专题10 期末复习之解答压轴题（考情分析+大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学八年级上册期末易错点重难点培优专题复习

该初中数学复习讲义通过表格系统梳理解答压轴题考情，将全等三角形、轴对称等8个核心考点按“考点-目标-形式”对应呈现，结合分层题型构建知识框架，清晰展现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于“多问递进+分类讨论”的题型设计，如动态几何题从动点位置分类到方程求解，培养学生数学思维与推理能力，例题与变式题梯度分明，同步练习覆盖不同难度，助力分层提升，为教师精准教学提供系统支持。

专题10 解答压轴题 期末考点 复习目标 考察形式 1.全等三角形判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）与性质综合 1.熟练构造全等三角形，解决多问递进式证明； 2.掌握对应边/角等量转化与代换技巧 解答题压轴（第24-25题），多问递进（证明→计算→拓展） 2.轴对称+等腰三角形分类讨论（角度/边长） 1.运用轴对称性质转化线段/角度； 2.精准分类等腰三角形腰底、顶角底角，规避漏解 解答题压轴（第23-24题），结合图形变换与计算 3.分式方程实际应用（工程、行程、增长率） 1.建立分式方程模型解决实际问题； 2.掌握增根检验与实际意义验证步骤 解答题压轴（第22-23题），情境化应用题，含检验要求 4.几何变换（折叠/旋转）与全等综合 1.利用折叠/旋转的全等性质提取等量关系； 2.结合三角形内角和、外角性质计算角度 解答题压轴（第25题），图形变换为背景，多问综合 5.因式分解与整式乘法综合求值（多问） 1.灵活运用提公因式、公式法分解因式； 2.掌握整体代入、配方等代数变形技巧 解答题压轴（第21-22题），先化简再求值，多条件关联 6.线段垂直平分线+角平分线综合应用 1.运用两大性质证明线段/角度相等； 2.结合三角形判定定理解决综合证明 解答题压轴（第24题），多结论证明，需构造辅助线 7.动态几何（动点）与全等/等腰综合 1.分类讨论动点位置，锁定全等/等腰条件； 2.建立方程求解动点坐标或运动时间 解答题压轴（第25题），含参数计算，多情况分析 8.三角形角度综合（双角平分线+折叠/嵌套） 1.推导角度模型公式，解决复杂角度计算； 2.掌握整体思想与角度代换技巧 解答题压轴（第23题），多角关联，分步推导 【题型1】全等三角形判定与性质综合（多问递进） 1.期末考点总结 核心考点：全等三角形判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）、对应边/对应角相等性质、辅助线构造 考察要求：第一问证明全等，第二问利用全等结论求角度/边长，第三问拓展探究变式结论 2.解题技巧 找相等条件：从题干中提取已知边/角，或通过对顶角、公共边、平行线性质推导隐藏条件 辅助线构造：常用“作垂线”“延长线段”“连接线段”构造全等模型（如“倍长中线”“截长补短”） 分步递进：前一问结论直接作为后一问的已知条件，避免重复推导 【例题1】.（2025八年级上·安徽·专题练习）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高，延长交于点H．设的面积为，的面积为，请猜想大小关系，并说明理由． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·安徽安庆·月考）（1）如图，，射线在这个角的内部，点、分别在的边、上，且，于点，于点．求证：； （2）如图，点、分别在的边，上，点、都在内部的射线上，、分别是，的外角．已知，且．求证：； （3）如图，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为，求与的面积之和． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·安徽淮北·月考）【观察】 （1）如图，和交于点，且和互相平分，则_____．（填“”“”或“”） 【总结】 当题目中出现“平分”“中点”等词语时，可寻找或构造全等三角形，通过证明三角形全等来解决问题． 【应用】 （）如图，，和交于点，且和互相平分，，，则的度数为______． （）如图，点，在上，为的中点，平分．求证：． 【拓展】 （4）如图，在中，，边上的中线长为，分别为边上的两个动点，在运动过程中始终保持，连接，且，请求出整数的值． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·安徽亳州·月考）【背景问题】老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是多少？ 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出的取值范围是___________； 【感悟方法】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，求证：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型2】轴对称与等腰三角形综合（分类计算） 1.期末考点总结 核心考点：轴对称性质（对应点连线被对称轴垂直平分）、等腰三角形“等边对等角”“等角对等边”、三角形三边关系 考察要求：结合轴对称图形特征，分类计算等腰三角形的角度、边长，解决多解问题 2.解题技巧 对称转化：将对称轴一侧的线段/角度转化到另一侧，简化计算 分类标注：未明确腰底/顶角时，用“情况1”“情况2”标注分类，结合“三角形内角和为”“两边之和大于第三边”取舍 图形直观：画出轴对称后的完整图形，标注对应边/角，避免漏解 【例题2】.（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知点，点在第一象限，是等边三角形．如图1~图3，点在轴上从右向左移动，以为边作等边三角形（，，三点按逆时针方向排列），直线交轴于点． (1)求证：； (2)点是动点还是定点?若是动点，指出其运动路径；若是定点，求出其坐标； (3)图1中，由（1）可得结论．在此基础上解决问题：设点，，三点的横坐标分别为，，，用含，的式子表示，并说明理由． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·江苏连云港·周测）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】 （1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，并证明： ②若，，则_______； 【类比】 （2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】 （3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，则的面积为________． 【变式题2-2】.（24-25八年级上·山西太原·月考）已知在等腰中，．如图1，点是边上的一个动点，点是边上的一个动点，且与交于点．    (1)求证：， (2)若是等腰三角形，求的度数（请用含的代数式表示）． (3)如图2，当时，将沿着翻折，得到，连接，交于点，交于点．当时，________．   ①若时， ∴， ∴， ， ∴， 解得， ∴， ②若时， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ③∵，， ∴， 又∵， ， ∴； 综上所述，当是等腰三角形时，的度数为或；   由折叠的性质得，，，， ∴四边形是长方形， ∴． ， 是等边三角形， ， 又， ， ， ， ， ，． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·湖北武汉·月考）【初步探究】如图，，点是上一点，，连接，求的度数； 【变式探究】如图，在等边中，，分别为，边上的点，，且．连，若，探究与的数量关系并给予证明； 【拓展延伸】如图，在四边形中，，，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，若，直接写出的值为___________． 【题型3】分式方程综合应用 1.期末考点总结 核心考点：分式方程建模（工程/行程/增长率/跨学科）、分式方程解法（去分母转整式方程）、增根检验与实际意义验证 考察要求：从实际或跨学科情境中提取数量关系，列方程求解并检验合理性 2.解题技巧 情境转化：将工程（工作量=效率×时间）、行程（路程=速度×时间）、跨学科（速率/浓度）转化为数学等量关系 规范步骤：设未知数→列方程→去分母→解整式方程→双重检验（分母不为0+情境合理性）→写答 提炼关键：忽略无关背景，聚焦“已知量、未知量、等量关系”，统一单位 【例题3】.（23-24八年级下·江苏泰州·月考）数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖()，则糖水的浓度(即糖与糖水的质量比)为． 实验1∶加入m克水，则糖水的浓度为． 生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式∶， 我们趣称为“糖水不等式”． (1)实验2∶将“实验1”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”： ， 并验证你写的不等式的正确性． (2)设a、b、c为三边的长，根据上述实验，求证∶． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢，六一儿童节来临之际，宜家乐超市决定购进，两种风筝，购进每个种风筝比每个种风筝多元，用元购种风筝的数量和元购种风筝的数量相同． (1)求购进，两种风筝每个各需多少元； (2)若该商店决定购进这两种风筝共个，且用于购买的资金不少于元，还不超过元，则该商店有哪几种进货方案? (3)已知商家出售个种风筝可获利元，出售个种风筝可获利元，问当取何值时（2）中的方案，商家获利都相同． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求的值． (3)利用（2）中所求得的的值，分解因式：________． 【变式题3-3】.（24-25八年级上·河北石家庄·期中）“互联网+”助力乡村全面振兴．石家庄市某网络销售商在“双十一”举行促销活动，在11月11日销售甲、乙、丙三种农产品时，记录了如下统计信息： 信息1：乙商品销售单价比甲商品多5元/千克，丙商品销售单价是甲商品的3倍； 信息2：用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍； (1)若设甲商品销售单价为元/千克，请依据上述信息填表； 销售单价（元/千克） 质量（千克） 销售总价（元） 乙 60元 丙 270元 (2)求11月11日当天甲、乙、丙商品销售单价分别为多少元/千克？ (3)“双十一”促销活动结束后，该销售商将三种商品的销售单价在（2）的基础上每千克提高了元（为整数且）．嘉嘉花200元购买甲商品，再花200元购买丙商品，琪琪花400元购买乙商品，设嘉嘉购买商品的质量之和为，设琪琪购买商品的质量为，直接写出的最大值． 当时，，． 【题型4】折叠/旋转变换与全等综合 1.期末考点总结 核心考点：折叠/旋转的全等性质（对应边相等、对应角相等）、三角形内角和定理、外角性质 考察要求：从折叠/旋转图形中提取全等条件，推导角度、边长关系，解决多问综合题 2.解题技巧 标记对应元素：用相同符号标注折叠/旋转后的对应顶点、边、角（如折叠后对应） 提取隐含条件：折叠后重合的线段相等（如）、旋转角相等（如） 角度链推导：通过全等性质建立已知角与未知角的等量关系，逐步推导目标角 【例题4】.（24-25八年级上·广东珠海·月考）数学活动：折纸与证明． （1）如图1，在中，，怎样证明呢？如图2，小明以“折叠”为思路：将沿折叠，使点C落在边的点D处，然后可以证明，试写出小明的证明过程； 感悟与应用： （2）如图3，是的高，．若，，求的长．小龙同学的解法是：将沿折叠，点C落在边上的点处……，画出图形并写出完整的解题过程； （3）如图4，是的角平分线，．线段、、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想并证明． 【变式题4-1】.（24-25九年级上·山西太原·月考）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师让每个组准备了一张矩形纸片．如图1，把矩形绕点逆时针旋转得到矩形纸片，点，，的对应点为，，，设旋转角为．操作中，同学们提出了如下问题，请你解答：操作探究： （1）“奋进小组”提出问题：如图2，当矩形纸片旋转到点落在上时，延长交于点． ①求证：四边形是正方形； ②连接，取的中点，连接、，若，，则线段的长为_______． 数学思考： （2）“团结小组”提出问题：如图3，连接，当矩形纸片旋转到点在的延长线上时，延长，交于点，交于点，求证：； 深入探究： （3）“善思小组”提出问题：若，．在矩形纸片旋转过程中，连接线段和，当时，直接写出的长． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·广东广州·期中）在中，，点为的中点，点、分别在边、上．    (1)本小题为多项选择题有多个选项符合题目要求，要求回答时，全部选对的得满分，选对但不全的视正确答案数相应给分，有选错的得分，题目如下： 如图，若，则下列结论正确的有（   ） A． B．是等腰直角三角形 C． D．当在内绕顶点旋转时（点不与，重合）， (2)如图，若，求的值； (3)如图，若，求证：． 【变式题4-3】.（22-23九年级下·山西太原·月考）阅读材料，解决问题： 折叠、旋转是我们常见的两种图形变换方式．如图1，在 中，，，点，在边上，，若，，求的长． 小艳发现，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接（如图．使条件集中在中，可求得（即的长，具体作法为：作，且，连接、，可证，再结合已知中，可证，得，接着在 中利用勾股定理即可求得的长，即的长． (1)请你回答：与全等的条件是_____（填“”、“”、“”、“”或“”中的一个），的长为________； (2)如图3，正方形中，点为延长线上一点，将沿翻折至位置，延长交直线于点． ①求证：； ②连接交于点，连接（如图，请你直接写出的值． 【题型5】因式分解与整式乘法综合求值 1.期末考点总结 核心考点：整式乘法（幂的运算、多项式乘多项式）、因式分解（提公因式法、平方差公式、完全平方公式）、整体代入思想 考察要求：先化简代数式（因式分解+约分），再结合已知条件求值，多为多问递进形式 2.解题技巧 先分解再化简：对待求式和已知式优先因式分解，提取公因式或运用公式转化为乘积形式 整体代换：设中间变量（如、），避免单独求未知数，简化计算 配方变形：对二次代数式用完全平方公式配方，结合非负性求最值或求值 【例题5】.（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：_____；图2：；图3：_____． 这几个数学公式都可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化解决很多数学问题．例如：如图4，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度解： ， ，即：， 又， ． 方法二：从“形”的角度解： ， ， 又， ， ． 即． 类比迁移： （2）若则_____． （3）若为非负数，，则_____． （4）若，则_____． （5）如图5，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）阅读理解：把整式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加为问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法不仅在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值、求解未知量． 例：某快递公司运输一批货物，成本，若（a为运输量），利用配方法求P的最小值． 解：． ，当a=2时，P有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)求最小值：的最小值_______； (2)已知，求的值_______； (3)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，三角形面积为S，用配方法求S的最大值． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·福建福州·期中）综合与实践： 阅读材料 对于关于x的多项式M，有如下结论：如果是M的因式，则时，．这个结论被称为因式定理．例如：若是多项式的因式，则当时，． 问题背景 某工厂生产一种特殊形状的金属零件，其体积可以用三次多项式表示，其中表示零件的关键尺寸（单位：厘米）．技术人员通过测试发现： 测试结果1：当 时，零件体积；测试结果2：当 时，零件体积． 请根据上述信息解决下列问题： 问题解决 （1）利用因式定理，确定多项式中的参数a和b的值； （2）若该零件的体积为，求此时的关键尺寸x的值； 拓展探究 （3）在实际生产过程中，技术人员发现该零件的一种性质：存在常数m，使得对于多个（两个或以上）关键尺寸x，使能写成某些正整数的平方．例如：当时，和满足条件，．当和时，请找出所有满足该性质的正整数m，并说明理由． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·江苏苏州·月考）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． (1)【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是． ①条件：当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是______．如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、9、满足的等量关系是______； 结论：可得． ②当时，同理可得； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______． (2)【方法迁移】 仿照上述方式，求出当时，代数式的最大值（无需描述割补过程，只需画出示意图）． 【题型6】线段垂直平分线与角平分线综合应用 1.期末考点总结 核心考点：线段垂直平分线性质（到线段两端距离相等）、角平分线性质（到角两边距离相等）、全等三角形判定 考察要求：证明线段/角度相等，结合三角形性质解决综合证明题，需构造辅助线 2.解题技巧 性质转化：将“垂直平分线”转化为“线段相等”，“角平分线”转化为“距离相等”或“角度相等” 辅助线构造：过角平分线上的点作角两边的垂线，或连接垂直平分线上的点与线段端点 逆向验证：若需证明“某点在垂直平分线上”，只需证明该点到线段两端距离相等 【例题6】.（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【问题提出】 （1）如图①，点A在线段的垂直平分线上，，则的度数为______； 【问题探究】 （2）如图②，点A在线段的垂直平分线上，点E在的延长线上，交的延长线于点D，延长至点F，使得，过点F作交的延长线于点G，判断与是否相等，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，是某公园的一块草坪示意图，点A在的垂直平分线上，点D在的延长线上，小路于点E，交于点F，在边上有一口灌溉水井G．为方便游客饮水与休息，在与的交点O处修建了游客饮水区，并在E处修了一座凉亭．若，，求游客饮水区O到凉亭E的距离．（小路的宽度及水井与凉亭的大小均忽略不计） 【变式题6-1】.（25-26八年级上·全国·月考）材料阅读：如图1，在中，，分别平分，，连接． 求证：平分． 小星同学看到，分别平分，，想到了角平分线的性质，他过点分别作，，的垂线段，，，得到，，之间的数量关系，从而证明平分． (1)请用小星的方法或自己的方法证明平分； (2)方法应用：如图2，在中，是的延长线上一点，分别平分，，连接． ① 探究与之间的数量关系，并说明理由； ② 当时，如图3，过点作交于点，连接并延长交于点，与交于点，探究，与之间的数量关系． 【变式题6-2】.（24-25八年级下·四川成都·月考）（1）在一节数学课上，王老师给出一道题：如图1，在中，，点是线段上一点，连接，在延长线上取一点，使，作垂足为点．求证：． ①如图2，小明认为：在上截取，连接，只要探究线段和线段之间的数量关系即可． ②如图3，小强认为：作交延长线于点，只要探究线段和线段之间的数量关系即可． 请你选择一名同学的解题思路，并完成他们的证明过程． （2）如图4，在中，，，平分交于点，作交于点．试探究线段、和之间的数量关系，并证明你的结论． （3）如图5，在四边形中，，，平分，在上取一点，使，连接．若，，，求的长．（用含，，的代数式表示） 【变式题6-3】.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，点为延长线上一点，，点坐标为． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，点在线段上（点不与点、重合），连接，点在第一象限内，连接，，，求证：点在的垂直平分线上； (3)如图3，为轴负半轴上一点，连接，垂直平分且，点在线段的延长线上，连接，点为的中点，连接，，交过点且与轴垂直的直线于点，若，求的长． 【点睛】本题考查了坐标与平面，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，角直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，难度很大，解题的关键是正确辅助线构造全等三角形． 【题型7】动态几何（动点）与全等/等腰综合 1.期末考点总结 核心考点：动点运动规律、全等三角形判定、等腰三角形分类讨论、方程思想 考察要求：分析动点在不同位置时的图形特征，分类讨论全等或等腰的条件，求解运动时间或坐标 2.解题技巧 分类讨论：按动点在线段上、线段延长线上分类，或按等腰三角形的腰底分类，画出对应图形 锁定不变量：无论动点如何运动，保持不变的边/角（如公共边、固定角度）作为解题突破口 列方程求解：设运动时间为，用含的代数式表示线段长度，结合全等/等腰条件列方程 【例题7】.（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)试求的度数； (2)若 ，试求动点，的运动时间的值； (3)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得 与 全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·广西南宁·期中）小明遇到这样一个问题：是边长为的等边三角形，点M，N分别是边上的动点．点M从点A出发沿线段向点B运动． 【初步探究】 （1）如图1，另一动点N从点B出发，沿线段向点C运动．如果M，N都以的速度同时出发，设运动时间为t．请问______（用含t的式子表示），当______时，是直角三角形． 【类比探究】 （2）在（1）的条件下，如图2，连接交于点E，点M，N运动过程中，通过测量小明发现的度数不变．为了验证这个结论，小明通过证明，从而得到，再利用外角的性质得出，即的度数不变． 如图3，若点M，N分别在的延长线上运动，作直线交于点E，其余条件不变，的度数会发生变化吗？若变化，请说明理由．若不变，请求出它的度数． 【拓展应用】 （3）如图4，若另一动点N从点C出发，沿射线方向运动，连接交于点D．如果动点M，N以相同的速度同时出发同时停止，在运动过程中，请探究和的面积之间的数量关系，并说明理由． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·河南三门峡·期中）在Rt中，，点在直线上．    (1)如图1，分别过点，作于点，于点，，当时，与是否全等，请说明理由； (2)当时，如图2，点与点关于直线对称，连接，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动，点到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为秒． ①___________；当在路径上时，___________；（用含的代数式表示） ②求当与全等时的值． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·四川广安·月考）如图，在中，，，，、相交于点O，且． (1)与的数量关系是___________； (2)试说明：； (3)点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，问是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请在备用图中画出大致示意图，并直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【题型8】全等三角形与几何探究（新定义型） 1.期末考点总结 核心考点：全等三角形判定与性质、新定义理解与应用、逻辑推理能力 考察要求：理解题干中新定义（如“同型点”“共顶点等腰”），结合全等知识解决证明、计算问题 2.解题技巧 吃透定义：拆解新定义的核心条件（如“同型点”需满足“原三角形等腰+关联三角形等腰”），标注关键词 模型迁移：将新定义问题转化为熟悉的全等模型，沿用已有解题思路 逆向推导：若需探究存在性问题，先假设结论成立，反向推导满足的条件 【例题8】.（24-25七年级下·上海徐汇·期末）在学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作理解 小明用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有___________；（填序号） (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图1，四边形是邻等对补四边形，是它的一条对角线． 求证：平分； (3)拓展应用 如图2，在中，，分别在边上取点，使四边形是邻等对补四边形，则的大小为___________度． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·全国·单元测试）（综合探究）认真阅读下面探究片段，完成所提出的问题． (1)李明和小组的同学在研究等腰直角三角形时，过顶角的顶点作一条直线，再分别从两底角顶点向这条直线引两条垂线，如图所示．他们发现：新得到的两个直角三角形是全等关系．请直接写出图1和图2中符合上述发现的全等三角形，并写出其全等依据； (2)李明和同学继续探究，如图3，在中，，，取边的中点，连接，作，过点作，与交于点．他们发现：．如何证明呢？李明提出建议：取边的中点，连接．请你按李明提出的建议进行证明； (3)基于（2）的探究过程，若已知，当点为射线上一动点，其他条件不变时，过点作，交的延长线于点，试猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【变式题8-2】.（24-25八年级上·辽宁大连·期末）综合与探究 【教材呈现】用全等三角形研究“筝形”． 研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定方法． 在人教版八年级上册数学教材 的数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，． 我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 请结合教材内容，解决下面问题： (1)【性质探究】通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，对如图1的筝形的性质进行探究．在①；②；③垂直平分；④平分和；⑤中一定正确的有 ．（填序号）． (2)【性质应用】如图2，在筝形中，，点P是对角线上一点，过点 P分别作的垂线，垂足分别为点 M，N．求证：四边形 是筝形． (3)【拓展应用】如图3，在中，，点 D、E分别是线段 上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 【变式题8-3】.（22-23七年级下·江苏盐城·期末）【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明； 【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想【尝试探究】中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为），，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．    同步练习 1．（25-26七年级上·上海闵行·期末）材料一：整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． 材料二： 对于关于x的一元整式M，其奇数次项系数之和为m，偶数次项系数之和为n． 若，则当时，M的值为0；若，则当时，M的值为0． 例如，对于一元整式，由、得，所以把代入整式，得其值为0． 由此可以确定整式有因式，于是可设．分别确定p、q的值，再代入，就可以因式分解整式，这种因式分解的方法叫作“试根法”． 阅读上述两则材料，回答问题： (1)整式除以整式，商式是______，余式是______． (2)材料二中，______，______． (3)对于一元整式，必定有当______，其值为0． (4)根据材料一和材料二，因式分解______． 2．（25-26八年级上·全国·期末）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】    （1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形______； 【理解与应用】 （2）填空：如图2，是的中线，若，，设，则x的取值范围是_________； （3）已知：如图3，是的中线，，点Q在的延长线上，，求证：． 3．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）综合与实践 (1)问题提出： 如图1，点E为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：． (2)尝试应用： 如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N、M，与交于K，若，．求证：． (3)问题拓展： 如图3，P是内一点，，D在边上，连接，，过P作，垂足为E，若，，求的长． 4．（25-26八年级上·吉林长春·期末）在学习整式的乘法时，我们发现通过用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以写出一个恒等式． （1）如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），则用两种不同方法表示余下的部分的面积，可得到关于，的恒等式为__________； 应用：如图3，将个同心圆由小到大套在一起，并从外向里相间画阴影，若最外面的圆的半径为，向里依次为，，…，，求所有阴影部分的面积和．（结果保留） （2）如图4，将两个边长分别为，的正方形和两个长为宽为的长方形拼成正方形，则用两种不同方法表示正方形的面积，所得到的关于，的恒等式为___________________． 应用：如图5，点为线段上一点，点、点分别为和的中点，分别以点为圆心、为直径向上作半圆，其面积记为，以点为圆心、为直径向下作半圆，其面积记为，点为半圆上点正上方一点，分别连接，．若，，则图中阴影部分的面积为__________． 5．（25-26八年级上·北京大兴·期末）对于平面直角坐标系中的点P，点Q和图形W，给出如下定义：点Q在x轴上，过点Q做垂直于x轴的直线l，图形W关于直线l的对称图形为，称图形为图形W关于点Q的衍生图形，若点P恰好在图形上，则称点P是图形W关于点Q的衍生点．已知点，点，点． (1)如图1，已知线段， ①当时，下列各点中，是线段关于点Q的衍生点的是 ； ②若点是线段关于点Q的衍生点，则 ； (2)已知点， ①如图2，若线段上恰好有关于点Q的两个衍生点，则m的取值范围是 ； ②如图3，点，正方形关于点Q的衍生图形为正方形，若正方形上存在正方形关于原点的衍生点，则m的取值范围是 ． 6．（25-26八年级上·北京·月考）用一些等长的磁力棒可以组成平面图形或立体图形（如图1）．例如，用3根磁力棒可以组成一个等边三角形，用6根磁力棒最多可以组成4个等边三角形． (1)用9根磁力棒最多可以组成___________个等边三角形，这个几何图形有___________个面； (2)从等边三角形开始，若每次都增加3根磁力棒，并且以一个已有等边三角形为基础，在立体图形的外部拼出3个新的等边三角形（原来的边和顶点不会被“包”进新图形内部），就可以形成一系列几何图形（如图2）．用表示最初的3根磁力棒组成的等边三角形，表示用这样方法构成的第个几何图形． ①在图形中，棱数___________，顶点数___________，面数___________（用含的式子表示）；②在①的条件下，写出，，之间的数量关系___________； (3)在（2）的条件下，当时，定义立体图形的“外角和”： 每个顶点处的“外角”经过该顶点的各个面在此处的内角之和． 立体图形的“外角和”=各顶点处的外角之和． 例如，图形有4个顶点，经过每个顶点都有三个等边三角形的面，故每个顶点处的“外角”为，图形的“外角和”为． 探究：当时，立体图形的“外角和”是否会随着发生变化？如果变化，用含的式子表示的外角和；如果不变，说明理由． 7．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在综合实践课上，老师组织同学以的直角板为背景开展数学活动，下面是同学进行相关问题的研究． 问题背景：（1）如图1，在中，，，是的高，直接写出的值______； 探究证明：（2）如图2，在中，，，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接交于点E，过点D作垂直，垂足为点F，交于点K，求证：； 拓展应用：（3）如图3，在中，，，以为边向外作，，，连接交于点E，取中点F，连接，在上取一点G，连接交于点K，，，求的长． 8．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）在综合与探究活动课上，老师带领同学们以含30°角的直角三角形为基本图形，开展了一系列几何探究，发现了图形中隐藏的数量关系． 已知，在中，，． (1)探究一： 如图1，取的中点D，连接，在上截取，连接，求的度数； (2)探究二： 如图2，分别以，为边向外作等边和等边，连接交于点K，求证：； (3)深入探究： 如图3，垂直平分交于点P，若点Q在线段上运动（不与点A，P，C重合），以为一边，在上方作，交的延长线于点S，请直接写出，与之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 期末复习之解答压轴题 期末考点 复习目标 考察形式 1.全等三角形判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）与性质综合 1.熟练构造全等三角形，解决多问递进式证明； 2.掌握对应边/角等量转化与代换技巧 解答题压轴（第24-25题），多问递进（证明→计算→拓展） 2.轴对称+等腰三角形分类讨论（角度/边长） 1.运用轴对称性质转化线段/角度； 2.精准分类等腰三角形腰底、顶角底角，规避漏解 解答题压轴（第23-24题），结合图形变换与计算 3.分式方程实际应用（工程、行程、增长率） 1.建立分式方程模型解决实际问题； 2.掌握增根检验与实际意义验证步骤 解答题压轴（第22-23题），情境化应用题，含检验要求 4.几何变换（折叠/旋转）与全等综合 1.利用折叠/旋转的全等性质提取等量关系； 2.结合三角形内角和、外角性质计算角度 解答题压轴（第25题），图形变换为背景，多问综合 5.因式分解与整式乘法综合求值（多问） 1.灵活运用提公因式、公式法分解因式； 2.掌握整体代入、配方等代数变形技巧 解答题压轴（第21-22题），先化简再求值，多条件关联 6.线段垂直平分线+角平分线综合应用 1.运用两大性质证明线段/角度相等； 2.结合三角形判定定理解决综合证明 解答题压轴（第24题），多结论证明，需构造辅助线 7.动态几何（动点）与全等/等腰综合 1.分类讨论动点位置，锁定全等/等腰条件； 2.建立方程求解动点坐标或运动时间 解答题压轴（第25题），含参数计算，多情况分析 8.三角形角度综合（双角平分线+折叠/嵌套） 1.推导角度模型公式，解决复杂角度计算； 2.掌握整体思想与角度代换技巧 解答题压轴（第23题），多角关联，分步推导 【题型1】全等三角形判定与性质综合（多问递进） 1.期末考点总结 核心考点：全等三角形判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）、对应边/对应角相等性质、辅助线构造 考察要求：第一问证明全等，第二问利用全等结论求角度/边长，第三问拓展探究变式结论 2.解题技巧 找相等条件：从题干中提取已知边/角，或通过对顶角、公共边、平行线性质推导隐藏条件 辅助线构造：常用“作垂线”“延长线段”“连接线段”构造全等模型（如“倍长中线”“截长补短”） 分步递进：前一问结论直接作为后一问的已知条件，避免重复推导 【例题1】.（2025八年级上·安徽·专题练习）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高，延长交于点H．设的面积为，的面积为，请猜想大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析    （2）DE＝BD+CE；证明见解析    （3）S1＝S2；理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．熟知全等三角形的判定定理与性质定理是解题关键． （1）证明，即可根据“角角边”证明； （2）证明，根据“角角边”证明，得到，即可证明； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N．证明，得到，同理可证明，得到，从而证明，根据三角形面积公式即可证明． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）答：． 证明：∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）答：． 证明：如图3，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N． ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·安徽安庆·月考）（1）如图，，射线在这个角的内部，点、分别在的边、上，且，于点，于点．求证：； （2）如图，点、分别在的边，上，点、都在内部的射线上，、分别是，的外角．已知，且．求证：； （3）如图，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）与的面积之和等于 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质，同角的余角相等，垂直定义，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由同角的余角相等证，进而即可证明； （2）根据三角形的外角性质证，，进而即可证明； （3）过点作于，由，得，进而得由（2）知，，则，从而即可得解． 【详解】（1）证明：，，， ，， ， ∴， 在和中， ， ； （2）证明：，，， ， ，，， ， 在和中， ， ； （3）解：如图，过点作于， ， ， ， ， ， ， 由（2）知，， ， ， 即：与的面积之和等于． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·安徽淮北·月考）【观察】 （1）如图，和交于点，且和互相平分，则_____．（填“”“”或“”） 【总结】 当题目中出现“平分”“中点”等词语时，可寻找或构造全等三角形，通过证明三角形全等来解决问题． 【应用】 （）如图，，和交于点，且和互相平分，，，则的度数为______． （）如图，点，在上，为的中点，平分．求证：． 【拓展】 （4）如图，在中，，边上的中线长为，分别为边上的两个动点，在运动过程中始终保持，连接，且，请求出整数的值． 【答案】（）；（）；（）见解析；（）或 【分析】（）利用线段互相平分的性质，结合全等三角形判定证明三角形全等，进而得到线段平行且相等； （）利用与互相平分得出相等线段，再通过判定，由全等得对应角相等，结合的内错角关系，得到，最终计算出的度数； （）先通过延长到点，使得，连接，结合是中点， 利用证明，得到且；再由平分推出，结合已知，利用证明，最终证得； （）利用中线定义和的条件，结合三角形三边关系确定的取值范围，进而得到整数的值． 【详解】（）解：∵和互相平分， ∴，， 又∵(对顶角相等)， ∴， ∴且， 故答案为：=． （）∵和互相平分， ∴， 在和中 ∴ ∴ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （）（证法不唯一）证明：如图，延长到点，使得，连接． ∵是的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （）如图，过点作，且，在上截取，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点共线时，有最小值，此时可得， ∴， ∴是的中点，此时的值最小，最小值为． ∴， ∴， ∴整数的值为或． 【点睛】本题综合考察了线段互相平分的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定(SAS、ASA)与性质、角平分线的定义、三角形三边关系以及角的和差计算等知识点，核心通过构造或证明全等三角形实现线段与角的等量转化，同时结合平行四边形性质和三角形三边关系解决线段长度与取值范围问题，是对平面几何中三角形与四边形基础性质的综合应用． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·安徽亳州·月考）【背景问题】老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是多少？ 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出的取值范围是___________； 【感悟方法】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，求证：． 【答案】（1）（2）（3）见解析 【分析】（1）延长至点E，使，连接， 证明，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）延长至点F，使，连接，可证，可得，，证明，得到，即得； （3）延长到R，使得，连接，证明，可得，，可证，可得， ，得，． 【详解】解：（1）延长至点E，使，连接，则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 即； 故答案为：； （2）延长至点F，使，连接，则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）延长到R，使得，连接， ∵点Q是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ，，， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型2】轴对称与等腰三角形综合（分类计算） 1.期末考点总结 核心考点：轴对称性质（对应点连线被对称轴垂直平分）、等腰三角形“等边对等角”“等角对等边”、三角形三边关系 考察要求：结合轴对称图形特征，分类计算等腰三角形的角度、边长，解决多解问题 2.解题技巧 对称转化：将对称轴一侧的线段/角度转化到另一侧，简化计算 分类标注：未明确腰底/顶角时，用“情况1”“情况2”标注分类，结合“三角形内角和为”“两边之和大于第三边”取舍 图形直观：画出轴对称后的完整图形，标注对应边/角，避免漏解 【例题2】.（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知点，点在第一象限，是等边三角形．如图1~图3，点在轴上从右向左移动，以为边作等边三角形（，，三点按逆时针方向排列），直线交轴于点． (1)求证：； (2)点是动点还是定点?若是动点，指出其运动路径；若是定点，求出其坐标； (3)图1中，由（1）可得结论．在此基础上解决问题：设点，，三点的横坐标分别为，，，用含，的式子表示，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)点C是定点，点C的坐标为 (3)，理由见详解 【分析】本题主要考查动点问题、全等三角形、等边三角形的性质和平面直角坐标系中点的特征，分清动点可能存在的位置是解题的关键． （1）首先根据等边三角形得到对应边、对应角相等，再利用等角转化得到相等的角即可证明； （2）首先根据等角转化得到，即可得到，进而利用长度不变则长度也不变，即可说明点C是定点，再求解点C的坐标即可； （3）首先根据点，，三点的横坐标分别为，，，构造垂线得到垂线段的长度为，，，再利用进行线段转化即可得到含，的式子表示． 【详解】（1）证明：以图1为例， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， 同理，当点P运动到图2，图3的位置时，亦可得到； （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C是定点，点C的坐标为， 同理，当点P运动到图2，图3的位置时，亦可得到，即， ∴点C是定点，点C的坐标为； （3）解：如图，分别过点A作轴于点E，过点Q作轴于点F，则，，， 由（1）知：， ∵ ∴，， 如图1，当，时， ∵， ∴，即， ∴用含x，y的式子表示a是：． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·江苏连云港·周测）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】 （1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，并证明： ②若，，则_______； 【类比】 （2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】 （3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，则的面积为________． 【答案】（1）9；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）由得，，进而得出结果； （2）由“”可证，从而得出，，进一步得出结论； （3）由（2）得：，进而求得，和的面积，进而得出结果． 【详解】解：（1）∵， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：9； （2），理由如下： ∵． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∵， ∴； ∴； （3）解：如图，过点C作 于点G， 由（2）得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式题2-2】.（24-25八年级上·山西太原·月考）已知在等腰中，．如图1，点是边上的一个动点，点是边上的一个动点，且与交于点．    (1)求证：， (2)若是等腰三角形，求的度数（请用含的代数式表示）． (3)如图2，当时，将沿着翻折，得到，连接，交于点，交于点．当时，________． 【答案】(1)证明见解析 (2)的度数为或 (3)3 【分析】本题考查全等三角形的证明及性质，等边三角形的证明及性质，含的直角三角形，等腰三角形的证明及性质，熟练掌握基本性质是解题关键； （1）通过证明，根据全等三角形的性质即可求解； （2）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，由（1）得出，设，则，， ，分三种情况：①当时，②当时，③当时，求解即可； （3）过点F作于点I，根据折叠的性质得出，，，利用证明得，根据等腰三角形的性质求出，，证明四边形是长方形得，证明得，再利用含的直角三角性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：若是等腰三角形，设，   ①若时， ∴， ∴， ， ∴， 解得， ∴， ②若时， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ③∵，， ∴， 又∵， ， ∴； 综上所述，当是等腰三角形时，的度数为或； （3）解：过点F作于点I，过点F作于点O，   由折叠的性质得，，，， ∴四边形是长方形， ∴． ， 是等边三角形， ， 又， ， ， ， ， ，． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·湖北武汉·月考）【初步探究】如图，，点是上一点，，连接，求的度数； 【变式探究】如图，在等边中，，分别为，边上的点，，且．连，若，探究与的数量关系并给予证明； 【拓展延伸】如图，在四边形中，，，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，若，直接写出的值为___________． 【答案】【初步探究】； 【变式探究】，证明见详解； 【拓展延伸】 【分析】本题考查等腰三角形、等边三角形的性质，含、角的直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，角和线段的和差关系，线段比例与方程思想的应用等知识点．灵活运用以上知识点和恰当设置辅助线，是解题的关键． 【初步探究】延长至点,使得，连接，通过证明，得到，，继而根据等腰三角形的性质得到的度数． 【变式探究】过作，交于点，通过证明，得到，，根据，得到，继而得到，根据，得到． 【拓展延伸】延长至点, 连接, 使得, 延长, 与的延长线交于点, 连接，通过证明、为等边三角形，继而证明，，，继而证明，．设，，，根据角的直角三角形的线段关系列二元一次方程组，解得、关于的表达式，进而得到的值． 【初步探究详解】解：如图，延长至点,使得，连接， ∵，, ∴, ∴, ∵,,, ∴, 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【变式探究详解】解：如图，过作，交于点， ∵， ∴， ∴， 又∵，, ， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴, ∴， ∴，， 又∵，， ∴； 【拓展延伸详解】解：如图, 延长至点, 连接, 使得, 延长, 与的延长线交于点, 连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， , ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可证，， ∴，， 设，，, 则， ，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【题型3】分式方程综合应用 1.期末考点总结 核心考点：分式方程建模（工程/行程/增长率/跨学科）、分式方程解法（去分母转整式方程）、增根检验与实际意义验证 考察要求：从实际或跨学科情境中提取数量关系，列方程求解并检验合理性 2.解题技巧 情境转化：将工程（工作量=效率×时间）、行程（路程=速度×时间）、跨学科（速率/浓度）转化为数学等量关系 规范步骤：设未知数→列方程→去分母→解整式方程→双重检验（分母不为0+情境合理性）→写答 提炼关键：忽略无关背景，聚焦“已知量、未知量、等量关系”，统一单位 【例题3】.（23-24八年级下·江苏泰州·月考）数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖()，则糖水的浓度(即糖与糖水的质量比)为． 实验1∶加入m克水，则糖水的浓度为． 生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式∶， 我们趣称为“糖水不等式”． (1)实验2∶将“实验1”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”： ， 并验证你写的不等式的正确性． (2)设a、b、c为三边的长，根据上述实验，求证∶． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了分式的混合运算， （1）根据题意写出新的分式和不等式，然后根据加入m克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可； （2）利用（1）的结论来证明即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 加入m克糖后，糖水浓度为， ∵， ∴，    又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵a、b、c为的三边长 ∴， ∴ ，，． ∴由（1）的结论知道：，， 三式相加得： ． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢，六一儿童节来临之际，宜家乐超市决定购进，两种风筝，购进每个种风筝比每个种风筝多元，用元购种风筝的数量和元购种风筝的数量相同． (1)求购进，两种风筝每个各需多少元； (2)若该商店决定购进这两种风筝共个，且用于购买的资金不少于元，还不超过元，则该商店有哪几种进货方案? (3)已知商家出售个种风筝可获利元，出售个种风筝可获利元，问当取何值时（2）中的方案，商家获利都相同． 【答案】(1)购进每个种风筝需元，购进每个种风筝需元 (2)有三种购买方案如下：购进种风筝个，购进种风筝个；购进种风筝个，购进种风筝个；购进种风筝个，购进种风筝个 (3) 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系或数量关系，列方程或不等式求解． （1）设购进每个种风筝需元，购进每个种风筝需元，根据“用元购种风筝的数量和元购种风筝的数量相同”列分式方程求解即可． （2）设购进种风筝个，则购进种风筝个，根据“用于购买的资金不少于元，还不超过元”列不等式组解得的取值范围，再由为正整数，即可得进货方案； （3）分别表示出三种方案的利润，根据“商家获利都相同”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进每个种风筝需元，购进每个种风筝需元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ． 答：购进每个种风筝需元，购进每个种风筝需元． （2）解：设购进种风筝个，则购进种风筝个， 由题意得：， 解得， 是正整数， 或或， 有三种购买方案如下： 购进种风筝个，购进种风筝个； 购进种风筝个，购进种风筝个； 购进种风筝个，购进种风筝个． （3）解：第一种方案商家可获利：元； 第二种方案商家可获利：元； 第三种方案商家可获利：元； 令，解得， 当时，（2）中的方案商家获利都相同． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求的值． (3)利用（2）中所求得的的值，分解因式：________． 【答案】(1)“丰收2号”小麦的单位面积产量高 (2)的值为3 (3) 【分析】（1）因为总产量相等，所以面积小的试验田，其单位面积产量就高，分别求出“丰收1号”和“丰收2号”的面积，并比较大小，即可求解； （2）根据题（1）的结果和题意列出等式，求解即可； （3）由（2）知，，利用十字相乘法进行因式分解即可得． 【详解】（1）解：由题意，得“丰收1号”小麦的单位面积产量， “丰收2号”小麦的单位面积产量， ，且， ∴， ∴， ∴， ∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高． （2）解：由题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， ∴的值为3． （3）解：由（2）知，， ∴． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用、分式方程的解法、以及利用十字相乘法分解因式，根据题意列出分式方程是解题关键． 【变式题3-3】.（24-25八年级上·河北石家庄·期中）“互联网+”助力乡村全面振兴．石家庄市某网络销售商在“双十一”举行促销活动，在11月11日销售甲、乙、丙三种农产品时，记录了如下统计信息： 信息1：乙商品销售单价比甲商品多5元/千克，丙商品销售单价是甲商品的3倍； 信息2：用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍； (1)若设甲商品销售单价为元/千克，请依据上述信息填表； 销售单价（元/千克） 质量（千克） 销售总价（元） 乙 60元 丙 270元 (2)求11月11日当天甲、乙、丙商品销售单价分别为多少元/千克？ (3)“双十一”促销活动结束后，该销售商将三种商品的销售单价在（2）的基础上每千克提高了元（为整数且）．嘉嘉花200元购买甲商品，再花200元购买丙商品，琪琪花400元购买乙商品，设嘉嘉购买商品的质量之和为，设琪琪购买商品的质量为，直接写出的最大值． 【答案】(1)乙：销售单价元/千克，质量千克；丙：销售单价元/千克，质量千克 (2)甲商品销售单价为5元/千克，乙商品销售单价为10元/千克，丙商品销售单价为15元/千克 (3) 【分析】本题考查了分式方程的应用以及代数式的最值问题，解题的关键是根据题意找到等量关系并列出方程，同时正确分析代数式的最值情况． （1）根据单价、质量、总价的关系填写表格； （2）根据信息2列出分式方程求解三种商品的单价； （3）先分别表示出和，再分析的最大值． 【详解】（1）解：已知甲商品销售单价为元／千克，由信息1可知乙商品销售单价为元/千克，根据“质量总价单价”，乙商品质量为千克；丙商品销售单价是元／千克，丙商品质量为千克； （2）解：根据信息2“用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍”，可列方程：， 解得： 经检验，是原方程的解． 所以乙商品单价为元/千克，丙商品单价为元/千克； （3）解：提价后，甲商品单价为元/千克，丙商品单价为元/千克，乙商品单价为元/千克． 则 ， 令，则随增大而增大，的范围是．，当最大时，最大， 当时，，． 【题型4】折叠/旋转变换与全等综合 1.期末考点总结 核心考点：折叠/旋转的全等性质（对应边相等、对应角相等）、三角形内角和定理、外角性质 考察要求：从折叠/旋转图形中提取全等条件，推导角度、边长关系，解决多问综合题 2.解题技巧 标记对应元素：用相同符号标注折叠/旋转后的对应顶点、边、角（如折叠后对应） 提取隐含条件：折叠后重合的线段相等（如）、旋转角相等（如） 角度链推导：通过全等性质建立已知角与未知角的等量关系，逐步推导目标角 【例题4】.（24-25八年级上·广东珠海·月考）数学活动：折纸与证明． （1）如图1，在中，，怎样证明呢？如图2，小明以“折叠”为思路：将沿折叠，使点C落在边的点D处，然后可以证明，试写出小明的证明过程； 感悟与应用： （2）如图3，是的高，．若，，求的长．小龙同学的解法是：将沿折叠，点C落在边上的点处……，画出图形并写出完整的解题过程； （3）如图4，是的角平分线，．线段、、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2）14 （3）结论：，理由见解析 【分析】（1）如图1中，将沿折叠，使点C落在边的点D处，连接．证明，可得结论； （2）由折叠的性质得到，由“”可证，可得，，由三角形外角的性质结合已知条件证得，由等腰三角形的判定得到，即可求解； （3）由“”可证，可得，，，由三角形外角的性质结合已知条件证得，由等腰三角形的判定得到，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1中，将沿折叠，使点C落在边的点D处，连接． 则，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：将沿折叠，点C落在边上的点处，连接， 则，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：结论：． 理由：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式题4-1】.（24-25九年级上·山西太原·月考）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师让每个组准备了一张矩形纸片．如图1，把矩形绕点逆时针旋转得到矩形纸片，点，，的对应点为，，，设旋转角为．操作中，同学们提出了如下问题，请你解答：操作探究： （1）“奋进小组”提出问题：如图2，当矩形纸片旋转到点落在上时，延长交于点． ①求证：四边形是正方形； ②连接，取的中点，连接、，若，，则线段的长为_______． 数学思考： （2）“团结小组”提出问题：如图3，连接，当矩形纸片旋转到点在的延长线上时，延长，交于点，交于点，求证：； 深入探究： （3）“善思小组”提出问题：若，．在矩形纸片旋转过程中，连接线段和，当时，直接写出的长． 【答案】（1）①见解析：②；（2）见解析；（3）的长为或 【分析】（1）①由矩形的性质可得，，，从而得出，推出四边形是矩形，由旋转的性质可得，即可得证；②连接，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，由直角三角形斜边上的中线的性质得出，再由勾股定理求出即可得解； （2）连接，由矩形的性质可得，，，，由平行线的性质可得，由旋转的性质可得，，证明，得出，从而得到，由等角对等边对出，结合，即可得证； （3）由旋转的性质可得，点在以为圆心，为半径的圆上，由，得出点在的垂直平分线上，再两种情况：当在的上方时，令的垂直平分线交于，交于，则；当在的下方时，令的垂直平分线交于，交于，则；分别利用矩形的判定与性质、勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）①证明：∵四边形、是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 由旋转的性质可得， ∴四边形是正方形； ②解：如图，连接， ∵四边形、是矩形， ∴，，，，，， 由旋转的性质可得，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形、是矩形， ∴，，，， ∴，， 由旋转的性质可得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由旋转的性质可得，点在以为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， 如图，当在的上方时，令的垂直平分线交于，交于，则， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，，，     ∴四边形为矩形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴； 如图，当在的下方时，令的垂直平分线交于，交于，则， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，，，     ∴四边形为矩形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、正方形的判定、线段垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·广东广州·期中）在中，，点为的中点，点、分别在边、上．    (1)本小题为多项选择题有多个选项符合题目要求，要求回答时，全部选对的得满分，选对但不全的视正确答案数相应给分，有选错的得分，题目如下： 如图，若，则下列结论正确的有（   ） A． B．是等腰直角三角形 C． D．当在内绕顶点旋转时（点不与，重合）， (2)如图，若，求的值； (3)如图，若，求证：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见详解． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练运用等腰三角形 “三线合一”、全等三角形判定定理（、）是解题关键． （1）利用等腰直角三角形的性质（等边对等角、三线合一），结合角的等量代换，通过判定三角形全等，进而分析各选项的正确性； （2）结合等腰三角形（含角）的性质，利用直角三角形中角对的直角边是斜边的一半，计算线段长度； （3）通过作辅助线构造直角三角形，利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等），结合全等三角形的判定与性质，推导线段和的关系． 【详解】（1）解：，， ， 点为的中点， ，，， ，， ， 在和中， ， ，， 是等腰直角三角形； 故正确；正确； ，， ， 故正确； ， ， 点不与，重合，， ， ，， ， ， 故错误， 故选：； （2）解：如图，连接，   点为的中点， , 又， ，， ， ， ， ， ， ， 同理得， ； （3）证明：如图，连接，作于点，作于点，   ，， ，， 又，， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， 在和中， ， ，， ， ，， ， ，， ， ． 【变式题4-3】.（22-23九年级下·山西太原·月考）阅读材料，解决问题： 折叠、旋转是我们常见的两种图形变换方式．如图1，在 中，，，点，在边上，，若，，求的长． 小艳发现，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接（如图．使条件集中在中，可求得（即的长，具体作法为：作，且，连接、，可证，再结合已知中，可证，得，接着在 中利用勾股定理即可求得的长，即的长． (1)请你回答：与全等的条件是_____（填“”、“”、“”、“”或“”中的一个），的长为________； (2)如图3，正方形中，点为延长线上一点，将沿翻折至位置，延长交直线于点． ①求证：； ②连接交于点，连接（如图，请你直接写出的值． 【答案】(1)，； (2)①见详解；②． 【分析】（1）根据绕点按逆时针方向旋转得到可得，，结合可得，根据边角边定理即可得到证明，在中利用勾股定理即可得到答案； （2）①连接，根据定理即可得到，即可得到证明； ②连接，过作交延长线于一点，根据折叠得到，，由①可得，，即可得到，从而得到，根据正方形性质可得，，结合可得，即可得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：绕点按逆时针方向旋转得到， ，，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 绕点按逆时针方向旋转得到， ，， ， ， 在 中，， ， ， 故答案为：，； （2）①连接， 沿翻折至位置，四边形是正方形， ，， 在与中， ， ∴ ； ②连接，过作交延长线于一点， 沿翻折至位置， ，， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是添加辅助线． 【题型5】因式分解与整式乘法综合求值 1.期末考点总结 核心考点：整式乘法（幂的运算、多项式乘多项式）、因式分解（提公因式法、平方差公式、完全平方公式）、整体代入思想 考察要求：先化简代数式（因式分解+约分），再结合已知条件求值，多为多问递进形式 2.解题技巧 先分解再化简：对待求式和已知式优先因式分解，提取公因式或运用公式转化为乘积形式 整体代换：设中间变量（如、），避免单独求未知数，简化计算 配方变形：对二次代数式用完全平方公式配方，结合非负性求最值或求值 【例题5】.（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：_____；图2：；图3：_____． 这几个数学公式都可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化解决很多数学问题．例如：如图4，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度解： ， ，即：， 又， ． 方法二：从“形”的角度解： ， ， 又， ， ． 即． 类比迁移： （2）若则_____． （3）若为非负数，，则_____． （4）若，则_____． （5）如图5，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1），；（2）13；（3）；（4）10；（5） 【分析】本题考查完全平方公式、平方差公式的几何背景，求一个数的算术平方根，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种方法计算各个图形中阴影部分的面积即可； （2）根据完全平方公式变形求解即可； （3）根据完全平方公式变形，再求算术平方根，即可求解； （4）根据完全平方公式变形求解即可； （5）设，由题意可得，根据求出的值，再求出的值即可． 【详解】解：（1）图1是边长为的正方形，因此面积为， 组成图 1 四个部分的面积和为， 因此， 图3左图阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 图3右图中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 因此有， 故答案为：； （2）， ， ， ， 故答案为：13； （3）∵，， 则， ∴ ∵为非负数， ∴． 故答案为：； （4）∵，， 则 ． （5）设， 则， ， ， 解得：， ∴阴影部分的面积为． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）阅读理解：把整式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加为问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法不仅在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值、求解未知量． 例：某快递公司运输一批货物，成本，若（a为运输量），利用配方法求P的最小值． 解：． ，当a=2时，P有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)求最小值：的最小值_______； (2)已知，求的值_______； (3)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，三角形面积为S，用配方法求S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)18，见解析 【分析】本题考查了非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解-分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式． （1）模仿题干的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （2）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可； （3）设其中一条直角边为a，则另一条直角边为， ，根据，确定出最大值即可． 【详解】（1）解： ， ， 当时，有最小值， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为： （3）解：设其中一条直角边为a，则另一条直角边为， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值18． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·福建福州·期中）综合与实践： 阅读材料 对于关于x的多项式M，有如下结论：如果是M的因式，则时，．这个结论被称为因式定理．例如：若是多项式的因式，则当时，． 问题背景 某工厂生产一种特殊形状的金属零件，其体积可以用三次多项式表示，其中表示零件的关键尺寸（单位：厘米）．技术人员通过测试发现： 测试结果1：当 时，零件体积；测试结果2：当 时，零件体积． 请根据上述信息解决下列问题： 问题解决 （1）利用因式定理，确定多项式中的参数a和b的值； （2）若该零件的体积为，求此时的关键尺寸x的值； 拓展探究 （3）在实际生产过程中，技术人员发现该零件的一种性质：存在常数m，使得对于多个（两个或以上）关键尺寸x，使能写成某些正整数的平方．例如：当时，和满足条件，．当和时，请找出所有满足该性质的正整数m，并说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】本题考查解二元一次方程组，因式分解的应用，读懂题意，理解因式定理是解题的关键． （1）根据，得到关于a，b的方程，求解即可； （2）由得到，因式分解得到，即可解得，，，再根据关键尺寸即可解答； （3）由题意求得，，根据，都能写成某些正整数的平方，设，（，为正整数），因此，将204分解为两个正整数的积，即可分别讨论，的值，进而求出满足该性质的正整数m． 【详解】解：（1）∵当 时，零件体积， ∴，即， ∵当 时，零件体积， ∴，即， 由可得，． （2）∵，， ∴， 当时，， ∴， 因式分解，得， ∴或或， 解得，，， ∵关键尺寸， ∴． （3）由（1）可知， ∴当时，， 当时，， ∵能写成某些正整数的平方， ∴，都能写成某些正整数的平方， ∴设，（，为正整数）， ∴，即， ∴， ∴当时，解得，此时，，解得； 当时，解得，不符合，为正整数，舍去， 当时，解得，不符合，为正整数，舍去， 当时，解得，此时，，解得； 当时，解得，不符合，为正整数，舍去， 综上所述，满足该性质的正整数m为或． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·江苏苏州·月考）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． (1)【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是． ①条件：当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是______．如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、9、满足的等量关系是______； 结论：可得． ②当时，同理可得； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______． (2)【方法迁移】 仿照上述方式，求出当时，代数式的最大值（无需描述割补过程，只需画出示意图）． 【答案】(1)；； 9 (2)25 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积、列代数式等知识点，理解材料的用意及数形结合是解题的关键． （1）根据图形面积的求法列代数式并整理即可解答； （2）根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出 的最大值，据此求解即可． 【详解】（1）解：①当时，如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长为；如图3，阴影部分是一个边长为的正方形，长方形A、B和阴影部分组成一个边长为3的正方形， ∴， ②当时，同理可得； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是9． 故答案为：；； 9． （2）解：当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴； 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，该长方形为边长是5的正方形，即 ∴边长是 和的长方形的最大面积是25， ∴ 的最大值为25． 【题型6】线段垂直平分线与角平分线综合应用 1.期末考点总结 核心考点：线段垂直平分线性质（到线段两端距离相等）、角平分线性质（到角两边距离相等）、全等三角形判定 考察要求：证明线段/角度相等，结合三角形性质解决综合证明题，需构造辅助线 2.解题技巧 性质转化：将“垂直平分线”转化为“线段相等”，“角平分线”转化为“距离相等”或“角度相等” 辅助线构造：过角平分线上的点作角两边的垂线，或连接垂直平分线上的点与线段端点 逆向验证：若需证明“某点在垂直平分线上”，只需证明该点到线段两端距离相等 【例题6】.（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【问题提出】 （1）如图①，点A在线段的垂直平分线上，，则的度数为______； 【问题探究】 （2）如图②，点A在线段的垂直平分线上，点E在的延长线上，交的延长线于点D，延长至点F，使得，过点F作交的延长线于点G，判断与是否相等，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，是某公园的一块草坪示意图，点A在的垂直平分线上，点D在的延长线上，小路于点E，交于点F，在边上有一口灌溉水井G．为方便游客饮水与休息，在与的交点O处修建了游客饮水区，并在E处修了一座凉亭．若，，求游客饮水区O到凉亭E的距离．（小路的宽度及水井与凉亭的大小均忽略不计） 【答案】（1）；（2）．理由见解析；（3）游客饮水区到凉亭的距离为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等边对等角等知识点． （1）由垂直平分线的性质可知，，再利用等边对等角即可求解； （2）由垂直平分线的性质可知，，得，进而可证明，即可得证； （3）过点作，垂足为，构造，可得，由全等三角形性质可得，，则，可知，再证，得，即可求解． 【详解】解：（1）∵点在线段的垂直平分线上，， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由见解析： ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）过点作，垂足为，如图③： ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即：游客饮水区到凉亭的距离为． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·全国·月考）材料阅读：如图1，在中，，分别平分，，连接． 求证：平分． 小星同学看到，分别平分，，想到了角平分线的性质，他过点分别作，，的垂线段，，，得到，，之间的数量关系，从而证明平分． (1)请用小星的方法或自己的方法证明平分； (2)方法应用：如图2，在中，是的延长线上一点，分别平分，，连接． ① 探究与之间的数量关系，并说明理由； ② 当时，如图3，过点作交于点，连接并延长交于点，与交于点，探究，与之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析； (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）过点分别作，，，垂足分别为M，N，P，通过角平分线的性质，可以得到，，从而得到，从而可以推出平分； （2）①． 理由如下：过点分别作，交的延长线于点，过点分别作，，垂足分别为N，P，通过角平分线的性质，先证明出平分，然后利用三角形的外角推出，；②在上截取，连接，由①，知，，接着证明，，从而得出． 【详解】（1）证明：如图1，过点分别作，，，垂足分别为M，N，P． 平分， ∴． ∵平分， ∴． ∴． 又，， 平分． （2）解：①． 理由如下： 如图2，过点分别作，交的延长线于点，过点分别作，，垂足分别为N，P． ∵平分，，， ∴，． ∵平分，，， ∴，． ∴． 又，， ∴平分． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， 即． ② 如图3，在上截取，连接． 由①，知，． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴平分． ∵平分， ∴． 由(1)，知平分． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴，． 在和中，，，， ∴． ∴． ∴． ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形外角的定义，三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 【变式题6-2】.（24-25八年级下·四川成都·月考）（1）在一节数学课上，王老师给出一道题：如图1，在中，，点是线段上一点，连接，在延长线上取一点，使，作垂足为点．求证：． ①如图2，小明认为：在上截取，连接，只要探究线段和线段之间的数量关系即可． ②如图3，小强认为：作交延长线于点，只要探究线段和线段之间的数量关系即可． 请你选择一名同学的解题思路，并完成他们的证明过程． （2）如图4，在中，，，平分交于点，作交于点．试探究线段、和之间的数量关系，并证明你的结论． （3）如图5，在四边形中，，，平分，在上取一点，使，连接．若，，，求的长．（用含，，的代数式表示） 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2），证明见解析；（3）． 【分析】（1）①使用角边角的证明方法证明与全等，即可得，即可得为等腰三角形，再由等腰三角形的性质可得，即可证明； ②使用角角边的证明方法证明与全等，即可得，再由一条直角边和一条斜边可证明与全等，即可得，再由边的关系即可证明； （2）通过构造辅助线，使用角边角的证明方法证明与全等，即可得，再由等腰三角形的性质可得，再由边的关系即可证明； （3）通过构造辅助线证明与全等，与全等，与全等，设出，，通过边的关系即可求解． 【详解】（1）证明：①小明的思路：在上截取，连接， 在中，， 在中，， ∵，， ∴， ∵，， 在与中， ， ∴≌， ∴， 即为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴； ②小强的思路：作交延长线于点， 由①可知，，即， ∵，， ∴， ∵， 在与中， ， ∴≌， ∴，， 在与中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴； （2）证明：在上截取，连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， 在与中， ， ∴≌， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 即为等腰三角形， ∵， ∴，即， ∵； （3）解：过点A作交的延长线于点F， 在的延长线上截取，连接，如图， ∵，即， 且， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴≌， ∴， ∵，， 在与中， ， ∴≌， ∴，， 在四边形中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴≌， ∴， 设，， ∵， 即， 即，① 又∵， 即， 即，② 由①－②得，， 整理可得， 即， 即 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形外角和性质，四边形内角和性质，解决本题的关键是通过构造辅助线，即构造垂直或线段相等来判定三角形全等，使用全等三角形的性质等量代换角度或边长 【变式题6-3】.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，点为延长线上一点，，点坐标为． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，点在线段上（点不与点、重合），连接，点在第一象限内，连接，，，求证：点在的垂直平分线上； (3)如图3，为轴负半轴上一点，连接，垂直平分且，点在线段的延长线上，连接，点为的中点，连接，，交过点且与轴垂直的直线于点，若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)2 【分析】（1）设，根据三角形外角性质得到，再由已知得到，即可建立方程求解； （2）过点D作于点G，证明，则，再根据角直角三角形可得，那么，而，故垂直平分； （3）延长至点，使得，连接，先证明，在上截取，连接，然后证明，再证明，可得为等边三角形，，而，即可求解． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 解得， ∴的度数为； （2）证明：过点D作于点G，如图所示： ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴点在的垂直平分线上； （3）解：延长至点，使得，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵ 又∵ ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∴ 在上截取，连接， ∵， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴ ∵点坐标为，由（2）得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与平面，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，角直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，难度很大，解题的关键是正确辅助线构造全等三角形． 【题型7】动态几何（动点）与全等/等腰综合 1.期末考点总结 核心考点：动点运动规律、全等三角形判定、等腰三角形分类讨论、方程思想 考察要求：分析动点在不同位置时的图形特征，分类讨论全等或等腰的条件，求解运动时间或坐标 2.解题技巧 分类讨论：按动点在线段上、线段延长线上分类，或按等腰三角形的腰底分类，画出对应图形 锁定不变量：无论动点如何运动，保持不变的边/角（如公共边、固定角度）作为解题突破口 列方程求解：设运动时间为，用含的代数式表示线段长度，结合全等/等腰条件列方程 【例题7】.（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)试求的度数； (2)若 ，试求动点，的运动时间的值； (3)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得 与 全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）根据直线，平分，得出，结合即可得出的度数； （2）作，则，根据可得的值，分别用表示，即可求得的值，即可解题； （3）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值； 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）作，， ∵平分，则， ， ， ，， ， 解得： ； 当点在点右侧时，， ，解得． （3），， 当时，， 即，或， 解得：或舍弃， 答：，． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·广西南宁·期中）小明遇到这样一个问题：是边长为的等边三角形，点M，N分别是边上的动点．点M从点A出发沿线段向点B运动． 【初步探究】 （1）如图1，另一动点N从点B出发，沿线段向点C运动．如果M，N都以的速度同时出发，设运动时间为t．请问______（用含t的式子表示），当______时，是直角三角形． 【类比探究】 （2）在（1）的条件下，如图2，连接交于点E，点M，N运动过程中，通过测量小明发现的度数不变．为了验证这个结论，小明通过证明，从而得到，再利用外角的性质得出，即的度数不变． 如图3，若点M，N分别在的延长线上运动，作直线交于点E，其余条件不变，的度数会发生变化吗？若变化，请说明理由．若不变，请求出它的度数． 【拓展应用】 （3）如图4，若另一动点N从点C出发，沿射线方向运动，连接交于点D．如果动点M，N以相同的速度同时出发同时停止，在运动过程中，请探究和的面积之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），或；（2）不变，；（3）面积相等，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式，分和两种情况进行讨论进行求解即可； （2）证明，得到，对顶角得到，结合三角形的内角和定理进行求解即可； （3）过点作，过点作，证明，得到，进而根据同底等高的两个三角形的面积相等，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵是边长为的等边三角形， ∴，， 由题意，得：， ∴， 当是直角三角形时，分两种情况： ①当时，则：， ∴，即，解得； ②当时，则：， ∴，即，解得； 综上：当或时，是直角三角形； （2）不变，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴； （3）和的面积相等，理由如下： 过点作，过点作，则：， ∵， ∴， 由题意，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·河南三门峡·期中）在Rt中，，点在直线上．    (1)如图1，分别过点，作于点，于点，，当时，与是否全等，请说明理由； (2)当时，如图2，点与点关于直线对称，连接，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动，点到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为秒． ①___________；当在路径上时，___________；（用含的代数式表示） ②求当与全等时的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；．②秒或秒． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、对称的性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，再利用即可解答； （2）①直接根据题意以及线段的和差即可解答；②动点N沿路径运动，点N沿路径运动，点N沿路径运动三种情况，分别根据全等三角形的判定定理列式计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ； （2）解：①由题意得：，，则， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴． 故答案为：；． ②∵点与点关于直线对称， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，与全等， 当点N沿路径运动时，，解得，（不合题意）， 当点N沿路径运动时，，， ∴，解得：； 当点N沿路径运动时，由题意得：，， ∴，解得：． 综上所述，当与全等时，y的值为秒或秒． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·四川广安·月考）如图，在中，，，，、相交于点O，且． (1)与的数量关系是___________； (2)试说明：； (3)点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，问是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请在备用图中画出大致示意图，并直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论的思想以及利用参数构建方程解决问题成为解题的关键． （1）三角形内角和定理以及外角的性质即可解答； （2）根据证明三角形全等即可； （3）分两种情形：①当Q在边上时，如图2，，②当Q在的延长线上时，如图3，，分别构建方程求解即可． 【详解】（1））解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2）证明：∵是高， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （3）解：存在． ∵， ∴． ①如图2中，当时， ∵， ∴． ∴， ∴， 解得：； ②如图3中，当时， ∵， ∴． ∴， ∴， 解得：． 综上所述，或时，与全等． 【题型8】全等三角形与几何探究（新定义型） 1.期末考点总结 核心考点：全等三角形判定与性质、新定义理解与应用、逻辑推理能力 考察要求：理解题干中新定义（如“同型点”“共顶点等腰”），结合全等知识解决证明、计算问题 2.解题技巧 吃透定义：拆解新定义的核心条件（如“同型点”需满足“原三角形等腰+关联三角形等腰”），标注关键词 模型迁移：将新定义问题转化为熟悉的全等模型，沿用已有解题思路 逆向推导：若需探究存在性问题，先假设结论成立，反向推导满足的条件 【例题8】.（24-25七年级下·上海徐汇·期末）在学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作理解 小明用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有___________；（填序号） (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图1，四边形是邻等对补四边形，是它的一条对角线． 求证：平分； (3)拓展应用 如图2，在中，，分别在边上取点，使四边形是邻等对补四边形，则的大小为___________度． 【答案】(1)② (2)证明见解析 (3)，或 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用相关性质进行推理证明，利用分类讨论的思想求角的大小． （1）根据邻等对补四边形的定义，从对角是否互补，是否有一组邻边相等逐个验证，可得结果； （2）过点A作于E，作，交延长线于F，先后证明，，可得，所以平分； （3）先根据邻等对补四边形的对角互补，推出，，再根据邻等对补四边形有一组邻边相等，分类讨论，求出每一种情况下的度数，综合可得结果． 【详解】（1）解：①，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形； ②，，满足对角互补，且有两组邻边相等，所以该四边形是邻等对补四边形； ③，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形； ④该四边形没有相等的两条邻边，所以不是邻等对补四边形； 综上可知，是邻等对补四边形的有②． （2）证明：过点A作于E，作，交延长线于F，如图1.1所示： 则， 四边形是邻等对补四边形， ， 又， ， 又由题知， ， ， 又， ， ， 平分． （3）解：在中，， ∴， 四边形是邻等对补四边形， ，， ，． 根据邻等对补四边形至少有一组邻边相等，可得 当时，如图2.1： 结合，可得， ． 当时，如图2.2： ， ， ． 当时，如图2.3： ， ． 当时，如图2.4： 结合，可得， ． 综上可知，大小为或或． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·全国·单元测试）（综合探究）认真阅读下面探究片段，完成所提出的问题． (1)李明和小组的同学在研究等腰直角三角形时，过顶角的顶点作一条直线，再分别从两底角顶点向这条直线引两条垂线，如图所示．他们发现：新得到的两个直角三角形是全等关系．请直接写出图1和图2中符合上述发现的全等三角形，并写出其全等依据； (2)李明和同学继续探究，如图3，在中，，，取边的中点，连接，作，过点作，与交于点．他们发现：．如何证明呢？李明提出建议：取边的中点，连接．请你按李明提出的建议进行证明； (3)基于（2）的探究过程，若已知，当点为射线上一动点，其他条件不变时，过点作，交的延长线于点，试猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，依据见解析； (2)见解析； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，涉及分类讨论思想的应用，掌握这些判定与性质是关键； （1）由角角边证明即可； （2）取边的中点，连接，则是等腰直角三角形；再证明即可； （3）连接，则可得是等腰直角三角形．分两种情况：当点在线段上时，过点作交的延长线于点，证明即可；当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点，证明即可；综合即可得线段，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：图1和图2中，，依据如下： 是等腰直角三角形， ，， ． 又，， ， ， ． 在和中， ． （2）证明：如图3，取边的中点，连接，则， ，， ，． 为边的中点， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． ，即， ， ． 又，即， ， ． 在和中， ， ． （3）解：，理由如下： 如图，连接，由题意得，， 则是等腰直角三角形． 当点在线段上时，如图①，过点作交的延长线于点， 类比（1）可知，， ，， 又， ， ， ， ； 当点在的延长线上时，如图②，过点作交的延长线于点， 类比（1）可知， ，， 又， ， ，即， ， 综上所述，当点为射线上一动点时，． 【变式题8-2】.（24-25八年级上·辽宁大连·期末）综合与探究 【教材呈现】用全等三角形研究“筝形”． 研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定方法． 在人教版八年级上册数学教材 的数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，． 我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 请结合教材内容，解决下面问题： (1)【性质探究】通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，对如图1的筝形的性质进行探究．在①；②；③垂直平分；④平分和；⑤中一定正确的有 ．（填序号）． (2)【性质应用】如图2，在筝形中，，点P是对角线上一点，过点 P分别作的垂线，垂足分别为点 M，N．求证：四边形 是筝形． (3)【拓展应用】如图3，在中，，点 D、E分别是线段 上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 【答案】(1)③④⑤ (2)见解析 (3)或 【分析】（1）由垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质及三角形的内角和逐一判断即可； （2）根据“筝形”的性质同（1）得∶得出，由角平分线的性质定理得出，再通过证明可得，再结合运用“筝形”即可证明结论； （3）分“筝形”两种情况，分别根据“筝形”的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵“筝形”， ∴①不一定成立；②不一定成立；故①②都是错误的； ∵， ∴垂直平分，故③是正确的； 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分和，即④正确； ∵， ∴，故⑤是正确的． 故答案为：③④⑤． （2）证明：在筝形中，， 同（1）得：， ∴， 依题意知：， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴四边形是筝形． （3）解：分两种情况∶ ①如图：当四边形是筝形且时， ∴； ②如图：当四边形是筝形时且时， 则， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了新定义、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识点，灵活运用相关知识以及掌握分类讨论是解题的关键． 【变式题8-3】.（22-23七年级下·江苏盐城·期末）【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明； 【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想【尝试探究】中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为），，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．    【答案】【尝试探究】，证明见解析；【模型建立】成立，证明见解析；【拓展应用】16 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是通过旋转构造全等三角形．本题主要考查半角模型，平时多归纳，多积累，可以帮助我们快速解题． [尝试探究]：把绕点顺时针旋转90°至，可使与重合，证明即可得出结论； [模型建立] 将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合，证明，即可得出结论； [拓展应用] 将绕点旋转，得到，证明，得到，再根据三角形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：[尝试探究]． 证明：如图，把绕点顺时针旋转至，可使与重合， ∵， ∴，点、、共线， ∴， 即． 在和中，， ∴， ∴， ∴； [模型建立] 成立，如图， 证明：将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合， 由旋转得：，，，， 同理得：点，，在同一条直线上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴【尝试探究】中的结论还成立，； [拓展应用]∵是边长为8的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， 将绕点旋转，得到， 则：和重合，，，， ∴， ∴三点共线， 同法，可得：， ∴， ∴的周长． 同步练习 1．（25-26七年级上·上海闵行·期末）材料一：整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． 材料二： 对于关于x的一元整式M，其奇数次项系数之和为m，偶数次项系数之和为n． 若，则当时，M的值为0；若，则当时，M的值为0． 例如，对于一元整式，由、得，所以把代入整式，得其值为0． 由此可以确定整式有因式，于是可设．分别确定p、q的值，再代入，就可以因式分解整式，这种因式分解的方法叫作“试根法”． 阅读上述两则材料，回答问题： (1)整式除以整式，商式是______，余式是______． (2)材料二中，______，______． (3)对于一元整式，必定有当______，其值为0． (4)根据材料一和材料二，因式分解______． 【答案】(1)；0 (2)； (3) (4) 【分析】本题考查了整式的除法，因式分解的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据长除法即可求解； （2）根据长除法确定整式除以整式的商式，即可确定p、q的值； （3）根据材料二的内容即可求解； （4）由（3）得，整式有因式，再利用长除法确定整式除以整式的商式，得到，再利用十字相乘法因式分解，即可得出答案． 【详解】（1）解：整式除以整式的长除法如下： 因此，商式是，余式是0． 故答案为：；0； （2）解：整式除以整式的长除法如下： 因此，商式是，余式是0． 则 所以，． 故答案为：；； （3）解：对于一元整式， 由、得， 所以把代入整式，得其值为0． 故答案为：； （4）解：由（3）得，整式有因式， 整式除以整式的长除法如下： 因此，商式是，余式是0． 则， 又因为， 所以 故答案为：． 2．（25-26八年级上·全国·期末）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】    （1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形______； 【理解与应用】 （2）填空：如图2，是的中线，若，，设，则x的取值范围是_________； （3）已知：如图3，是的中线，，点Q在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，构造全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定证明即可； （2）参照（1）的证明过程可添加辅助线，延长至点Q，使，连接，证明，得到，再根据三角形三边关系求解即可； （3）参照（1）的证明过程可添加辅助线，延长到点M，使，连接，证明，得到 ，，再证明，得到，即可证明结论． 【详解】解：（1）是的中线， ， ，， ， 故答案为：； （2）延长至点Q，使，连接， ， 是的中线， ， ， ， ， ， ， 解得． 故答案为：．    （3）证明：如图，延长到点M，使，连接， ，   是的中线， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）综合与实践 (1)问题提出： 如图1，点E为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：． (2)尝试应用： 如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N、M，与交于K，若，．求证：． (3)问题拓展： 如图3，P是内一点，，D在边上，连接，，过P作，垂足为E，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的相关计算，作辅助线构建全等三角形是解题的关键； （1）由证即可； （2）延长至G，使，连接，证，求得即可解答； （3）延长交于点F，连接，先证，再证即可解答． 【详解】（1）证明：∵是以、为腰的等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：延长至G，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长交于点F，连接， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵， 可证， ∴，， 4．（25-26八年级上·吉林长春·期末）在学习整式的乘法时，我们发现通过用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以写出一个恒等式． （1）如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），则用两种不同方法表示余下的部分的面积，可得到关于，的恒等式为__________； 应用：如图3，将个同心圆由小到大套在一起，并从外向里相间画阴影，若最外面的圆的半径为，向里依次为，，…，，求所有阴影部分的面积和．（结果保留） （2）如图4，将两个边长分别为，的正方形和两个长为宽为的长方形拼成正方形，则用两种不同方法表示正方形的面积，所得到的关于，的恒等式为___________________． 应用：如图5，点为线段上一点，点、点分别为和的中点，分别以点为圆心、为直径向上作半圆，其面积记为，以点为圆心、为直径向下作半圆，其面积记为，点为半圆上点正上方一点，分别连接，．若，，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】（1）；应用：（2）；应用： 【分析】本题考查面积法推导乘法公式，乘法公式的应用，圆的面积公式，通过“面积相等”建立代数恒等式是解题关键． （1）恒等式：用面积法表示剪后图形的两种面积，可得平方差公式；阴影面积：将阴影部分面积拆为平方差形式，然后逆用公式，简化为整数之和，求和即可； （2）恒等式：用面积法表示“拼成的大正方形”的两种面积，可得完全平方和公式；阴影面积：先设为，则，用半圆面积列方程，然后用完全平方变形求出，整体代入计算阴影面积即可． 【详解】（1）解：边长为的正方形减去边长为的正方形， 则剩余部分的面积为， 正方形剩余部分拼成长方形的面积为， 故； 应用：根据题意可知阴影部分的面积为 ， 故所有阴影部分的面积为． 答：；应用：． （2）解：据图可知，正方形的边长为，则面积为， 构成正方形的有两个正方形，面积分别为，；两个全等长方形，面积为， 根据两种方式表示的面积相等，可得； 应用：设，则， 则，， ， ， 化简得， 根据完全平方公式展开， 将代入，可得，即， 点为半圆上点正上方一点， ， ． 故阴影部分面积为． 答：；应用：． 5．（25-26八年级上·北京大兴·期末）对于平面直角坐标系中的点P，点Q和图形W，给出如下定义：点Q在x轴上，过点Q做垂直于x轴的直线l，图形W关于直线l的对称图形为，称图形为图形W关于点Q的衍生图形，若点P恰好在图形上，则称点P是图形W关于点Q的衍生点．已知点，点，点． (1)如图1，已知线段， ①当时，下列各点中，是线段关于点Q的衍生点的是 ； ②若点是线段关于点Q的衍生点，则 ； (2)已知点， ①如图2，若线段上恰好有关于点Q的两个衍生点，则m的取值范围是 ； ②如图3，点，正方形关于点Q的衍生图形为正方形，若正方形上存在正方形关于原点的衍生点，则m的取值范围是 ． 【答案】(1)①， ；②2 (2)①；② 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系、点的坐标的特征、关于轴对称的图形的性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握新定义的规定并灵活应用是解题的关键． （1）①依据新定义的规定画出线段关于点Q的衍生图形，结合图形解答即可；②利用衍生点的定义得到线段关于点Q的衍生图形，利用轴对称的性质解答即可． （2）①利用衍生图形和衍生点的定义确定m的临界值即可；②利用分类讨论的思想方法求得m的临界值即可得出结论． 【详解】（1）解：①当时，点Q为， ∴线段是线段关于点Q的衍生图形，如图， 由图形可知点在线段上， ∴是线段关于点Q的衍生点的是． 故答案为：，． ②∵点是线段关于点Q的衍生点， ∴以为端点的线段为线段关于点Q的衍生图形， ∵线段与线段关于直线对称， ∴． ∴． 故答案为：2． （2）解：①∵当或时，线段上恰好有关于点Q的一个衍生点， 当或时，线段上没有关于点Q的衍生点， ∴当时，线段上恰好有关于点Q的两个衍生点，如图： ∴若线段上恰好有关于点Q的两个衍生点，则m的取值范围是． 故答案为：； ②设正方形为正方形关于原点的衍生图形，如图， 当正方形关于点Q的衍生图形正方形的边与重合时，正方形关于原点的衍生点恰好在线段上， ∵， ∴， ∵， ∴A，关于直线对称， ∴此时． 当正方形关于点Q的衍生图形正方形的边与重合时，正方形关于原点的衍生点恰好在线段上， ∵， ∴， ∵， ∴D，关于直线对称， ∴此时． ∵正方形上存在正方形关于原点的衍生点， ∴m的取值范围是． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·北京·月考）用一些等长的磁力棒可以组成平面图形或立体图形（如图1）．例如，用3根磁力棒可以组成一个等边三角形，用6根磁力棒最多可以组成4个等边三角形． (1)用9根磁力棒最多可以组成___________个等边三角形，这个几何图形有___________个面； (2)从等边三角形开始，若每次都增加3根磁力棒，并且以一个已有等边三角形为基础，在立体图形的外部拼出3个新的等边三角形（原来的边和顶点不会被“包”进新图形内部），就可以形成一系列几何图形（如图2）．用表示最初的3根磁力棒组成的等边三角形，表示用这样方法构成的第个几何图形． ①在图形中，棱数___________，顶点数___________，面数___________（用含的式子表示）；②在①的条件下，写出，，之间的数量关系___________； (3)在（2）的条件下，当时，定义立体图形的“外角和”： 每个顶点处的“外角”经过该顶点的各个面在此处的内角之和． 立体图形的“外角和”=各顶点处的外角之和． 例如，图形有4个顶点，经过每个顶点都有三个等边三角形的面，故每个顶点处的“外角”为，图形的“外角和”为． 探究：当时，立体图形的“外角和”是否会随着发生变化？如果变化，用含的式子表示的外角和；如果不变，说明理由． 【答案】(1)6；6 (2) ①；； ② (3)不变，理由见解析 【分析】本题考查立体图形的顶点数、棱数与面数的关系，等边三角形的性质，图形类型找规律，正确理解题意并归纳出规律是解题关键． （1）9根磁力棒可以组成一个六面体，每个面都是等边三角形； （2）①先列出、、的棱数、顶点数和面数，归纳总结出规律，推广到一般情况； ②根据①的结论，表示出，，之间的数量关系； （3）设立体图形的一个顶点为，经过顶点的面数为，由于每个面都是等边三角形，则顶点处的外角为，的外角和为．因为每个面在计数时被计算3次，因此，代入求得的外角和为是一个定值． 【详解】（1）解：9根磁力棒可以组成一个每个面都是等边三角形的六面体，共6个等边三角形． 故答案为：6；6． （2）解：①根据题意，在图形中，有3条边，3个顶点，1个面； 在图形中，有6条棱，4个顶点，4个面； 在图形中，有9条棱，5个顶点，6个面； 归纳得，在图形中，棱数，顶点数，面数； ②∵，，， ∴． （3）解：不变，理由如下： 由（2）可知，立体图形有个顶点，个面， 设立体图形的一个顶点为（为正整数，且），经过顶点的面数为． ∵立体图形每个面都是等边三角形， ∴顶点处的外角为， ∴立体图形的“外角和”为： ， ， ∵立体图形每个面都是等边三角形， ∴每个面会被计算3次， ∴， ∴立体图形的“外角和”为：为定值， ∴立体图形的“外角和”不变． 7．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在综合实践课上，老师组织同学以的直角板为背景开展数学活动，下面是同学进行相关问题的研究． 问题背景：（1）如图1，在中，，，是的高，直接写出的值______； 探究证明：（2）如图2，在中，，，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接交于点E，过点D作垂直，垂足为点F，交于点K，求证：； 拓展应用：（3）如图3，在中，，，以为边向外作，，，连接交于点E，取中点F，连接，在上取一点G，连接交于点K，，，求的长． 【答案】（1）（2）见解析（3）2 【分析】（1）根据含有直角三角形的性质，设，则可求得，，据此即可得解； （2）过点D作的垂线，垂足为点H，可证明，则，可得，在上取一点G，使，连接和，证，可得，，从而可得，则，再证，可得，则，即可得证； （3）取中点M，连接和，作，，易证，得到，进一步可证，则，设，再证，即可进一步得到，作，，，连接，易证，则，即可得到答案． 【详解】解：（1），， ， ， ， 设，则，， ， ． 故答案为：． （2）如图，过点D作的垂线，垂足为点H， 在等腰直角三角形中，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在上取一点G，使，连接和， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，取中点M，连接和，过点M作于点T，于点R， 则在中，， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 平分， 即， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， 为中点， ， 过点B作的垂线交的延长线于点N，过点E作的垂线，垂足为点H，连接， 设，则， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即B为中点， ， ， 为中点， 在中，， ， 如图，分别过点G，F作于点S，于点P，于点Q，连接， ，F是中点， ， ，， 又， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题主要考查含有直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和及外角相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 8．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）在综合与探究活动课上，老师带领同学们以含30°角的直角三角形为基本图形，开展了一系列几何探究，发现了图形中隐藏的数量关系． 已知，在中，，． (1)探究一： 如图1，取的中点D，连接，在上截取，连接，求的度数； (2)探究二： 如图2，分别以，为边向外作等边和等边，连接交于点K，求证：； (3)深入探究： 如图3，垂直平分交于点P，若点Q在线段上运动（不与点A，P，C重合），以为一边，在上方作，交的延长线于点S，请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)．理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）证明是等边三角形，求出，，可得结论； （2）过点M作于F．利用全等三角形的性质和等边三角形的性质证明，，即可解决问题； （3）先根据题意画出图形，连接，在上截取，使得，连接，设交于点K．证明，可得结论． 【详解】（1）解：如图1中， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点M作于F． ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： 如图，连接，在上截取，使得，连接，设交于点K． ∵垂直平分线段， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $