精品解析：北京市燕山教育集团2025—2026学年上学期八年级期末考试数学试卷

燕山教育集团2025-2026学年第一学期八年级期末考试 数学试卷 考生须知： 1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将答题卡和本试卷一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分．第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．） 1. 书法是我国传统文化的重要组成部分．下列是“家国天下”四个篆体字，其中可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 如果的三边长分别为5，7，m，那么m的值可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵的三边长分别为5，7，m， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有B选项中的数符合题意， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法运算，幂的乘方运算和合并同类项，根据相关运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，，点E在线段上，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了全等三角形的性质，根据，，，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故选：B． 5. 如图是屋架设计图的一部分，已知，点D在上．下列条件不能说明的是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，垂线的定义，由三线合一定理可判断A、B；由垂线的定义可判断D；由和现有条件无法证明，则可判断C． 【详解】解：A、∵， ∴，故此选项不符合题意； B、∵， ∴平分， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、由和现有条件无法证明，故此选项符合题意； D、∵，， ∴， ∴，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 据央视新闻2025年4月19日报道，复旦大学科研团队成功开发出半导体电荷存储器“破晓（）”，其擦写速度可达400皮秒，是迄今最快的半导体电荷存储技术．已知一皮秒相当于一万亿分之一秒，即秒，400皮秒用科学记数法表示应为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，首先得到 400 皮秒秒，然后根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：一皮秒秒， 皮秒秒， 秒， 故选：A． 7. 下面是“作的角平分线”的尺规作图方法： （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点． （3）画射线，射线即为所求． 上述方法是通过判定得到的，其中判定的依据是 A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B. 三边分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定．根据证明三角形全等即可． 【详解】解：在△和△中， ， ， ， 射线平分． 故选：B． 8. 已知为任意整数，代数式的值记为M，有下列三个结论：①M一定是正整数；②M一定是奇数；③M总能被3整除．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，利用平方差公式可推出，再根据整数性质判断各结论即可． 【详解】解： ， 当时，，不是正整数，故①错误； ∵为任意整数， ∴是奇数， 又∵3是奇数，奇数乘以奇数仍是奇数， ∴一定是奇数，故②正确； ∵， ∴总能被3整除，故③正确． ∴ 正确结论的序号是②③．， 故选：B． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件．根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴分母， 解得：． 故答案为：． 10. 计算的结果是______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式 故答案为1． 【点睛】本题考查了分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 11. 分解因式：3a2﹣6a+3=____． 【答案】3（a﹣1）2． 【解析】 【详解】解：原式=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2． 故答案为：3（a﹣1）2． 【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用． 12. 方程的解是_______ 【答案】x=9 【解析】 【分析】观察可得最简公分母是x（x-3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【详解】解：方程的两边同乘x（x-3），得 3x-9=2x， 解得x=9． 检验：把x=9代入x（x-3）=54≠0． ∴原方程的解为：x=9． 故答案为：x=9． 13. 如图，D，E分别是上的点，，请添加一个条件，使得．这个条件可以为______（只填一个条件即可）． 【答案】，或，或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定条件，准确分析是解题的关键． 根据已知的和公共角进行分析判断即可． 【详解】，， 当时，根据判定； 当时，根据判定； 当时，根据判定； 故答案是：，或，或． 14. 如图是一款儿童小推车的示意图．若，，，则______°． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出． 【详解】解：∵，， ， ，， ， 故答案为：70． 15. 如图，中，，平分，，，则的面积为 ___________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，先作辅助线，然后根据角平分线的性质即可得到，再根据三角形的面积公式即可计算出的面积．解答本题的关键是作出合适的辅助线，求出的长． 【详解】解：作于点E，如图所示， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：15． 16. 同学们在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院．同学们分别对两个建筑物的占地面积（图中阴影）进行了数据测量，数据如图所示． 记图1中回字形福建土楼的占地面积为，图2中山西大院的占地面积为． （1）若，比较与的大小：______（填“”，“”或“”）； （2）若，则的值为______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，因式分解的应用，正确表示出和是解题的关键． （1）等于图1中外面大长方形的面积减去中间空白的长方形面积，等于图2中外面大长方形的面积减去中间空白的长方形面积，据此求出和，再利用作差法求解即可； （2）根据（1）所求可得，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：（1）由题意得， ， ， ∴ ， ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴由（1）得， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 三、解答题（共68分，第17题6分，每小题3分；第18-23题，每题5分；第24-26题，每题6分；第27-28题，每题7分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂，积的乘方计算和单项式除以单项式，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． （1）根据零指数幂、负整指数幂以及绝对值的性质，求解即可． （2）先计算积的乘方，同底数幂的乘法，再计算单项式除以单项式，最后合并同类项即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式． 18. 已知，，求代数式的值． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算化简求值，熟练整式混合运算法则，细心运算先化简再求值是解题关键．根据整式的混合运算法则先化简，再将，代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可得，再把所求式子的分子和分母都分解因式，再约分，最后利用整体法求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ， ． 20. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法．方程的两边都乘以化为整式方程，求出这个整式方程的解，再代入进行检验即可． 【详解】解：， 方程的两边都乘以，去分母，得：， 展开得， 整理，得， 解得：， 检验：当时，， 所以，方程的解为． 21. 如图，点D是的边延长线上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，根据平行线的性质得出，然后根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 22. 如图，在中，，，，交于点D． （1）求的度数． （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，含30度的直角三角形的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据，，得出，再根据三角形内角和定理求出，根据，得出，再根据三角形内角和定理即可求解． （2）根据，得出，在中，根据直角三角形的性质得出，结合即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴． 又∵在中，，， ∴， ∴． 23. 学习了等腰三角形和尺规作图后，小云进行了拓展性研究，她发现“任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形”．下面是小云设计的尺规作图过程． 已知：如图，，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 作法：①作直角边的垂直平分线，交斜边于点D； ②连接，则线段即为所求． 根据小云设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴（______）（填推理的依据）， ∴（______）（填推理的依据）． ∵， ∴，， ∴， ∴（______）（填推理的依据）， ∴和都是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；等边对等角；等角对等边 【解析】 【分析】本题考查了作图-尺规作图、等腰三角形的判定、垂直平分线的性质，熟练掌握尺规作法作垂直平分线的方法及等腰三角形的判定的解题的关键． （1）根据作法补全图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得，再根据角的等量代换得，进而可证得，由等腰三角形的判定即可求证结论； 【小问1详解】 解：补全的图形如图所示； 【小问2详解】 解：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， ∴（等边对等角）． ∵， ∴，， ∴， ∴（等角对等边）， ∴和都是等腰三角形． 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；等边对等角；等角对等边． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点A，B关于y轴的对称点分别是． （1）写出点的坐标； （2）在x轴上找一点C，使得最小，请在图中画出点C并写出点C的坐标； （3）在y轴上找一点D，使得最小，请在图中画出点D并写出点D的坐标．（不写画法，保留作图痕迹） 【答案】（1）， （2）见解析，； （3）见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． （1）根据轴对称的性质即可求解． （2）连接交x轴于点C，此时最小，． （3）连接交y轴于点D，此时最小，． 【小问1详解】 解：∵点，点A，B关于y轴的对称点分别是， ∴，． 【小问2详解】 解：画出点C如图所示，； 【小问3详解】 解：画出点D如图所示，． 25. 我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准、高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换的钢轨长度比一个工作队每小时人工更换的钢轨长度多，它更换钢轨所用时间与一个工作队人工更换钢轨所用时间相等．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米？ 【答案】一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出分式方程是解题的关键，注意要检验；设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨，根据等量关系：快速换轨车更换钢轨所用时间与一个工作队人工更换钢轨所用时间相等，列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨， 根据题意，得， 解得：． 经检验是所列方程的解，且符合题意． 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨． 26. 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成便于记忆又不易破解的密码，其原理是：将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式可以分解成，若取，那么，，14和18就是因式码，将这两个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码1418．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．如果分解的结果有单项式，例如，我们取和的值作为两个因式码． （1）若多项式为，当时，请直接写出用上述方法生成的密码； （2）已知王老师手机的锁屏密码是6位数字323870，若王老师选取的多项式为，并且取x为自己的年龄生成锁屏密码，请求出王老师的年龄； （3）已知多项式，当x取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为16，请直接写出其他两个因式码． 【答案】（1）1525； （2）王老师的年龄是35岁； （3）20，36． 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意分解因式，代入求解即可； （ 2 ）因式分解得出，再进行讨论即可得解； （3）因式分解得出，再进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：， 当时，， ∴密码为1525； 故答案为：1525； 【小问2详解】 解：， ∵王老师手机的锁屏密码是6位数字323870， ∴三个因式码为32、38、70， 当时，， 此时，此时三个因式码为13，16，32，锁屏密码是131632，不符合题意； 当时，， 此时，此时三个因式码为26，32，58，锁屏密码是263258，不符合题意； 当时，， 此时，此时三个因式码为32，38，70，锁屏密码是323870，符合题意； ， 即王老师当前年龄是35岁； 【小问3详解】 解：， 显然， 当时，， 此时符合题意； 当时，（负值舍去）， 则，此时三个因式码为10，14，16，最小的因式码为10，不符合题意； 综上可知，当时，符合题意，其他两个因式码是20和36． 27. 如图，在等边三角形中，点D在边的延长线上，作点D关于直线的对称点E，连接，，． （1）依题意补全图形，并求的度数； （2）连接，取的中点F，连接．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析， （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是由表示各个角度从而得到关系． （1）根据题意补全图形即可；根据等边三角形的性质得出，则，根据点D关于直线的对称点为E，得出，再根据即可求解． （2）如图，延长至点G，使得，连接．根据点F为的中点，得出，证明，得出，，根据，求出，根据等边三角形的性质得出，，则，得出．根据轴对称的性质得出，则，证明，即可得出． 【小问1详解】 解：依题意补全图形，如图；连接， ∵等边三角形， ∴， ∴． ∵点D关于直线的对称点为E， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：． 证明：如图，延长至点G，使得，连接． ∵点F为的中点， ∴． 在和中，，，， ∴， ∴，， ∴． ∴． ∵等边三角形， ∴，， ∴， ∴． ∵点E，D关于直线对称， ∴， ∴． 在和中，，，， ∴， ∴． 28. 定义：在平面直角坐标系中，已知点，且，若点P关于直线的对称点为点，则称点为点P的“伴随点”． （1）①点的“伴随点”是点，则点的坐标是______； ②点B“伴随点”是点，则点B的坐标是______； （2）已知点，若线段上存在点E，使得点E的“伴随点”在y轴上，求m的取值范围； （3）如图，第二、四象限角平分线上方和y轴左侧的公共部分构成区域W（含边界）．已知点的“伴随点”分别为，若在区域W中有且只有3个点F，使得为等腰直角三角形，请直接写出t的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）①连接，可证明是等腰直角三角形，得到，则可证明，由轴对称的性质可得，则可证明点在y轴上，据此可得答案；②如图所示，连接，设点是在点N上方，且在直线上的一点，由轴对称的性质可得，则可证明轴，则点B的坐标为； （2）设点为点P的“伴随点”，，分别过点P、M作x轴、y轴的平行线，二者交于T，过点作轴于点S，可证明，得到，，则，可得点的坐标为；设点E的坐标为，则点E的“伴随点”的坐标为，根据点在y轴上，得到，据此可得答案； （3）由（2）可知，，根据等腰直角三角形的性质与判定定理可得，，，；，；证明三点共线，三点共线，再根据在区域W中有且只有3个点F，可得这6个点只有三个点在区域W中，据此结合图形讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①如图所示，连接， 由题意得，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴，轴， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴三点共线，即点在y轴上， ∴， ∴点的坐标为； ②如图所示，连接，设点是在点N上方，且在直线上的一点， 则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴，即轴， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示，设点为点P的“伴随点”，， 分别过点P、M作x轴、y轴的平行线，二者交于T，过点作轴于点S， 则轴， ∴； 同理可证明是等腰直角三角形， ∴， ∴ 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； ∵点，点E在线段上， ∴可设点E坐标为， ∴点E的“伴随点”的坐标为，即， ∵点在y轴上， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可知，即， ∴，且轴； 当点为直角顶点时，则， ∴轴， ∴点和点的坐标分别为，，即，， 如图3-1所示，当点为直角顶点时，则， ∴轴， ∴点和点的坐标分别为，，即，； 当点F为直角顶点时，则； 如图3-1所示，过点于T，则，等腰直角三角形， ∴，轴， ∴点和点的坐标分别为，，即，； 由等腰直角三角形的性质可得； ∴三点共线， 同理可得三点共线， 如图3-1所示，设第二、四象限角平分线与直线交于L， 则， ∵轴，即轴， ∴直线和直线与x轴的夹角均为， ∴直线与直线直线平行； 如图3-2所示，当点恰好在直线上时，则，解得， 此时点在区域W中，点不在区域W中； 如图3-3所示，当点恰好在直线上时，则，解得， 此时点在区域W中，点不在区域W中； ∴当时，点在区域W中，点不在区域W中，满足题意； 如图3-4所示，当点恰好在y轴上时，则，解得， 此时在区域W中，点不在区域W中； 如图3-5所示，当点恰好在y轴上时，则，解得， 此时在区域W中，点不在区域W中； ∴当时满足在区域W中，点不在区域W中； 综上所述，当或时，在区域W中有且只有3个点F，使得为等腰直角三角形， 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形，正确理解“伴随点”的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 燕山教育集团2025-2026学年第一学期八年级期末考试 数学试卷 考生须知： 1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将答题卡和本试卷一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分．第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．） 1. 书法是我国传统文化的重要组成部分．下列是“家国天下”四个篆体字，其中可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果的三边长分别为5，7，m，那么m的值可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 12 D. 15 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，点E在线段上，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图是屋架设计图的一部分，已知，点D在上．下列条件不能说明的是（ ） A. B. C. D. 6. 据央视新闻2025年4月19日报道，复旦大学科研团队成功开发出半导体电荷存储器“破晓（）”，其擦写速度可达400皮秒，是迄今最快的半导体电荷存储技术．已知一皮秒相当于一万亿分之一秒，即秒，400皮秒用科学记数法表示应为（ ） A 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 7. 下面是“作的角平分线”的尺规作图方法： （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点． （3）画射线，射线即为所求． 上述方法是通过判定得到的，其中判定的依据是 A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B. 三边分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 8. 已知为任意整数，代数式值记为M，有下列三个结论：①M一定是正整数；②M一定是奇数；③M总能被3整除．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 10. 计算的结果是______． 11. 分解因式：3a2﹣6a+3=____． 12. 方程的解是_______ 13. 如图，D，E分别是上的点，，请添加一个条件，使得．这个条件可以为______（只填一个条件即可）． 14. 如图是一款儿童小推车的示意图．若，，，则______°． 15. 如图，中，，平分，，，则的面积为 ___________． 16. 同学们在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院．同学们分别对两个建筑物的占地面积（图中阴影）进行了数据测量，数据如图所示． 记图1中回字形福建土楼的占地面积为，图2中山西大院的占地面积为． （1）若，比较与的大小：______（填“”，“”或“”）； （2）若，则的值为______． 三、解答题（共68分，第17题6分，每小题3分；第18-23题，每题5分；第24-26题，每题6分；第27-28题，每题7分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知，，求代数式值． 19. 已知，求代数式的值． 20. 解方程：． 21. 如图，点D是的边延长线上一点，，，．求证：． 22. 如图，在中，，，，交于点D． （1）求的度数． （2）若，求的长． 23. 学习了等腰三角形和尺规作图后，小云进行了拓展性研究，她发现“任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形”．下面是小云设计的尺规作图过程． 已知：如图，，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 作法：①作直角边的垂直平分线，交斜边于点D； ②连接，则线段即为所求． 根据小云设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴（______）（填推理的依据）， ∴（______）（填推理依据）． ∵， ∴，， ∴， ∴（______）（填推理的依据）， ∴和都是等腰三角形． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点A，B关于y轴的对称点分别是． （1）写出点的坐标； （2）在x轴上找一点C，使得最小，请在图中画出点C并写出点C的坐标； （3）在y轴上找一点D，使得最小，请在图中画出点D并写出点D的坐标．（不写画法，保留作图痕迹） 25. 我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准、高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换的钢轨长度比一个工作队每小时人工更换的钢轨长度多，它更换钢轨所用时间与一个工作队人工更换钢轨所用时间相等．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米？ 26. 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成便于记忆又不易破解的密码，其原理是：将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式可以分解成，若取，那么，，14和18就是因式码，将这两个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码1418．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．如果分解的结果有单项式，例如，我们取和的值作为两个因式码． （1）若多项式为，当时，请直接写出用上述方法生成密码； （2）已知王老师手机的锁屏密码是6位数字323870，若王老师选取的多项式为，并且取x为自己的年龄生成锁屏密码，请求出王老师的年龄； （3）已知多项式，当x取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为16，请直接写出其他两个因式码． 27. 如图，在等边三角形中，点D在边的延长线上，作点D关于直线的对称点E，连接，，． （1）依题意补全图形，并求的度数； （2）连接，取的中点F，连接．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 定义：在平面直角坐标系中，已知点，且，若点P关于直线的对称点为点，则称点为点P的“伴随点”． （1）①点的“伴随点”是点，则点的坐标是______； ②点B的“伴随点”是点，则点B的坐标是______； （2）已知点，若线段上存在点E，使得点E的“伴随点”在y轴上，求m的取值范围； （3）如图，第二、四象限角平分线上方和y轴左侧的公共部分构成区域W（含边界）．已知点的“伴随点”分别为，若在区域W中有且只有3个点F，使得为等腰直角三角形，请直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $