寒假培优：比例尺（讲义）-2025-2026学年六年级下册北师大版数学

寒假预习讲义：比例尺 【知识梳理+例题讲解+提升练习】 知识点梳理 一、比例尺的意义 1.核心定义：图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺，它表示图上距离与实际距离的缩放关系。 2.公式表达： 比例尺 = 图上距离 : 实际距离 或 比例尺 = 3.关键注意事项： （1）比例尺是一个比，不带单位名称； 计算时必须统一图上距离和实际距离的单位（通常统一为厘米）； 比例尺的前项或后项一般化简为“1”：缩小比例尺（如地图）前项为1，放大比例尺（如精密零件图）后项为1。 4.举例验证：地图上1厘米对应实际50千米，换算单位后50千米=5000000厘米，因此比例尺为1:5000000。 二、比例尺的分类 1.数值比例尺：用数字比的形式表示的比例尺，如1:6000000（缩小比例尺）、20:1（放大比例尺）。 2.线段比例尺：在图上画一条带刻度的线段，标注图上1厘米代表的实际距离，如 千米，含义是图上1厘米对应实际50千米。 3.相互转换： （1）线段比例尺转数值比例尺：先统一单位，再写成“图上距离:实际距离”的最简比； （2）数值比例尺转线段比例尺：根据前项“1”算出对应实际距离，画出线段并标注刻度。 三、比例尺的应用 1.求图上距离：图上距离 = 实际距离 × 比例尺（注意先将实际距离单位转换为厘米） 2.求实际距离： （1）算术法：实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺 （2）方程法：设实际距离为 ，根据“比例尺=图上距离:实际距离”列比例式求解 3.绘图应用：先根据实际尺寸和比例尺计算图上距离，再按比例画出图形。 例题讲解 【典型例题1】认识比例尺的意义与分类 题目：(1) 一幅城市地图的比例尺是1:800000，它表示什么含义？ (2) 某精密零件图纸的比例尺是30:1，这属于什么类型的比例尺？表示什么？ (3) 判断：“所有比例尺的前项都是1”这句话是否正确？ 分析：根据比例尺的定义，区分缩小比例尺与放大比例尺的核心特征，判断表述的准确性。 解答：(1) 表示图上1厘米的距离对应实际距离800000厘米，也就是8千米； (2) 属于放大比例尺，表示图上30厘米的长度对应实际零件1厘米的长度，是把零件尺寸放大30倍绘制； (3) 不正确，因为放大比例尺的后项是1，如30:1，所以比例尺的前项不一定是1。 【跟踪练习1】 (1) 某房屋平面图的比例尺是1:150，它的意义是？ (2) 对比比例尺1:1000和15:1，分别说明它们的类型和含义； (3) 判断：比例尺是一个比值，所以可以带单位。（ ） 【典型例题2】比例尺的相互转换与求解 题目：(1) 北京到石家庄的实际距离约280千米，在一幅地图上量得两地距离是4厘米，求这幅地图的比例尺； (2) 把线段比例尺 千米 转换为数值比例尺。 分析：(1) 先统一单位，再根据比例尺公式计算最简比；(2) 先将线段标注的实际距离转换为厘米，再写成数值比。 解答：(1) 280千米=28000000厘米，比例尺=4:28000000=1:7000000； 答：这幅地图的比例尺是1:7000000。 (2) 图上1厘米对应实际60千米，60千米=6000000厘米，因此数值比例尺为1:6000000； 答：转换后的数值比例尺是1:6000000。 【跟踪练习2】 (1) 上海到杭州的实际距离约150千米，在一幅地图上量得两地距离是3厘米，求这幅地图的比例尺； (2) 把数值比例尺1:4000000转换为线段比例尺； (3) 一块长方形菜地实际长200米、宽120米，画在比例尺1:4000的图纸上，求图纸上菜地长与宽的比。 【典型例题3】比例尺的实际应用 题目：(1) 在比例尺1:3000000的地图上，量得武汉到长沙的距离是5.6厘米，两地的实际距离是多少千米？ (2) 学校操场实际长200米，若画在比例尺1:500的图纸上，图上长度是多少厘米？ 分析：(1) 用方程法或算术法求实际距离，注意单位转换；(2) 先将实际长度转换为厘米，再乘比例尺求图上距离。 解答：(1) 方法一：算术法 实际距离=5.6÷ =16800000厘米=168千米 方法二：方程法 设实际距离为 厘米，1:3000000=5.6: ，解得 =5.6×3000000=16800000厘米=168千米 答：两地实际距离是168千米。 (2) 200米=20000厘米，图上长度=20000× =40厘米 答：图纸上应该画40厘米。 【跟踪练习3】 (1) 在比例尺1:50000的地图上，量得一条商业街长12厘米，这条商业街的实际长度是多少千米？ (2) 一个零件实际长度是6毫米，画在比例尺20:1的图纸上，图上长度是多少厘米？ (3) 在比例尺1:600的校园平面图上，量得实验楼到办公楼的距离是10厘米，两地的实际距离是多少米？ 巩固练习 一、填空题 1．在比例尺为1：7500000的地图上，量得温州到杭州的距离为6cm，温州到杭州的实际距离是　 　km。 2．在比例尺是 的平面图上，量得一间教室的地面长4cm，实际长　 　m。 3．甲、乙两地相距800 km，在一幅比例尺是的地图上，甲、乙两地的图上距离是　 　cm。 4．宁波至象山的城际铁路全长约60千米，总投资约25190000000元，设计时速为160千米/时，2027年正式通车后，将大大缩短宁波到象山的时间。 （1）横线上的数读作　 　，省略亿位后面的尾数，约是　 　亿元。 （2）把城际铁路全长画在一张比例尺为1∶500000的地图上，图上距离是　 　厘米。 5．“‘益’起捡跑，净卫地球”公益活动的参与者们一边慢跑，一边清理路旁绿化带中的垃圾，路线全长3km，画在一幅图上长20cm，这幅图的比例尺是　 　，改写成线段比例尺是　 　；另一场活动的路线在这幅图上的全长是12cm，则实际全长　 　m，苏苏前10分钟跑了500m，按照这个速度，还需x分钟才能跑完剩下的路程，可列比例式为　 　。 二、判断题 6．图纸上的10厘米表示实际的1厘米，这幅图的比例尺是1∶10。(　　) 7．一幅平面图的比例尺是1∶5000米。(　　) 8．在美术本上画了一栋50米高的房子，比较合适的比例尺是1∶50。(　　) 9．比值小于1的比例尺，图上距离小于实际距离。(　　) 10．在一幅地图上，20cm的长度表示实际180km，这幅地图的比例尺是1：900000。 (　　) 三、选择题 11．我国研制的“太极-Ⅱ”光芯片为人工智能大模型探索了光训练的新路径。若一颗芯片长8mm，画在图纸上长12cm，则宽7mm画在同一图纸上宽(　　)cm。 A．10.5 B．105 C．1.05 D．4.5 12． A4纸的尺寸约为21cm×29.7cm。要在A4纸上画出长28m、宽15m的篮球场平面图，比例尺选择(　　)较为合适。 A．1： 10 B．1： 100 C．1： 1000 D．1： 10000 13．七星瓢虫实际长度5mm，画在一幅图上长2.5cm。这幅图的比例尺是（　　） A．1：5 B．1：50 C．50：1 D．5：1 14．学校的操场是一个长为120m、宽为80m的长方形，如果在作业本上画出这个操场的平面图，选择比例尺(　　)比较合适。 A．1：20 B．1：200 C．1：2000 D．1：20000 15．市政府计划建一个长600m、宽400m的长方形广场，设计师要将广场的设计图画在一张长20cm、宽16cm的长方形纸上，选用下面的比例尺(　　)比较合适。 A．1：2500 B．1：3000 C．1：4000 D．1：4000000 四、解决问题 16．在比例尺是1：2000000的地图上，量得甲、乙两地相距12厘米。张叔叔从甲地出发开往乙地，平均每小时行驶80千米，几小时能到达目的地? 17．甲、乙两车分别从两地同时相对开出，甲车每小时行80千米，乙车速度是甲车的。经过3小时，两车还相距全程的10% （未相遇）。 （1）两地相距多少千米？ （2）两地的距离画在比例尺是1：2000000的地图上，应该画多少厘米？ 18．淘气在解决比例尺问题时，由于粗心大意将一个放大比例尺的前后项看反了，将一个零件按图上的15厘米，算出了实际长度是45米，你能算出这个零件的实际长度是多少吗？ 答案解析部分 【跟踪练习1答案及解析】 (1) 表示图上1厘米的长度对应实际房屋150厘米（1.5米）的长度，是把房屋实际尺寸缩小150倍绘制； (2) 1:1000是缩小比例尺，含义是图上1厘米对应实际1000厘米（10米）；15:1是放大比例尺，含义是图上15厘米对应实际1厘米，把实际零件放大15倍绘制； (3) ×；解析：比例尺是图上距离与实际距离的比，是一个不带单位的比值。 【跟踪练习2答案及解析】 (1) 150千米=15000000厘米，比例尺=3:15000000=1:5000000； 答：这幅地图的比例尺是1:5000000。 (2) 数值比例尺1:4000000表示图上1厘米对应实际4000000厘米=40千米，线段比例尺绘制为： 千米（每段1厘米，标注对应实际距离）。 (3) 方法一：图上长=200米× =20000厘米× =5厘米；图上宽=120米× =12000厘米× =3厘米；图上长:宽=5:3； 方法二：比例尺是长度比，图上长宽比与实际长宽比一致，实际长:宽=200:120=5:3，因此图上比为5:3； 答：图纸上菜地长与宽的比是5:3。 【跟踪练习3答案及解析】 (1) 实际长度=12÷ =600000厘米=6千米； 答：这条商业街实际长度是6千米。 (2) 6毫米=0.6厘米，图上长度=0.6×20=12厘米； 答：图上长度是12厘米。 (3) 实际距离=10×600=6000厘米=60米； 答：两地实际距离是60米。 【巩固练习】 1．450 2．8 3．20 4．（1）二百五十一亿九千万；252 （2）12 5．1：15000；；1800；500：10=(1800-500)：x 6．错误 7．错误 8．错误 9．正确 10．正确 11．A 12．B 13．D 14．C 15．C 16．12÷=24000000（cm）=240(km) 240÷80=3(小时） 答：3小时可以到达目的地。 17．（1）解：（80×+80）×3÷（1-10%） =150×3÷0.9 =450÷0.9 =500（千米） 答：两地相距500千米。 （2）500千米=50000000厘米 50000000×=25（厘米） 答：应该画25厘米。 18．解：45米＝4500厘米 15厘米∶4500厘米＝1∶300 实际比例尺：300∶1 实际长度：15÷300＝0.05（厘米） 答：这个零件的实际长度是0.05厘米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $