专题05 期末复习之因式分解（考情分析+8大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学八年级上册期末易错点重难点培优专题复习

该初中数学因式分解专题复习讲义通过考情分析表格系统梳理8个核心考点，明确各考点的复习目标与考察形式，结合错题警示模块总结分解不彻底、公式混淆等易错点，构建“定义-方法-应用”的完整知识脉络，清晰呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础的提公因式法到培优的几何与数论应用，如“判断三角形形状”题型结合分组分解法培养推理意识，“密码生成情境题”发展应用意识。配套“一提二套三查”等解题口诀，帮助不同层次学生掌握方法，教师可据此实施精准复习教学。

专题05 因式分解 期末考点 复习目标 考察形式 1.因式分解的定义 1.区分因式分解与整式乘法； 2.判断变形是否为因式分解 基础题，选择/填空（1题），难度低 2.公因式确定 1.掌握公因式的系数、字母、指数确定方法 基础题，选择/填空（1题），难度低 3.提公因式法分解 1.熟练提取公因式，避免漏项 基础-中档题，选择/填空/解答（1-2题），难度低-中 4.公式法分解（平方差、完全平方） 1.识别公式适用特征； 2.准确应用公式（注意符号） 基础-提升题，选择/填空/解答（1-2题），难度中 5.十字相乘法分解 1.掌握二次项系数为1和不为1的十字相乘 提升题，选择/填空/解答（1题），难度中 6.分组分解法 1.合理分组，分组后提公因式或用公式 提升题，解答题（1题），难度中 7.已知因式求参数 1.利用因式分解与整式乘法互逆关系求解 提升题，选择/填空/解答（1题），难度中-高 8.因式分解的应用（求值、整除、几何等） 1.运用因式分解简化运算、建模解决问题 培优题，解答题（1-2题），难度高 【易错题型】 【题型1】因式分解易错辨析 1.易错点总结 分解不彻底：只提字母公因式，忽略系数最大公约数；分解后因式仍可再分（如只分解为）。 公式混淆：平方差公式与完全平方公式混用，错误判断中间项特征（如分解为）。 漏项/符号错误：提取公因式后，括号内漏掉系数为1或-1的项；括号前是负号时未变号（如）。 2.纠错技巧 坚持“一提二套三查”：先提尽公因式（系数+字母+指数），再套公式，最后检查每个因式是否能再分。 公式特征口诀：平方差“两项异号平方形”，完全平方“三项两平方，中间两倍积”，对比记忆。 还原验证：将分解结果乘开，与原式对比，排查漏项、符号错误。 【例题1】.（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，涉及完全平方公式、平方差公式等知识，综合应用提公因式法及公式法因式分解是解决问题的关键． （1）先提公因式，再由平方差公式因式分解即可得到答案； （2）先分组，再由完全平方和公式因式分解，最后由平方差公式因式分解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·安徽合肥·月考）因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是： （1）先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式题1-2】.（25-26八年级上·江苏泰州·月考）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是： （1）先提取公因式，然后化简括号内，最后再提取公因数2即可； （2）先提取公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·湖北武汉·月考）分解因式： (1)； (2)； (3)． (4)利用分解因式计算： 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】本题考查了因式分解． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解； （2）先提取负号，再利用完全平方公式分解； （3）提取公因式即可； （4）根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【基础题型】 【题型2】因式分解在有理数简算中的应用 1.期末考点总结 核心考点：利用平方差公式、提公因式法简化有理数混合运算，降低计算难度，体现运算素养。 2.解题技巧 平方差简算：对型算式，转化为（如）； 提公因式简算：提取公共因数，合并同类项（如）。 【例题2】.（25-26七年级上·上海·课后作业）简便计算： 【答案】16 【分析】本题考查了平方差公式，先把原式整理得，再运用平方差公式进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用提公因式进行因式分解，有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． （1）先利用提公因式进行因式分解，再进行有理数的混合运算即可； （2）先利用提公因式进行因式分解，再进行有理数的混合运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）应用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，提公因式的应用，准确计算为解题关键． （1）通过提取公因式简化计算； （2）先对前两项提取公因式，再对结果提取公因式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·河南南阳·月考）到目前为止，我们学过的乘法公式有：，它们的灵活运用为我们的计算带来了方便．请你结合所学知识，选取合适的公式简便计算：． 【答案】 【分析】主要考查利用平方差公式简便运算，构造成平方差公式结构形式是解题的关键． 由平方差公式得，计算即可求解. 【详解】解： . 【提升题型】 【题型3】因式分解的应用——代数式求值 1.期末考点总结 核心考点：利用因式分解化简代数式，凑出已知整体，简化代入计算。 2.解题技巧 先分解再代入：对已知条件或所求代数式因式分解（如已知，，求）； 公式变形：灵活运用平方差、完全平方公式变形求值。 【例题3】.（25-26八年级上·河南周口·月考）已知，，则 的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键． 利用平方差公式将代数式变形，再代入已知数值计算 【详解】解：∵，， ∴． 故选D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·山东泰安·期中）若，，则的值为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的应用，先将多项式进行因式分解，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选A． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·广东湛江·月考）已知，，，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式因式分解．先求出的值，再利用恒等式 进行计算． 【详解】解：已知， 则， ， ， 根据恒等式，将上述值代入可得： ． 故答案为：． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·江苏泰州·月考）已知一个长方形的长为，宽为，其周长为10，面积为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值、因式分解的应用等知识点，掌握整体代入思想是解题的关键． 由长方形的周长和面积公式得出、，再对因式分解得到，然后将、整体代入求值即可． 【详解】解：根据题意，长方形的周长为10，面积为， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型4】因式分解判断三角形形状 1.期末考点总结 核心考点：结合三角形三边关系，通过因式分解化简含边长的等式，判断三角形为等腰、等边或直角三角形，体现跨学科融合。 2.解题技巧 化简等式：将已知等式移项、因式分解，转化为因式乘积为0的形式（如分解为）； 结合性质判断：利用“三角形边长为正”，排除不可能因式，得出边长关系（如则，为等腰三角形）。 【例题4】.（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）已知分别是的三边长，且满足，判断的形状是 【答案】等边三角形 【分析】本题主要查考因式分解的应用．先根据完全平方公式进行变形，再求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴且， ∴， ∴为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【变式题4-1】.（2025八年级上·全国·专题练习）已知的三边长分别是，，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，将题目中的式子变形，然后利用完全平方公式和非负数的性质，可以求得a、b、c的关系，从而可以判断的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 故选：B． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·广东江门·月考）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：______． (2)分解因式：； (3)已知，，分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)为等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分组分解法是解题的关键： （1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）将等式左边进行因式分解，转化为两个因式的积的形式，再进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3）为等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ∵，，是三边的边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：． (2)已知、、分别是三边的边长且满足，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，因式分解，用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，平方差公式及完全平方公式，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是解题关键． （1）认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解； （2）等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于0的形式，利用非负数的性质求出a、b、c的关系即可． 【详解】（1） （2）等边三角形，理由如下： ， ， ， 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立， ， ． 的形状是等边三角形． 【题型5】换元法因式分解 1.期末考点总结 核心考点：将重复出现的复杂部分设为换元量，转化为简单多项式分解，体现整体思想。 2.解题技巧 换元选择：选重复出现的部分（如，设）； 代回还原：分解后将换元量代回，确保分解彻底（如上例得）。 【例题5】.（24-25八年级上·山东德州·期末）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：______； A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解-换元法，公式法，理解阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）最后再利用平方差公式将结果分解到不能分解为止； （3）仿照材料中求解方法，用换元法进行分解因式． 【详解】（1）解：由可知，小涵运用了完全平方公式法进行因式分解， 故选：C； （2）解：由得该因式分解的最后结果为， 故答案为：； （3）解：依题意，设， ． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的__________； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】（1）根据利用完全平方公式分解因式即可得； （2）括号里面可以再次用完全平方公式进行因式分解； （3）设，利用换元法和完全平方公式分解因式即可得． 【详解】（1）解：， 则第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法， 故选：C． （2）解：原式 ， 故答案为：； （3）设 ． 【点睛】本题考查了因式分解——换元法和完全平方公式法，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·福建泉州·期中）阅读材料，完成以下任务． 【主题】换元法在因式分解中的应用探究． 【知识链接】在因式分解中，把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 【分析探究】下面是小华同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式 ． 【推广延伸】请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 【拓展迁移】由平方的非负性可知有最小值，请求出最小值． 任务： (1)小林认为小华因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______． (2)请你解答推广延伸的问题． (3)请你解答拓展迁移的问题． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解及其应用； （1）将继续用完全平方公式进行分解，即可求解； （2）设，由（1）同理进行因式分解，即可求解； （3）设，进行配方，由平方的非负性，即可求解； 掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：不彻底， 设． 原式 ； 故答案为：； （2）解：设， 原式 ； （3）解：设， 原式 ， 最小值为． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·湖南永州·月考）阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且则可以把因式分解成，这种方法称为“十字相乘法”． 如：（1）； （2）． 材料2：因式分解：． 解：将“看成一个整体，令，则原式，再将“”还原得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ①________                          ②________ (2)结合材料1和材料2，对下面小题进行因式分解： ①；               ②． 【答案】(1)①，② (2)①，② 【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式、换元法分解因式，阅读材料中提供的解题思路，仿照材料中提供的思路分解因式是解题的关键． （1）①设实数m，n，根据题意列方程，即可求解；②先提取2，设实数m，n，根据题意列方程，即可求解． （2）①令，再用十字相乘法因式分解，再将A代入即可求解；②令，再用十字相乘法因式分解，再将B代入，再用十字相乘法对因式进行一次因式分解，即可求解． 【详解】（1）①设存在实数m，n，使得，解得， 则； ②， 设存在实数m，n，使得，解得， 则． （2）①令， 故， 将代入得． ②， 令， 则， 将代入，得． 【培优题型】 【题型6】因式分解的应用——整除与数论问题 1.期末考点总结 核心考点：将代数式分解为整数乘积形式，证明其能被某个数整除，体现跨学科融合。 2.解题技巧 分解目标：含除数的因式（如证明能被6整除，分解为，含2和3的倍数）； 利用整数性质：连续整数互质、偶数含因数2等辅助证明。 【例题6】.（25-26八年级上·湖南益阳·期中）对于任意整数n，多项式都能被（   ）整除 A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被9整除 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，平方差公式分解因式，数的整除，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用平方差公式分解因式，化简后即可判断． 【详解】解：=， ，， ∴原式． ∵为整数， ∴为整数， ∴原式能被9整除． 故选：D． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·福建福州·期中）已知，，为正整数． (1)求的值． (2)利用因式分解说明：能被14整除． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查同底数幂的除法，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据，，可以得到，然后计算，再将整体代入计算即可； （2）将、的值代入，提公因式后进行计算，观察结果，即可说明结论成立． 【详解】（1）解：∵，，为正整数， ， ； （2）解： ， 为正整数， 一定能被整除， 能被整除． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·山西晋城·月考）阅读与思考 阅读下面的材料，并解决问题． 借助因式分解解决整除问题 一般地，如果一个正整数，其中b能被d整除，c能被e整除，那么a就能被整除．例如：，其中6能被2整除，2能被2整除，所以12一定能被整除，即12一定能被4整除． 受此启发，小张认为，若n为正整数，那么一定能被24整除．他的证明过程如下： 证明：． ∵n为正整数，∴一定能被3整除． ∵8能被8整除，∴一定能被整除，即一定能被24整除． 问题解决 (1)若n为正整数，下列各数，一定能整除的是______． A． 8    B． 10    C． 14    D． 17 (2)应用：已知n是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知n是正整数，能被36整除，请直接写出n的最小值． 【答案】(1)C (2)见解析 (3)2 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据即可得到答案； （2）根据 ，其中一定是大于或等于2的正偶数，即可证明结论； （3）分别代入和即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，且n为正整数， ∴一定能整除的是14， 故选：C （2） ∵n是正整数， ∴必为偶数，即能被2整除， ∴一定能被24整除． （3）由（2）可知， 当时，，不能被36整除， 当时，，能被36整除， ∴n的最小值为2． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·福建泉州·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”． (1)在正整数①46、②40、③68中，是“双奇差数”的是______．（填序号） (2)根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中k为正整数． ①求证：“双奇差数”都能被8整除． ②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，请给出验证． (3)若m、n为正整数，且，若是“双奇差数”，求的最小值． 【答案】(1)② (2)①证明见解析；②验证见解析 (3)7 【分析】本题考查了平方差公式的应用、完全平方公式，理解新定义，熟练掌握乘法公式是解此题的关键． （1）根据“双奇差数”的定义判断即可得解； （2）①利用完全平方公式计算整理原式即可得解； ②设四个连续奇数为、、、，作差即可得解； （3）将已知式子变形为，结合“双奇差数”的定义求解即可． 【详解】（1）解：①46不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意； ②，能表示为两个连续奇数的平方差，故符合题意； ③68不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意； 故答案为：②； （2）解：①， 因为k为正整数，所以能被8整除， 因此：“双奇差数”都能被8整除． ②设四个连续奇数为、、、， ， ， ， ，， 所以任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数． （3）解：因为m、n为正整数，且， ， 因为是“双奇差数”， 所以，其中k为正整数，所以， 因为，即，所以当最小时，有最小值， 所以当最小时，有最小值， 当时，，不是完全平方数； 当时，，不是完全平方数； 当时，，由得，， ∴的最小值为7． 【题型7】因式分解的应用——几何与情境化问题 1.期末考点总结 核心考点：结合几何图形（面积、周长）、实际情境（密码生成、拼图）建立代数式，因式分解求解。 2.解题技巧 几何建模：根据面积关系列代数式（如长方形面积=长×宽，因式分解求边长）； 情境转化：如密码生成——，代入，得密码101307。 【例题7】.（25-26八年级上·湖北黄冈·月考）“数形结合”是数学学习中的一种重要数学思想，在整式乘法中，我们常用图形面积来解释一些公式．现有若干张如图（1）的三种纸片，A是边长为的正方形，是边长为的正方形，是长为，宽为的长方形．如图（2），通过教材学习，观察正方形面积，可得到完全平方公式． (1)如图（3），通过观察大长方形的面积，可以得到一个乘法算式：__________； (2)若要无缝无重叠拼出一个长为，宽为的长方形，设需要A型纸片张，B型纸片张，C型纸片张，直接写出的值为__________； (3)图（4）是由图（1）中的两张A型纸片和两张B型纸片拼成的一个正方形，其中两张型纸片有重叠（图中阴影部分），求图中阴影部分的面积（用含a，b的式子表示）； (4)若图（2）也是由图（1）中的三种纸片拼成的，且图（2）中的阴影部分面积为73，图（4）中的阴影部分面积为25，求图（3）中整个长方形的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，多项式乘以多项式与几何图形面积，正确理解题意，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据大长方形的面积等于两个边长为的正方形面积加上一个边长为的正方形面积，再加上三个长为，宽为的长方形面积建立一个乘法算式； （2）计算，即可得出的值，再代入求解即可； （3）根据阴影部分的面积等于两张型纸片和两张型纸片的面积之和减去大正方形的面积，求解即可； （4）由题意得：，，则，（舍负），即可求解，而，得到（舍负），再联立①②求出，即可代入求解． 【详解】（1）解：由图形可得，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴需要A型纸片张，B型纸片2张，C型纸片7张， 即：， ∴， 故答案为：； （3）解： ， ； （4）解：由题意得：，， ∴，（舍负） ∴， ∴， ∴（舍负）， 联立①②得，， 解得 ∴； 【变式题7-1】.（25-26八年级上·四川眉山·期中）请阅读以下材料，并解决问题： 配方法是一种重要的数学方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数恒等变形中，并结合非负数的性质来解决一些问题．例如对于式子可以变形如下： 解：原式，此种变形抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，这种变形方法就是配方法．我们还可以进一步求的最小值，，的最小值是． (1)将配方成（，为常数）的形式； (2)利用配方法求代数式的最大值； (3)已知等腰的两边长分别为a，b，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)23 (3)10或11 【分析】本题考查了因式分解的应用—配方法，正确理解题意、掌握求解的方法是解题关键． （1）根据题干中配方法的步骤解答即可； （2）将原式变形为，进而可得答案； （3）先将原式变形为，进而根据非负数的性质求出a、b，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ， ∵， ∴， ∴的最大值是23； （3）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵等腰的两边长分别为a，b， ∴当腰时，底，三边为3，3，4，满足，能构成三角形， 此时的周长； 当腰时，底，三边为4，4，3，满足，能构成三角形， 此时的周长． 综上所述，的周长为10或11． 【变式题7-2】.（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）阅读下面材料，并解决问题： 巧设密码在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码．有一种利用因式分解产生的密码，它更加方便记忆，其方法如下：对于多项式，分解因式的结果是． 当，时，，，，将162，18，0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． 问题解决： (1)按照上述方法，小军将多项式“”分解因式后利用x的数值设置密码，当时，求所生成的密码； (2)根据上述方法，若将多项式分解因式，则当，时，生成的密码是多少？ 【答案】(1)101119 (2)282114 【分析】（1）先将多项式“”分解因式后，计算时，各个因式的值，排序后即为所求生成的密码； （2）先把多项式分解因式，后求值，排序后确定密码． 本题考查了因式分解，求代数式的值，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【详解】（1）解：， 当时，，，， 生成的密码是：101119． （2）解： ， 当，时，，， 生成的密码是282114． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·山东青岛·期中）【问题情境】 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法．用不同方式表示几何图形的面积可以得到一些等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． 【类比探究】 探究一、如图2，借助边长为的正方形探索平方差公式： （1）从一个边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的正方形，剩下的部分（阴影部分）的面积为； （2）若将阴影部分沿虚线剪开，分成①，②两个长方形，则长方形①的面积，长方形②的面积； （3）由，可以得到等式，将其右边提公因式，得用来分解因式的平方差公式：． 探究二：如图3，类比探究一，借助一个棱长为的大正方体完成以下探究： （1）在棱长为的大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，剩下的几何体的体积___________； （2）将剩下的几何体分割成①，②，③三个长方体，则长方体①的体积；长方体②的体积___________；长方体③的体积___________； （3）由可以得到将一个多项式进行因式分解的等式为___________． 【拓展应用】 利用上面的结论，解决问题： 已知，求的值． 【答案】探究二：（1）；（2）；；（3）；【拓展应用】252 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积、利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键． （1）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积即可得出答案； （2）根据长方体的体积公式即可得； （3）根据（1）和（2）的结论，再将等号右边利用提取公因式分解因式即可得出答案； （4）先利用完全平方公式求出，再根据（3）的结论即可得． 【详解】探究二：（1）； （2）；；     （3） 故答案为：（1）；（2）；；（3）； 【拓展应用】∵，，， ∴， ∴．     ， ． 【题型8】新运算背景下的因式分解 1.期末考点总结 核心考点：理解新定义（如“对称数”“智慧优数”），利用因式分解满足定义；探究分解规律，体现素养导向。 2.解题技巧 定义转化：将新定义转化为因式分解形式（如“对称数”，分解）； 规律探究：通过特例分解，总结通用规律（如探究的分解规律）。 【例题8】.（2025·河南信阳·三模）一个三位数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 【观察】， ， ． 【猜想】 （1）将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被________整除． 【验证】 （2）请你写出一个“对称数”（除101，232，555以外），并通过计算验证猜想． （3）设一个对称数的百位数字与个位数字均为，十位数字为，请你通过推理说明猜想是正确的． 【答案】（1）9；（2）见解析；（答案不唯一）（3）见解析 【分析】本题考查尾数的特征，用代数式表示“对称数”减去各位数字之和的结果是正确解答的关键． （1）任意取一个“对称数”，按照题意求出这个“对称数”减去各位数字之和，再将结果化为含有因数9的代数式即可； （2）根据题意写出一个“对称数”进行验证即可； （3）用含有x、y的代数式表示这个“对称数”减去各位数字之和，再将结果写成含有因数9的代数式即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除； （2）例如：“对称数”为313， ∵， ∴“对称数”313减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除； （3）一个对称数的百位数字与个位数字均为x，十位数字为y，则这个对称数”为， 这个对称数减去其各位数字之和，所得的结果为： ， ∴一个对称数的百位数字与个位数字均为x，十位数字为y，这个“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·北京·期中）若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”． (1)判断45是否为“智慧数”．是的话在横线上把45写成的形式，不是的话直接写“否”． (2)已知（是整数，是常数），要使为“智慧数”，直接写出一个符合条件的值． (3)如果数m，n都是“智慧数”，判断是否为“智慧数”，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是“智慧数”，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． （1）利用即可判断； （2）由得，则使为一个完全平方数即可； （3）设，，则，然后进行整理，从而可判断． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴45是“智慧数”； （2）解：∵， ∴， ， 则当为完全平方数时，为“智慧数”，如当时，解得：． （3）解：设，， 则有 ． 故是一个“智慧数”． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）新定义：若两个不相等的正整数a和b（）满足它们的平方差等于这两个数和的平方除以k（k为非零常数），则称数对关于k构成一个“智谋数对”，记作，用式子表示为：． 例如：数对关于3构成一个“智谋数对” ∵， ∴ ∴成立 (1)下列数对是关于3构成“智谋数对”的是______． ①    ②    ③ (2)假设a和b（）是关于k的“智谋数对” ①用含a，b的代数式表示k； ②当时，求出智谋数对中a与b的数量关系，并写出满足条件的两个智谋数对． 【答案】(1)①③ (2)①；②，和 【分析】该题考查了智谋数对”的定义，因式分解的应用等知识点． （1）根据“智谋数对”的定义分别判断即可． （2）①根据题意可得，左边先因式分解，再化简即可；②当时，则，同①化简整理得，再根据题意代值即可解答． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴关于3构成“智谋数对”； ②∵，， ∴， ∴关于3不构成“智谋数对”； ③∵，， ∴， ∴关于3构成“智谋数对”； 故答案为：①③； （2）解：①根据题意可得， 则， ∴， ∴； ②当时，则，即， 整理得， 则， ∵a和b是两个不相等的正整数，， 取，则，满足条件，“智谋数对”是； 取，则，满足条件，“智谋数对”是； 综上，满足条件的两个“智谋数对”可以是和． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·上海·期中）课本上在面对整式除法的时候告诉了我们长除法的方法，根据因式分解的定义我们可以发现，如果我们知道一个整式其中的一个因式，那么通过长除法得到的余式一定是0，商式则是这个整式的另一个因式，所以现在我们也可以利用长除法帮助我们一起分解因式．下面请先阅读课本上的材料并解决下列问题． 整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． (1)小明在对进行因式分解后检查答案，答案中有一个因式中的符号被墨水遮挡看不清了，请使用长除法来帮助小明判断这个因式是什么？ (2)已知整式有一个因式是，请试着运用长除法将整式进行因式分解． (3)①已知有一个因式是，请问★处的数字应该是几？ (4)②已知整式有一个因式是，求，，之间存在的关系． 【答案】(1)，长除法见解析 (2)，见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了多项式除以多项式，掌握多项式的乘法是解题的关键． （1）分别根据例题列竖式进行多项式的除法计算，看余式是否为0即可； （2）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可； （3）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，余式为0，即可求得★的值； （4）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，余式为0，即可求得答案． 【详解】（1）解：若因式为，那么用长除法操作如下： 若因式为，用长除法操作如下： 故该因式为； （2）解：用长除法操作如下： 故； （3）解：用长除法操作如下： 那么， ∴为； （4）解： 用长除法操作如下： 那么， ∴． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 分解因式：． 解： * ☆ 其中运用到的方法是△和□． 下列回答错误的是（   ） A．*代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键；首先利用提取公因式法进行因式分解，然后再用平方差公式法因式分解，即可解答． 【详解】解： ∴*代表，故A正确；☆代表 ，故B正确； 所用方法为提公因式法和平方差公式法， 故△可能代表提公因式法，选项C正确； □可能代表平方差公式法，而非完全平方公式法，选项D错误， 故选：D 2．（25-26八年级上·山东淄博·期中）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公因式的定义，公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的．熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 系数 6、、的最大公因数为 3， 字母 a 的指数最小值为 2， 字母 b 的指数最小值为 2， ∴ 公因式为 ． 故选：C． 3．（25-26八年级上·山东东营·月考）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，分别对应下列六个字：爱，我，利，津，学，校．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．利津爱学 B．我爱利津 C．利津学校 D．我爱学校 【答案】B 【分析】本题考查因式分解：先提取公因式，再利用平方差公式分解因式，得到因子对应的汉字，组合后匹配选项． 【详解】解：∵， ∴分解后的因子为8，，，， 对应汉字为：利、津、爱、我， 组合后为“我爱利津”， 故选：B． 4．（25-26八年级上·山东威海·期中）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，将多项式转化为几个整式的积的形式叫做因式分解，据此可得答案． 【详解】解：A选项从左到右是整式乘法，不是因式分解； C选项从左到右是整式乘法，不是因式分解； D选项右边不是积的形式，含有加号，不是因式分解； B选项左边是多项式，右边是，且，属于因式分解． 故选B． 5．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）关于x的二次三项式（m，n是常数），下列结论错误的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若是一个完全平方式，则 D．若，则二次三项式一定含有因式 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式以及多项式乘以多项式，因式分解，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则以及乘法公式是解题的关键． 利用因式分解和完全平方公式逐项进行判断即可． 【详解】解：A 、当且二次三项式为完全平方式时，m可能为6或，但选项仅给出，故此选项错误，符合题意； B、，展开得 ，，，故此选项正确，不符合题意； C、是完全平方式，，，故此选项正确，不符合题意； D、， ，，故此选项正确，不符合题意； 故选：A． 二、填空题 6．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 多项式能用完全平方公式分解，设多项式可分解为，则，那么，解得，然后分两种情况，求出的值即可． 【详解】解：设多项式可分解为， 那么， 则，解得， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； 故答案为：． 7．（25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以因式分解为，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是多项式因式分解与整式乘法的互逆关系，解题关键是利用整式乘法展开因式分解式，再通过对应项系数相等列方程求解． 通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解即可． 【详解】展开 ，与原式 比较系数， 得 ，解得 ． 故答案为 4 8．（25-26八年级上·全国·期末）教材有这样一段话：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数(如图) 这样，我们也可以得到 利用上述方法，分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查利用十字相乘法求解一元二次方程，判断是否可以利用十字相乘法是解题的关键． 首先观察这个式子的二次项系数，常数项和一次项系数，利用十字相乘法运算得到即可． 【详解】解：∵这个式子的二次项系数，常数项，一次项系数， ∴， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·山东德州·月考）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是关键．先提公因式，然后根据平方差公式因式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·湖南永州·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，15是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第100个智慧优数是 ． 【答案】609 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，根据定义，智慧优数可表示为 ，进而可求出第100个智慧优数． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 即智慧优数为 ，， ∴第100个智慧优数为 ． 故答案为：609． 三、解答题 11．（25-26八年级上·广东湛江·月考）分解因式或计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法，平方差公式因式分解，完全平方公式； （1）先提公因式，再根据平方差公式因式分解即可求解； （2）根据完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ． 12．（25-26八年级上·山东德州·月考）（1）因式分解：①；② （2）计算：①； ② 【答案】（1）① ；② （2）① ；② 【分析】本题考查了因式分解的基本方法以及实数运算中的特殊幂运算、绝对值、多项式除法等综合运算能力．在处理多项式除法时要注意逐项运算，并注意符号变化，特别是在整体减去一个表达式时，括号内每一项都要变号．同时因式分解应分解到最简形式． （1）①先提取公因式，然后再利用平方差公式因式分解即可；②先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）①先计算零次幂，负整数次幂，立方，绝对值，然后再进行加减运算即可；②先利用平方差公式和整式的除法进行化简，最后合并同类项即可． 【详解】（1）①解：原式 ②原式 （2）①原式 ②原式=． 13．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图在边长为的正方形空地的四个角上均留出一块边长为的正方形用来建水池，其余地方全部用来种植花卉．当时，求种植花卉区域的面积． 【答案】8040 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，运用平方差公式进行运算，掌握知识点是解题的关键． 由正方形面积减去四个小正方形面积求出剩余的面积，将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】解：由题意及图，得 种植花卉区域的面积为， 当时， ． 答：种植花卉区域的面积为. 14．（25-26八年级上·四川广安·期中）多项式及通过因式分解写成和的形式之后，可以解决较复杂多项式的因式分解及一些实际问题．我们把多项式和称为完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如：分解因式； 原式 ； (1)用配方法将分解因式； (2)用配方法将分解因式； (3)已知分别为等腰三角形的腰和底，且满足，求该等腰三角形的周长． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解，解答的关键是正确理解题意． （1）根据配方法分解因式的方法进行求解即可； （2）根据配方法分解因式的方法进行求解即可； （3）利用配方法分解因式的方法可得，再根据偶次方的非负性求解即可得． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， ，， ，， ，， 则三边为2，2，1，满足，可构成三角形， 此时等腰三角形的周长为． 15．（25-26八年级上·山东泰安·期中）阅读理解——智慧数． 定义：如果一个正整数能表示成两个正整数，的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如：，∴16就是一个“智慧数”，我们可以利用 进行研究． (1)试写出不大于的3个智慧数； (2)请判断，是否为“智慧数”，若是“智慧数”，请将，按“”照样写出：若不是“智慧数”，则不需写： (3)现给出下列结论： ①被4除余2的正整数都不是“智慧数”； ②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”； ③所有的正奇数都是“智慧数”． 以上3个结论中，正确的结论是__________．（填序号即可） 【答案】(1)不大于的智慧数有：3，5，7（答案不唯一） (2)24为“智慧数”，；不是“智慧数” (3)①② 【分析】（1）根据智慧数的定义求解； （2）根据智慧数的定义求解； （3）假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数，从而可得（为整数），再根据两数乘积是偶数，得出、均是偶数，于是有就能被4整除，得出矛盾，从而可得被4除余2的正整数都不是“智慧数”，由此可判断； ②设能被4整除的正整数为（为正整数且），根据， 不妨令，从而可得，于是可得，，从而说明除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，由此可判断． ③设k为正整数，根据，可得出除1外，所有的奇数都是智慧数，由此可判断． 【详解】（1）解：∵， ∴3是智慧数， ∵， ∴5是智慧数， ∵， ∴7是智慧数， ∴不大于的智慧数有：3，5，7（答案不唯一）； （2）不是“智慧数”， 是“智慧数”， 或； （3）假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数， 即（为整数）， 又， 即两数乘积是偶数， 由此知道、均是偶数， 那么就能被4整除， 这与被4除余2相矛盾， 因此，被4除余2的正整数都不是“智慧数”， 故正确； 若，则， ∵、为正整数，和同为正偶数， ∴只能且，解得，不符合为正整数的要求； 设能被4整除的正整数为（为正整数且）， 由于， 不妨令， 从而有， ∴． 解得，∴， 又∵为正整数且， ∴、为正整数， 因此，除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， 故②正确． 设k为正整数， ， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数， 故③错误， 综上所述，正确的结论是①②． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了运用平方差公式进行运算，平方差公式分解因式，因式分解的应用，构造二元一次方程组求解等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 因式分解 期末考点 复习目标 考察形式 1.因式分解的定义 1.区分因式分解与整式乘法； 2.判断变形是否为因式分解 基础题，选择/填空（1题），难度低 2.公因式确定 1.掌握公因式的系数、字母、指数确定方法 基础题，选择/填空（1题），难度低 3.提公因式法分解 1.熟练提取公因式，避免漏项 基础-中档题，选择/填空/解答（1-2题），难度低-中 4.公式法分解（平方差、完全平方） 1.识别公式适用特征； 2.准确应用公式（注意符号） 基础-提升题，选择/填空/解答（1-2题），难度中 5.十字相乘法分解 1.掌握二次项系数为1和不为1的十字相乘 提升题，选择/填空/解答（1题），难度中 6.分组分解法 1.合理分组，分组后提公因式或用公式 提升题，解答题（1题），难度中 7.已知因式求参数 1.利用因式分解与整式乘法互逆关系求解 提升题，选择/填空/解答（1题），难度中-高 8.因式分解的应用（求值、整除、几何等） 1.运用因式分解简化运算、建模解决问题 培优题，解答题（1-2题），难度高 【易错题型】 【题型1】因式分解易错辨析 1.易错点总结 分解不彻底：只提字母公因式，忽略系数最大公约数；分解后因式仍可再分（如只分解为）。 公式混淆：平方差公式与完全平方公式混用，错误判断中间项特征（如分解为）。 漏项/符号错误：提取公因式后，括号内漏掉系数为1或-1的项；括号前是负号时未变号（如）。 2.纠错技巧 坚持“一提二套三查”：先提尽公因式（系数+字母+指数），再套公式，最后检查每个因式是否能再分。 公式特征口诀：平方差“两项异号平方形”，完全平方“三项两平方，中间两倍积”，对比记忆。 还原验证：将分解结果乘开，与原式对比，排查漏项、符号错误。 【例题1】.（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）因式分解： (1)； (2)． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·安徽合肥·月考）因式分解： (1)． (2)． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·江苏泰州·月考）因式分解： (1)； (2)． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·湖北武汉·月考）分解因式： (1)； (2)； (3)． (4)利用分解因式计算： 【基础题型】 【题型2】因式分解在有理数简算中的应用 1.期末考点总结 核心考点：利用平方差公式、提公因式法简化有理数混合运算，降低计算难度，体现运算素养。 2.解题技巧 平方差简算：对型算式，转化为（如）； 提公因式简算：提取公共因数，合并同类项（如）。 【例题2】.（25-26七年级上·上海·课后作业）简便计算： 【变式题2-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）应用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·河南南阳·月考）到目前为止，我们学过的乘法公式有：，它们的灵活运用为我们的计算带来了方便．请你结合所学知识，选取合适的公式简便计算：． 【提升题型】 【题型3】因式分解的应用——代数式求值 1.期末考点总结 核心考点：利用因式分解化简代数式，凑出已知整体，简化代入计算。 2.解题技巧 先分解再代入：对已知条件或所求代数式因式分解（如已知，，求）； 公式变形：灵活运用平方差、完全平方公式变形求值。 【例题3】.（25-26八年级上·河南周口·月考）已知，，则 的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式题3-1】.（25-26八年级上·山东泰安·期中）若，，则的值为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【变式题3-2】.（25-26八年级上·广东湛江·月考）已知，，，则代数式的值为 ． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·江苏泰州·月考）已知一个长方形的长为，宽为，其周长为10，面积为，则的值是 ． 【题型4】因式分解判断三角形形状 1.期末考点总结 核心考点：结合三角形三边关系，通过因式分解化简含边长的等式，判断三角形为等腰、等边或直角三角形，体现跨学科融合。 2.解题技巧 化简等式：将已知等式移项、因式分解，转化为因式乘积为0的形式（如分解为）； 结合性质判断：利用“三角形边长为正”，排除不可能因式，得出边长关系（如则，为等腰三角形）。 【例题4】.（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）已知分别是的三边长，且满足，判断的形状是 【变式题4-1】.（2025八年级上·全国·专题练习）已知的三边长分别是，，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【变式题4-2】.（25-26八年级上·广东江门·月考）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：______． (2)分解因式：； (3)已知，，分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：． (2)已知、、分别是三边的边长且满足，请判断的形状，并说明理由． 【题型5】换元法因式分解 1.期末考点总结 核心考点：将重复出现的复杂部分设为换元量，转化为简单多项式分解，体现整体思想。 2.解题技巧 换元选择：选重复出现的部分（如，设）； 代回还原：分解后将换元量代回，确保分解彻底（如上例得）。 【例题5】.（24-25八年级上·山东德州·期末）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：______； A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的__________； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·福建泉州·期中）阅读材料，完成以下任务． 【主题】换元法在因式分解中的应用探究． 【知识链接】在因式分解中，把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 【分析探究】下面是小华同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式 ． 【推广延伸】请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 【拓展迁移】由平方的非负性可知有最小值，请求出最小值． 任务： (1)小林认为小华因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______． (2)请你解答推广延伸的问题． (3)请你解答拓展迁移的问题． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·湖南永州·月考）阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且则可以把因式分解成，这种方法称为“十字相乘法”． 如：（1）； （2）． 材料2：因式分解：． 解：将“看成一个整体，令，则原式，再将“”还原得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ①________                          ②________ (2)结合材料1和材料2，对下面小题进行因式分解： ①；               ②． 【培优题型】 【题型6】因式分解的应用——整除与数论问题 1.期末考点总结 核心考点：将代数式分解为整数乘积形式，证明其能被某个数整除，体现跨学科融合。 2.解题技巧 分解目标：含除数的因式（如证明能被6整除，分解为，含2和3的倍数）； 利用整数性质：连续整数互质、偶数含因数2等辅助证明。 【例题6】.（25-26八年级上·湖南益阳·期中）对于任意整数n，多项式都能被（   ）整除 A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被9整除 【变式题6-1】.（25-26八年级上·福建福州·期中）已知，，为正整数． (1)求的值． (2)利用因式分解说明：能被14整除． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·山西晋城·月考）阅读与思考 阅读下面的材料，并解决问题． 借助因式分解解决整除问题 一般地，如果一个正整数，其中b能被d整除，c能被e整除，那么a就能被整除．例如：，其中6能被2整除，2能被2整除，所以12一定能被整除，即12一定能被4整除． 受此启发，小张认为，若n为正整数，那么一定能被24整除．他的证明过程如下： 证明：． ∵n为正整数，∴一定能被3整除． ∵8能被8整除，∴一定能被整除，即一定能被24整除． 问题解决 (1)若n为正整数，下列各数，一定能整除的是______． A． 8    B． 10    C． 14    D． 17 (2)应用：已知n是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知n是正整数，能被36整除，请直接写出n的最小值． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·福建泉州·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”． (1)在正整数①46、②40、③68中，是“双奇差数”的是______．（填序号） (2)根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中k为正整数． ①求证：“双奇差数”都能被8整除． ②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，请给出验证． (3)若m、n为正整数，且，若是“双奇差数”，求的最小值． 【题型7】因式分解的应用——几何与情境化问题 1.期末考点总结 核心考点：结合几何图形（面积、周长）、实际情境（密码生成、拼图）建立代数式，因式分解求解。 2.解题技巧 几何建模：根据面积关系列代数式（如长方形面积=长×宽，因式分解求边长）； 情境转化：如密码生成——，代入，得密码101307。 【例题7】.（25-26八年级上·湖北黄冈·月考）“数形结合”是数学学习中的一种重要数学思想，在整式乘法中，我们常用图形面积来解释一些公式．现有若干张如图（1）的三种纸片，A是边长为的正方形，是边长为的正方形，是长为，宽为的长方形．如图（2），通过教材学习，观察正方形面积，可得到完全平方公式． (1)如图（3），通过观察大长方形的面积，可以得到一个乘法算式：__________； (2)若要无缝无重叠拼出一个长为，宽为的长方形，设需要A型纸片张，B型纸片张，C型纸片张，直接写出的值为__________； (3)图（4）是由图（1）中的两张A型纸片和两张B型纸片拼成的一个正方形，其中两张型纸片有重叠（图中阴影部分），求图中阴影部分的面积（用含a，b的式子表示）； (4)若图（2）也是由图（1）中的三种纸片拼成的，且图（2）中的阴影部分面积为73，图（4）中的阴影部分面积为25，求图（3）中整个长方形的面积． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·四川眉山·期中）请阅读以下材料，并解决问题： 配方法是一种重要的数学方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数恒等变形中，并结合非负数的性质来解决一些问题．例如对于式子可以变形如下： 解：原式，此种变形抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，这种变形方法就是配方法．我们还可以进一步求的最小值，，的最小值是． (1)将配方成（，为常数）的形式； (2)利用配方法求代数式的最大值； (3)已知等腰的两边长分别为a，b，且满足，求的周长． 【变式题7-2】.（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）阅读下面材料，并解决问题： 巧设密码在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码．有一种利用因式分解产生的密码，它更加方便记忆，其方法如下：对于多项式，分解因式的结果是． 当，时，，，，将162，18，0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． 问题解决： (1)按照上述方法，小军将多项式“”分解因式后利用x的数值设置密码，当时，求所生成的密码； (2)根据上述方法，若将多项式分解因式，则当，时，生成的密码是多少？ 【变式题7-3】.（25-26八年级上·山东青岛·期中）【问题情境】 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法．用不同方式表示几何图形的面积可以得到一些等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． 【类比探究】 探究一、如图2，借助边长为的正方形探索平方差公式： （1）从一个边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的正方形，剩下的部分（阴影部分）的面积为； （2）若将阴影部分沿虚线剪开，分成①，②两个长方形，则长方形①的面积，长方形②的面积； （3）由，可以得到等式，将其右边提公因式，得用来分解因式的平方差公式：． 探究二：如图3，类比探究一，借助一个棱长为的大正方体完成以下探究： （1）在棱长为的大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，剩下的几何体的体积___________； （2）将剩下的几何体分割成①，②，③三个长方体，则长方体①的体积；长方体②的体积___________；长方体③的体积___________； （3）由可以得到将一个多项式进行因式分解的等式为___________． 【拓展应用】 利用上面的结论，解决问题： 已知，求的值． 【题型8】新运算背景下的因式分解 1.期末考点总结 核心考点：理解新定义（如“对称数”“智慧优数”），利用因式分解满足定义；探究分解规律，体现素养导向。 2.解题技巧 定义转化：将新定义转化为因式分解形式（如“对称数”，分解）； 规律探究：通过特例分解，总结通用规律（如探究的分解规律）。 【例题8】.（2025·河南信阳·三模）一个三位数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 【观察】， ， ． 【猜想】 （1）将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被________整除． 【验证】 （2）请你写出一个“对称数”（除101，232，555以外），并通过计算验证猜想． （3）设一个对称数的百位数字与个位数字均为，十位数字为，请你通过推理说明猜想是正确的． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·北京·期中）若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”． (1)判断45是否为“智慧数”．是的话在横线上把45写成的形式，不是的话直接写“否”． (2)已知（是整数，是常数），要使为“智慧数”，直接写出一个符合条件的值． (3)如果数m，n都是“智慧数”，判断是否为“智慧数”，并说明理由． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）新定义：若两个不相等的正整数a和b（）满足它们的平方差等于这两个数和的平方除以k（k为非零常数），则称数对关于k构成一个“智谋数对”，记作，用式子表示为：． 例如：数对关于3构成一个“智谋数对” ∵， ∴ ∴成立 (1)下列数对是关于3构成“智谋数对”的是______． ①    ②    ③ (2)假设a和b（）是关于k的“智谋数对” ①用含a，b的代数式表示k； ②当时，求出智谋数对中a与b的数量关系，并写出满足条件的两个智谋数对． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·上海·期中）课本上在面对整式除法的时候告诉了我们长除法的方法，根据因式分解的定义我们可以发现，如果我们知道一个整式其中的一个因式，那么通过长除法得到的余式一定是0，商式则是这个整式的另一个因式，所以现在我们也可以利用长除法帮助我们一起分解因式．下面请先阅读课本上的材料并解决下列问题． 整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． (1)小明在对进行因式分解后检查答案，答案中有一个因式中的符号被墨水遮挡看不清了，请使用长除法来帮助小明判断这个因式是什么？ (2)已知整式有一个因式是，请试着运用长除法将整式进行因式分解． (3)①已知有一个因式是，请问★处的数字应该是几？ (4)②已知整式有一个因式是，求，，之间存在的关系． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 分解因式：． 解： * ☆ 其中运用到的方法是△和□． 下列回答错误的是（   ） A．*代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 2．（25-26八年级上·山东淄博·期中）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东东营·月考）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，分别对应下列六个字：爱，我，利，津，学，校．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．利津爱学 B．我爱利津 C．利津学校 D．我爱学校 4．（25-26八年级上·山东威海·期中）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）关于x的二次三项式（m，n是常数），下列结论错误的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若是一个完全平方式，则 D．若，则二次三项式一定含有因式 二、填空题 6．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值是 ． 7．（25-26七年级上·上海·期中）已知整式可以因式分解为，则的值为 ． 8．（25-26八年级上·全国·期末）教材有这样一段话：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数(如图) 这样，我们也可以得到 利用上述方法，分解因式： ． 9．（25-26八年级上·山东德州·月考）因式分解： ． 10．（25-26八年级上·湖南永州·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，15是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第100个智慧优数是 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·广东湛江·月考）分解因式或计算 (1)； (2)． 12．（25-26八年级上·山东德州·月考）（1）因式分解：①；② （2）计算：①； ② 13．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图在边长为的正方形空地的四个角上均留出一块边长为的正方形用来建水池，其余地方全部用来种植花卉．当时，求种植花卉区域的面积． 14．（25-26八年级上·四川广安·期中）多项式及通过因式分解写成和的形式之后，可以解决较复杂多项式的因式分解及一些实际问题．我们把多项式和称为完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如：分解因式； 原式 ； (1)用配方法将分解因式； (2)用配方法将分解因式； (3)已知分别为等腰三角形的腰和底，且满足，求该等腰三角形的周长． 15．（25-26八年级上·山东泰安·期中）阅读理解——智慧数． 定义：如果一个正整数能表示成两个正整数，的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如：，∴16就是一个“智慧数”，我们可以利用 进行研究． (1)试写出不大于的3个智慧数； (2)请判断，是否为“智慧数”，若是“智慧数”，请将，按“”照样写出：若不是“智慧数”，则不需写： (3)现给出下列结论： ①被4除余2的正整数都不是“智慧数”； ②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”； ③所有的正奇数都是“智慧数”． 以上3个结论中，正确的结论是__________．（填序号即可） 学科网（北京）股份有限公司 $