专题06 期末复习之分式（考情分析+7大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学八年级上册期末易错点重难点培优专题复习

该初中数学分式单元复习讲义通过表格系统梳理7个核心考点，涵盖分式概念、性质、运算、方程及应用等，结合错题警示和题型分层构建知识脉络，清晰呈现重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计与方法创新，基础题型如分式化简求值强化整体代入技巧，提升题型如马拉松行程问题培养数学眼光，培优题型如规律探究和新定义问题发展数学思维与语言表达，同步练习助力学生自主复习，支持教师精准教学。

专题06 分式 期末考点 复习目标 考察形式 1.分式的概念与有意义、值为0的条件 1.明确分式定义（分母含字母）； 2.掌握有意义（分母≠0）、值为0（分子=0且分母≠0）的条件 1.基础必考题，选择/填空（1题）； 2.典型考法：判断分式、求未知数取值范围 2.分式的基本性质（约分、通分、符号变形） 1.掌握分式基本性质及符号法则； 2.熟练约分、通分（找最简公分母） 1.基础题，选择/填空（1题）； 2.解答题化简步骤必考 3.分式的四则混合运算（含负指数幂、零指数幂） 1.掌握分式运算法则及运算顺序； 2.结合指数幂化简求值 1.中档必考题，解答题（化简求值，1题）； 2.典型考法：先化简再代入求值 4.分式方程的解法（含检验、增根） 1.掌握分式方程求解步骤（去分母、检验）；2.辨析增根与无解的区别 1.中档必考题，解答题（1题）； 2.典型考法：解分式方程并检验 5.分式方程的实际应用 1.掌握常见模型（行程、工程等）等量关系； 2.列方程并检验解的实际意义 1.中档压轴题，解答题（1题）； 2.情境贴近生活，结合图表偶见 6.含参数分式方程（整数解、无解、取值范围） 1.解含参数分式方程，用参数表示解； 2.根据解的条件求参数取值 1.较难题，选择/填空压轴（1题）； 2.典型考法：求整数参数值 7.分式创新题（新定义、规律探究） 1.理解分式新定义，迁移运算技巧； 2.归纳分式等式规律 1.较难题，选择/填空（1题）； 2.典型考法：新定义求值、规律探究 【易错题型】 【题型1】分式方程增根与无解的辨析问题 1.易错点总结 概念混淆：认为“增根就是无解”，忽略“整式方程无解时，分式方程也无解”的情况； 漏验增根：解分式方程后未将整式方程的解代入最简公分母检验，保留无效解； 求参数时遗漏：仅考虑增根情况，未分析整式方程无解的参数取值。 2.纠错技巧 明确核心区别： 增根：是整式方程的解，但使最简公分母为0（仅存在于整式方程有解的情况）； 无解：包含“有增根”和“整式方程本身无解”两类； 解题步骤：①去分母得整式方程；②求增根（令最简公分母=0）；③分情况讨论：整式方程无解→参数取值；整式方程有解→代入增根求参数。 【例题1】.（2025七年级上·全国·专题练习）已知关于的分式方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程有增根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式方程的解以及分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根是分母为零的根，注意检查即可． （1）将代入方程，可得方程为，然后去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，检验是否是增根； （2）因为方程有增根，所以，去分母、去括号、移项、合并同类项得，即，即，得． 【详解】（1）解：（1）当时，原方程化为， 去分母得：， 化简得： 解这个整式方程，得， 检验：把代入得：， 所以，是原方程的解； （2）原方程去分母，得， 移项合并同类项，得， 因为该方程有增根， 所以增根为， 所以， 所以． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·福建福州·期中）若关于的分式方程无解，则的值是 ． 【答案】 2 【分析】此题考查已知分式方程的解求参数，分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程无解；二是解出的根使原方程的分母为零（增根），本题需通过化整式方程并讨论增根情况求解 【详解】原方程为 ， 两边同乘 ，得：， 即 ， 若方程无解，则需 为增根，即 ，解得 ； 当 时，原方程化为 ，即 ，矛盾，方程无解， 综上， 时方程无解， 故答案为 2 【变式题1-2】.（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了解分式方程． 将分式方程两边乘以最简公分母，化为整式方程，再根据增根的定义，令x等于使公分母为零的值，代入整式方程求解m． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 即， ∵增根是使公分母为零的x值， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； 则的值为6或． 故答案为：6或． 【变式题1-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于x的分式方程：． (1)当时，解该分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）去分母化为一元一次方程即可求解，最后对求出的根进行检验即可； （2）先直接求出分式方程的根，然后根据分式方程无解可知该根为增根，列出关于m的方程即可求解． 本题考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数． 【详解】（1）解：当时，分式方程为，即 方程两边乘，得， 解得． 检验：当时，， 故是原分式方程的解； （2）解： 方程两边乘，得，解得． ，解得． ∴分式方程的增根为 ， 分式方程无解， ∴，解得， ∴若该分式方程无解，m的值为4． 【基础题型】 【题型2】利用分式基本性质化简与变形 1.期末考点总结 分式的基本性质（分子分母同乘/除以不为0的整式，值不变）； 约分（约去公因式）、通分（找最简公分母）、符号变形。 2.解题技巧 符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处符号，值不变（如，）； 约分步骤：先对分子、分母因式分解，再约去公因式（结果为最简分式或整式）； 最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积。 【例题2】.（25-26九年级上·福建漳州·期中）若，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的基本性质，如果或，那么，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果，那么或（）． 根据比例的基本性质逐项分析即可． 【详解】解：选项A：由得，故错误； 选项B：由得，整理得，故错误； 选项C：由得，整理得，故错误； 选项D∵由得，故正确． 故选：D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·北京·月考）根据分式的基本性质填空：，． ， ， 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质． 根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变．对于第一个分式，分母从变为，需除以，分子相应变化；对于第二个分式，分母从变为，需乘以，分子相应变化． 【详解】解： ， ， 故答案为：，． 【变式题2-2】.（20-21八年级上·陕西渭南·期末）若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．缩小为原来的 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．不变 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，先整理新的分式，再与原分式进行比较，即可作答． 【详解】解：依题意，新的分式， ∵原分式，且， ∴新分式原分式， 故分式的值缩小为原来的， 故选：A 【变式题2-3】.（2024八年级上·全国·专题练习）将下列各式中，（，）的值均扩大倍后，分式值一定不变的有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为的数（或式子），分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质逐项判定求解． 【详解】解：A、，分式值变为原来的，故本选项不符合题意； B、，分式值改变了，故本选项不符合题意； C、，分式值没有改变，本选项符合题意； D、，分式值改变了，故本选项不符合题意； 故选：C． 【题型3】分式化简求值（含整体代入） 1.期末考点总结 分式的化简（因式分解、约分、通分）； 代入求值（直接代入、整体代入）； 取值范围：代入的数值需使原分式有意义（分母≠0）。 2.解题技巧 化简优先：先将分式化为最简形式，再代入求值（减少计算量）； 整体代入：若已知条件为比例或代数式的值（如），先变形为，再代入化简后的分式（如）； 取值检验：代入前需排除使原分式分母为0的数值（如化简后为，则）。 【例题3】.（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知x为实数且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2)10 (3) 【分析】此题主要考查了完全平方公式，关键是掌握完全平方公式：．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （1）首先两边同时除以可得，整理可得的值； （2）直接把两边同时平方，再展开可得的值，即可求解； （3）直接把两边同时平方，再结合的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， 方程两边同时除以x得， ． （2）解：∵， ， ， ， ， （3）解：∵， ∴， ∴． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）阅读下列材料： 关于x的方程方程两边同时乘以得：即     根据以上材料，解答下列问题： (1)则______，______ (2)，求的值． 【答案】(1) 14，194 (2) 【分析】本题主要考查了分式求值，完全平方公式的应用， 对于（1），两边都乘以，再两边都平方整理得出答案； 对于（2），两边都除以2，再两边都乘以，然后两边都平方整理得出答案． 【详解】（1）解：∵， 两边都乘以，整理得， 两边都平方，得， 整理，得； 将， 两边都平方，得， 整理，得． 故答案为：，； （2）解：∵， 两边都除以2，得， 两边都乘以，整理得， 两边都平方，得， 整理，得． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．根据四则运算法则，应先算除法，再算减法，化简后代入求值． 【详解】解：原式． ． ． 由题意得，  且  ，解得 且 ， ∴当时，原式． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·广东广州·月考）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的化简求值、完全平方公式，由已知方程变形得到 ，利用完全平方公式可得，最后代入化简后的表达式求解． 【详解】解： ，且 ， 等式两边除以，可得：， ， ， ， ， 故选：C． 【提升题型】 【题型4】分式方程的实际应用（情境化） 1.期末考点总结 结合生活情境（行程、工程、利润、垃圾分类等）建立分式方程； 检验解的实际意义（如时间、路程为正数）。 2.解题技巧 审题步骤：①找关键词（“提前”“是几倍”“多”等），确定等量关系；②设未知数（直接设或间接设，优先设较小量）； 常见模型： 行程问题：速度=（如相遇、追及、变速行驶）； 工程问题：工作效率=（总工作量设为1）； 利润问题：利润率=； 检验：既要验是否为分式方程的解，也要验是否符合实际意义（如人数、台数为正整数）。 【例题4】.（23-24八年级下·重庆·期末）2024年12月29日，主题为“跑出新高度，追梦彩云南”的2024上合昆明马拉松在美丽的滇池边鸣枪起跑．甲，乙两人参加约40公里的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2公里．最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时x公里，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设乙的平均速度为每小时x公里，则甲的平均速度为每小时公里，根据甲，乙两人参加约40公里的比赛，两人同时出发，最终甲比乙早1小时到达，列分式方程即可． 【详解】解：设乙的平均速度为每小时x公里，则甲的平均速度为每小时公里， 根据题意得． 故选：A． 【变式题4-1】.（24-25八年级下·云南红河·期末）某快递转运中心采用两种型号的机器人分拣快递，A型机器人比B型机器人每小时多分拣300件快递，A型机器人分拣9000件快递所用时间与B型机器人分拣6000件快递所用时间相等，两种机器人每小时分别分拣多少件快递？ 【答案】A型机器人每小时分拣900件，B型机器人每小时分拣600件 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，依据题意，正确建立分式方程是解题关键． 设B型机器人每小时分别分拣x件快递，则A型机器人每小时分拣件快递，根据题意建立方程，然后求解即可． 【详解】解：设B型机器人每小时分别分拣x件快递，则A型机器人每小时分拣件快递， 则， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴A型机器人每小时分拣件快递， 答：A型机器人每小时分拣900件，B型机器人每小时分拣600件． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·湖南株洲·期中）湖南省足球联赛（简称“湘超”）正在火热进行中，株洲主场的球赛更是一票难求，体育中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．某商店也准备销售文创产品，用2400元购进吉祥物“湘湘”，用1440元购进吉祥物“超超”，“超超”购进单价是“湘湘”购进单价的倍，“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少40个． (1)该商店“湘湘”的购进单价为多少元？ (2)该商店将“湘湘”的售价定为35元/件，如果要使得总利润不低于640元，那么“超超”的售价最低应该定为每件多少元？ 【答案】(1)该商店“湘湘”的购进单价为30元 (2)“超超”的售价最低应该定为每件42元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商店“湘湘”的购进单价为x元，则“超超”购进单价为元，根据“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少40个，列出分式方程，解方程即可； （2）设“超超”的售价应该定为每件m元，根据要使得总利润不低于640元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设该商店“湘湘”的购进单价为x元，则“超超”购进单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：该商店“湘湘”的购进单价为30元； （2）解：由（1）可知，“湘湘”的购进单价为30元，则其购进数量为（个）；“超超”的购进单价为（元），则其购进数量为（个）， 设“超超”的售价应该定为每件m元， 由题意得：， 解得：， 答：“超超”的售价最低应该定为每件42元． 【变式题4-3】.（24-25八年级上·湖北荆州·期末）下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：松滋作为“柑橘之乡”，柑橘产业蓬勃发展．今年，松滋某柑橘种植园迎来大丰收，现计划将一批柑橘用载重量相同的大、小两种货车同时运往外地销售．该种植园共有350吨柑橘待运．已知满载时，大货车每辆运输量比小货车多15吨，每辆大货车运完50吨柑橘的次数与每辆小货车运完20吨柑橘的次数相同．求大货车、小货车每辆每次运输柑橘各多少吨？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：大货车运输50吨柑橘的次数与小货车运输20吨柑橘的次数相同． 解法二 设…… 等量关系：大货车每辆每次运输量小货车每辆每次运输量 (1)解法一所列方程中的x表示________（填序号），解法二所列方程中的x表示________（填序号）；①小货车每辆运输x吨；②大货车每辆运输x吨；③一辆大货车运输完50吨需x次． (2)请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． (3)已知大货车运输费用为每吨30元，小货车运输费用为每吨10元，若要一次性全部运完这批柑橘，且运输的总费用不超过10000元，至少需要安排几辆小货车？ 【答案】(1)①；③ (2)解法一：；解法二：；大货车每次运输柑橘吨，小货车每次运输柑橘10吨 (3)至少需要安排5辆小货车 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键在于根据题意建立方程和不等式． （1）根据所列方程分析即可； （2）根据解分式方程步骤求解，进而得出大货车、小货车每辆每次运输柑橘的吨数，即可解题； （3）设安排y辆小货车，则安排辆大货车．根据“运输的总费用不超过10000元”建立不等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：根据所列方程可知，解法一所列方程中的x表示①小货车每辆运输x吨； 解法二所列方程中的x表示③一辆大货车运输完50吨需x次； 故答案为：①；③． （2）解法一： 方程两边同乘， 得， 解得，检验，当时，， 所以，为原分式方程的解．            ∴大货车每次运输柑橘吨，小货车每次运输柑橘10吨．       解法二： 方程两边同乘x，得：， 解得， 检验，当时，， 所以，为原分式方程的解．        ∴大货车每次运输柑橘吨，小货车每次运输柑橘吨． （3）解：设安排y辆小货车，则安排辆大货车． 根据题意得：，          解得：；    ∵y，为整数， 又， y为的倍数， y的最小值为5， 答：至少需要安排5辆小货车． 【题型5】含参数分式方程的整数解问题 1.期末考点总结 解含参数的分式方程（用参数表示解）； 根据“解为整数”“解为正数/负数”确定参数的整数取值。 2.解题技巧 解题步骤：①去分母化为整式方程；②解整式方程（用参数表示未知数，如）；③列条件： 解为整数：分子是分母的整数倍（如是3的倍数）； 原分式有意义：解≠使原分母为0的数值； 分类讨论：列举参数的可能取值，逐一验证，排除无效解。 【例题5】.（2025七年级上·全国·专题练习）若分式方程的解为正整数，求整数的值． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解法及参数取值问题。本题关键在于正确处理分式方程的变形与去分母，并在解出含参数的解后结合解的限制条件进行讨论，特别注意这一隐含条件，避免代入导致分母为零的情况。先解含有字母参数的分式方程，求出，再根据分式方程的解为正整数，列出关于的方程，解方程求出，再判断时分式方程有无意义，从而求出答案即可． 【详解】解：， 去分母：， 去括号：， 移项合并：， 化系数为1：， ∵分式方程的解为正整数， ∴或3， 解得：或1， ∵当时，，分式无意义， ∴， ∴整数的值为． 【变式题5-1】.（24-25九年级下·山东青岛·月考）关于的分式方程有非负整数解，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，先求出分式方程的解，根据方程的解的情况结合分式有意义，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵方程有非负整数解， ∴且， ∴且， ∴且； 故答案为：且． 【变式题5-2】.（2025七年级上·全国·专题练习）若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 【答案】4 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解分式方程，掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．先通过解不等式组和分式方程确定a的取值范围，再求得符合条件的a的值，最后求得此题的结果． 【详解】解：由题意得， 解①得：， 解②得：， ∴该不等式组的解集为， ∵该不等式组至少有2个整数解， ∴4， ∴解得， 解分式方程得，， ∵分式方程有非负整数解， ∴且， ∴且， ∴a的取值范围为且， ∵为整数， ∴为奇数， ∴a可取整数为1，3， ∴或， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 【变式题5-3】.（24-25八年级上·河北石家庄·期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数。如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式，，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：，．解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的个数． 【答案】(1)真 (2) (3)符合条件的x有4个 【分析】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的定义和化简运算方法是解题的关键， （1）利用题中定义判断即可； （2）根据题意化简即可； （3）由（2）中的化简分情况讨论出结果即可． 【详解】（1）解：分式是真分式， 故答案为：真． （2）解：由题可得：． （3）解：由（2）得：. ∵x为整数，分式的值也为整数， ∴或1或或， ∴或或或， ∴符合条件的x有4个． 【培优题型】 【题型6】分式规律探究题 1.期末考点总结 观察分式等式的结构变化，归纳规律； 结合跨学科情境（如芯片制造、纳米技术、浓度问题）探究第n个等式。 2.解题技巧 观察方法：①看分子、分母的数字变化（如依次加1、乘2等）；②看符号变化（正负交替等）； 归纳步骤：①写出前3-4个等式，找规律；②猜想第n个等式（用n表示分子、分母）；③验证规律（代入n=1、2、3检验）； 跨学科转化：将情境中的数量关系转化为分式（如纳米长度，转化为负指数幂运算）。 【例题6】.（25-26八年级上·山东烟台·期中）观察下面的变形规律：，，，， 解答下面问题：若，则的值为 ． 【答案】998 【分析】本题考查了规律题—数字的变化类，解分式方程，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，写出相应的等式； 根据给定的变形规律，将求和中的每一项拆分为两个分数的差，通过（裂项相消法）化简求和式，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解： 由方程得： 经检验， 满足分母不为零的条件； 故答案为： 998． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·山东威海·期中）观察：，，，… 依据上述规律，解决下列问题： (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，解分式方程，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意可得，据此把所求式子裂项求解即可； （2）可证明，则可把原方程变形为，再解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴ ， = = =； （2）解：， ∵， ∴， 整理，得， 即，， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）计算：______；______． （2）观察上面的式子和结果的特点，总结一个新的乘法公式，并用含的字母表示：______． （3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（    ） A．        B． C．        D． （4）利用所学知识以及（2）所得公式，化简代数式． 【答案】（1）   （2） （3）A （4）． 【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则计算即可； （2）由（1）的原式和结果可得新的乘法公式； （3）只要符合（2）中的公式即可； （4）先利用新的乘法公式及平方差公式与完全平方差公式将分式的分子和分母进行因式分解，约分化简即可． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：，． （2）解：用含的字母表示为：． （3）解：给出的各式，只有符合新公式的特点，能用乘法公式进行计算 （4）解： ． 【点睛】 本题主要考查了立方和公式的推导与应用，综合考查了整式乘法、因式分解和分式化简． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·湖南常德·期中）知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)已知，求的值； (3)计算：_____________．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算． （1）仿照例1，整体设元，分解因式； （2）仿照例2，整体代入化简求值； （3）仿照例1，令，，分解因式，代入化简结果求值即可． 【详解】（1）解：设， 原式 ， ； （2）解：， ； （3）解：令，， ， 原式 ， 故答案为：． 【题型8】材料阅读与新定义分式综合问题 1.期末考点总结 理解材料中新定义分式（如“关联分式”“和常分式”等）的核心条件； 结合分式加减、化简运算，解决新定义下的求值、整数解问题； 提取材料中的变形方法（如待定系数法），迁移应用到解题中。 2.解题技巧 第一步：拆解新定义，提取关键条件（如“两分式和为常数k”“分子为常数的真分式”等）； 第二步：转化为常规运算，根据定义列等式（如通分后分子为常数、和为指定数值）； 第三步：结合限制条件（如x为正整数、分式值为整数），排除无效解，验证结果符合定义。 【例题7】.（25-26八年级上·山东德州·月考）阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设 则 对应任意x，上述等式均成立．，， 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 解答： (1)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； (2)如果的值为整数，求x的整数值； (3)当时，试求的最小值． 【答案】(1)分式被拆分成了一个整式 与一个分式 的和 (2) (3)8 【分析】本题考查了分式的拆分运算、平方数的非负性、不等式的运算等知识点，读懂材料，掌握分式的运算法则是解题关键． （1）参照例题材料，设，然后求出a、b的值，从而即可得出答案； （2）由，结合它为整数得到为整数，因此，，求解即可； （3）由得到，进而，，即可解答． 【详解】（1）解：由分母为，设 则 对应任意，上述等式均成立， ， ，． ， 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． （2）解：， ∵的值为整数， ∴为整数， ∵x为整数， ∴，， ∴ （3）解：由（1）得， 当时，， ∴，， ∴， 即， ∴的最小值为8． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·北京·月考）阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 方法1：； 方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数）， ， 对于任意x，上述等式均成立， ，解得， ． ， 这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5． (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； (3)当时，求分式的最大值． 【答案】(1)真 (2) (3)最大为1 【分析】本题主要考查了分式的基本概念、分式的基本性质、分式的混合运算和化简，阅读材料获得信息再进行化简计算是解题的关键． （1）根据分子次数为0，分母次数为1，可作出判断． （2）利用已知分式，将其转化为整数与真分数的和的形式，可得答案． （3）先求出的最小值，进而可求出 的最大值． 【详解】（1）解：是真分式． （2）解：设， 则 ， 解得， . （3）解：考虑，求其最小值， ∵，， 当时，最小为1 最大为1． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·上海·期末）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①_______（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于_______； 【答案】(1)是， (2)①，② 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解新定义是解本题的关键． （1）先计算，再求出结果即可； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数．x为正整数，可得或，从而可得答案． 【详解】解：（1）A与B是互为“关联分式”，理由如下： ∵， ∴ ． ∴A与B是互为“关联分式”， “关联值”； （2）①∵，， ∴， ∵C与D互为“关联分式”，且“关联值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数，x为正整数， ∴或， ∴（舍去）． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·湖南长沙·月考）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：；． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：______ (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． (3)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n． 【答案】(1)①真，② (2)，当x为1，2，4，5时，分式的值为整数 (3)36 【分析】本题考查了分式的分类，分式的变形与化简，整除问题及方程与不等式的应用． （1）①由分子的次数小于分母的次数可得分式是真分式； ②将式子根据题意进行化简即可； （2）先将式子化简为，根据题意可知2能被整除，从而得出x的值； （3）设m的百位数字为a，十位数字为b，则m的个位数字为，n的十位数字为a，个位数字为b，列出m和n的表达式，再根据题意列出的式子，由题意可得为整数，用列举法列出a的值验证符合b的值，随即求出满足条件的两位数n． 【详解】（1）解：①∵分子的次数小于分母的次数， ∴分式是真分式， 故答案为：真； ②原式， 故答案为：． （2）解：原式， ∵x为整数，要使这个分式的值为整数，即2能被整除， ∴或2或4或5． （3）解：设m的百位数字为a，十位数字为b，则m的个位数字为，n的十位数字为a，个位数字为b， ∴，， ∴ ， 由题意可得，，，且a，b均为整数， ∵这个三位数的平方能被这个两位数整除， ∴为整数，即为整数， 当时，，没有满足题意的b值， 当时，，没有满足题意的b值， 当时，，， 当时，，没有满足题意的b值， 综上所述，满足条件的两位数n为36． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列代数式中，属于分式的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断分式的关键是看分母是否含有字母，分子可以是数字或整式．本题考查了分式的定义．分式是指分母中含有字母的代数式，根据此定义判断各选项即可． 【详解】解：∵分式需满足分母中含有字母， 选项A：，分母为数字5，不是分式； 选项B：，无分母，不是分式； 选项C：，分母为字母y，是分式； 选项D：，分母为数字5，不是分式． ∴属于分式的是选项C． 故选：C． 2．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）分式方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的求解，通过交叉相乘化为整式方程并求解，再检验整式方程的解是否为增根即可． 【详解】解： ， 解得， 检验：当时，， 故原分式方程的解为； 故选：B． 3．（2025八年级上·河北沧州·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．若分式值为0，则x的值为 B．根据分式的基本性质，可以变形为 C．分式中，，都扩大2倍，分式的值不变 D．分式不是最简分式 【答案】B 【分析】本题考查了分式的相关知识点，根据分式值为零的条件、分式的基本性质、分式值的变化和最简分式的定义逐一判断各选项即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、若分式值为0，则且，解得，故原说法错误，不符合题意； B、根据分式的基本性质，可以变形为，故原说法正确，符合题意； C、，故分式中，，都扩大2倍，分式的值扩大倍，故原说法错误，不符合题意； D、分式中分子分母没有公因式，是最简分式，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 4．（2024·甘肃甘南·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据题意找出等量关系列出方程是解题的关键．根据题意，设规定时间为天，慢马送信时间为天，速度为；快马送信时间为天，速度为，由快马速度是慢马速度的倍，即可列出方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马所需时间为天，快马所需时间为天， 由题意得，慢马速度为里/天，快马速度为里/天， ， 故选B． 5．（25-26八年级上·广东广州·期末）现有一列数：（为正整数），规定，，，，，若，则的值为（　　） A．2015 B．2016 C．2017 D．2018 【答案】C 【分析】本题考查了分式化简求值，通过已知条件求出，再利用裂项法将求和式化简为 ，最后解方程求出． 【详解】解： ，且对于，有， ， ， ， 以此类推，得， ， ， ， ， ， ，． 故选：C． 二、填空题 6．（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）若分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，即分母不能为零． 根据分式有意义的条件，即分母不能为零，即可解答． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）若分式有意义，则x应满足的条件是 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据分式有意义的条件，分母不能为零，由此求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 8．（2025八年级上·河北·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加法，关键是异分母化成同分母的分式；通过观察分母的关系，将第二个分式变形后计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·河北唐山·期中）若关于的分式方程有增根，则增根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的增根，分式方程的增根是使原分式方程中分母为零的未知数的值，因此令分母，即可求得增根． 【详解】解：∵关于的分式方程有增根， ∴令分母， 解得． 故增根为． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·重庆·期中）若不等式组的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，分式方程的求解及正整数解的应用．首先解不等式组，根据解集确定a的取值范围为，然后解分式方程，得到，要求y为正整数且，结合a的取值范围，得到满足条件的整数a为3 和5，求和即可． 【详解】解：解不等式组 ， 由得， ①当时，第二不等式解为，解集为，需，解得，故， ②当时，第二不等式为，恒成立，解集为， ③当时，解集不能为， 因此a的取值范围为， 解分式方程，化简得，解得， 要求y为正整数，故且为整数，即，结合，需为正整数且， 代入a值验证： ，，非整数； ，，正整数； ，，非整数； ，，正整数； ，，非整数； ，，为增根， ∴满足条件的整数a为3和5，和为8． 故答案为：8． 三、解答题 11．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后验根，即可求解． 【详解】解：方程两边同乘，得：， 解得：． 检验：当时，， 所以原方程的解为． 12．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的混合运算和化简求值．先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买、两种型号的充电桩．已知型号充电桩比型号充电桩的单价少万元，且用万元购买型号充电桩与用万元购买型号充电桩的数量相等，求型号充电桩的单价． 【答案】型号充电桩的单价为万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系．设型号充电桩的单价为万元，则型号充电桩的单价为万元，根据“用万元购买型号充电桩与用万元购买型号充电桩的数量相等”，列方程即可求解. 【详解】解：设型号充电桩的单价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：型号充电桩的单价为万元． 14．（25-26八年级上·全国·期末）探索规律： (1)直接写出计算结果： = ． (2)仿照（1）的方法探究可知， 可变形为 ． (3)运用规律解方程： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的裂项相消法及分式方程的求解，解题的关键是掌握裂项公式，并利用其化简计算． （1）利用裂项相消法，将每一项拆分为两个分数的差，再抵消中间项计算； （2）仿照（1）的方法探究可得出的变形形式； （3）先利用裂项相消法化简方程左边，再解分式方程并检验． 【详解】（1）解：原式 故答案为：． （2）解： 故答案为：． （3）解：原方程可化为 ， 即， ∴， 即． 两边同乘（)得，， 解得． 检验：当时，原方程各分母均不为0，故是原方程的解． 答：原方程的解为． 15．（24-25八年级上·北京海淀·期末）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________； (3)当时，判断与的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，； (3) 【分析】本题主要考查了分式的加减运算、解二元一次方程组，解决本题的关键是根据分式的性质进行计算，利用求差法比较分式的大小． （1）仿照题干提供的解题思路分解分式； （2）根据分式的性质进行计算，可得，根据可以分式分解为，可得，从而得关于关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出、的值； （3）根据分式的性质进行计算可得：，因为，可得：，从而可知． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 可以分式分解为， ， ， 解得：， 故答案为：，； （3）解：， 证明： ， ， ，， ， ， ， ． 16．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“一中分式”，常数称为“一中值”．如分式，，，则与互为“一中分式”，“一中值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“一中分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“一中值”； (2)已知分式，，与互为“一中分式”，“一中值”，为正整数，且分式的值为正整数． ①求所代表的代数式；②求的值； (3)已知分式，，与互为“一中分式”，“一中值”为，若关于的方程无解，求实数的值（可用含的式子表示）． 【答案】(1)是，2 (2)①；②1 (3)或 【分析】本题考查分式的计算，掌握分式计算的通分以及解分式方程的方法是解题的关键． （1）直接计算，根据其化简结果判断是否为“一中分式”，并求出“一中值”； （2）①根据“一中分式”以及 “一中值”，计算，求出代表的代数式；②将代入后，根据化简结果，结合分式的值为正整数．为正整数，得出的值； （3）列出的方程，根据方程无解以及增根情况求出的取值； 【详解】（1）解：， 与是互为“一中分式”，“一中值”． （2）解：①，， 与互为“一中分式”，且“一中值”， ， ； ②， 且分式的值为正整数．为正整数， 或， （舍去）． （3）解：∵，， ∴， 整理得， 化简得， ∵方程无解， ∴，且， 解得，且，即， 当时，方程有增根， 代入，解得， 综上，的取值范围为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 分式 期末考点 复习目标 考察形式 1.分式的概念与有意义、值为0的条件 1.明确分式定义（分母含字母）； 2.掌握有意义（分母≠0）、值为0（分子=0且分母≠0）的条件 1.基础必考题，选择/填空（1题）； 2.典型考法：判断分式、求未知数取值范围 2.分式的基本性质（约分、通分、符号变形） 1.掌握分式基本性质及符号法则； 2.熟练约分、通分（找最简公分母） 1.基础题，选择/填空（1题）； 2.解答题化简步骤必考 3.分式的四则混合运算（含负指数幂、零指数幂） 1.掌握分式运算法则及运算顺序； 2.结合指数幂化简求值 1.中档必考题，解答题（化简求值，1题）； 2.典型考法：先化简再代入求值 4.分式方程的解法（含检验、增根） 1.掌握分式方程求解步骤（去分母、检验）；2.辨析增根与无解的区别 1.中档必考题，解答题（1题）； 2.典型考法：解分式方程并检验 5.分式方程的实际应用 1.掌握常见模型（行程、工程等）等量关系； 2.列方程并检验解的实际意义 1.中档压轴题，解答题（1题）； 2.情境贴近生活，结合图表偶见 6.含参数分式方程（整数解、无解、取值范围） 1.解含参数分式方程，用参数表示解； 2.根据解的条件求参数取值 1.较难题，选择/填空压轴（1题）； 2.典型考法：求整数参数值 7.分式创新题（新定义、规律探究） 1.理解分式新定义，迁移运算技巧； 2.归纳分式等式规律 1.较难题，选择/填空（1题）； 2.典型考法：新定义求值、规律探究 【易错题型】 【题型1】分式方程增根与无解的辨析问题 1.易错点总结 概念混淆：认为“增根就是无解”，忽略“整式方程无解时，分式方程也无解”的情况； 漏验增根：解分式方程后未将整式方程的解代入最简公分母检验，保留无效解； 求参数时遗漏：仅考虑增根情况，未分析整式方程无解的参数取值。 2.纠错技巧 明确核心区别： 增根：是整式方程的解，但使最简公分母为0（仅存在于整式方程有解的情况）； 无解：包含“有增根”和“整式方程本身无解”两类； 解题步骤：①去分母得整式方程；②求增根（令最简公分母=0）；③分情况讨论：整式方程无解→参数取值；整式方程有解→代入增根求参数。 【例题1】.（2025七年级上·全国·专题练习）已知关于的分式方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程有增根，求的值． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·福建福州·期中）若关于的分式方程无解，则的值是 ． 【变式题1-2】.（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为 ． 【变式题1-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于x的分式方程：． (1)当时，解该分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值． 【基础题型】 【题型2】利用分式基本性质化简与变形 1.期末考点总结 分式的基本性质（分子分母同乘/除以不为0的整式，值不变）； 约分（约去公因式）、通分（找最简公分母）、符号变形。 2.解题技巧 符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处符号，值不变（如，）； 约分步骤：先对分子、分母因式分解，再约去公因式（结果为最简分式或整式）； 最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积。 【例题2】.（25-26九年级上·福建漳州·期中）若，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·北京·月考）根据分式的基本性质填空：，． ， ， 【变式题2-2】.（20-21八年级上·陕西渭南·期末）若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．缩小为原来的 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．不变 【变式题2-3】.（2024八年级上·全国·专题练习）将下列各式中，（，）的值均扩大倍后，分式值一定不变的有（   ） A． B． C． D． 【题型3】分式化简求值（含整体代入） 1.期末考点总结 分式的化简（因式分解、约分、通分）； 代入求值（直接代入、整体代入）； 取值范围：代入的数值需使原分式有意义（分母≠0）。 2.解题技巧 化简优先：先将分式化为最简形式，再代入求值（减少计算量）； 整体代入：若已知条件为比例或代数式的值（如），先变形为，再代入化简后的分式（如）； 取值检验：代入前需排除使原分式分母为0的数值（如化简后为，则）。 【例题3】.（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知x为实数且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）阅读下列材料： 关于x的方程方程两边同时乘以得：即     根据以上材料，解答下列问题： (1)则______，______ (2)，求的值． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·广东广州·月考）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【提升题型】 【题型4】分式方程的实际应用（情境化） 1.期末考点总结 结合生活情境（行程、工程、利润、垃圾分类等）建立分式方程； 检验解的实际意义（如时间、路程为正数）。 2.解题技巧 审题步骤：①找关键词（“提前”“是几倍”“多”等），确定等量关系；②设未知数（直接设或间接设，优先设较小量）； 常见模型： 行程问题：速度=（如相遇、追及、变速行驶）； 工程问题：工作效率=（总工作量设为1）； 利润问题：利润率=； 检验：既要验是否为分式方程的解，也要验是否符合实际意义（如人数、台数为正整数）。 【例题4】.（23-24八年级下·重庆·期末）2024年12月29日，主题为“跑出新高度，追梦彩云南”的2024上合昆明马拉松在美丽的滇池边鸣枪起跑．甲，乙两人参加约40公里的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2公里．最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时x公里，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（24-25八年级下·云南红河·期末）某快递转运中心采用两种型号的机器人分拣快递，A型机器人比B型机器人每小时多分拣300件快递，A型机器人分拣9000件快递所用时间与B型机器人分拣6000件快递所用时间相等，两种机器人每小时分别分拣多少件快递？ 【变式题4-2】.（25-26八年级上·湖南株洲·期中）湖南省足球联赛（简称“湘超”）正在火热进行中，株洲主场的球赛更是一票难求，体育中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．某商店也准备销售文创产品，用2400元购进吉祥物“湘湘”，用1440元购进吉祥物“超超”，“超超”购进单价是“湘湘”购进单价的倍，“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少40个． (1)该商店“湘湘”的购进单价为多少元？ (2)该商店将“湘湘”的售价定为35元/件，如果要使得总利润不低于640元，那么“超超”的售价最低应该定为每件多少元？ 【变式题4-3】.（24-25八年级上·湖北荆州·期末）下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：松滋作为“柑橘之乡”，柑橘产业蓬勃发展．今年，松滋某柑橘种植园迎来大丰收，现计划将一批柑橘用载重量相同的大、小两种货车同时运往外地销售．该种植园共有350吨柑橘待运．已知满载时，大货车每辆运输量比小货车多15吨，每辆大货车运完50吨柑橘的次数与每辆小货车运完20吨柑橘的次数相同．求大货车、小货车每辆每次运输柑橘各多少吨？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：大货车运输50吨柑橘的次数与小货车运输20吨柑橘的次数相同． 解法二 设…… 等量关系：大货车每辆每次运输量小货车每辆每次运输量 (1)解法一所列方程中的x表示________（填序号），解法二所列方程中的x表示________（填序号）；①小货车每辆运输x吨；②大货车每辆运输x吨；③一辆大货车运输完50吨需x次． (2)请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． (3)已知大货车运输费用为每吨30元，小货车运输费用为每吨10元，若要一次性全部运完这批柑橘，且运输的总费用不超过10000元，至少需要安排几辆小货车？ 【题型5】含参数分式方程的整数解问题 1.期末考点总结 解含参数的分式方程（用参数表示解）； 根据“解为整数”“解为正数/负数”确定参数的整数取值。 2.解题技巧 解题步骤：①去分母化为整式方程；②解整式方程（用参数表示未知数，如）；③列条件： 解为整数：分子是分母的整数倍（如是3的倍数）； 原分式有意义：解≠使原分母为0的数值； 分类讨论：列举参数的可能取值，逐一验证，排除无效解。 【例题5】.（2025七年级上·全国·专题练习）若分式方程的解为正整数，求整数的值． 【变式题5-1】.（24-25九年级下·山东青岛·月考）关于的分式方程有非负整数解，则的取值范围为 ． 【变式题5-2】.（2025七年级上·全国·专题练习）若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 【变式题5-3】.（24-25八年级上·河北石家庄·期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数。如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式，，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：，．解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的个数． 【培优题型】 【题型6】分式规律探究题 1.期末考点总结 观察分式等式的结构变化，归纳规律； 结合跨学科情境（如芯片制造、纳米技术、浓度问题）探究第n个等式。 2.解题技巧 观察方法：①看分子、分母的数字变化（如依次加1、乘2等）；②看符号变化（正负交替等）； 归纳步骤：①写出前3-4个等式，找规律；②猜想第n个等式（用n表示分子、分母）；③验证规律（代入n=1、2、3检验）； 跨学科转化：将情境中的数量关系转化为分式（如纳米长度，转化为负指数幂运算）。 【例题6】.（25-26八年级上·山东烟台·期中）观察下面的变形规律：，，，， 解答下面问题：若，则的值为 ． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·山东威海·期中）观察：，，，… 依据上述规律，解决下列问题： (1)计算：； (2)解方程：． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）计算：______；______． （2）观察上面的式子和结果的特点，总结一个新的乘法公式，并用含的字母表示：______． （3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（    ） A．        B． C．        D． （4）利用所学知识以及（2）所得公式，化简代数式． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·湖南常德·期中）知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)已知，求的值； (3)计算：_____________．（直接写出结果） 【题型8】材料阅读与新定义分式综合问题 1.期末考点总结 理解材料中新定义分式（如“关联分式”“和常分式”等）的核心条件； 结合分式加减、化简运算，解决新定义下的求值、整数解问题； 提取材料中的变形方法（如待定系数法），迁移应用到解题中。 2.解题技巧 第一步：拆解新定义，提取关键条件（如“两分式和为常数k”“分子为常数的真分式”等）； 第二步：转化为常规运算，根据定义列等式（如通分后分子为常数、和为指定数值）； 第三步：结合限制条件（如x为正整数、分式值为整数），排除无效解，验证结果符合定义。 【例题7】.（25-26八年级上·山东德州·月考）阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设 则 对应任意x，上述等式均成立．，， 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 解答： (1)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； (2)如果的值为整数，求x的整数值； (3)当时，试求的最小值． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·北京·月考）阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 方法1：； 方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数）， ， 对于任意x，上述等式均成立， ，解得， ． ， 这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5． (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； (3)当时，求分式的最大值． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·上海·期末）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①_______（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于_______； 【变式题7-3】.（25-26八年级上·湖南长沙·月考）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：；． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：______ (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． (3)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列代数式中，属于分式的是（） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）分式方程的解为（    ） A． B． C． D． 3．（2025八年级上·河北沧州·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．若分式值为0，则x的值为 B．根据分式的基本性质，可以变形为 C．分式中，，都扩大2倍，分式的值不变 D．分式不是最简分式 4．（2024·甘肃甘南·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·广东广州·期末）现有一列数：（为正整数），规定，，，，，若，则的值为（　　） A．2015 B．2016 C．2017 D．2018 二、填空题 6．（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）若分式有意义，则x的取值范围是 ． 7．（25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）若分式有意义，则x应满足的条件是 8．（2025八年级上·河北·专题练习）计算： ． 9．（25-26八年级上·河北唐山·期中）若关于的分式方程有增根，则增根是 ． 10．（25-26八年级上·重庆·期中）若不等式组的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）解方程：． 12．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）先化简，再求值：，其中． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买、两种型号的充电桩．已知型号充电桩比型号充电桩的单价少万元，且用万元购买型号充电桩与用万元购买型号充电桩的数量相等，求型号充电桩的单价． 14．（25-26八年级上·全国·期末）探索规律： (1)直接写出计算结果： = ． (2)仿照（1）的方法探究可知， 可变形为 ． (3)运用规律解方程： 15．（24-25八年级上·北京海淀·期末）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________； (3)当时，判断与的大小关系，并证明． 16．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“一中分式”，常数称为“一中值”．如分式，，，则与互为“一中分式”，“一中值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“一中分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“一中值”； (2)已知分式，，与互为“一中分式”，“一中值”，为正整数，且分式的值为正整数． ①求所代表的代数式；②求的值； (3)已知分式，，与互为“一中分式”，“一中值”为，若关于的方程无解，求实数的值（可用含的式子表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $