精品解析：内蒙古自治区鄂尔多斯市伊金霍洛旗2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年度第一学期期末质量监测九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分．考试时间为90分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置．请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置上． 3．答题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 一匹马奔跑的速度是700米/秒 B. 射击运动员射击一次，命中10环 C. 两个负数的和是负数 D. 在只装有白球的袋子中摸出黑球 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了本题考查了随机事件、不可能事件，随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件． 【详解】解：A、一匹马奔跑的速度是700米/秒，是不可能事件，故不符合题意； B、射击运动员射击一次，命中10环；是随机事件，故符合题意； C、两个负数的和是负数，是必然事件，故不符合题意； D、在只装有白球的袋子中摸出黑球，是不可能事件，故不符合题意； 故选：B． 2. 若，，则以，为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴以，为根的一元二次方程是， 故选：A． 3. 如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是旋转性质、等边对等角、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握旋转性质． 根据旋转性质得，，，再由等边对等角得，结合三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：由旋转性质得，，，， ，， 中，． 故选：． 4. 在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为人，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，每个小朋友都向其他小朋友赠送礼物，因此每个小朋友送出件礼物，x个小朋友共送出件礼物，总礼物数为110件，据此列方程． 【详解】解：设小朋友人数为x，则每人送出礼物数为件，总礼物数为件， 依题意得． 故选：A． 5. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理． 连接交于点，根据垂径定理得到米，，再根据勾股定理得到即可得解． 【详解】解：连接交于点， 依题得：米，，米， 设，即， 中，， 即， 解得， 即米， 米， 即点到弦所在直线距离是米． 故选：． 6. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可． 【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意； 根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意； 故选：C． 7. 如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D，E分别在，上，点C在上．若，，则图中阴影部分面积的和为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求扇形面积，求其他不规则图形的面积，利用菱形的性质求线段长，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据菱形的性质，利用同底等高的两个三角形面积相等将阴影部分的面积转化为扇形面积． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，一段抛物线，记为抛物线；它与轴交于点，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点；……如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图像的基本规律，根据确定，，图像开始循环，横坐标以12为循环节，函数值相等，计算，判定m与时的函数值相等，只需确定的解析式即可． 【详解】解：根据， ∴，， ∴的解析式为 根据题意，得 函数图像开始循环，横坐标以12为循环节，函数值相等 ∵， ∴m与时的函数值相等， 时，， 故选C． 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 9. 某设计运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下： 设计次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上次数 15 33 78 158 321 801 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是__________（精确到)． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，首先根据表格分别求出每一次实验频率，然后根据频率即可估计概率． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 由频率分布表可知，随着射击次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近， 估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是（精确到)． 故答案为：． 10. 如图，是正五边形的外接圆，点P为上的一点，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形性质，圆内接四边形性质，根据多边形是正五边形，求出，进而得到，再结合圆内接四边形性质求解，即可解题． 【详解】解：∵多边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边作Rt△ABC，则AB边上的中线CD的最小值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得到CDAB，再把抛物线解析式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为（2，4），从而得到垂线段AB的最小值为4，所以中线CD的最小值为2． 【详解】解：∵CD为Rt△ABC中斜边AB边上的中线CD， ∴CDAB， ∵y＝（x﹣2）2+4， ∴抛物线的顶点坐标为（2，4）， ∴点A到x轴的最小距离为4，即垂线段AB的最小值为4， ∴中线CD的最小值为2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了直角三角形斜边上的中线性质． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，，，将绕点O旋转，使点B落在x轴上，则此时点A的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，等边对等角，勾股定理， 含30度角的直角三角形的性质，分当点F在x轴正半轴时，当点F在x轴负半轴时，过点E作于H，根据旋转的性质得到，据此利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出点E的坐标即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 设点A的对应点为点E，点B的对应点为F， 如图所示，当点F在x轴正半轴时，过点E作于H， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点F在x轴负半轴时，同理可得； 综上所述，当点B落在x轴上，此时点A的坐标为或， 故答案为：或． 三、解答题：本大题共有6小题，共64分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 13. 用适当方法解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）运用配方法求解即可； （2）方程移项后，运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 移项得， 配方得，即， 开方得， ∴，； 【小问2详解】 解：， 移项得， 因式分解得， ∴，， ∴，． 14. 已知函数的图象如图所示，图像过，，，根据图象回答下列问题． （1）关于x的方程的解为______．关于x的不等式的解集为______． （2）如果关于x的方程无实数根，求m的取值范围． 【答案】（1），；或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系及求一元二次不等式组解集，利用数形思想解答是解题的关键． （1）根据函数图象与x轴的交点坐标即可求解，再结合图象即可求得x的解集； （2）根据函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：观察函数图象可知，图象与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为， 将方程变形为， 由图象可知方程的解为，， ∴方程的解为，； 由函数图象可知，的解集为或， 故答案为：，；或． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵方程无实根， ∴， ∴， 即m的取值范围是． 15. 小明参加某个竞答节目，答对两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项．这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一道题的1个错误选项）： （1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率为________； （2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用画树状图或列表的方法来求小明顺利通关的概率； （3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”？ 【答案】（1） （2）见解析， （3）建议小明在第一题使用“求助” 【解析】 【分析】（1）由第一道单选题有个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先分别用表示第一道单选题的个选项，表示剩下的第二道单选题的个选项，然后根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，再利用概率公式即可求得答案； （3）分别计算出来第一题使用“求助”和第二题使用“求助”的概率，比较大小，即可得出结果. 【小问1详解】 解：∵第一道单选题有3个选项， ∴小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：； 故答案为：. 小问2详解】 解：分别用表示第一道单选题的个选项，表示剩下的第二道单选题的个选项，画树状图得： ∵共有种等可能的结果，小明顺利通关的只有种情况， ∴小明顺利通关的概率为：． 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为， 如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：， ∵ ∴建议小明在第一题使用“求助”． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 16. 如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）如图1，连接，则，由切线的性质可知，则，，进而结论得证； （2）如图2，连接，由为的直径，可得，证明为的中点，根据，证明即可； （3）由（2）可知，，，则，证明，则，求的值，则可得的值，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 证明：如图1，连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图2，连接， 由（1）可知，， ∵为的直径， ∴， ∴，即为的中点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可知，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得， ∴， ∴， ∴的长为9． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，弦与弧的关系，相似三角形的判定与性质．熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 17. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为． （1）求和的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】（1）； （2）水面的直径为 （3）锅盖不能正常盖上，理由见解析 【解析】 【分析】（1）已知、、、四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式； （2）炒菜锅里的水位高度为，即，列方程求得x的值即可得答案； （3）底面直径为、高度为圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当时，、中的值的差与比较大小，从而可得答案． 【小问1详解】 由于抛物线、都过点、，设、的解析式为：，； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线． 【小问2详解】 当炒菜锅里的水位高度为时，，即， 解得：， ∴此时水面的直径为． 【小问3详解】 锅盖不能正常盖上，理由如下： 当时，抛物线， 抛物线， 而， ∴锅盖不能正常盖上． 【点睛】考查了二次函数的综合应用，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等，注意数形结合思想在解题中的应用. 18. 如图，四边形中，对角线与交于点，且． （1）求证：四边形是正方形； （2）若是边上一点（与，不重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，过点分别作及延长线的垂线，垂足分别为，．设四边形的面积为，以为邻边的矩形的面积为，且． ①求证：； ②当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证是矩形，最后证邻边相等得正方形； （2）①通过角度推导和已知条件证三角形全等；②利用全等和面积关系建立方程求解． 【小问1详解】 证明：∵ ，， ∴ 四边形是平行四边形， ∵ ， ∴ ， ∴ 平行四边形是矩形， ∵ ，， ∴， ∴ ，即， ∴ 矩形是正方形； 【小问2详解】 解：①∵ ，，四边形是正方形， ∴ ，，， ∵ 线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴ ； ②∵ ，四边形是正方形， ∴ ， ∵， ∴ ，， 设，则，，， ∵， ∴， ∵，， ∴ 四边形是矩形， ∴ ， ，， ∵ ， ∴ ， ∴（舍去）或， 故的长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质及一元二次方程的应用，熟练掌握正方形的判定与性质和全等三角形的判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末质量监测九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分．考试时间为90分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置．请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置上． 3．答题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 一匹马奔跑的速度是700米/秒 B. 射击运动员射击一次，命中10环 C. 两个负数的和是负数 D. 在只装有白球的袋子中摸出黑球 2. 若，，则以，为根一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为人，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 7. 如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D，E分别在，上，点C在上．若，，则图中阴影部分面积的和为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，一段抛物线，记为抛物线；它与轴交于点，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点；……如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 8 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 9. 某设计运动员在相同条件下的射击成绩记录如下： 设计次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上次数 15 33 78 158 321 801 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是__________（精确到)． 10. 如图，是正五边形的外接圆，点P为上的一点，，则的度数为______． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边作Rt△ABC，则AB边上的中线CD的最小值为_________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，，，将绕点O旋转，使点B落在x轴上，则此时点A的坐标为______． 三、解答题：本大题共有6小题，共64分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 13. 用适当方法解下列方程 （1）； （2）． 14. 已知函数图象如图所示，图像过，，，根据图象回答下列问题． （1）关于x的方程的解为______．关于x的不等式的解集为______． （2）如果关于x的方程无实数根，求m的取值范围． 15. 小明参加某个竞答节目，答对两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项．这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一道题的1个错误选项）： （1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率为________； （2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用画树状图或列表的方法来求小明顺利通关的概率； （3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”？ 16. 如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 17. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为． （1）求和的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 18 如图，四边形中，对角线与交于点，且． （1）求证：四边形是正方形； （2）若是边上一点（与，不重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，过点分别作及延长线的垂线，垂足分别为，．设四边形的面积为，以为邻边的矩形的面积为，且． ①求证：； ②当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $