精品解析：北京市房山区2025-2026学年高三上学期学业水平调研（二）数学试题

房山区2025－2026学年度第一学期学业水平调研（二） 高三数学 本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应点的坐标为（    ） A. B. C. D. 3. 如果，那么下列不等式恒成立的为（    ） A. B. C. D. 4. 直线与圆的位置关系是（    ） A. 相交 B. 相切 C. 相交或相切 D. 相离 5. 等差数列的首项为1．若成等比数列，则所成等比数列的公比为（    ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，则“在上是增函数”是“对任意，存在，使得”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知抛物线，过焦点作与轴垂直的直线交抛物线于点，，设为抛物线上的一个动点，点，则的最小值为（    ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 奶茶温度衰减满足函数关系，其中（单位：）为（单位：分钟）时的温度，（单位：）为室温，为常数，．已知某奶茶店的室温为，奶茶制作完成时温度为分钟后温度为，该奶茶适宜饮用温度为，则制作完成后适宜饮用的时间约为（    ） （参考数据：．结果保留整数） A. 25分钟 B. 30分钟 C. 35分钟 D. 40分钟 10. 下列四个函数中，满足性质：“对定义域内任意的，当时，恒成立”的为（    ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为_____． 12. 的展开式中，所有的二项式系数之和为_____；若的系数为－40，则实数______． 13. 若函数的最大值为，则常数的一个取值为_____． 14. 数学家杨辉在《详解九章算法》中将堆垛与相应立体图做类比，推导的求和公式与现代数学形式高度统一．例如，三角垛指的是顶层放1枚，第二层放3枚，第三层放6枚……依此类推，从第二层开始，每一层比上面一层多放的棋子数构成等差数列，则前7层棋子数总和_____；第层的棋子数_____ 15. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，给出下列四个结论： ①任意点，都有； ②存在点，使得； ③的最小值为； ④三棱锥的体积是定值． 其中正确结论的序号是_____ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面所成角的大小． 17. 在中，，． （1）求的值； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求边上中线的长． 条件①：边上的高为； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 2025年11月23日，人民日报发表题为《电车续航有望突破1000公里》的文章．目前市面上不同品牌新能源汽车续航里程有较大差异，冬季汽车之家对12款纯电轿车在低温区（）和寒冷区（）两种不同测试环境下的实际续航里程（单位：）进行了测试，结果如下表： 汽车品牌 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 厂家标注续航里程 816 806 800 710 665 660 606 567 515 510 410 405 低温区实际续航里程 717 681 737 569 584 486 550 566 480 489 356 303 低温区续航达成率（%） 87.9 84.5 92.1 80.1 87.8 73.6 90.8 99.8 93.2 95.9 86.8 74.8 寒冷区实际续航里程 319 331 385 293 301 295 234 313 236 269 189 178 寒冷区续航达成率（%） 39.1 41.1 48.1 41.3 45.3 44.7 38.6 55.2 45.8 52.7 46.1 44.0 续航达成率. （1）从上述12款纯电轿车中随机抽取一款，估计这款车在低温区续航达成率超过90%的概率； （2）从上述12款纯电轿车中随机抽取3款，记这3款纯电轿车在寒冷区续航达成率超过45%的个数为，求的分布列与数学期望； （3）若上述12款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值为，现又有一款纯电轿车参与测试，其在低温区的续航达成率为72.5%，将这个数据加入之后，记这13款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值为，试比较与的大小.（结论不要求证明） 19. 已知椭圆：过点，短轴长为，，分别为椭圆的左、右顶点． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，直线的斜率与直线的斜率的比值是否是定值，如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由． 20. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与轴平行，求的值； （2）若在区间上恰有一个极值点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由． 21. 已知集合，数列：，：， 其中，且当时，，，当时，． （1）若，求的值； （2）当时，若为奇数，分别判断与是奇数还是偶数，并说明理由； （3）若数列中有项为奇数，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 房山区2025一2026学年度第一学期学业水平调研（二) 高三数学 本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在 试卷上作答无效考试结束后，将试卷和答题卡一并交回： 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项 1.已知集 M=d-5≤x<3,N=d-2≤x<6,则MUN=() A.{d-5≤x<6 B.{d-2≤x<3} c.{-5≤x≤3} D.{d-2≤x≤6} 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集的概念与运算直接得出结果. 【详解】由题意知， MUN={x-5≤x<6 故选：A 2.已知复数2满足zi=1+i,则在复平面内z对应点的坐标为() A.（-1,) B.() c（-1,-) D.(1,-1) 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算求复数z,再根据复数的几何意义确定2对应点的坐标 第1页/共28页 6学科网命组卷网 =1+i.0+i-() 【详解】因为zi=1+i→ -ii(-i)=1-i 所以在复平面内2对应点的坐标为，-刂 故选：D 3.如果a<b<0,那么下列不等式恒成立的为() 1,1 A.ab B.a<b c.In a<In D.a2<ab 【答案】B 【解析】 【分析】A和D作差法比大小；B根据幂函数的单调性判断；C根据对数函数的单调性判断. 1-1-b-0>01>} 【详解】因为a<b<0,所以abab,则ab,故A错误； 因为a<6<0,y=?在R上单调递增，所以：<b,故B正确： 因为a<h<0,所以4> 又y=血x在(0，+o)上单调递增，则血d>血b,故C错误： a2-ab=a(a-b)>0,则a>ab,故D错误 故选：B 4直线x+cos仍y-1=0(0eR)与圆x+y=1的位置关系是（) A.相交 B.相切 C.相交或相切 D.相离 【答案】C 【解析】 第2页/共28页 命学科网命组卷网 【分析】联立直线方程和圆的方程，消元后得到一元二次方程，根据方程解的个数得到直线与圆的交点个 数，从而得到直线与圆的位置关系 x+c0s0y-1=0 【详解】联立x2+y2=1 ,消元得1-2cos仍y+(cos20+1）y2=1, :.(c0s20+1)y2=2cos0y 2cos0 y= .y=0或c0s20+1, 2cos0 =0 0=元+km(k∈Z） 由cos20+1可得cos0=0,解得2 当日-+(k∈Z）时，方程组存在唯一解，此时直线与圆相切， 故当2 当0子经+akeZ ”2 时，方程组存在两个不同解，此时直线与圆相交， 故选：C 5.等差数列{a.}的首项为1.若4+2,4+4,4+6成等比数列，则所成等比数列的公比为() A.1 B.2 C.-1 D.-2 【答案】A 【解析】 【分析】设公差为，根据等比中项列方程求出公差，然后可得公比. 【详解】记等差数列a,}的公差为d, 因为4+2,4+4,4+6成等比数列，所以(4+2)(4，+6)=(4，+4. 即(a+2)(a+2d+6)=(a+d+4}, 又4=1，所以3(2d+7)=(d+5,整理得dP+4d+4=0,解得d=-2, 第3页/共28页 命学科网命组卷网 4,+44+d+4_1-2+4=1 所以a+2a+21+2 故选：A 6知肉学a6满起风-2-3a与5的夫为石，则6+2eR则的康东国是() A.L,5] B.[0,+o) c[0,5] D.[l,+o) 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的性质，结合二次函数性质求解可得。 【详解1】因为同=2,5=3，ā与6的夹角为6，所以 a.b=2x3xcos"=3/3 6 所以a+6=2+2a.6+2272=922+6√3+4. 由二次函数任质可，当= =一了时，a+矿取得最小值1。 所以a+2≥1，所以a+≥L,即a+2eR)的取值范围为[l,+o) 故选：D 7.已知函数f()的定义域为R,则f()在R上是增函数”是“对任意xER,存在>0，使得 f(x)<f(x+a叫的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件及增函数的定义，构造反例判断即可 【详解】充分性：因为f(在R上是增函数，且a>0时，有x+a>x,所以f()<f(x+a), 第4页/共28页 命学科网命组卷网 即f()在R上是增函数能推出“对任意xER,存在a>0,使得()f(x+a, 充分性成立 x,x<0 必要性：如函数∫()= x-1,x≥0， 当x<0时，取a=2, 当-2≤x<0时，x+2≥0，f(x+2)-f()=x+2-1-x=1>0f(,)<f(x+2) 当x<-2时，x<x+2<0,f(x+2)-f()=x+2-x=2>0.f(x)<f(x+2) 所以当<0时，取a=2,f()<f(x+2) 当x≥0时，a>1,则x+a>x≥0， 此时f(x+)-f()=x+a-1-(x-)=a>0.所以f(<f(x+a), 综上，函数f()满足对任意x∈R,存在a>0,使得f)<f(x+a). 但取=05，。=0时，f(:)>f(:）,不满足增函数的定义， 故“对任意xER,存在a>0,使得()(x+a不能推出f()在R上是增函数，必要性不 成立 故选：A. 8已知抛物线B:r=2(p>0),过焦点F作与y特垂直的直线交抛物线E于点4B,M8=8,设 P为抛物线上的一个动点，点(2，，则PF+P四的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】 【分析】先根据通径的长度确定抛物线的方程，进而确定焦点和准线，再结合抛物线的概念求PF+P四 第5页/共28页 可学科网丽组卷网 的最小值 【详解1由题意，弦AB为抛物线的通径，所以1B=2p,又AB=8,所以2p=8 所以抛物线方程为2=8y,焦点F(0,2),准线1：y=-2 如图： H 过P作准线'的垂线，垂足为H,因为P为抛物线上的点，所以P=PH叫 所以PF+Pg=PH+Pg 所以当2，P,H三点共线时， PH+P四取得最小值，为3， 故选：B T=k.b'+M 9.奶茶温度衰减满足函数关系 1,其中T(单位：℃)为（单位：分钟）时的温度，M ℃ k,b b>0 (单位：）为室温， 为常数， 已知某奶茶店的室温为 20℃ ，奶茶制作完成时温度为 100℃，10 分钟后温度为 0℃ 0℃ ，该奶茶适宜饮用温度为 则制作完成后适宜饮用的时间约为() 1g2≈0.30,1g3≈0.48 (参考数据： 结果保留整数) A.25分钟 B.30分钟 C.35分钟 D.40分钟 【答案】C 【解析】 【分析】由题， M=20,当=0时.T=10,1=10,T=80,代入运第可得k1gh,令T=50运第 得解。 第6页/共28页 学科网命组卷网 【详解1由思，M=20,当1=0时，7=100，则100=k-b+20,符k=80, b10、3 3 凤1E10,T=80,故80=8068+20，月4所ghB 10 ,b3 当T=50时，有50=80.b+20,所以8， 3 所以t= e8。lg3-31g210048-3×0.3）-35. l e610e3-21e2) 0.48-2×0.3 故制作完成后适宜饮用的时间约为35分钟. 故选：C 10下列四个函数中，满足性质：“对定义域内任意的，当x≠时，()<f(名)+f()(x-x) 恒成立”的为() A.f(x)=2x B.f(x)=e* c.f(x)=sinx D.f(x)=Inx 【答案】D 【解析】 【分析】首先明确题目中“对定义域内任意的，当x≠时，f()f()+f'(名x-)恒成立” 的含义，即函数f(闭)的图象除切点(，%）外，其它部分均在x=处的切线的下方，由此结合导数的 几何意义以及导数与函数单调性的关系，一一判断各选项是否符合题意，即可得答案 另解：根据导数的几何意义结合题意判断出函数的图象的形状，结合选项，一一判断是否符合题意，即可 得答案. 【详解】根据导数的几何意义可知y=f()+∫'()(x-)表示的是函数在x=处的切线方程， 而函数满足性质：“对定义域内任意的，当x≠时，()<f()十f'(x,x-)恒成立， 第7页/共28页 6学科网列组卷网 即函数f()的图象除切点(，%)外，其它部分均在x=处的切线的下方， 对于A,f()=2x,f'(x)=2 在=处的切线方程为'-2，=2(x-）,即y=2x,不符合题意，A错误： 对于B,f()=e,f(x)=e f（()在x=名处的切线方程为y-=e6x-),即y=e+e(x-）, 令8(x)=f(x)-[f(x)+f'(x)(x-x】=e-e-e(x-xo) 则8(=e-e,当x<时，g()<0,g在（0，)上单调递减： 当x>时，8>0,8)在+o)上单调递增， 所以8)≥g,)-0,即·≥c+e(x-),当且仅当x=时等号成立，不符合题意，B错误： 对于c,f)=s,f)=,不纺k=及，则（=o引0， 则f(x)=sinx在=一2处的切线方程为y=-1, 当*受时.f儿2-1，时不满足f6)+r6x-）.8特 对于D.闪=n,定义城为0，+o.f)= 在x=气处的物线程为-，-号红-》，=+c-)】 Xo 今=fe-[U-f-】=--0 第8页/共28页 6学科网6组卷网 K(x)=11 xx,当x<时，(x)>0,(x)在(0，)上单调递增： 当x>时，()<0，k()在(，+O)上单调递减， 所以k(x)≤k(x)=0,即 nx≤ln,+'x-x) xo ,当且仅当x=x,时等号成立， 则当x≠时， f(x)<f()+f(xo)x-)恒成立，符合题意，D正确 另解： 根据导数的几何意义可知)=f（6)+∫（儿x-）表示的是函数在x=处的切线方程， 而函数满足性质：“对定义域内任意的，当x≠时，f()<f(名)+∫'(x)(x-)恒成立， 即函数f()的图象除切点(，)外，其它部分均在X=处的切线的下方， 即可知函数(x) 的图象为向上凸形状： 对于f()=2x 其图象为直线，不符合题意，A错误； 对于()=《，其图象为向下四的形状，不符合思意，B错误： 对于f()=six,其在（元，2m)上的图象为向下凹的形状，不符合题意，C错误： 对于f(x)=lnx 其图象为上凸形状，符合题意， f(x)=Inx Xo 故选：D 第二部分（非选择题共110分) 第9页/共28页 6学科网 命组卷网 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分 1.双曲线？-少=1上任意一点P到两个焦点的距离之差的绝对值为 【答案】2 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求解即可。 【详解】由双曲线的定义可知，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于2a 所以PF-PF=2a=2 故答案为：2. 12.(2x+m'的展开式中，所有的二项式系数之和为一；若心的系数为-40，则实数m= 【答案】 ①.32 ②.-1 【解析】 【分析】空1：利用二项式系数的性质求解即可：空2：利用二项式展开式的通项公式可求得实数m的值 【详解】二项式系数之和为 C%+C,+C?+C+C4+C=2=32 二项式(2x+m的展开式的通项公式为T=C(2x)广·m=C2mr 令5-r=2,解得=3，所以展开式的第四项为了，=C2·mx=40mx2 R+ 的系数为-40，所以40m'=-40 解得n=1 故答案为：①32；②-1. 13.若函数f(:)=c0sx+c0s(x+p)的最大值为2，则常数P的一个取值为一 元 【答案】2（答案不唯一，只需 +标，keZ即可) 【解析】 第10页/供28页 学科网命组卷网 【分析】由和差角公式及辅助角公式化简函数()， 然后得到方程，即可解得P的值， 【详解】f()=cosx+cos(x+p）)=cosr+cx--sin xsin=(cosp+1)cosr--sin psinx -asp+旷+nps(+mamB=】 依题意， (cos+1)'+sin2=2,1+2cos+cos2+sin2=2, 化简相20osp=0,解行0-子+a(keZ) 2 敏答案为：2《2+欣，k乙即可 14.数学家杨辉在《详解九章算法》中将堆垛与相应立体图做类比，推导的求和公式与现代数学形式高度 统一.例如，三角垛指的是顶层放1枚，第二层放3枚，第三层放6枚依此类推，从第二层开始，每 一层比上面一层多放的棋子数枸成等差数列，则前7层棋子数总和3，一一：第”层的棋子数，= n(n+1) 【答案】 ①.84 ②. 【解析】 【分析】根据给定条件计算可求得S,与出数列的递推关系，利用累加法求出通项即可 【详解】依题意4=1a=3,a=6,…,可得0，-a1=nn≥2) 所以8，=1+3+6+10+15+21+28=84 所以a.=a+(a-4)+(4-4)++(a。-a,)=1+2+3++n= (n+) 2 n(n+1) 故答案为：①84；②2· 第11页/共28页 6学科网 组卷网 15.如图，在棱长为2的正方体 BCD-AB,CD中，E为BC的中点，点P在线 DE上，给出下列 四个结论： B D B ①任意点P,部有APL AB ②存在点P,使得 BP⊥BC 45 ③DP+CP的最小值为3； ④三棱锥 P-ABD 的体积是定值. 其中正确结论的序号是 【答案】①②③ 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标验证垂直判断①②，通过空间中点坐标，求解关于 DP+CP 解 析式，由一元二次方程的性质可求解③，通过点到平面的距离，由三棱锥的体积公式求解④即可 【详解】因为棱柱 BCD-4B,CD为正方体，所以以D为原点，DA为x轴，DC为'轴， DD为2 轴，建立空间直角坐标系，如图， AZ D D C E 第12页/共28页 6学科网命组卷网 因为正方体1BCD-ABCD楼长为2，所uD(0,00),A(2,00）,B(22,0),C(Q,20) 4(2,0,2） B(2,22),C(0,22),D(00,2),因为E为BC的中点，所以E2,0）,设 D,P=DE(0≤元≤I) DE=(12,-2）,则P(2,2,2-22）,所以4P=(-2,2元，-22），AB=(02,2) 4P.AB=0-(2-2)+2-(2)+2(-2)=0,所以4P1B,故0正确： BP=(-2,2-2,2),BC=(-2,02）,所以BP.BC=-2-(2-2)+2-(-22)=4-6孔，令 4-62=0 2 21 解行2-5，又因为0<专<1，所以存在点P,使积BP1BG,放②正偏： = P(,21,2-2),D=2+42+(2-2n2=92-82+4, GP=2+(21-2)2+(-22)}2=92-81+4, 4 可得DP=CP,所以DP+CP=2N922-8元+4，即令y=2V922-81+4,令 9 2 4 所以ynm= 2》 -8x4+4=-45 9 3，故③正确： 因为A48D%等边三角后，所以54m×22x22x5=25 2 设平面4BD的法向量为m=(x2),4B=(02,2),BD=(22,0）,所以 第13页/供28页 命学科网命组卷网 m·4B=0∫2y-2z=0 m-BD=02x+2y=0, 令y=1,则z=L,x=-l,所以平面4BD的法向量为m=(11,),4P=(-2,2九，-2) 所以点p平再4D的能高61=2-1+24-2入_2- 3 V3, 所以4m写xSwmxd=×2v5x2-A_22- 3 √33，所以三棱锥P-ABD的体积非定值，故④错 误. 故答案为：①②③ 三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16如图，在四楼锥P-ABCD中，底面ABC 为平行四边形，且∠BAP=∠CDP=90 D (1)证明：平面PAB⊥平面PAD: PD⊥AD,PD=AD=D (2)若 C,求平面PAD与平面PBC所成角的大小 【答案】(1) 因为在四楼锥P-ABCD中，∠BAP=∠CDP=90 AB⊥PA,CD⊥PD ABCD AB/ICD 所以 ,又底面 为平行四边形，所以 ,所以AB L PD 因为 PAOPD=PPM,PDC平面PMD,所以MBL平面PMD 第14页/共28页 学科网命组卷网 因为ABC平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD. 元 (2)4 【解析】 【分析】(1)由题意先证明AB⊥平面PAD,再根据面面垂直的判定定理，即可证明结论： (2)建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面PAD与平面PBC的法向量，根据面面角的向 量求法，即可求得答案 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)知AB⊥平面PAD,ADC平面PAD,故AB⊥AD, 而AB/1CD,故CD⊥AD, PD⊥AD,PD⊥DC,ADODC=-D,AD,DCC平面ABCD,所以PD上平面 ABCD DA,DC,DP 以D为原点，分别以 x,y,Z 所在直线为 轴建立空间直角坐标系， r. B 设PD=AD=DC=l,则D00,040,0,B1,0,C0,10P0,0D 平面PAD的一个法向量可取为m=(01,0), PB=(1,L,-1D,PC=(0,1,-1) 第15页/共28页 命学科网命组卷网 n.PB=0 设平面。。的法向量为· PBC n=3y2)'则 nPC=0' x+y-z=0 即得y-z=0，令z=1,则x=0,y=1,即n=(0,1,) 设平面PAD与平面PBC所成角为O,由图可知该角为锐角， 则cos0= m_0×0+1x1+0×11√2 m1x0+12+12V22, 即平面PAD与平面PBC所成角的大小为4. csin2B 17.在△ABC中，c0sB -25.b=35. (l)求sinC的值； (2)若C<b,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一， 求BC边上中线的长， 4V6 条件①：AC边上的高为9： 条件②：c=V3 条件③：CosB= 3· 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解 答计分 G 【答案】(1)9 第16页/供28页 命学科网组卷网 (2)任条件①③： BC 边上中线的长为V而 【解析】 【分析】(1)根据二倍角公式及正弦定理即可求出sinC (2)根据正弦定理、余弦定理求出解三角形，并判断△ABC是否唯一，再根据余弦定理即可求解. 【小问1详解】 csin2B =2W2 c.2 2sinBcosB=2√2 由cosB 可得， cosB ,即csinB=√2， b 由正弦定理可得，sin B sinC,所以bsin C=csin B=√2 又6-3W3,所以sinc=2反6 b3√59 【小问2详解】 已知b=35,c<b,smc=6 C'、π 所以C为锐角，且 6 条件0：4C边上的前为).则5=b×46-0 46 466 -abxsinC =ax 2 9 2 9，所以a=4 又cosC=-sin 5 9 9」 2-+-2aac-f46j-2x4ix5y5-3,e-5. 综上，a=4,b=35,c=V5,所以△MBC存在且唯- 第17页/共28页 6学科网6组卷网 B 在4cD中，4C=3N5,D-Bc-2,mc-5 9, 拟4D-Vac2+c0-2acc0cmsC-3+2-2x35x2x5y5-而 故BC边上中线的长为V而 条件②：c=V5 由esinB=V2可得，$咖B=26 5=3, C<π 又6，所以B可以为钝角，也可以为锐角，△ABC不唯一. 条件③： COsB=3 3，则B为钝角，此时△ABC存在且唯一. sinB=v1-cos2 B 3 =bsinC 33x v6 由 C 9 =V5 可得，sinB bsinC=csin B 3 在aMBc,4C=35,AB=5,oB=- 3 第18页/供28页 6学科网 命组卷网 所以cosB-4B+BC2-4c2_S+BC2-335 2AB-BC 23.BC 整理得， BC+2BC-24=0,解得BC=4或BC=6(合去). 或 CDC5 CD-C2 o0sC 9 所以4D=VAC+CD2-2AC-CDosC=33+2-2x3W5×2x55-V而 故BC边上中线的长为V 18.2025年11月23日，人民日报发表题为《电车续航有望突破1000公里》的文章.目前市面上不同品牌 新能源汽车续航里程有较大差异，冬季汽车之家对12款纯电轿车在低温区(5℃~15℃)和寒冷区( -25℃~-15℃)两种不同测试环境下的实际续航里程（单位：km)进行了测试，结果如下表： 汽车品牌 1 4 > 10 11 12 厂家标注续航里 81 80 80 71 66 66 60 56 51 51 41 40 程 6 6 0 0 0 6 0 0 低温区实际续航 71 68 73 56 58 48 55 56 48 48 35 30 里程 > 1 4 6 0 6 0 6 低温区续航达成 87. 84. 92. 80. 87 73 93 95. 86. 74. 率(%) 9 5 9 8 寒冷区实际续航 31 33 38 29 30 23 26 18 17 里程 9 5 6 9 9 寒冷区续航达成 39. 41. 48 41. 45. 44. 38. 55. 45. 52. 46. 44. 率(%) y 3 6 8 0 实际续航里程 ×100% 续航达成率厂家标注续航里程 第19页/共28页 命学科网命组卷网 (1)从上述12款纯电轿车中随机抽取一款，估计这款车在低温区续航达成率超过90%的概率： (2)从上述12款纯电轿车中随机抽取3款，记这3款纯电轿车在寒冷区续航达成率超过45%的个数为X, 求X的分布列与数学期望： (3)若上述12款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值为，现又有一款纯电轿车参与测试，其在低温 区的续航达成率为7256，将这个数据加入之后，记这13款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值为凸， 试比较与凸的大小.（结论不要求证明） 5 【答案】(1)12 (2) X 0 1 2 3 1 9 9 1 11 22 22 11 期望为2 (3)4<% 【解析】 【分析】(1)由题可得在低温区续航达成率超过90的有5个，由此求得答案： (2)根据题意，可得X 0,1,2,3 的可能取值为 服从超几何分布，求出相应的概率求出分布列和期望； (3)先计算12款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值“，再与新加入的续航达成率72.5%比较，得 解. 【小问1详解】 92.1,90.8,99.8,93.2,95.9 由题，12款纯电轿车中在低温区续航达成率超过90的有： ,共5个， 第20页/共28页 6学科网列组卷网 P=5 所以这款车在低温区续航达成率超过90%的概率为12 【小问2详解】 48.1,45.3,55.2,45.8,52.7,46.1 在寒冷区续航达成率超过45%的有： 共6个，未超过的有6个， 的可能取值为0L23,服从超几何分布，则P(X=)=s6(k=0,12,3 c日220i,P(X=1)=cg:C6x159 所以P(X=0)=CcgC=20=1 C222022, =2203.P(x=3)-g-20-1 P(X=2)=Cg:C-6x159 C222011, 所以X的分布列为： X 0 1 9 9 1 11 22 22 11 9 9 13 E(X)=0×, +1× +2× +3× 数学期望 11 22 22 112 【小问3详解】 12款纯电轿车在低温区的续航达成率的和： 87.9+84.5+92.1+80.1+87.8+73.6+90.8+99.8+93.2+95.9+86.8+74.8=1047.3 1047.3 ≈87.3% 所以原均值 12 加入的达成率为72.5%<87.3%. 因此这13款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值4<% 第21页/共28页 6学科网命组卷网 x2.y2 19已知椭圆E:+存=1(a>b>0)过点(N2,,短轴长为2√2，A,B分别为椭圆的左、右顶点 (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)过点C(,0)且不与y轴垂直的直线l与椭圆E交于M,N两点，直线AM的斜率与直线BN的斜率 的比值是否是定值，如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由， x.y 12 【答案】(1)42,2 1 (2)直线AM的斜率与直线BW的斜率的比值为定值，定值为3 【解析】 【分析】(1)根据椭圆过定点及短轴长列方程组求出a,b值，即可得到椭圆方程，进而求出离心率 飞A (2)设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，代入kw的代数式中化 简即可 【小问1详解】 由短轴长为25可得，6=V2 5归得子-1器4，a-2 21 =4 所以椭圆E的方程为4+之=1 离心率为e= a 【小问2详解】 设直线1的方程为y=k(x-)(k≠0），设M(,)N(,2) 第22页/供28页 6学科网6组卷网 因为4，B分别为椭圆的左、右顶点，所以A(-2,0）,B(2,0) +1 联立 42 =x-)）g理用（2+-4x+2-4=0 △=（4k2-4(2k2+10(2k2-4)=242+16>0. 5%- kw=25)》.=之259 x+2x1+2’ x2-2x2-2, k(x-1) k仙=+2=(-(s-2)-55-2x-为+2。x5-(名+x)-x+2 所以kw5-)(G+2)(5-可-x+2x,-2x6+2(x+)-3x-2 x2-2 2k2-44k2 22+122+1+2-(22+1x+2(2-）1 22+1+22+13-2-(6+3列+62-3 4+243 2k2-4 当直线1斜率不存在时，方程为x=1,代入椭圆方程解得”=±V6 2. 第23页/共28页 可学科网命组卷网 √6 2 k4=1+2=1 - 则kBN √63 2 1-2 综上，直线AM的斜率与直线BW的斜率的比值为定值，定值为3. 20已知晒数f(冈=am-分+x-h(x+ （1)若曲线=f(在点0叨处的切线与x轴平行，求a的值： （2)若f()在区间(0，+o)上恰有一个极值点，求“的取值范围： (3)在2)的条件下，试判断函数80=(+)--刊在区间(0，x)上的单调性，并说明理由。 【答案】(1) a=I 6 (2) (3)单调递增，理由如下： ，质数如=期闭=司4 因为=3a 则8（四=f(,+)+f(x-) f 第24页/共28页 6学科网6组卷网 =k+9旷6+可-0旷6+6-4可 _3au(+}_3au(-}6at2(6+2x-fP） x+1+1x-1+1(x+1+1)(x。-t+) 因为关于1的函数y=+2x-(在1∈(0，)上单调递减。 则6+2->分+2x,-=2x>0 因为1e0,）,0<a<5 所以6a>0,+f+1>0,-1+1>0 赦80>0，则西数3(0=f(6+）-f(-小在区间(0，)上单调递猫 【解析】 【分折】（山）根据0=0求出， 化微r)-:如).有#21如0：0o1三2时伦到网生 (3)根据3a=1 6at2(x6+2x。-12） +1化简得g(0=f(o+)+f(玉。-）（伍+1+）(-1+1 再判断各因式的 正负性 【小问1详解】 由题意得， f的定义域为（l+o).f(x)=3ar2-x+1- x+1, 因为脑线)=f代问在点f0)处的切线与x箱子行，所以f0=3a0 则一6，经检验，此时切线与x轴不重合，符合愿意： 第25页/供28页 6学科网6组卷网 【小问2详解】 闭-r-1--rf04 x+1 0<1,<1 当x>0时，x+1 若3a≥1，则f'()≥0，则f(~)在(0，+∞)上单调递增， 则()在(0，+切)上无极值，不符合题意： 若3a≤0，则f'()≤0.则f)在(0，+o)上单调递减， 则f()在(0，+o)上无极值，不符合题意 老0<1.ma.则r0g>f<0期0<r 11 3a 因回ao女-*t名上g 则f()在区间(0，+o)上恰有一个极值点。=3a 故a的取值范围为 . 【小问3详解】 略 21.已知袋合A=∈2Z≤i≤30}，数列a,}.a,4,,4n,{,}.6,4,40 其中，∈ ,且当m≠n时，a.≠a.,么=l,当l≤n≤29时，b=a+a++a,+1 (1)若40=1 求0的值： 第26页/共28页 命学科网命组卷网 （2)当1≤n≤29时，若，为奇数，分别判断，+6与，b是奇数还是偶数，并说明理由： (3)若数列，}中有k项为奇数，求k的最大值。 【答案】(1)465 （2).+b1为奇数： bn·b+1为偶数 (3)k的最大值23 【解析】 【分析】1)a.}是集合4=，2,30的-个排列.可得4+4++a0, 再由61=4+4，+ta.+1 求解即可 (2)由递推公式可得1=，+ ,再由·为奇数分别求解即可。 b (3)保持”为奇数，偶数维持，奇数改变，优先使用偶数，并在偶数耗尽后计算交替产生的结果即可 【小问1详解】 已知{a.是集合4=几，2…30)的一个排列，所以 4+4,++40=1+2++30-0+30）x30=465 2 由题意，bn1=a1+a2+…+an+1,所以令 n=29可得， b0=a1+a2+…+a29+1 ，因为40=1 所以4+a++ag=464,所以 b0=41+a2+…+a29+1=465 【小问2详解】 设a,}的前n项和为S.,由递推式bm=4+4++a,+l,可得么1=S+l,又b,=S+l(n≥2） 第27页/共28页 命学科网命组卷网 定义=0，么=S+l,所以b=(S,+l-(S+)=0,即4=b+a,所以 b.+b=b.+(亿+a)=2b+a,因为2b.为偶数，a,为奇数，所以，+b为奇数， bb=b,《6.+a,）,若为偶数，则5，b=6.6,+a,)为偶数，若b为奇数，则6，+a偶数， 所以bb=b。(6,+a)为偶数 【小问3详解】 6=1,因为=6，+0，若0为奇数，则1与”奇偶性相反，若“为偶数，则1与：奇偶性相同， 集合A中有15个奇数，15个偶数，从么=1为奇数，为使数列，}奇数项尽可能多，应优先使用偶数作 为0，的值，取4,44：为4中所有的5个偶数，则么，6均为奇数，共16项，此时偶数己用完。 b6为奇数，则A1为偶数，久为奇数，b9为偶数，，可知s,b0b0为奇数，共了项因此，奇 数项共有16+7=23项，所以k的最大值为23 第28页/共28页