精品解析：北京市房山区2025-2026学年高三上学期学业水平调研（二）数学试题

房山区2025－2026学年度第一学期学业水平调研（二） 高三数学 本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应点的坐标为（    ） A. B. C. D. 3. 如果，那么下列不等式恒成立为（    ） A. B. C D. 4. 直线与圆的位置关系是（    ） A. 相交 B. 相切 C. 相交或相切 D. 相离 5. 等差数列的首项为1．若成等比数列，则所成等比数列的公比为（    ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 已知向量满足与夹角为，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，则“在上是增函数”是“对任意，存在，使得”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知抛物线，过焦点作与轴垂直的直线交抛物线于点，，设为抛物线上的一个动点，点，则的最小值为（    ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 奶茶温度衰减满足函数关系，其中（单位：）为（单位：分钟）时的温度，（单位：）为室温，为常数，．已知某奶茶店的室温为，奶茶制作完成时温度为分钟后温度为，该奶茶适宜饮用温度为，则制作完成后适宜饮用的时间约为（    ） （参考数据：．结果保留整数） A. 25分钟 B. 30分钟 C. 35分钟 D. 40分钟 10. 下列四个函数中，满足性质：“对定义域内任意的，当时，恒成立”的为（    ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为_____． 12. 的展开式中，所有的二项式系数之和为_____；若的系数为－40，则实数______． 13. 若函数的最大值为，则常数的一个取值为_____． 14. 数学家杨辉在《详解九章算法》中将堆垛与相应立体图做类比，推导的求和公式与现代数学形式高度统一．例如，三角垛指的是顶层放1枚，第二层放3枚，第三层放6枚……依此类推，从第二层开始，每一层比上面一层多放的棋子数构成等差数列，则前7层棋子数总和_____；第层的棋子数_____ 15. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，给出下列四个结论： ①任意点，都有； ②存点，使得； ③的最小值为； ④三棱锥的体积是定值． 其中正确结论的序号是_____ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面所成角的大小． 17. 在中，，． （1）求的值； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求边上中线的长． 条件①：边上的高为； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 2025年11月23日，人民日报发表题为《电车续航有望突破1000公里》的文章．目前市面上不同品牌新能源汽车续航里程有较大差异，冬季汽车之家对12款纯电轿车在低温区（）和寒冷区（）两种不同测试环境下的实际续航里程（单位：）进行了测试，结果如下表： 汽车品牌 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 厂家标注续航里程 816 806 800 710 665 660 606 567 515 510 410 405 低温区实际续航里程 717 681 737 569 584 486 550 566 480 489 356 303 低温区续航达成率（%） 87.9 84.5 92.1 80.1 87.8 73.6 90.8 99.8 93.2 95.9 86.8 74.8 寒冷区实际续航里程 319 331 385 293 301 295 234 313 236 269 189 178 寒冷区续航达成率（%） 39.1 41.1 48.1 41.3 45.3 44.7 38.6 55.2 45.8 52.7 46.1 44.0 续航达成率. （1）从上述12款纯电轿车中随机抽取一款，估计这款车在低温区续航达成率超过90%的概率； （2）从上述12款纯电轿车中随机抽取3款，记这3款纯电轿车在寒冷区续航达成率超过45%的个数为，求的分布列与数学期望； （3）若上述12款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值为，现又有一款纯电轿车参与测试，其在低温区的续航达成率为72.5%，将这个数据加入之后，记这13款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值为，试比较与的大小.（结论不要求证明） 19. 已知椭圆：过点，短轴长为，，分别为椭圆的左、右顶点． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，直线的斜率与直线的斜率的比值是否是定值，如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由． 20. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与轴平行，求的值； （2）若在区间上恰有一个极值点，求取值范围； （3）在（2）的条件下，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由． 21. 已知集合，数列：，：， 其中，且当时，，，当时，． （1）若，求的值； （2）当时，若为奇数，分别判断与是奇数还是偶数，并说明理由； （3）若数列中有项为奇数，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 房山区2025－2026学年度第一学期学业水平调研（二） 高三数学 本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集的概念与运算直接得出结果. 详解】由题意知，. 故选：A 2. 已知复数满足，则在复平面内对应点的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算求复数，再根据复数的几何意义确定对应点的坐标. 【详解】因为. 所以在复平面内对应点的坐标为. 故选：D 3. 如果，那么下列不等式恒成立的为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】A和D作差法比大小；B根据幂函数的单调性判断；C根据对数函数的单调性判断. 【详解】因为，所以，则，故A错误； 因为，在上单调递增，所以，故B正确； 因为，所以， 又在上单调递增，则，故C错误； ，则，故D错误. 故选：B 4. 直线与圆的位置关系是（    ） A 相交 B. 相切 C. 相交或相切 D. 相离 【答案】C 【解析】 【分析】联立直线方程和圆的方程，消元后得到一元二次方程，根据方程解的个数得到直线与圆的交点个数，从而得到直线与圆的位置关系. 【详解】联立，消元得， ∴， ∴或， 由可得，解得， 故当时，方程组存在唯一解，此时直线与圆相切， 当时，方程组存在两个不同解，此时直线与圆相交， 故选：C. 5. 等差数列的首项为1．若成等比数列，则所成等比数列的公比为（    ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设公差，根据等比中项列方程求出公差，然后可得公比. 【详解】记等差数列的公差为， 因为成等比数列，所以， 即， 又，所以，整理得，解得， 所以. 故选：A 6. 已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的性质，结合二次函数性质求解可得. 【详解】因为与的夹角为，所以， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取得最小值， 所以，所以，即的取值范围为. 故选：D 7. 已知函数的定义域为，则“在上是增函数”是“对任意，存在，使得”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件及增函数的定义，构造反例判断即可. 【详解】充分性：因为在上是增函数，且时，有，所以， 即“在上是增函数”能推出“对任意，存在，使得”，充分性成立. 必要性：如函数， 当时，取， 当时，，，， 当时，，，， 所以当时，取，. 当时，，则， 此时，所以， 综上，函数满足对任意，存在，使得. 但取，时，，不满足增函数的定义， 故 “对任意，存在，使得” 不能推出 “在上是增函数”，必要性不成立. 故选：A. 8. 已知抛物线，过焦点作与轴垂直的直线交抛物线于点，，设为抛物线上的一个动点，点，则的最小值为（    ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先根据通径的长度确定抛物线的方程，进而确定焦点和准线，再结合抛物线的概念求的最小值. 【详解】由题意，弦为抛物线的通径，所以，又，所以. 所以抛物线方程为，焦点，准线：. 如图： 过作准线的垂线，垂足为，因为为抛物线上的点，所以. 所以， 所以当三点共线时，取得最小值，为3. 故选：B 9. 奶茶温度衰减满足函数关系，其中（单位：）为（单位：分钟）时的温度，（单位：）为室温，为常数，．已知某奶茶店的室温为，奶茶制作完成时温度为分钟后温度为，该奶茶适宜饮用温度为，则制作完成后适宜饮用的时间约为（    ） （参考数据：．结果保留整数） A. 25分钟 B. 30分钟 C. 35分钟 D. 40分钟 【答案】C 【解析】 【分析】由题，，当时，，，，代入运算可得，令运算得解. 【详解】由题，，当时，，则，得， 又，，故，得，所以， 当时，有，所以， 所以， 故制作完成后适宜饮用的时间约为35分钟. 故选：C. 10. 下列四个函数中，满足性质：“对定义域内任意的，当时，恒成立”的为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先明确题目中“对定义域内任意的，当时，恒成立”的含义，即函数的图象除切点外，其它部分均在处的切线的下方，由此结合导数的几何意义以及导数与函数单调性的关系，一一判断各选项是否符合题意，即可得答案. 另解：根据导数的几何意义结合题意判断出函数的图象的形状，结合选项，一一判断是否符合题意，即可得答案. 【详解】根据导数的几何意义可知表示的是函数在处的切线方程， 而函数满足性质：“对定义域内任意的，当时，恒成立”， 即函数的图象除切点外，其它部分均在处的切线的下方， 对于A,，，， 在处的切线方程为，即，不符合题意，A错误； 对于B，，， 在处的切线方程为，即， 令， 则，当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，即，当且仅当时等号成立，不符合题意，B错误； 对于C，，，不妨取，则， 则在处的切线方程为， 当时，，此时不满足，C错误； 对于D，，定义域为，， 在处的切线方程为，即， 令， ，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，即，当且仅当时等号成立， 则当时，恒成立，符合题意，D正确. 另解： 根据导数的几何意义可知表示的是函数在处的切线方程， 而函数满足性质：“对定义域内任意的，当时，恒成立”， 即函数的图象除切点外，其它部分均在处的切线的下方， 即可知函数的图象为向上凸形状； 对于，其图象为直线，不符合题意，A错误； 对于，其图象为向下凹的形状，不符合题意，B错误； 对于，其在上的图象为向下凹的形状，不符合题意，C错误； 对于，其图象为上凸形状，符合题意， 故选：D 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于. 所以. 故答案为：2. 12. 的展开式中，所有的二项式系数之和为_____；若的系数为－40，则实数______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空1：利用二项式系数的性质求解即可；空2：利用二项式展开式的通项公式可求得实数的值. 【详解】二项式系数之和为； 二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以展开式的第四项为， 又的系数为－40，所以，解得. 故答案为：①；②. 13. 若函数的最大值为，则常数的一个取值为_____． 【答案】（答案不唯一，只需，即可） 【解析】 【分析】由和差角公式及辅助角公式化简函数，然后得到方程，即可解得的值. 【详解】， ， 依题意，，即， 化简得，解得. 故答案为：（，即可）. 14. 数学家杨辉在《详解九章算法》中将堆垛与相应立体图做类比，推导的求和公式与现代数学形式高度统一．例如，三角垛指的是顶层放1枚，第二层放3枚，第三层放6枚……依此类推，从第二层开始，每一层比上面一层多放的棋子数构成等差数列，则前7层棋子数总和_____；第层的棋子数_____ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据给定条件计算可求得，写出数列的递推关系，利用累加法求出通项即可. 【详解】依题意，可得， 所以； 所以. 故答案为：①；②. 15. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，给出下列四个结论： ①任意点，都有； ②存在点，使得； ③的最小值为； ④三棱锥的体积是定值． 其中正确结论的序号是_____ 【答案】①②③ 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标验证垂直判断①②，通过空间中点坐标，求解关于解析式，由一元二次方程的性质可求解③，通过点到平面的距离，由三棱锥的体积公式求解④即可. 【详解】因为棱柱为正方体，所以以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 因为正方体棱长为，所以，，，，， ，，，因为为的中点，所以，设， ，则，所以，， ，所以，故①正确； ，，所以，令， 解得，又因为，所以存在点，使得，故②正确； ，，， 可得，所以，即令，令， 所以，故③正确； 因为为等边三角形，所以， 设平面的法向量为，，，所以， 令，则，，所以平面的法向量为， 所以点到平面的距离为， 所以，所以三棱锥的体积非定值，故④错误. 故答案为：①②③. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意先证明平面，再根据面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面与平面的法向量，根据面面角的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 因为在四棱锥中，， 所以， 又底面为平行四边形，所以，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 【小问2详解】 由（1）知平面，平面，故, 而，故， ，平面，所以平面 ， 以D为原点，分别以 所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，则， 平面的一个法向量可取为； ， 设平面的法向量为，则 ， 即得，令，则，即 设平面与平面所成角为，由图可知该角为锐角， 则 ， 即平面与平面所成角的大小为. 17. 在中，，． （1）求的值； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求边上中线的长． 条件①：边上的高为； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）选择条件，答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式及正弦定理即可求出. （2）根据正弦定理、余弦定理求出解三角形，并判断是否唯一，再根据余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由可得，，即， 由正弦定理可得，，所以. 又，所以. 【小问2详解】 已知，，， 所以为锐角，且. 条件①：边上的高为，则，即，所以. 又， 所以，所以， 综上，，，，所以存在且唯一. 在中，，，， 所以. 故边上中线的长为. 条件②： 由可得，，又，所以可以为钝角，也可以为锐角，不唯一. 条件③：，则为钝角，此时存在且唯一. . 由可得，. 在中，，，， 所以, 整理得，，解得或（舍去）. 在中，，，， 所以. 故边上中线的长为. 18. 2025年11月23日，人民日报发表题为《电车续航有望突破1000公里》的文章．目前市面上不同品牌新能源汽车续航里程有较大差异，冬季汽车之家对12款纯电轿车在低温区（）和寒冷区（）两种不同测试环境下的实际续航里程（单位：）进行了测试，结果如下表： 汽车品牌 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 厂家标注续航里程 816 806 800 710 665 660 606 567 515 510 410 405 低温区实际续航里程 717 681 737 569 584 486 550 566 480 489 356 303 低温区续航达成率（%） 879 84.5 92.1 80.1 87.8 73.6 90.8 99.8 93.2 95.9 86.8 74.8 寒冷区实际续航里程 319 331 385 293 301 295 234 313 236 269 189 178 寒冷区续航达成率（%） 39.1 41.1 48.1 41.3 45.3 44.7 38.6 55.2 45.8 52.7 46.1 44.0 续航达成率. （1）从上述12款纯电轿车中随机抽取一款，估计这款车在低温区续航达成率超过90%的概率； （2）从上述12款纯电轿车中随机抽取3款，记这3款纯电轿车在寒冷区续航达成率超过45%的个数为，求的分布列与数学期望； （3）若上述12款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值为，现又有一款纯电轿车参与测试，其在低温区的续航达成率为72.5%，将这个数据加入之后，记这13款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值为，试比较与的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列见详解，期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得在低温区续航达成率超过90%的有5个，由此求得答案； （2）根据题意，可得可能取值为，服从超几何分布，求出相应的概率求出分布列和期望； （3）先计算12款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值，再与新加入的续航达成率比较，得解. 【小问1详解】 由题，12款纯电轿车中在低温区续航达成率超过90%的有：，共5个， 所以这款车在低温区续航达成率超过90%的概率为. 【小问2详解】 在寒冷区续航达成率超过45%的有：共6个，未超过的有6个， 的可能取值为，服从超几何分布，则， 所以，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 【小问3详解】 12款纯电轿车在低温区的续航达成率的和： ， 所以原均值， 加入的达成率为， 因此这13款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值. 19. 已知椭圆：过点，短轴长为，，分别为椭圆的左、右顶点． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，直线的斜率与直线的斜率的比值是否是定值，如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由． 【答案】（1）， （2）直线的斜率与直线的斜率的比值为定值，定值为 【解析】 【分析】（1）根据椭圆过定点及短轴长列方程组求出，值，即可得到椭圆方程，进而求出离心率. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，代入的代数式中化简即可. 【小问1详解】 由短轴长为可得，. 由椭圆过点可得，，解得，所以. 所以椭圆的方程为. 离心率为. 【小问2详解】 设直线的方程为，设，. 因为，分别为椭圆的左、右顶点，所以，. 联立，整理得， ， 所以，. ，， 所以 . 当直线斜率不存在时，方程为，代入椭圆方程解得. 不妨设，，则. 综上，直线的斜率与直线的斜率的比值为定值，定值为. 20. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与轴平行，求的值； （2）若在区间上恰有一个极值点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）单调递增，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据求出； （2）化简，再分、、三种情况讨论的单调性； （3）根据，化简得，再判断各因式的正负性. 【小问1详解】 由题意得，的定义域为，， 因为曲线在点处的切线与轴平行，所以， 则，经检验，此时切线与轴不重合，符合题意； 【小问2详解】 ， 当时，， 若，则，则在上单调递增， 则在上无极值，不符合题意； 若，则，则在上单调递减， 则在上无极值，不符合题意； 若，即，则得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 则在区间上恰有一个极值点， 故的取值范围为； 【小问3详解】 因为，所以，则， 则 因为关于的函数在上单调递减， 则， 因为，，所以， 故，则函数在区间上单调递增. 21. 已知集合，数列：，：， 其中，且当时，，，当时，． （1）若，求的值； （2）当时，若为奇数，分别判断与是奇数还是偶数，并说明理由； （3）若数列中有项为奇数，求的最大值． 【答案】（1） （2）为奇数；为偶数 （3）的最大值 【解析】 【分析】（1）是集合的一个排列，可得， 再由求解即可. （2）由递推公式可得，再由为奇数分别求解即可. （3）保持为奇数，偶数维持，奇数改变，优先使用偶数，并在偶数耗尽后计算交替产生的结果即可. 【小问1详解】 已知是集合的一个排列，所以，由题意，，所以令可得，，因为，所以，所以. 【小问2详解】 设的前项和为，由递推式，可得，又，定义，，所以，即，所以，因为为偶数，为奇数，所以为奇数， ，若为偶数，则为偶数，若为奇数，则偶数，所以为偶数. 【小问3详解】 ，因为，若为奇数，则与奇偶性相反，若为偶数，则与奇偶性相同，集合中有个奇数，个偶数，从为奇数，为使数列奇数项尽可能多，应优先使用偶数作为的值，取为中所有的个偶数，则均为奇数，共项，此时偶数已用完，为奇数，则为偶数，为奇数，为偶数，，可知为奇数，共项，因此，奇数项共有项，所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $