精品解析：陕西省榆林市城区 联考2025-2026学年九年级上学期期末 数学试卷

2025~2026学年度第一学期期末阶段作业 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 2 B. C. 5 D. 2. 下图出自《九章算术》“商功”卷，在互相垂直的墙体角落里，堆放着粟谷，将谷堆看作圆锥的一部分，则该谷堆的主视图为（ ） A B. C. D. 3. 有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在，则红色卡片的数量约为（ ） A. 2张 B. 8张 C. 15张 D. 18张 4. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 若反比例函数的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线经过点，，中的两点，且与y轴交于点D，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知锐角满足，则锐角的度数是______度 10. 若抛物线（m为常数）的开口向上，则m的值可以是________．（写出一个即可） 11. 秦岭是全球野生大熊猫的重要分布区，大熊猫与朱鹮、林麝、金丝猴、羚牛、金钱豹并称“秦岭六宝”．某网店售卖的大熊猫玩偶原本标价为元/个，因市场波动，经过两次降价后标价变为元/个，设大熊猫玩偶两次降价的平均降价率为，则根据题意可列方程为______． 12. 如图，半径为5中，弦、所对的圆心角分别为和，若，与互补，则弦的长为________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在y轴正半轴上，菱形的面积为24，若反比例函数的图象经过点C，则k的值为________． 14. 在 中，，，，延长 至点 ，过点 分别作 ，交直线于点，作，交直线于点，连接，线段的最小值为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15 计算：． 16. 解方程：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．以原点O为位似中心，在y轴左侧作出的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点、、），使得与的相似比为． 18. 如图，在中，点D在边上．请用尺规作图法在边上求作一点E，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，点E、F在矩形的边上，连接、，与的延长线交于点P，．求证：． 20. 校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒打开，恰好装有“数独”卡片的概率为________； （2）若某轮只有小贤和小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图或列表法，求两人恰好抽取装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 21. 如图，某种摄像头识别到最远点A的俯角是，识别到最近点B的俯角是，该摄像头安装在距地面6m高的点C处（即），．求最远点A与最近点B之间的距离．（参考数据：，，）． 22. 某工业大学学生在研究一种新型材料时，需先将材料加热到，再进行加工操作．如图，停止加热后，温度与时间成反比例关系． （1）求材料停止加热后与的函数关系式． （2）根据工艺要求，停止加热后，当材料温度不低于时，可以对材料进行加工，那么加工时间有多长？ 23. 综合实践小组的同学利用平面镜、尺子等工具测量了某广场上路灯的高度．如图，在支架的点C处放置一面平面镜（平面镜大小忽略不计），支架与路灯的水平距离为，当小亮站在点F处时，恰好能从平面镜中看到路灯顶端A的像．已知小亮眼睛到地面的高度为，支架的高度为，小亮与支架的水平距离为，点B、D、F在同一直线上，，，，图中所有点均在同一平面内，求该路灯的高度． 24. 如图，四边形内接于，为直径，过点A作交的延长线于点E，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱呈抛物线形．如图是某家庭喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口A点离地高度为（即），喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，以喷灌器（与地面垂直）所在直线为y轴、地面所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求喷出的水柱所在抛物线的解析式； （2）若水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点B处，求喷灌器到围墙的距离． 26. 【问题背景】 （1）如图1，四边形是的内接四边形，，则的度数为________°； 【深入探究】 （2）如图2，在中，，，以为边在右侧作等边，求的长； 【拓展应用】 （3）如图3，矩形是某公园绿化工程一片绿地，，，规划在该绿地中的点M处修建一个凉亭（大小忽略不计），并沿、修建两条小路，沿铺设地下水管，要求，为节省铺设地下水管的费用，要求铺设地下水管的长度最小，请你求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末阶段作业 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 2 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；将代入方程后，通过移项直接求出代数式的值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴； 故选：A． 2. 下图出自《九章算术》“商功”卷，在互相垂直的墙体角落里，堆放着粟谷，将谷堆看作圆锥的一部分，则该谷堆的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形，作出判断即可． 【详解】解：该谷堆的主视图为：    ． 故选：D． 3. 有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在，则红色卡片的数量约为（ ） A. 2张 B. 8张 C. 15张 D. 18张 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率的定义，熟练掌握其定义和概率公式是解题的关键． 频率稳定在，表明抽到红色卡片的概率约为，利用概率公式计算红色卡片数量即可． 【详解】解：抽到红色卡片的频率稳定在， 则抽到红色卡片的概率约为， 因此，红色卡片的数量约为（张）， 故选：B． 4. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；根据一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，求得k的取值范围，再结合各选项中的值即可判断． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 即； ∵选项A中的值，而选项B、C、D中的值均大于2.25， ∴ k的值可能是2． 故选：A． 5. 若反比例函数的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握比例系数的符号与增减性的关系是关键．根据反比例函数的性质，当比例系数小于0时，函数图象在每一象限内y随x的增大而增大，由此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大， ∴， 解得：， 故选：B． 6. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出，再根据正切函数的定义求解． 【详解】解：∵中，，，， ∴ ， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理、解直角三角形、二次根式分母有理化等，解题的关键是掌握正切函数的定义． 7. 如图，在正方形中，是对角线上一点，延长线交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，得到＋，可得到，再根据平行线的性质得到，，根据三角形外角和性质即可求解． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了利用正方形的性质求角度，利用三角形全等和三角形外角和性质求解是解题的关键． 8. 已知抛物线经过点，，中的两点，且与y轴交于点D，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据抛物线的解析式得到对称轴为直线，然后判断抛物线过的两点为，，即可求出，代入计算得到，然后得到点D的坐标为，点B的坐标为，，，再求出直线的解析式，然后表示，，利用比差法解题即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 当抛物线经过点，， 则，解得， 即过点，代入得，解得，不符合题意； 当抛物线经过点，， 则，解得， 即过点，代入得，解得，不符合题意； ∴抛物线经过点，， 则，解得，故B错误； ∴，，代入得： ，解得，故C错误； ∵， ∴，故A错误； ∴抛物线解析式为， ∵点D的坐标为，点B的坐标为，，， 设直线的解析式为， 则，解的， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为与y轴交点坐标为， ∴，， ∴， ∴，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数图像上点的坐标，求直线解析式，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知锐角满足，则锐角的度数是______度 【答案】60 【解析】 【详解】分析：根据特殊角三角函数值，可得答案． 详解：由锐角α满足cosα=，则锐角α的度数是60度， 故答案为60． 点睛：本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 10. 若抛物线（m为常数）的开口向上，则m的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． 根据二次函数图像的性质，开口向上时二次项系数大于零，据此解答即可． 【详解】解：由于抛物线的开口向上， 则， 解得， 则的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一）． 11. 秦岭是全球野生大熊猫的重要分布区，大熊猫与朱鹮、林麝、金丝猴、羚牛、金钱豹并称“秦岭六宝”．某网店售卖的大熊猫玩偶原本标价为元/个，因市场波动，经过两次降价后标价变为元/个，设大熊猫玩偶两次降价的平均降价率为，则根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用——平均变化率问题．对于“次平均变化率”问题，核心公式为：(“”对应增长率，“”对应降价率)．本题中，初始量是50元，最终量是40元，变化次数，变化类型是降价(用“”)，代入公式即可列出方程． 【详解】解：∵大熊猫玩偶的原价为50元/个，两次降价的平均降价率为， ∴第二次降价后，价格为元/个， ∴可列方程：． 故答案为：． 12. 如图，半径为5的中，弦、所对的圆心角分别为和，若，与互补，则弦的长为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理，熟练掌握其定理是解题的关键． 延长交于点E，连接，证得，进而得到，根据圆周角定理得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点E，连接， 则 为的直径 、 故答案为：8． 13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在y轴正半轴上，菱形的面积为24，若反比例函数的图象经过点C，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据图形面积求比例系数（解析式），正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据菱形的面积为24，得，则，又因为反比例函数的图象在第二象限，则，即可作答． 【详解】解：如图所示： 菱形的顶点B在y轴正半轴上，菱形的面积为24， ∴， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， 故答案为： 14. 在 中，，，，延长 至点 ，过点 分别作 ，交直线于点，作，交直线于点，连接，线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，取中点，连接，以为直径作，先确定点，在上，由圆周角定理得到，那么为等边三角形，则将的最小值转化为的最小值，再根据垂线段最短，以及解直角三角形即可求解． 【详解】解：连接，取中点，连接，以为直径作， ∵， ∴， ∴， ∴点，在上， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小， ∴时，最小，即最小，如图： ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形的相关计算，等边三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，将特殊角的三角函数值代入求解． 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求法．利用因式分解法求解即可． 【详解】解：原方程可化为， 因式分解得， ∴，， ∴，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．以原点O为位似中心，在y轴左侧作出的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点、、），使得与的相似比为． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-位似变换，连接、、，分别取它们的中点即为、、． 【详解】解：如图所示： 18. 如图，在中，点D在边上．请用尺规作图法在边上求作一点E，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作图——相似变换，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 作，根据“两组角对应相等的两个三角形相似”，找到点E即可． 【详解】解：如图，点E即为所求． 19. 如图，点E、F在矩形的边上，连接、，与的延长线交于点P，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，由等边对等角结合对顶角相等即可得出，最后证明，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， ∴， ∵，， ． 在和中， ， ， ． 20. 校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒打开，恰好装有“数独”卡片的概率为________； （2）若某轮只有小贤和小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图或列表法，求两人恰好抽取装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式等知识点，根据题意正确画出树状图是解题的关键． ()直接根据概率公式求解即可； ()画树状图列出所有等可能的结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：若随机抽取一个盲盒并打开，抽中的可能有种等可能结果，恰好装着写有“数独”卡片有种可能，即概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 “幻方”“数独”“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作，根据题意画树状图如下： 共有种等可能的结果数，其中他们恰好抽到“幻方”和“华容道”卡片盲盒的结果数为， ∴他们恰好抽到“幻方”和“华容道”卡片盲盒概率为． 21. 如图，某种摄像头识别到最远点A的俯角是，识别到最近点B的俯角是，该摄像头安装在距地面6m高的点C处（即），．求最远点A与最近点B之间的距离．（参考数据：，，）． 【答案】14m 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用、等腰三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 易证得，进而得到，在中，根据，求出的长，再利用解答即可． 【详解】解：由题意可得，， 在中，， ， 在中，， ， ， 最远点A与最近点B之间的距离为14m． 22. 某工业大学学生在研究一种新型材料时，需先将材料加热到，再进行加工操作．如图，停止加热后，温度与时间成反比例关系． （1）求材料停止加热后与的函数关系式． （2）根据工艺要求，停止加热后，当材料温度不低于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间有多长？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，把代入解析式列式计算确定k值即可； （2）将代入得到，得，计算时，反比例函数的值，其差即为所求． 本题考查了反比例函数的应用、待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法，明确时长等于交点横坐标的差是解题的关键． 【小问1详解】 解：设反比例函数的解析式为， 把代入解析式，得， 故反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：将代入， 解得， ∴， 当时，； 故加工的时长为． 23. 综合实践小组的同学利用平面镜、尺子等工具测量了某广场上路灯的高度．如图，在支架的点C处放置一面平面镜（平面镜大小忽略不计），支架与路灯的水平距离为，当小亮站在点F处时，恰好能从平面镜中看到路灯顶端A的像．已知小亮眼睛到地面的高度为，支架的高度为，小亮与支架的水平距离为，点B、D、F在同一直线上，，，，图中所有点均在同一平面内，求该路灯的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质．过点作，可证四边形为矩形，，根据相似三角形对应边成比例可得，可以求出的长度，再根据求出路灯的高度． 【详解】解：如下图所示，过点作， 于点，于点，交的延长线于点， ，，， ， 四边形为矩形， ， 根据入射角等于反射角，可得：， ， ， ，， ，， ，， ， ， 解得：， ． 答：路灯的高度为． 24. 如图，四边形内接于，为直径，过点A作交的延长线于点E，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查切线的判定、圆周角定理、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握有关性质定理，灵活应用数形结合的思想是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理证得，根据角平分线的性质证得，进而证得，则，进而证得，从而得出结论； （2）过点O作于点F，证得四边形是矩形，进而证得，根据平行线的性质得到，从而得到，在中，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ． 平分， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：过点O作于点F， 则， 四边形是矩形， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 在中，． 25. 随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱呈抛物线形．如图是某家庭喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口A点离地高度为（即），喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，以喷灌器（与地面垂直）所在直线为y轴、地面所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求喷出的水柱所在抛物线的解析式； （2）若水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点B处，求喷灌器到围墙的距离． 【答案】（1） （2）5m 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）设该抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）令，求出点B的坐标，据此解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得，顶点坐标为， ∴设该抛物线的解析式为， ∵点该抛物线上， ∴， 解得， ∴喷出的水柱所在抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：令得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴点B的坐标为， ∴， ∴喷灌器到围墙的距离为． 26. 【问题背景】 （1）如图1，四边形是的内接四边形，，则的度数为________°； 【深入探究】 （2）如图2，在中，，，以为边在右侧作等边，求的长； 【拓展应用】 （3）如图3，矩形是某公园绿化工程的一片绿地，，，规划在该绿地中的点M处修建一个凉亭（大小忽略不计），并沿、修建两条小路，沿铺设地下水管，要求，为节省铺设地下水管的费用，要求铺设地下水管的长度最小，请你求出的最小值． 【答案】（1）112； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆的内接四边形的性质进行解答即可； （2）易得是等边三角形，进而得到，则点B、C、D在以点A为圆心，长为半径的上，进而得到，过点C作于点E，则，进而得到，，再利用解答即可； （3）作的外接圆，在优弧上取一点G，连接、、、，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理可求出，连接，交于点，此时最小，在中，根据勾股定理求得，易证得为等腰直角三角形和四边形是正方形，进而得到，根据勾股定理求得，再利用解答即可． 【详解】（1）解：四边形是的内接四边形， ， ， 故答案为：112； （2）解：，， ， 等边三角形， ，， ， 点B、C、D在以点A为圆心，长为半径的上， ， ， 过点C作于点E，如图： ， ，， ； （3）解：如图，作的外接圆，在优弧上取一点G，连接、、、， , , , 在中，，， ， 连接，交于点，此时最小， ， 过点作于点，交的延长线于点， ， 在中，， ， 为等腰直角三角形， 、、且， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 在中，， ， ， ， 最小值为． 【点睛】本题考查圆的内接四边形的性质、圆周角定理、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、勾股定理，熟练掌握有关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $