向量为，而， 因为，平面，所以平面； 【小问2详解】 由（1）可知，， 设平面的一个法向量为， 则，设，则， 所以平面的一个法向量为，而， 因为，所以，则平面； 【小问3详解】 由（1）可知，， 设平面的一个法向量为， 则，设，则， 可得平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为， 则， 故平面与平面所成角的余弦值. 19. 已知椭圆C：（）的中心为原点O，短轴长为，A，B是椭圆的左、右顶点，F是椭圆的右焦点，. （1）求椭圆C的方程及离心率； （2）过点作直线l交椭圆C于M，N（异于A，B）两点，过点F作垂直于长轴的直线与直线BM交于点D，与直线BN交于点E.设的面积为，的面积为，求证：为定值. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用题设条件列出方程，求出，即得椭圆的方程； （2）先设出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两点坐标的关系，再分别求出直线的方程，进而得到的坐标，最后计算​和​，证明它们的乘积为定值. 【小问1详解】 由椭圆的短轴长为，得， 设椭圆的长轴长为，焦距为,因为，故， 即，结合，解得， 故椭圆的方程是，离心率为； 【小问2详解】 由题意可知直线l的斜率不为0， 设直线,，且, 联立, 则，即得， 且， 则直线的方程为，过作垂直于长轴的直线为, 令，得，则； 同理直线的方程为， 令，得，则； 又，， 则 ， 为定值9. 20. 设函数（）. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的极值点的个数，并说明理由； （3）若，成立，求a的取值范围. 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）对求导，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解； （2）根据已知条件，对进行分类讨论，利用导数法求函数极值的步骤及函数极值的定义即可求解； （3）问题转化为在上恒成立，利用导数求右侧的取值范围，即可得参数范围. 【小问1详解】 由题设，，则，所以切点为， 由，则， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 由题意知的定义域为，， 令， 当时，，在单调递增，无极值点， 当时，， 时，，在单调递增，无极值点； 时，，设方程的两根为， 所以，此时， ， ， ， 时，，函数单调递增； 时，，函数单调递减. 函数有两个极值点； 当时，，设方程的两根为， 所以，此时，而， 时，，函数单调递增； 时，，函数单调递减. 函数有一个极值点； 综上： 当时，函数有一个极值点； 当时，函数无极值点； 当时，函数有两个极值点. 【小问3详解】 由成立等价于在上恒成立. 令且，则， 令且，则， 所以在上单调递增，则，故， 所以在上单调递增，时，时， 所以，则. 21. 对于数列A：，，…，，若满足（，2，3，…，n），则称数列A为“数列”.定义变换T，T将“数列”A中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0，例如A：0，1，0，则：1，0，0，1，1，0，设是“数列”，令，，2，3，…. （1）若数列：1，0，0，1，1，0，0，1，0，1，1，0，求数列，； （2）若数列共有12项，则数列中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由； （3）若：0，1，记数列中连续两项都是1的数对个数为，，2，3，….求关于k的表达式. 【答案】（1），. （2）数列中连续两项相等的数对至少有12对；理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合变换的定义，即可求解； （2）对于任意一个“数列”，得到中每一个在中对应的连续四项，得到中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对，即可得到证； （3）设中有个数对，得到，且由中的得到或由中得到，根据变换的定义及，共有个，得到，求得，当时，分为偶数和为奇数，分别得到和，结合累加法和等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由数列， 由变换定义，可得，. 【小问2详解】 解：数列中连续两项相等的数对至少有12对. 证明：对于任意一个“数列”，则中每一个1在中对应连续四项， 在中每一个在中对应的连续四项， 因为共有12项的“数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对， 所以数列中连续两项相等的数对至少有12对. 【小问3详解】 解：设中有个数对，中的数对只能有中的数对得到，所以， 所以中的数对有两个产生途径，①由中的得到；②由中得到， 由变换的定义及，可得中和的个数总相等，且共有个， 所以，且，所以， 由，可得，，所以， 当时， 若为偶数，， 各式相加，可得， 经检验，当时，也满足 ， 若奇数，， 各式相加，可得， 经检验，当时，也满足 ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $