精品解析：广西南宁市2026届普通高中毕业班第一次适应性测试数学试题

南宁市2026届普通高中毕业班第一次适应性测试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求出的值. 【详解】由题可知，，解得 . 故选：D. 2. 设，则＝（ ） A. 10 B. C. 25 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得，再结合同底数幂的乘法的运算法则进行求解. 【详解】由题意知，， 所以， 故选：D. 3. 若，则＝（ ） A. 3 B. C. D. －3 【答案】A 【解析】 【分析】由题设及同角三角函数关系可得，据此可得答案. 【详解】因， 则，. 从而. 故选：A 4. 设随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性及概率加法公式计算可得. 【详解】因为随机变量，所以. 因为，所以，所以. 所以. 所以. 故选：C. 5. 某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文化与文物考古、民族文化与非遗传承、蓝色海洋文化教育这5个研学方向．学校安排6名教师负责这5个方向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为（ ） A. 2400 B. 1800 C. 1500 D. 2100 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分组分配，结合排列组合知识计算即可求解. 【详解】由题意可得其中一个研学活动有2名教师负责，剩下四个研学活动有1名教师负责， 故不同的分配方法种数为. 故选：B 6. 已知，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式可得，由诱导公式可得，结合条件可求结论. 【详解】， 且， 故， 故. 故选：A 7. 如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设根据十字形地域的面积，得出 的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设 则，所以， 所以， 因为，即且 ，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B 8. 已知点是双曲线C： 的左焦点，过原点 的直线与交于 (在左支上且异于左顶点）两点，延长与交于点．若，且，则（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】取双曲线的右焦点为利用双曲线的对称性可知四边形为矩形，设，再结合双曲线定义分别在和中利用勾股定理解得且，所以可知. 【详解】取双曲线的右焦点为，连接，如下图所示： 因为直线过原点，结合双曲线的对称性可知 两点关于原点对称，且关于原点对称； 即四边形为平行四边形； 又，所以，因此四边形的对角线相等，即；所以四边形为矩形； 可知； 设，由可得，因此； 结合双曲线定义可得； 在中，由勾股定理可得，即； 解得； 又在中，由勾股定理可得，即； 可得，解得； 因此. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在几何体中，，四边形是边长为2的正方形，是等边三角形，点分别为棱的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面FPH∥平面ABE C. 四点共面 D. 异面直线与所成的角小于60° 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，易得为等腰直角三角形，根据线面垂直的判定定理可得平面，即可判断选项A； 根据，根据面面平行的判定定理可判断选项B； 取中点，可得四点共面，点不在平面，即可结合图形判断选项C； 将图形补全为正方体，将异面直线BD与AE所成的角转化为与的夹角，再由正方体面对角线特点求夹角即可. 【详解】由题意易得在边长为2正方形中，，则， 在等腰中，，可得， 所以即，所以 ， 同理可证在 中，可得，且，平面， 所以BE⊥平面，故A正确； 如图所示，在中F，P分别为棱AD，DE的中点，所以， 不在平面内，在平面内， 所以平面， 在 中，P，H分别为棱的中点，所以， 又因为，所以，同理可证平面， 因为，平面，所以平面平面，故B正确； 如图所示，取的中点，连接，易知，由选项B知， 所以，即共面，显然点B不在面，则四点不共面，故C错误； 由且，可将图形补全为正方体，连接，易知， 则异面直线与所成的角即为与的夹角， 因为在中，三边均为正方体各面上的对角线， 所以为等边三角形，即，即异面直线BD与AE所成的角为，故D错误， 故选：AB. 10. 已知圆，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线被圆截得的最短弦长是 C. 当点在圆上时，的取值范围是 D. 设过的直线与圆的两个交点为，，则线段的中点的轨迹为圆 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线过定点计算可判断A；根据弦长公式及圆的对称性可判断B；表示到原点距离的平方，根据点到圆上点距离最值计算可判断C；由可判断D. 【详解】对于A，直线可化为， 令，解得， 所以直线过定点，故A正确； 对于B，当圆心与定点连线垂直于时，此时弦长最短， 圆的圆心，半径 即圆心到直线最大距离为， 所以最短弦长为，故B错误； 对于C，由题意得表示到原点距离的平方， 且原点到圆心的距离为， 因为点在圆上，所以， 故，故C正确； 对于D，因为是线段的中点，所以 ， 因为直线过定点，所以， 故线段的中点的轨迹是以线段为直径的圆，故D正确. 故选：ACD. 11. 定义在上的函数 满足，当 时， ，则（ ） A. 共有5个零点 B. 共有4个极值点 C. D. 当时，方程有且仅有4个实数根 【答案】ABD 【解析】 【分析】当 时，求出 的导数，利用导数得出 的单调性，从而得出 的极值、零点，再利用知 是R上的奇函数，图象关于原点对称，，从而根据函数的单调性与奇函数的对称性得出 共有5个零点，4个极值点，故A、B正确；由可知，故C错误；因为，，，，再结合函数的单调性与奇函数的对称性作出函数 图象，由图象可知D正确. 【详解】当 时，， 令，解得或， 当时，， 单调递增， 当时，， 单调递减， 当时，， 单调递增， 所以 在 ，上单调递增，在上 单调递减， 因此 时， 在时取得极大值， 在时取得极小值，共有2个极值点， ， ， 又 在上单调递增，所以 在上有一个零点， 因此 时， 共有2个零点， 因为，所以 是R上的奇函数，奇函数的图象关于原点对称，且， 所以时， 有2个零点，有2个极值点. 因此， 在R上共有5个零点，故A正确； 在R上共有4个极值点，故B正确； 因为 是R上的奇函数，所以，故C错误； 由于当 时， ， 则当 且时，， ， 作出函数 图象， 由图象可知，当时，方程有且仅有4个实数根，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某市十景包含扬美古风、青山塔影、明山锦绣、望仙怀古、伊岭神宫、九龙戏珠、南湖情韵、凤江绿野、邕江春泛、龙虎猴趣，每个景点都有其独特的魅力．某游客计划从这10个景点中随机选择2个景点进行游玩，则青山塔影被选中的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出从10个景点中随机选择2个景点的方法数，再求出青山塔影被选中的方法数，利用古典概型可得答案. 【详解】从10个景点中随机选择2个景点， 总共有  种选择方法， 若要确保青山塔影被选中，则需从剩余9个景点中再选1个， 有  种选择方法， 因此，青山塔影被选中的概率为 . 故答案为： 13. 已知直线经过椭圆的一个焦点，则的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，代入直线中，可得 的值，利用离心率的计算方法可得答案. 【详解】由椭圆方程可知，长轴在  轴上， 且 ，即焦点为 ， 直线  经过一个焦点，代入焦点坐标： 若焦点为 ，则 ， 解得 ，即  ； 若焦点为 ，则 ，无解； 故  ，此时 ，长半轴长为， 离心率 . 因此，椭圆  的离心率为 . 故答案为： 14. 在中，角所对的边分别为．若，且，则面积的最大值为______． 【答案】16 【解析】 【分析】由两角差的正弦公式以及同角关系可得，再利用换元法令可求出 的正、余弦值表示，根据三角形面积公式并利用基本不等式可得当时，面积的最大值为16. 【详解】依题意由可得， 即，因此； 令，易知，则； 因此可得，； 又因为， 所以，， 由正弦定理可得，又, 所以的面积为； 当且仅当时，即时，等号成立； 因此可知面积的最大值为16. 故答案为：16 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和 （p为常数），且 ． （1）求的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，证明：． 【答案】（1） ； （2）， 故， 所以 . 【解析】 【分析】（1）先根据 得到 ，再根据求出通项公式； （2）求出，，利用分组求和，裂项相消法得到. 【小问1详解】 因为 ，解得 ， 故 ， 故当时， ， 又 ，故 也满足 ， 综上，通项公式为 ； 【小问2详解】 略 16. 如图，正三棱柱的各棱长均为8，D为棱BC的中点，点E，F在棱上，且． （1）证明： 平面． （2）求直线CB与平面所成角的正切值． 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为正三棱柱的各棱长均为8，D为棱BC的中点， 所以，， 又，故，所以， 又，故，故四边形为平行四边形， 故， 因为平面，所以 平面， （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，故，所以 平面， （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，并求出平面的法向量，利用线面角的正弦夹角公式求出正弦值，从而求出余弦和正切值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点 ，的中点，连接 ，， 则⊥平面 ， 因为为等边三角形，所以 ⊥， 且， 以 为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则， 令，则 ，，故， 设直线CB与平面所成角的大小为， 则 ， 故，. 17. 已知抛物线（p＞0）的焦点为F，C的准线与x轴交于点H，． （1）求C的标准方程． （2）已知点，O为坐标原点，直线l交C于两点，且P，Q在x轴的两侧． （i）求的最小值； （ii）若，证明：l过定点． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）依题意，直线的斜率不能为0，故可设直线的方程为， 代入，消去，可得，则， 由韦达定理，，因P，Q在x轴的两侧，则，即 ， 则， 即， 因 ，则，此时直线的方程为，故直线必过定点. 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的性质求出的表示式，结合条件即可求得抛物线的方程； （2）（i）利用两点之间距离公式，结合点在抛物线上，将问题转化成求二次函数的最值问题即可；（ii）设直线的方程为，与抛物线方程联立，写出韦达定理，结合，求出的值，代入直线方程即可求得定点坐标. 【小问1详解】 依题意，抛物线（p>0）的焦点为，准线方程为， 则准线与x轴的交点为，则， 解得 （ 舍去），故抛物线C的标准方程为. 【小问2详解】 （i）由题意，， 因是抛物线上一点，则 ，故当时，取得最小值24， 则此时的最小值为. （ii）略 18. 已知函数 ． （1）求在上的最值． （2）设函数 ． （i）讨论 的单调性； （ii）若 为 的一个极值点，且 ， ，证明 为定值． 【答案】（1）最大值为，最小值为 . （2）（i）当时， 在 上单调递增， 当 时， 在 ， 上单调递增， 在 上单调递减. （ii）因为 为 的一个极值点，所以 ，即 ， 所以 ， 由 得 ， 整理得 ， ， 化简得 ， 因为 ，所以 ， 将 代入，得 ， 整理得 ， ， 化简得 ， 因为 ，所以 ，即 ， 所以 为定值. 【解析】 【分析】（1）利用导数得出函数的单调区间，进而求出极值，再比较端点处的函数值即可求解； （2）（i）求出函数 的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间； （ii）根据 为 的一个极值点得出 ，并解得 ，再由 列出方程并化简即可得出结论. 【小问1详解】 ，令 ，解得或. 当 时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当 时，，单调递增， 所以在时取得极大值 ，在时取得极小值 ， 又 ， ， 所以在上的最大值为，最小值为 . 【小问2详解】 （i） ， ， 判别式 ， 当时， ， ， 在 上单调递增； 当 时， ，令，解得， 当 时，， 单调递增， 当 时，， 单调递减， 当 时，， 单调递增， 综上所述，当时， 在 上单调递增， 当 时， 在 ， 上单调递增， 在 上单调递减. （ii）略 19. （1）若函数图象的两个相邻对称中心的横坐标相差6，求． （2）在（1）的条件下，设函数，试判断并证明函数图象的对称性． （3）已知（2）中的导函数有两个零点,且． （i）求的取值范围； （ii）当 时，证明：． 【答案】（1）； （2）的图象关于点成中心对称，证明如下： 由（1），， 则函数关于点成中心对称，证明如下： 由，可得，即函数的定义域为， 因， ， 则， 即函数的图象关于点成中心对称. （3）（i）； （ii）由，可得，化简得：， 因，则得 ，即，且，则， 要证，需证，即证， 因 ，不妨取，（若此时不等式成立，因，则易得 时更成立）， 即需证，因，代入整理得， 设，则，由 可得，于是可得， 即需证（*）. 设，则， 令，则， 所以在上单调递减，， 所以，即在上单调递增，又， 则，即（*）成立，故当 时，得证. 【解析】 【分析】（1）根据题意利用函数的周期性列式求出即得函数解析式； （2）先求出函数的定义域，再根据函数的对称性的定义证明，即得函数关于点成中心对称； （3）（i）由可得，由题意，函数与在上有2个交点，结合函数图象的单调性即可求得的取值范围；（ii）由可推得，要证，只需证，结合 即需证，由代入需证，经换元后利用求导判断函数的单调性即可证明. 【详解】（1）依题意，函数的最小正周期 满足，则， 故； （2）略 （3）（i）由，求导得， 由可得，显然 ，可得， 设，可知该函数在 上单调递增，在上单调递减， 且，如图，要使的导函数有两个零点，且， 则需使函数与在上有2个交点，即需使，解得，即的取值范围是. （ii）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁市2026届普通高中毕业班第一次适应性测试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，．若，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则＝（ ） A. 10 B. C. 25 D. 5 3. 若，则＝（ ） A. 3 B. C. D. －3 4. 设随机变量，则（ ） A. B. C. D. 5. 某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文化与文物考古、民族文化与非遗传承、蓝色海洋文化教育这5个研学方向．学校安排6名教师负责这5个方向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为（ ） A. 2400 B. 1800 C. 1500 D. 2100 6. 已知，则＝（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点是双曲线C： 的左焦点，过原点的直线与 交于 (在左支上且异于左顶点）两点，延长与 交于点．若，且，则（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在几何体中，，四边形是边长为2的正方形，是等边三角形，点分别为棱的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面FPH∥平面ABE C. 四点共面 D. 异面直线与 所成的角小于60° 10. 已知圆，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线被圆 截得的最短弦长是 C. 当点在圆 上时，的取值范围是 D. 设过的直线与圆 的两个交点为 ，，则线段的中点的轨迹为圆 11. 定义在上的函数 满足，当时， ，则（ ） A. 共有5个零点 B. 共有4个极值点 C. D. 当时，方程有且仅有4个实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某市十景包含扬美古风、青山塔影、明山锦绣、望仙怀古、伊岭神宫、九龙戏珠、南湖情韵、凤江绿野、邕江春泛、龙虎猴趣，每个景点都有其独特的魅力．某游客计划从这10个景点中随机选择2个景点进行游玩，则青山塔影被选中的概率是______． 13. 已知直线经过椭圆的一个焦点，则 的离心率为______． 14. 在中，角所对的边分别为．若，且，则面积的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和 （p为常数），且 ． （1）求的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，证明：． 16. 如图，正三棱柱的各棱长均为8，D为棱BC的中点，点E，F在棱上，且． （1）证明： 平面． （2）求直线CB与平面所成角的正切值． 17. 已知抛物线（p＞0）的焦点为F，C的准线与x轴交于点H，． （1）求C的标准方程． （2）已知点，O为坐标原点，直线l交C于两点，且P，Q在x轴的两侧． （i）求的最小值； （ii）若，证明：l过定点． 18. 已知函数 ． （1）求在上的最值． （2）设函数 ． （i）讨论 的单调性； （ii）若为 的一个极值点，且 ， ，证明 为定值． 19. （1）若函数图象的两个相邻对称中心的横坐标相差6，求． （2）在（1）的条件下，设函数，试判断并证明函数图象的对称性． （3）已知（2）中的导函数有两个零点,且． （i）求的取值范围； （ii）当 时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $